精品解析：广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

红岭教育集团2025-2026学年度第一学期 初三入学摸底检测数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 下列分式是最简分式的是( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义． 3. 实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较实数大小，不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．由数轴可知，，再根据不等式两边同时乘以一个不为0的正数，不等式方向不变，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， 若，则， 即取值可能为1， 故选：D． 4. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据题意当x＞2时，若y1＞y2． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 5. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定． 【详解】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况， 因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°． 因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°． 故选：D 6. 小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否等腰三角形即可． 【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，选项不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，选项不符合题意； C．根据作图痕迹可知，的角平分线与交于点F，如图， 则，由作图可知，，平分，设与相交于点M， 则，又由，则，得到， 故为等腰三角形，选项不符合题意； D．作图痕迹是作的的垂直平分线，没法证明是等腰三角形，选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质、勾股定理，连接，由三角形中位线定理可得，由矩形的性质结合勾股定理可得，由点保持不动可得长度不变，从而可得线段的长不变，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形为矩形， ， ， 点保持不动， 的长度始终不变， 的长不变， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若分式的值为0，则x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 由，得， 故答案为：． 10. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟悉掌握内角和公式是解题的关键． 根据多边形内角和公式运算即可． 【详解】解：正九边形内角和， 故答案为：． 11. 如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．若书架上已摆放30本语文书，则数学书最多还可以摆__________本． 【答案】47 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设数学书还可以摆x本，根据数学书的总厚度加上语文书的总厚度不超过书架的长建立不等式求解即可． 【详解】解：设数学书还可以摆x本， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为47， ∴数学书最多还可以摆47本， 故答案为：47． 12. 如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若，，阴影部分的面积为，则平移的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， ∴， ∵， ∴， 即． ∴ 即平移的距离为： 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由正方形的性质和勾股定理得到，则；再证明为的中位线，得到，接着证明是等腰直角三角形，进而由勾股定理得到得到，则，由勾股定理得，则． 【详解】解：延长到点，使，连接，过点作垂线，垂足为 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ； ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴在中， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题9分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题11分，共61分） 14. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）去括号，移项和合并同类项即可求解； （2）去分母，移项和合并同类项即可求解； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示即可； （4）联立不等式①和②的解集，即是不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 ∴ ∴ 解得： 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 原不等式组的解集为： 故答案为：． 15. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）， （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务． （1）将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出； （3）在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是画平移图形，画旋转图形，平行四边形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． （1）利用平移的性质分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别确定，旋转后的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点D，再连接，交于P即可； 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 点P如图所示． ∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴P为线段的中点． 17. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． （1）根据图B完成因式分解：___________： （2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； （3）现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； （4）若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）1，3，4； （4），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【小问1详解】 解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： 【小问3详解】 解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； 【小问4详解】 解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 18. 如图，已知矩形． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点、分别在、边上：（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．） （2）若，求的长． 【答案】（1）图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交、于点、，再连接，，即可得到菱形；根据矩形和垂直平分线的性质，证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）根据矩形的性质，得出，根据菱形的性质，得到，，，，设，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求解即可． 小问1详解】 解：如图，菱形即为所求作． 证明：矩形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在矩形中，， ， ， 四边形是菱形， ，，，， 设，则， 在中，， ， 解得，即， ， ． 【点睛】本题考查了复杂作图——作垂直平分线，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 19. 数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 已知花30元购买弹簧A的数量是花30元购买弹簧B数量的一半，其中弹簧B的单价比弹簧的单价少3元． 信息2 弹簧并联时．拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的数据如下表： 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）求弹簧和弹簧的单价． （2）①在图2中做出以弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点___________（填是或不是）在同一直线上． ②关于的函数表达式为___________，弹簧B在弹性限度内的最大拉力为___________N． （3）如何购买两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】（1）弹簧的单价为元，则弹簧的单价为元． （2）①见解析，是；②，最大拉力为． （3）购买根弹簧，购买根弹簧，并联后的弹簧拉力计拉力最大，最大拉力为． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）设弹簧的单价为元，则弹簧的单价为元，根据“花30元购买弹簧A的数量是花30元购买弹簧B数量的一半”列分式方程求解即可； （2）①先描点、再连线，即可得出函数图象； ②由①可知，与之间是一次函数关系，利用待定系数法求出，再将代入计算求解即可； （3）设购买根弹簧，则购买根弹簧，根据成本不超过40元，得到，再结合弹簧A和弹簧B在弹性限度内的最大拉力，得到，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设弹簧的单价为元，则弹簧的单价为元， 则， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：弹簧的单价为元，则弹簧的单价为元． 【小问2详解】 解：①描点并连线如图所示， 由图象可知，这些点分布在同一直线上． ②由①可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为， 则，解得， 关于的函数表达式为； 由题意可知，在弹性限度内，弹簧伸长后最大长度均为， 当时，， 则弹簧B在弹性限度内的最大拉力为． 【小问3详解】 解：设购买根弹簧，则购买根弹簧， 由题意得：， 解得， 当时，， 即弹簧A在弹性限度内的最大拉力为， 由（2）可知，弹簧B在弹性限度内的最大拉力为． 则 ， 随的增大而增大， ，且为非负整数， 当时，有最大值为， 此时（根）， 即购买根弹簧，购买根弹簧，并联后的弹簧拉力计拉力最大，最大拉力为． 20. 【模型建构】 如图1，已知线段、所在直线交于点，其所交锐角为． 将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，中，，点分别在延长线上，且．，求证：． 方法一：过点作，且，连接，，将证明．转化为证明； 方法二：过点作．且，连接．将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路．任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构建平行四边形的方法或者按照自己思路解答下面问题： 如图5．在中，，为上一点，为延长线上一点，且，．连接交于点，则的度数为___________： 【学以致用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图6．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图7，是等腰三角形，四边形是矩形，米，，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）米． 【解析】 【分析】（1）方法一：过点作，且，连接、，则四边形是平行四边形，先证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，即可证明结论；方法二：过点作．且，连接．同方法一理证明即可； （2）过点作，且，连接，则四边形是平行四边形， 证明，得到，，进而推出是等腰直角三角形，即可求解； （3）以、为邻边作平行四边形，连接、，将求转化成，当时，最小，此时最小，推出，过点作于点，求出米，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）方法一：如图4，过点作，且，连接、， ，， ，即， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ； 方法二：过点作．且，连接． 则四边形是平行四边形， ，，， 由方法一可知，，， 同理可证，，是等边三角形， ． （2）如图，过点作，且，连接， 则四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）如图，以、为邻边作平行四边形，连接、， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 当时，最小，此时最小， ，米， ， ， ， ， 过点作于点，则， 在中，米， ， 米，米， 米， 在中，， 米， 钢丝绳长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，通过构造平行四边形作辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2025-2026学年度第一学期 初三入学摸底检测数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 下列分式是最简分式的是( ) A. B. C. D. 3. 实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A. B. C. 0 D. 1 4. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 6. 小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 8. 如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若分式值为0，则x的值是________． 10. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______． 11. 如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．若书架上已摆放30本语文书，则数学书最多还可以摆__________本． 12. 如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若，，阴影部分的面积为，则平移的距离为___________． 13. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为____________________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题9分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题11分，共61分） 14. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组解集为___________． 15. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务． （1）将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出； （3）在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P． 17. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． （1）根据图B完成因式分解：___________： （2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； （3）现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； （4）若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 18. 如图，已知矩形． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点、分别在、边上：（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．） （2）若，求的长． 19. 数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 已知花30元购买弹簧A的数量是花30元购买弹簧B数量的一半，其中弹簧B的单价比弹簧的单价少3元． 信息2 弹簧并联时．拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的数据如下表： 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）求弹簧和弹簧的单价． （2）①在图2中做出以弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点___________（填是或不是）在同一直线上． ②关于的函数表达式为___________，弹簧B在弹性限度内的最大拉力为___________N． （3）如何购买两种弹簧，使并联后弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力． 20. 【模型建构】 如图1，已知线段、所在直线交于点，其所交锐角为． 将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点分别在延长线上，且．，求证：． 方法一：过点作，且，连接，，将证明．转化为证明； 方法二：过点作．且，连接．将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路．任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构建平行四边形的方法或者按照自己思路解答下面问题： 如图5．在中，，为上一点，为延长线上一点，且，．连接交于点，则的度数为___________： 【学以致用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图6．小明收集了该房屋相关数据，并画出了示意图，如图7，是等腰三角形，四边形是矩形，米，，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $