第十五章 轴对称 章节讲义（17知识点回顾+38题型巩固）-2025-2026学年人教版数学八年级上册满分全攻略备课系列

该初中数学讲义围绕“轴对称”单元构建了清晰的知识体系，通过框架图、表格和思维导图系统呈现17个核心知识点，从图形识别到性质应用，再到综合问题解决层层递进。知识梳理部分用对比表格区分“轴对称图形”与“成轴对称”，用图示标注等腰三角形“三线合一”特性，帮助学生建立结构化认知，突出线段垂直平分线、等腰三角形判定与坐标对称等重难点之间的内在联系。 讲义的亮点在于练习设计紧扣新课标核心素养，体现“几何直观”“推理能力”和“模型意识”。如题型二十二的最短路径问题，引导学生通过作对称点将折线转化为直线，巧妙运用轴对称思想求解；题型三十八结合面积与垂直平分线性质，训练学生从实际情境中抽象出数学模型的能力。每类题型均配有方法指导和易错提示，基础薄弱生可掌握基本策略，优等生能拓展思维深度。教师可据此精准定位学情，实施分层教学，学生亦能自主复习，提升解决问题的信心与能力。

第十五章 轴对称 章节（17知识点回顾+38题型巩固） 目录 知识梳理 1.轴对称图形 2.成轴对称 3.轴对称的性质 4.线段的垂直平分线的性质 5.线段的垂直平分线的判定 6.互逆命题和互逆定理 7.尺规作图——作线段的垂直平分线 8.作对称轴 9.轴对称变换 10.画轴对称图形 11.关于坐标轴对称的点的坐标 12.在平面直角坐标系中画轴对称图形 13.等腰三角形的性质 14.等腰三角形的判定 15.等边三角形的性质 16.等边三角形的判定 17.含30°角的直角三角形的性质 题型巩固 一、轴对称图形的识别 二、成轴对称的两个图形的识别 三、根据成轴对称图形的特征进行判断 四、根据成轴对称图形的特征进行求解 五、台球桌面上的轴对称问题 六、轴对称中的光线反射问题 七、折叠问题 八、线段垂直平分线的性质 九、线段垂直平分线的判定 十、写出命题的逆命题 十一、互逆定理 十二、作已知线段的垂直平分线 十三、作垂线(尺规作图) 十四、画对称轴 十五、求对称轴条数 十六、画轴对称图形 十七、车牌号码的镜面对称 十八、钟表的镜面对称 十九、电子钟示数的镜面对称 二十、坐标系中的对称 二十一、坐标与图形变化——轴对称 二十二、线段问题(轴对称综合题) 二十三、面积问题(轴对称综合题) 二十四、角度问题(轴对称综合题) 二十五、等边对等角 二十六、三线合一 二十七、斜边的中线等于斜边的一半 二十八、根据等角对等边证明等腰三角形 二十九、根据等角对等边证明边相等 三十、根据等角对等边求边长 三十一、格点图中画等腰三角形 三十二、找出图中的等腰三角形 三十三、等腰三角形的性质和判定 三十四、等边三角形的性质 三十五、等边三角形的判定 三十六、等边三角形的判定和性质 三十七、大（小）边对大（小）角定理 三十八、最短路径问题 知识梳理 知识点1.轴对称图形 1. 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 注意直线两旁的部分全等 (1)轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上. (2)对称轴是一条直线，而不是射线或线段. (3)一个轴对称图形的对称轴可能有1 条，也可能有多条，还可能有无数条. 2. 常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 对边中点的连线所在的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 知识点2.成轴对称 1. 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这两个图形全等 2. 成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 拓展延伸：(1)成轴对称图形或轴对称图形上的每对对称点到对称轴的距离分别相等； (2)成轴对称图形或轴对称图形上的对应线段或其延长线若相交，则交点必在对称轴上. 知识点3.轴对称的性质 1. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴 上. (如图15.1-7). 2. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线(如图15.1-8) 知识点4.线段的垂直平分线的性质 1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上. 两点之间的距离 结论：这个点到线段两个端点的距离相等. 2. 几何语言：如图15.1-18， ∵ AD⊥BC，BD=CD，∴ AB=AC. 知识点5.线段的垂直平分线的判定 1. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：这个点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言：如图15.1-20，∵ AB=AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 拓宽视野 该点的位置与三角形的形状有关，若是直角三角形，该点在斜边的中点处；若是锐角三角形，该点在三角形内部；若是钝角三角形，该点在三角形外部. 知识点6.互逆命题和互逆定理 定义 关系 互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 知识点7.尺规作图——作线段的垂直平分线 1. 作线段的垂直平分线 已知：如图15.1-23，线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：如图15.1-24.特别解读 若半径等于AB，则两弧的交点在AB上；若半径小于AB，则两弧没有交点. (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线.也可以用这种方法确定线段的中点 2. 经过直线外一点作这条直线的垂线 已知：如图15.1-25 ，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：如图15.1-26. 确保CD=CE (1)以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； 特别提醒 所取半径要满足所作的弧与已知直线有交点. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；确保FD=FE (3)作直线CF，CF就是所求作的垂线． 知识点8.作对称轴 1.作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 2. 作对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对称点； (2)连：连接这对对称点； (3)作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴. 知识点9.轴对称变换 1. 定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换. 轴对称变换的实质就是图形的折叠，折叠前后(即成轴对称)的两个图形全等. 2. 性质 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，即成轴对称的两个图形全等； (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； (3)连接任意一对对称点的线段均被对称轴垂直平分. 这是画轴对称图形的依据. 知识点10.画轴对称图形 1. 方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为 “一找二画三连”.特别提醒 1.常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点等. 2.不在对称轴上的点的对称点在对称轴的另一侧，在对称轴上的点的对称点是它本身. 找 —在原图形上找特殊点； 画 —画出各个特殊点关于对 称轴的对称点； 连 —依次连接各对称点. 按照原图形中特殊点的连接方式连接 知识点11.关于坐标轴对称的点的坐标 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；简记为“横相同，纵相反” 简记为“纵相同，横相反” (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 知识点12.在平面直角坐标系中画轴对称图形 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 特别提醒 所找的特殊点一定要能确定原图形，如多边形的顶点等，否则画出的图形与原图形不一定对称. 知识点13.等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 知识点14.等腰三角形的判定 1.等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC 辨析：等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 2. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：一个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h(如图15.3 -5). 求作这个等腰三角形. 知识点15.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 知识点16.等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2可以是顶角，也可以是底角 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 2. 判定等边三角形的思维导图(如图15.3-25) 知识点17.含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图15.3-28，在Rt△ABC 中， ∵∠ C=90 °，∠ A=30 °， ∴ BC= AB. 2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 题型巩固 题型一、轴对称图形的识别 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是解决问题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义逐一进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 2．下列两个电子数字成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：选项A，B，C的两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称， 选项D中两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 3．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 【答案】三角形1，3，5，7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线，直线，直线，直线． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查的是轴对称的识别，根据轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：由轴对称的性质可知，阴影三角形与三角形1，3，5，7可形成轴对称图形，阴影三角形与1关于直线为对称轴，阴影三角形与3关于直线为对称轴，阴影三角形与5关于直线为对称轴，阴影三角形与7关于直线为对称轴． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 4．如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形全等的判定及图形的对称性，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，结合坐标系的对称性确定点的可能位置． 根据与全等，以为公共边或对应边，结合坐标系对称性（如关于轴对称、关于中垂线对称），确保的边与对应边相等，从而确定点的坐标为或或． 【详解】如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或． 故答案为： 或或 题型五、台球桌面上的轴对称问题 5．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    【答案】 【知识点】点坐标规律探索、台球桌面上的轴对称问题 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 题型六、轴对称中的光线反射问题 6．光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 题型七、折叠问题 7．如图，在中，沿直线折叠后，使得点与点重合，已知，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题 【分析】利用折叠的性质得到线段相等关系，再结合三角形周长公式求出的长．本题主要考查了折叠的性质以及三角形周长的计算，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：∵沿直线折叠后，点与点重合， ∴． ∵的周长为，即， 又∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 题型八、线段垂直平分线的性质 8．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查基本尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键． 根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，作的角平分线和线段垂直平分线，两线的交点即为所求的点P． 【详解】解：如图，点P即为所求： 题型九、线段垂直平分线的判定 9．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 题型十、写出命题的逆命题 10．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 题型十一、互逆定理 11．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等、线段垂直平分线的性质、互逆定理 【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 题型十二、作已知线段的垂直平分线 12．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 题型十三、作垂线(尺规作图) 13．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题了作图的应用．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【详解】解：如图，点、点为所作． 题型十四、画对称轴 14．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 【详解】 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 题型十五、求对称轴条数 15．（22-23八年级上·全国·期中）轴对称图形的对称轴的条数（   ） A．只有一条 B．至少一条 C．2条 D．3条 【答案】B 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形至少有一条对称轴，进行判断即可． 【详解】解：轴对称图形至少有一条对称轴； 故选：B． 题型十六、画轴对称图形 16．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是 ． 【答案】书，图见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形． 根据轴对称图形的性质画出图形即可解答． 【详解】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 题型十七、车牌号码的镜面对称 17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 题型十八、钟表的镜面对称 18．小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是 ． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质．解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右对换，且关于镜面对称．据此解答． 【详解】解：小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是． 故答案为：． 题型十九、电子钟示数的镜面对称 19．在镜子中看到的数字，则实际数字是 【答案】 【知识点】画轴对称图形、电子钟示数的镜面对称 【分析】利用作轴对称图形即可求解． 【详解】解：如图所示：实际数字是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是会作轴对称图形． 题型二十、坐标系中的对称 20．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 题型二十一、坐标与图形变化——轴对称 21．（24-25八年级上·四川成都·期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，则关于y轴对称的点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出结果． 【详解】解：由题意，点F的坐标为； 故选D． 题型二十二、线段问题(轴对称综合题) 22．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】利用轴对称的性质，找到点关于两边的对称点，将三角形周长转化为两点间的线段，从而确定使周长最小的点、． 本题主要考查了轴对称 - 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为所求． 题型二十三、面积问题(轴对称综合题) 23．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)4 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、面积问题(轴对称综合题) 【分析】此题考查了轴对称作图，利用割补法求网格中三角形的面积，正确理解轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；根据图示以及直角坐标系的特点写出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）如图所示：    ∴点的坐标为； （2）由图可知，． 题型二十四、角度问题(轴对称综合题) 24．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的证明、角度问题(轴对称综合题) 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， 连接，，，其中交于，交于， 此时的周长最小值等于的长， 由轴对称性质可知：，，，， ， ， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型二十五、等边对等角 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，，由等边对等角得到，，根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差计算即可得到答案． 【详解】解：点关于、的对称点为，， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 题型二十六、三线合一 26．如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．根据等腰三角形的三线合一可得，，则选项A和C正确；先求出，再根据定理可得，则选项B正确；根据不一定是的角平分线可得与不一定相等，则选项D错误． 【详解】解：∵在中，，是角平分线， ∴，（等腰三角形的三线合一），则选项A和C正确，不符合题意； ∴， 在和中， ， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵点是上一点，不一定是的角平分线， ∴与不一定相等，则选项D错误，符合题意； 故选：D． 题型二十七、斜边的中线等于斜边的一半 27．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 题型二十八、根据等角对等边证明等腰三角形 28．（24-25八年级·河南郑州·阶段练习）如图，中，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形，证明见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，余角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线的作法，画出图形即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质可得，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所求． （2）解：为等腰三角形，证明如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 题型二十九、根据等角对等边证明边相等 29．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 题型三十、根据等角对等边求边长 30．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三十一、格点图中画等腰三角形 31．（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【答案】见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 题型三十二、找出图中的等腰三角形 32．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、找出图中的等腰三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 题型三十三、等腰三角形的性质和判定 33．（2025八年级上·全国·专题练习）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据可证明； （2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到，所以； （3）在上截取，如图3，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的值为2； （3）解：，理由如下： 在上截取，如图， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 题型三十四、等边三角形的性质 34．如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求出相关角度，通过角度关系得到边的关系，进而求出线段长度． 【详解】∵为等边三角形，， 又∵， ， 又 故答案为：6． 题型三十五、等边三角形的判定 35．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 题型三十六、等边三角形的判定和性质 36．如图，在中，，为上一点，点在的延长线上，，连接，从下面①②③中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ①；②；③． 选择的条件：________；证明的结论：________．（填序号） 证明如下： 【答案】①③，②，证明见解析（答案不唯一） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：我选择的条件是；结论是． 证明：，， ∴是等边三角形， ． 又，即，是边上的高， 平分， ∴． 又， ， ， ， ， ∴； 当选择①②，③作为结论， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当选择②③，①作为结论； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 题型三十七、大（小）边对大（小）角定理 37．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)，证明过程见详解； 【知识点】三角形的外角的定义及性质、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； 【详解】（1）解：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（等边对等角） 是的外角， ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ， ． ， ， ． 故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． 题型三十八、最短路径问题 38．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】最短路径问题、根据平行线判定与性质证明、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 章节（17知识点回顾+38题型巩固） 目录 知识梳理 1.轴对称图形 2.成轴对称 3.轴对称的性质 4.线段的垂直平分线的性质 5.线段的垂直平分线的判定 6.互逆命题和互逆定理 7.尺规作图——作线段的垂直平分线 8.作对称轴 9.轴对称变换 10.画轴对称图形 11.关于坐标轴对称的点的坐标 12.在平面直角坐标系中画轴对称图形 13.等腰三角形的性质 14.等腰三角形的判定 15.等边三角形的性质 16.等边三角形的判定 17.含30°角的直角三角形的性质 题型巩固 一、轴对称图形的识别 二、成轴对称的两个图形的识别 三、根据成轴对称图形的特征进行判断 四、根据成轴对称图形的特征进行求解 五、台球桌面上的轴对称问题 六、轴对称中的光线反射问题 七、折叠问题 八、线段垂直平分线的性质 九、线段垂直平分线的判定 十、写出命题的逆命题 十一、互逆定理 十二、作已知线段的垂直平分线 十三、作垂线(尺规作图) 十四、画对称轴 十五、求对称轴条数 十六、画轴对称图形 十七、车牌号码的镜面对称 十八、钟表的镜面对称 十九、电子钟示数的镜面对称 二十、坐标系中的对称 二十一、坐标与图形变化——轴对称 二十二、线段问题(轴对称综合题) 二十三、面积问题(轴对称综合题) 二十四、角度问题(轴对称综合题) 二十五、等边对等角 二十六、三线合一 二十七、斜边的中线等于斜边的一半 二十八、根据等角对等边证明等腰三角形 二十九、根据等角对等边证明边相等 三十、根据等角对等边求边长 三十一、格点图中画等腰三角形 三十二、找出图中的等腰三角形 三十三、等腰三角形的性质和判定 三十四、等边三角形的性质 三十五、等边三角形的判定 三十六、等边三角形的判定和性质 三十七、大（小）边对大（小）角定理 三十八、最短路径问题 知识梳理 知识点1.轴对称图形 1. 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 注意直线两旁的部分全等 (1)轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上. (2)对称轴是一条直线，而不是射线或线段. (3)一个轴对称图形的对称轴可能有1 条，也可能有多条，还可能有无数条. 2. 常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 对边中点的连线所在的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 知识点2.成轴对称 1. 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这两个图形全等 2. 成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 拓展延伸：(1)成轴对称图形或轴对称图形上的每对对称点到对称轴的距离分别相等； (2)成轴对称图形或轴对称图形上的对应线段或其延长线若相交，则交点必在对称轴上. 知识点3.轴对称的性质 1. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴 上. (如图15.1-7). 2. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线(如图15.1-8) 知识点4.线段的垂直平分线的性质 1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上. 两点之间的距离 结论：这个点到线段两个端点的距离相等. 2. 几何语言：如图15.1-18， ∵ AD⊥BC，BD=CD，∴ AB=AC. 知识点5.线段的垂直平分线的判定 1. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：这个点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言：如图15.1-20，∵ AB=AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 拓宽视野 该点的位置与三角形的形状有关，若是直角三角形，该点在斜边的中点处；若是锐角三角形，该点在三角形内部；若是钝角三角形，该点在三角形外部. 知识点6.互逆命题和互逆定理 定义 关系 互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 知识点7.尺规作图——作线段的垂直平分线 1. 作线段的垂直平分线 已知：如图15.1-23，线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：如图15.1-24.特别解读 若半径等于AB，则两弧的交点在AB上；若半径小于AB，则两弧没有交点. (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线.也可以用这种方法确定线段的中点 2. 经过直线外一点作这条直线的垂线 已知：如图15.1-25 ，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：如图15.1-26. 确保CD=CE (1)以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； 特别提醒 所取半径要满足所作的弧与已知直线有交点. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；确保FD=FE (3)作直线CF，CF就是所求作的垂线． 知识点8.作对称轴 1.作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 2. 作对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对称点； (2)连：连接这对对称点； (3)作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴. 知识点9.轴对称变换 1. 定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换. 轴对称变换的实质就是图形的折叠，折叠前后(即成轴对称)的两个图形全等. 2. 性质 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，即成轴对称的两个图形全等； (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； (3)连接任意一对对称点的线段均被对称轴垂直平分. 这是画轴对称图形的依据. 知识点10.画轴对称图形 1. 方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为 “一找二画三连”.特别提醒 1.常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点等. 2.不在对称轴上的点的对称点在对称轴的另一侧，在对称轴上的点的对称点是它本身. 找 —在原图形上找特殊点； 画 —画出各个特殊点关于对 称轴的对称点； 连 —依次连接各对称点. 按照原图形中特殊点的连接方式连接 知识点11.关于坐标轴对称的点的坐标 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；简记为“横相同，纵相反” 简记为“纵相同，横相反” (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 知识点12.在平面直角坐标系中画轴对称图形 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 特别提醒 所找的特殊点一定要能确定原图形，如多边形的顶点等，否则画出的图形与原图形不一定对称. 知识点13.等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 知识点14.等腰三角形的判定 1.等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC 辨析：等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 2. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：一个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h(如图15.3 -5). 求作这个等腰三角形. 知识点15.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 知识点16.等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2可以是顶角，也可以是底角 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 2. 判定等边三角形的思维导图(如图15.3-25) 知识点17.含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图15.3-28，在Rt△ABC 中， ∵∠ C=90 °，∠ A=30 °， ∴ BC= AB. 2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 题型巩固 题型一、轴对称图形的识别 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 2．下列两个电子数字成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 3．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？ 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 4．如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 题型五、台球桌面上的轴对称问题 5．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    题型六、轴对称中的光线反射问题 6．光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 题型七、折叠问题 7．如图，在中，沿直线折叠后，使得点与点重合，已知，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型八、线段垂直平分线的性质 8．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹） 题型九、线段垂直平分线的判定 9．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 题型十、写出命题的逆命题 10．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 题型十一、互逆定理 11．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 题型十二、作已知线段的垂直平分线 12．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 题型十三、作垂线(尺规作图) 13．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型十四、画对称轴 14．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 题型十五、求对称轴条数 15．（22-23八年级上·全国·期中）轴对称图形的对称轴的条数（   ） A．只有一条 B．至少一条 C．2条 D．3条 题型十六、画轴对称图形 16．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是 ． 题型十七、车牌号码的镜面对称 17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 题型十八、钟表的镜面对称 18．小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是 ． 题型十九、电子钟示数的镜面对称 19．在镜子中看到的数字，则实际数字是 题型二十、坐标系中的对称 20．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 题型二十一、坐标与图形变化——轴对称 21．（24-25八年级上·四川成都·期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标为，则关于y轴对称的点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型二十二、线段问题(轴对称综合题) 22．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）内有一点，在的两边上各找一点，，使的周长最小，用尺规作图法，在图中作出 （不写作法，保留作图痕迹）． 题型二十三、面积问题(轴对称综合题) 23．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 题型二十四、角度问题(轴对称综合题) 24．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 题型二十五、等边对等角 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（   ） A． B． C． D． 题型二十六、三线合一 26．如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 题型二十七、斜边的中线等于斜边的一半 27．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 题型二十八、根据等角对等边证明等腰三角形 28．（24-25八年级·河南郑州·阶段练习）如图，中，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断的形状，并证明． 题型二十九、根据等角对等边证明边相等 29．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 题型三十、根据等角对等边求边长 30．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 题型三十一、格点图中画等腰三角形 31．（2023·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 题型三十二、找出图中的等腰三角形 32．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三十三、等腰三角形的性质和判定 33．（2025八年级上·全国·专题练习）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型三十四、等边三角形的性质 34．如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ． 题型三十五、等边三角形的判定 35．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 题型三十六、等边三角形的判定和性质 36．如图，在中，，为上一点，点在的延长线上，，连接，从下面①②③中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立． ①；②；③． 选择的条件：________；证明的结论：________．（填序号） 证明如下： 题型三十七、大（小）边对大（小）角定理 37．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 题型三十八、最短路径问题 38．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $