1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重点). 刘雨萌 导语 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 刘雨萌 问题1 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 新知探究 一、直线和直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . u1⊥u2 u1·u2=0 注：(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 刘雨萌 新知探究 二、直线和平面垂直 问题2 如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . u∥n u=λn 刘雨萌 新知探究 三、平面和平面垂直 问题3 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔ ⇔ . n1⊥n2 n1·n2=0 刘雨萌 典例分析 一、直线和直线垂直 例1 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN. 刘雨萌 方法一　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得AB CNB1 ∵M为BC的中点，∴M. ∴==(1，0，1)， ∴·=-+0+=0. ∴⊥即AB1⊥MN. 刘雨萌 8 方法二　设=a=b=c， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0， =a+c=(a+b)=b+c， =-=-a+b+c， ∴·=(a+c)·=-+cos 60°+0-0+0+=0. ∴⊥即AB1⊥MN. 证明 刘雨萌 9 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为AC的中点. 求证：BD1⊥EB1. 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，EB1(1，1，1). =(-1，-1，1)，=∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0， ∴⊥∴BD1⊥EB1. 刘雨萌 典例分析 学习笔记例2 　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 刘雨萌 方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)， B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a). 所以=(-a，-a，a)， =(0，2a，2a)=(-2a，2a，0). 设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)， 则 取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1). 又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.所以∥m，所以EF⊥平面B1AC. 刘雨萌 13 方法二　由方法一可知=(-a，-a，a) =(0，2a，2a)=(-2a，2a，0). 因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a) =(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0， ·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC=A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 证明 刘雨萌 14 方法三　设=a=c=b，连接BD(图略)， 则=+=+)=+)=+-)=(b+c-a). 因为=+=a+b， 证明 所以·=(b+c-a)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0， 所以⊥即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 刘雨萌 15 反思感悟 向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 刘雨萌 例2 　(课本例4)　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1 =1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 典例分析 二、直线和平面垂直 刘雨萌 设=a=b=c，则{a，b，c}为空间的一个基底， 且=a+b-c=b-a=c. 因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°， 所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=. 在平面BDD1B1上，取为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ. 所以·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0. 所以是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C⊥平面BDD1B1. 刘雨萌 18 跟踪训练 跟踪训练2 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 刘雨萌 连接C1D， ∵C1在平面ABC内的射影为D， ∴C1D⊥平面ABC， 又BD，AC⊂平面ABC， ∴C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又△ABC为等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， 则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴， 证明 刘雨萌 20 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(0，0)， C(0，-1，0)，C1(0，0)， EA1(0，2)， ∴=(0，0)= =(0，-3，-). 证明 刘雨萌 21 方法一　设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)， ∵ 不妨取z=1，则y=则m=(01)， ∴平面BDE的一个法向量为m=(01)， ∵=(0，-3，-)， ∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE. 证明 刘雨萌 22 方法二　∵·=0·=-=0， ∴⊥⊥即BD⊥A1C，DE⊥A1C， 又BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 证明 刘雨萌 23 典例分析 例3 　(课本例5)　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β， 求证：α⊥β. 如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. 因为l⊥α，所以u是平面α的法向量. 因为l⊂β，而n是平面β的法向量， 所以u⊥n. 所以α⊥β. 三、平面和平面垂直 刘雨萌 学习笔记例3 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 典例分析 刘雨萌 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)， ∴=(0，-1，-1)=(1，-1，-1). 设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)， 则有n⊥n⊥. ∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1). 证明 刘雨萌 26 显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量. 又n·=0，所以n⊥ 即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直， ∴平面EFG⊥平面PBC. 证明 注 证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 刘雨萌 27 跟踪训练 跟踪训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 刘雨萌 取AB的中点O，CD的中点M， 连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD=AB， OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA=PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 证明 刘雨萌 29 设AP=a，AD=b， 则A(0，-a，0)，B(0，a，0)， P(a，0，0)，C(0，a，b)， D(0，-a，b)， 所以=(0，0，b)=(a，a，0)， =(0，0，b)=(a，-a，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 证明 刘雨萌 30 则由 z1=0，令x1=1， 则y1=-1，即n1=(1，-1，0)， 同理z2=0，令x2=1， 可得y2=1，即n2=(1，1，0). 因为n1·n2=1-1=0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 证明 刘雨萌 31 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.若平面α，β的法向量分别为a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，则α与β的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 √ 2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于 A.4 B.-4 C.5 D.-5 √ 3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　. 垂直 4.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= SB=则直线SC与BC是否垂直　　　.(填“是”或“否”)  是 刘雨萌 课后作业 步步高练透137页 作业10 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $