精品解析：2022年广东省佛山市中考数学模拟试卷

2022年广东省佛山市中考数学模拟试卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 数据788000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. 3a+2a=5a2 B. a6÷a2=a3 C. (-3a3)2=9a6 D. (a+2)2=a2+4 5. 如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=，则BC的长是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 6. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2 8. 如图，已知：在中，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（　　） A. 10° B. 30° C. 40° D. 70° 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 分解因式_____． 13. 不等式组的解集为_____． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________ 15. 如果圆锥的母线为，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为_____． 16. 如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 _____． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中x=3． 19. 如图，在中，，，， （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的周长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20. 有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和．乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，和．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，这样就确定点的一个坐标为． （1）从甲布袋中随机摸一个小球求小球上的数字是奇数的概率； （2）求点落在直线上的概率．（用画树状图的方法作答） 21. 如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离． 22. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少元，小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍． （1）求每支钢笔和每支笔记本的价格； （2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过元．请问至少要买多少支钢笔？ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23. 一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C．已知点A（－2，1），点B的坐标为（1，m）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长； （3）当AB＝5，BC＝6时，求tanF的值． 25. 如图，已知中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度均为，连接，设运动的时间为（单位：） （1）当时，_____s； （2）设的面积为（单位：），当为何值时，取得最大值，并求出最大值； （3）如图2，取点关于的对称点，连接，，得到四边形，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年广东省佛山市中考数学模拟试卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】2与-2只有符号不同， 所以2的相反数是-2， 故选D． 【点睛】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念是解题的关键． 2. 数据788000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 下列运算正确的是（ ） A. 3a+2a=5a2 B. a6÷a2=a3 C. (-3a3)2=9a6 D. (a+2)2=a2+4 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，根据同类项合并法则可得3a+2a=5a，本选项错误； 选项B， 根据同底数幂的除法可得a6÷a2= a4，本选项错误； 选项C，根据积的乘方可得(-3a3)2=9a6，本选项正确； 选项D，根据完全平方式可得(a+2)2=a2+4a+4，本选项错误． 故选C． 考点：合并同类项；同底数幂的除法；积的乘方；完全平方式． 5. 如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=，则BC的长是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出CD=AB=、∠D=∠CAD=45°，由等角对等边可得出AC=CD=，再利用勾股定理即可求出BC的长度． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°， ∴AC=CD=，∠ACD=90°，即△ACD是等腰直角三角形， ∴BC=AD==2． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质结合∠ABC=∠CAD=45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键． 6. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可． 【详解】∵=＞=， ∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高， ∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2， ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐， 综上，麦苗又高又整齐的是丁， 故选D． 【点睛】本题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 7. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程有实根,即△,解不等式即可. 【详解】∵x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根， ∴△=4-4·（m-3） 解得：m≥2, 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数问题,属于简单题,会求△是解题关键. 8. 如图，已知：在中，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理及圆周角定理，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，即，然后利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（　　） A. 10° B. 30° C. 40° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】先找到旋转角，根据∠BAE＝∠1+∠CAE进行计算． 【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE＝40°，所以∠BAE＝30°+40°＝70°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：因为代数式有意义，所以分母，解得； 故答案为． 12. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，先提公因式，再用公式法分解． 先提取公因式3，再利用平方差公式对括号内的式子进行分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 不等式组的解集为_____． 【答案】2≤x＜3． 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出不等式组的解集． 【详解】解： ， 由不等式①得：x＜3， 由不等式②得：x≥2， 所以不等式组的解集为：2≤x＜3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________ 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标. 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质.转化成顶点式是解题的关键. 15. 如果圆锥的母线为，底面半径为，那么这个圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式（其中为母线长，为底面周长）． 先求出圆锥底面周长，再根据圆锥侧面积公式，将母线长和底面周长代入计算． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 16. 如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键. 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 观察，发现规律：，， ∴ ． 当 时，． 故答案为：． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算乘方，负整数指数幂，算术平方根，代入特殊角的三角函数值，最后合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中x=3． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ． 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键. 19. 如图，在中，，，， （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的周长． 【答案】（1） 线段的垂直平分线，如图所示： （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后问题可求解； （2）由（1）作图可知，然后问题可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴的周长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20. 有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和．乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，和．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，这样就确定点的一个坐标为． （1）从甲布袋中随机摸一个小球求小球上的数字是奇数的概率； （2）求点落在直线上的概率．（用画树状图的方法作答） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先找出写有1，2两个小球中奇数的个数，再根据概率公式解答即可； （2）根据概率公式即可求出该事件的概率． 【详解】（1）∵分别装有写着整数1，2两个完全相同的小球中奇数只有1一个数， ∴二个小球中任意抽取一个，则该小球上的数字是奇数的概率为P=， 故答案为：； （2） 点所有可能坐标：，，，，，； 共有种等可能的结果，其中落在直线上的有和共种． ∴ 答：点落在直线上的概率是． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离． 【答案】30米 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于F，由题意可得AE=DE，从而可求得EF的长及AF的长，再可得四边形ACDF是矩形，即可得CD的长． 【详解】过点D作DF⊥AB于F ∵∠DAB＝30°，∠DEB＝60° ∴∠ADE=∠DEB−∠DAB=60゜−30゜=30゜ ∴DE=AE=20米 ∴（米） ∴AF=AE+EF=20+10=30(米) ∵∠CAB＝90°，DF⊥AB ∴AC∥DF ∵l1∥l2 ∴四边形ACDF是平行四边形 ∵∠CAB＝90° ∴四边形ACDF是矩形 ∴CD=AF=30米 即C、D两点间的距离为30米 【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，考查了等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，根据题意把实际问题转化为数学问题并作适当的辅助线是解题的关键． 22. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少元，小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍． （1）求每支钢笔和每支笔记本的价格； （2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过元．请问至少要买多少支钢笔？ 【答案】（1）每支钢笔元，每本笔记本元；（2）至少要买支钢笔 【解析】 【分析】（1）由题意可以列出分式方程求解； （2）可以根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】解：（1）设每支钢笔元，则每本笔记本元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意， ． 答：每支钢笔元，每本笔记本元． （2）设要买支钢笔，则要买本笔记本， 根据题意得：， 解得：． 答：至少要买支钢笔． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的综合运用，根据题中等量关系列出合适的方程和不等式是解题关键． 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23. 一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C．已知点A（－2，1），点B的坐标为（1，m）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围． 【答案】（1）； ；（2）；（3）与 【解析】 【分析】（1）把A（-2，1）代入即可求得k，得到反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得B的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）求得一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△OBD即可求解． （3）根据图象回答即可． 【详解】（1）将点A代入 ∴ 将点B代入 ∴B（1，-2） 将A，B代入 ∴ （2） （3）观察图像可知，一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围是与 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长； （3）当AB＝5，BC＝6时，求tanF的值． 【答案】 （1）证明：如图1，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠OBD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴EF⊥OD， ∴EF是⊙O的切线； （2）2； （3）tanF＝． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C，证出OD∥AC，再由已知得出EF⊥OD，即可证出EF是⊙O的切线； （2）连接BG、AD，由圆周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°，即BG⊥AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质得出BD=CD，证出△ABC是等边三角形，得出AC=AC=8，证出EF∥BG，由平行线得出CE：EG=CD：BD，证出CE=EG，由等腰三角形的性质得出，即可得出EG的长； （3）由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，由三角函数求出，得出，再由勾股定理求出，由平行线得出△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出，在Rt△ODF中，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解（1）略 （2）如图2，连接BG、AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AGB＝∠ADB＝90°， 即BG⊥AC，AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴BD＝CD，△ABC是等边三角形， ∴AC＝AC＝8， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BG， ∴CE：EG＝CD：BD， ∴CE＝EG， ∵BG⊥AC， ∴CG＝AG＝AC＝4， ∴EG＝CG＝2； （3）解：∵AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3， ∴AD＝＝＝4，sinC＝＝＝， ∴DE＝CD＝×3＝， ∴AE＝＝＝， ∵OD∥AC， ∴△ODF∽△AEF， ∴，即， 解得：DF＝， 在Rt△ODF中，OD＝AB＝， ∴tanF＝＝＝． 【点睛】此题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识． 25. 如图，已知中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度均为，连接，设运动的时间为（单位：） （1）当时，_____s； （2）设的面积为（单位：），当为何值时，取得最大值，并求出最大值； （3）如图2，取点关于的对称点，连接，，得到四边形，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）时，取得最大值，最大值为． （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形、二次函数、勾股定理的综合应用，在解题中利用数形结合思想把几何问题转化为函数求解是解题关键． （1）由已知，可以求得，如果，则有，再由相似三角形的性质可以得到解答； （2）可以过点作于点，由可得，解出后可以用自变量为t的函数表示的面积，再由函数的性质可得的最大面积； （3）可以先假设存在某一刻，使四边形为菱形，接着与（2）类似，过点作于点D，然后再根据相似三角形的性质，并结合勾股定理可以用自变量为t的函数表示菱形的面积，最后根据函数的性质求出菱形的面积． 【小问1详解】 解：由已知，有， 如果，则有， ∴，即，可以解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， 即， 解得 当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：假设存在某一刻，使四边形为菱形，则有，如图，过点作于点D，则有， ， 即 解得，． ， 在中，由勾股定理得， 即， 化简得， 解得，， ， ，由（2）可知，， 当时，四边形为菱形，此时菱形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $