第1章 特殊的平行四边形 证明与计算综合能力达标练习　2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第1章   特殊的平行四边形

证明与计算综合能力达标练习

 

1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四边形ABCD的面积．

 

 

 

 

 

2．如图，△ABC是等边三角形，BC＝6，D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．

（1）求证：BD＝CE；

（2）填空：①当BE的长为　   　 时，四边形ADEF为菱形；

②当BE的长为　      　 时，四边形ADEF的面积为5．

 

 

 

 

 

3．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

 

 

 

 

4．如图，在矩形ABCD中AD＝12，AB＝9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC＝5．

（1）求BG的长度；

（2）求证：△BEG是直角三角形；

（3）求证：∠BGF＝∠DGF．

 

 

5．如图所示，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（1）求证：OP＝OQ；

（2）若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，BD⊥PQ．

 

6．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）若AB＝12，F为AB的中点，OF+OB＝18，求PQ的长．

7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，BE＝DF．

（1）求证：AE＝AF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

 

8．如图，在矩形ABCD中，K为对角线BD上一点，过K点作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，过K点作GH∥AB，分别交AD、BC于G、H．

（1）证明：S四边形AEKG＝S四边形KHCF；

（2）若四边形AEKG是正方形，且BK＝5，KD＝12，求四边形KHCF的面积．

 

 

9．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）若BC＝4，求AG的长；

（2）连接BF，求证：AB＝FB．