指对幂函数专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2026年高考数学一轮复习

指对幂函数专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2026年高考数学一轮复习题 8大考点汇总 考点一：指数函数的定义域与值域 考点二：对数函数的定义域与值域 考点三：指对幂的运算 考点四：指数函数的单调性 考点五：指数函数的最值 考点六：对数函数的单调性 考点七：对数函数的最值 考点八：幂函数 跟踪训练 考点一：指数函数的定义域与值域 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点二：对数函数的定义域与值域 5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三：指对幂的运算 9．（1）； （2）； （3）已知，求的值． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 11．（1）计算：； （2）． （3）已知，求的值． 12．（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 考点四：指数函数的单调性 13．已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 14．已知函数，其中为常数，且． (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点． 15．已知． (1)求的定义域、值域； (2)讨论的对称性； (3)讨论的单调性． 16．已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 考点五：指数函数的最值 17．已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)证明：. 18．已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 19．已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 20．已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 考点六：对数函数的单调性 21．已知函数为奇函数， (1)求的值； (2)解关于的不等式. 22．已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 23．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：的图象关于直线对称； (3)若，求实数的取值范围. 24．（1）求函数的单调区间； （2）证明：方程有两个实数根，并求的值； （3）已知函数（为常数），若在上有两个零点，.证明：. 考点七：对数函数的最值 25．已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 26．已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 27．已知，当点在函数的图象上运动时，点在函数的图象上运动. (1)写出的解析式； (2)求出使的的取值范围； (3)在（2）所得的的范围内，求的最大值. 28．已知函数（e是自然对数底数），函数的图象与函数的图象关于直线对称．令，其中，分别为奇函数、偶函数． (1)求在上的最大值； (2)求，并证明； (3)求证：仅有1个零点，且． 考点八：幂函数 29．已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求函数的解析式； (2)当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 30．已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 31．已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 32．已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《指对幂函数专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2026年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D B B C B 1．A 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解. 【详解】由题意得，即得，解得． 故选：A. 2．D 【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域. 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 3．C 【分析】应用指数函数的值域，结合不等式的性质及根式计算求解值域. 【详解】函数有意义，有， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4．D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 5．B 【分析】利用对数函数的定义先求定义域，结合复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知，即或， 令，而单调递增，要求的单调递增区间， 即求的单调递增区间，根据二次函数的单调性可知其单调递增区间为. 故选：B 6．B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 7．C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 8．B 【分析】根据对数、根式的性质求函数的定义域和值域，再由集合交并及集合关系的表示判断各项正误. 【详解】由题设，则，值域， 所以，，集合之间关系不能用表示， 所以A、C、D错，B对. 故选：B 9．（1）3；（2）16；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 10．(1) (2)8 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 11．（1）-1.8；（2）-3；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算； （3）根据指数幂的运算法则计算. 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 则， 所以 12．（1）（2）（3） 【分析】（1）转化为指数式，利用指数幂的运算即可求解； （2）将根式转化为分数指数幂，利用指数幂的运算即可求解； （3）利用求和，代入即可求解. 【详解】 （1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 13．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 14．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由奇函数的性质有，求解即可； （2）根据指数函数、分式型函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性判断区间零点个数，即可证. 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 由是奇函数，得 ， 解得； （2）函数，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增， 而，， 所以在上有唯一的零点. 【点睛】方法点睛：判断函数的零点的个数的方法， 1.解方程法，方程的实数根的个数就是函数的零点的个数． 2.借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． 3.如果函数图象易画出（比如一次函数，二次函数，指、对、幂函数），则可依据图象与轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如的函数，可依据函数与的图象的交点的个数来判断函数零点的个数． 15．(1) (2)的图象关于直线对称 (3)在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）根据函数解析式中分母不为零可得定义域，利用基本不等式可得值域； （2）根据可判断函数的对称性； （3）先换元，判断的单调性，结合复合函数单调性的判断方法可得答案. 【详解】（1）因为，所以定义域为，令，， 则，当且仅当时，即时，等号成立； 又，所以值域为. （2）因为，所以的图象关于直线对称． （3）令，则， 设，由对勾函数的性质可得时，单调递减，时，单调递增， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减. 16．(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出的导数，再解不等式即得. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等式并求解即可. （3）在（2）中取可得，再赋值并作近似计算推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 求导得， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）依题意，，， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，即， 令，有，而， ， 则，两边取对数得，所以. 17．(1)偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义判断函数即可； （2）分类讨论和两种情况即可证明. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 因为，因为，解得， 定义域为，关于原点对称， ， 故，所以为偶函数； （2）当时，，所以，则， 所以 当时，，得， 所以，则， 所以； 综上，. 18．(1) (2) 【分析】（1）设，由为奇函数可得，解方程求即可， （2）由条件化简可得存在，使得成立，故，其中，结合指数函数的单调性求函数的最小值，由此可得结论. 【详解】（1）设， 因为，，， 所以，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又， 所以 （2）因为，所以， 所以不等式，可化为， 所以，所以， 由已知存在，使得成立， 所以，其中， 因为函数在上单调递减， 所以函数在的最小值为， 所以， 所以的取值范围为． 19．(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可证明； （2）（ⅰ）首先求的取值范围，再讨论的取值，求函数的最小值；（ⅱ）不等式转化为，结合（ⅰ）的结论，求函数的最小值，即可求解不等式. 【详解】（1）时，，定义域为，且， 所以函数是偶函数； （2）（ⅰ）当时，， 当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以， 的对称轴是， 当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是 当时，即，函数的最小值是，的最小值是， 综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ）由题意可知，， ，，设，则， 函数的最小值是， 由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立， 当时，的最小值是，则 则，，则， 综上可知， 20．(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在上递增， 则在上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 21．(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据对数型函数的单调性，给合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以有 ， 当时，， 此时函数定义域为，不关于原点对称，不符合题意； 当时，，由， ， 所以是奇函数，符合题意，即； （2）由（1）可知， 函数在时，单调递增， 根据函数单调性的性质可知函数在时，单调递增， 当， 由， 因为在时，单调递增， 所以有， 所以关于的不等式的解集为. 22．(1)或. (2) 【分析】（1）利用对数运算将方程进行化简，然后将视作为整体，解方程即可； （2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围. 【详解】（1）时，， ， 方程，即，化简得， 所以或，解得或. （2）， ①当时，函数在上单调递减， 故，解得：，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得：， 综上可得的取值范围为. 23．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由对数函数的定义域求解即可； （2）分别求出和的解析式即可证明结论； （3）求出，结合对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）由,解得， 的定义域是. （2）， ， 的图象关于直线对称. （3）， 则需满足，且， 解得， 的取值范围是. 24．（1）的单调增区间为，单调减区间为； （2）证明见解析，； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，令，结合二次函数的单调性以及对数函数的单调性，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得函数的单调性，然后结合零点存在定理代入计算可得，从而得到结果； （3）由韦达定理可得，将式子平方，然后结合两角的平方关系可得，再由正弦函数的单调性即可证明. 【详解】（1）由对数函数性质可得的定义域为，令， 即可化为， 由二次函数性质可得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质可得在上单调递增， 令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 综上，的单调增区间为，单调减区间为. （2）令， 任取，且， 则 ， 当时，，则， 即，所以，即函数在上单调递减， 当时，，则， 即，所以，即函数在上单调递增， 令， 结合（1）的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 而， ， 则，由零点存在定理可得，存在为的零点， 而， 则，由零点存在定理可得，存在为的零点， 故一定存在两个零点，得到， 而 ， 得到，故， 结合得到， 而，则，结合， 故和都在同一单调区间内，即，解得. （3）证明：， 又在上有两个零点，. 令，则为方程的两根， 易得，所以， 两边平方可得， 因为，所以， 所以， 由，可得，所以， 则，即， 因为在上单调递减，所以，即. 25．(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由对数函数的单调性得到，求解即可； （2）讨论，，结合函数单调性构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为在上为单调函数，且在上的最大值与最小值之差为1， 所以， 解得或. （2）当时，是上的减函数， 所以，即， 故原不等式的解集为； 当时，是上的增函数， 所以，即， 故原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 26．(1)是偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得解得， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数． （2）， ①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减， 所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减， 所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 27．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相关点法代入计算可得结果； （2）将式子转化为，根据对数函数的单调性进行判断即可； （3）利用换元，结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）令，由点在函数的图象上， 所以，所以 所以. （2）由题可知：，则， 所以，即 所以.. （3）， 设，令，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为. 28．(1)； (2)，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据指对数关系有，再应用单调性定义判断的单调性，即可得最大值； （2）由题设有、，两式相加即可求，再应用指数的运算性质、基本不等式证明不等关系； （3）根据对数函数的单调性确定在上单调递增，应用零点存在性定理及指对数大小确定零点的唯一性且，进而判断的区间函数值符号，即可证不等式. 【详解】（1）由题设，则， 令，则，，故， 所以在上单调递增，故其最大值为； （2）由题设，又，分别为奇函数、偶函数， 所以，故， 所以， 故， 由，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，得证； （3）由题设且，显然在上单调递增， ，而，，所以， ，而，，所以， 综上，仅有1个零点，即为， 由，显然，， 故，即， 综上，仅有1个零点，且. 29．(1) (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式求出m的值，结合函数为偶函数，即可求得答案. （2）将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合换元法以及二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）是幂函数，故， 解得或2， 当时，，其定义域为，且， 即函数为奇函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知， 则，， 函数有两个不同的零点， 即的图象与直线在时有两个不同的交点， 令，，令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， ， 故要使得的图象与直线在时有两个不同的交点， 需满足， 即. 30．(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 31．(1) (2) (3)2 【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出的值； （2）根据的单调性解不等式即可； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 32．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解； （2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数； （3）利用函数的单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域. 【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的解析式为； （2）由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； （3）由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $