1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(重点). 刘雨萌 导语 上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题. 刘雨萌 新知探究 一、直线和直线平行 问题1 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R，使得u1= . u1∥u2 λu2 上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 刘雨萌 新知探究 问题2 如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔ u n ⇔ . ⊥ u·n=0 注：(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 二、直线和平面平行 刘雨萌 新知探究 问题3 如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . n1∥n2 n1=λn2 三、平面和平面平行 刘雨萌 典例分析 例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得MN(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则分别为MN，RS的方向向量， 又== 所以=所以∥因为M∉RS，所以MN∥RS. 刘雨萌 典例分析 例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 方法二　设=a=b=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c. 所以=所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 刘雨萌 反思与感悟 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 刘雨萌 跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP. 跟踪训练 方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，NM所以=(-1，0，1)=所以=又M∉AP，故MN∥AP. 刘雨萌 跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP. 跟踪训练 方法二　由题意可得=+=+=+×+) =++=+=+)=又M∉AP，所以MN∥AP. 刘雨萌 典例分析 例2 (课本例3)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以取z=6，则x=4，y=3. 刘雨萌 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)， (3，4，2)，得=(0，4，0)=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 解 刘雨萌 13 典例分析 学习笔记例2 　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 依题意得D(0，0，0)， A(a，0，0)，P(0，0，a)， EB(a，a，0). 刘雨萌 方法一　设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 又== 则有即 令z=1，则所以n=(1，-1，1)， 典例分析 又=(a，0，-a)， 所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0.所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 刘雨萌 延伸探究 延伸探究 在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 刘雨萌 以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则D(0，0，0)，P(0，0，a)，MC(0，a，0)， 则=(0，0，a)= 设平面PDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则 令y1=2，则x1=-1，z1=0，∴n1=(-1，2，0)， 解 刘雨萌 17 设N(0，y，z)，则=(0，y，z-a)=(0，a，-a)， 由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)， ∴y=λa，z=a(1-λ)，∴N(0，λa，a(1-λ)). 又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))， 由BN∥平面PDM，得·n1=0， 即a+2(λ-1)a=0，∴λ= 即在棱PC上存在一点N，且当N为PC的中点时，使得BN∥平面PDM. 解 刘雨萌 18 反思与感悟 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 刘雨萌 典例分析 例3 (课本例2)　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 刘雨萌 如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α， 所以n·u=0，n·v=0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b=P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv. 从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0. 所以，向量n也是平面β的法向量. 故α∥β. 证明 刘雨萌 21 典例分析 例3 已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)， B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)， 于是=(0，1，1)， =(1，1，0)， =(1，1，0)=(0，1，1). 刘雨萌 设平面AB'D'的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则 令y1=1，则x1=-1，z1=-1， 可得n1=(-1，1，-1). 设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则 证明 刘雨萌 23 令y2=1，则x2=-1，z2=-1， 可得n2=(-1，1，-1). 所以n1=n2，所以n1∥n2， 故平面AB'D'∥平面BDC'. 方法二　由方法一知=(-1，0，1) =(-1，0，1)=(0，1，1)=(0，1，1)， 所以== 证明 刘雨萌 24 即AD'∥BC'，AB'∥DC'， 又AD'⊄平面BDC'，BC'⊂平面BDC'， AB'⊄平面BDC'，DC'⊂平面BDC'， 所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'. 又AD'∩AB'=A，且AD'，AB'⊂平面AB'D'， 所以平面AB'D'∥平面BDC'. 证明 刘雨萌 25 方法三　由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1，1，-1). 易知=(1，1，0)=(0，1，1). 因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0， n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0， 所以n1也是平面BDC'的一个法向量， 所以平面AB'D'∥平面BDC'. 证明 刘雨萌 26 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.已知直线l1的方向向量为m=(1，2，1)，若直线l1∥l2，则直线l2的一个方向向量的坐标是 A.(2，4，2) B.(2，3，-2) C.(1，1，1) D.(-1，1，-1) √ 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是 A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) √ √ 3.已知平面α，β的一个法向量分别为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，α与β不重合，则α，β的位置关系为　　　. 平行 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是　 　. -3 刘雨萌 课后作业 步步高练透133页 作业8 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $