专题01 菱形的性质与判定（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01菱形的性质与判定（期中真题汇编） 5大高频考点概览 考点01利用菱形的性质求线段长 考点02利用菱形的性质求面积 考点03利用菱形的性质证明 考点04证明四边形是菱形 考点05菱形的性质与判定综合应用 目目 考点01 利用菱形的性质求线段长 一、单选题 1.(2425九上山东济南期中)如图，0是坐标原点，菱形AB0C的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐 标为3,4)，则顶点A的坐标为() B A.（-42 B.（-5,4 C.（-2,4) D.（-4,5 2.(24-25九上·山东青岛期中)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2LABC,AC=4cm,则BD的长为() A C A.2cm B.2v3cm C.4cm D.4√3cm 3.(24-25九上山东青岛期中)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠A=60°，则对角线BD的长为() D B A.5 B.6 C.35 D.65 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上·山东聊城期中)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为AD边的中点， 菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于() A.4.5 B.5 C.6 D.9 二、填空题 5.(2425九上·山东枣庄滕州滕州育才中学期中如图，己知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若 AC=6,BD=2√3，则∠DAB的度数是 D 0 6.(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学期中如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=8,E是BC边 上一点，且BE=2,F是BD上一动点，连接EF、CF,则EF+CF的最小值为 D B 目目 考点02 利用菱形的性质求面积 一、单选题 1.(2425九上山东菏泽期中)菱形ABCD的对角线长分别为5和8，它的面积为() A.20 B.22 C.24 D.26 2.(23-24九上·辽宁辽阳第一中学协作体·调研)菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为() A.6 B.24 C.36 D.48 3.(24-25九上山东济宁期中)如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点0，AC=16,BD=12,则菱形的 面积为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.48 B.96 C.24 D.6 4.(21-22八下·山东济南莱芜区莱芜区莲河学校期中)已知菱形ABCD的面积为96cm2，,对角线AC的长为 16cm,则此菱形的边长为() A.20cm B.14cm C.3√2cm D.10cm 二、填空题 5.(24-25九上·山东威海期中)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将 菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 D B 三、解答题 6.(2425九上·山东枣庄期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF‖BC 交DE的延长线于F点，连接AD、CF,过D作DGLCF于点G. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ (3)在(2)的条件下，若AB=6,BC=10,求DG的长. B 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 利用菱形的性质证明 一、单选题 1.(2425九上·山东济南天桥区·期中下列说法中，正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.菱形的对角线相等且互相平分 D.菱形的对角线互相垂直且平分 2.(2425九上·山东淄博·期中)如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD,AC,BD相 交于点O.下列结论不一定成立的是() A.AB=AD B.AC=AD C.AC⊥BD D.0A=0C 3.(24-25九上山东青岛城阳区·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E,F分别是 OB,OD的中点，下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠BAE=∠DCF;③LDAF=∠FAO;④ S菱形ABcD=EF·AC,其中正确结论的个数是() D B A.1 B.2 C.3 D.4 二、解答题 4.(2425九上·山东青岛期中)如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，CE,BA的延长线交于点F,连 接AC,DF· 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AF=CD; (②)连接BD,请判断BD与DF的位置关系，并说明理由； (3)当菱形ABCD满足时，四边形ACDF是菱形. 5.(24-25九上·山东青岛·期中)借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质.深 入探究会发现四边形还有很多神奇之处 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那 么称这个点为四边形的“分角点”. B 图① 图② 【理解发现】 (1)如图①，由定义可知， :P为四边形ABCD的分角点，∠1=∠2， (2)如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ (3)一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 (1)请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形EFMN的一个分角点： 作法 图形 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.连接EM. 2.以EM所在的直线为对称轴，作点N的对称点N'. E 3.作射线FN',交EM于点P. P为四边形EFMN的一个分角点. (2)如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点T. 目目 考点04 证明四边形是菱形 一、单选题 1.(2425九上·山东济宁期中)如图，在∠A的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧， 与∠A的两边分别交于点B,D;②分别以点B,D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C;③分别连 接DC,BC.可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是() B A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2.(24-25九上·山东济南期中在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点，EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为() A.互相垂直平分 B.互相平分且相等 C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等 二、解答题 3.(2425九上山东青岛北区·期中)如图，己知：线段Q和∠1，求作：菱形ABCD,使对角线AC=a, ∠BAD=∠1. / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a L 4.(2425九上·山东青岛城阳区·期中)已知：ABC.求作：菱形DBEF,使点D为AB的中点，点E在BC 边上. B 5.(2425九上·山东青岛第五十九中学·期中)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图， ABC是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点A为菱形的一个顶点，一组邻边分 别在BA、AC上，另一个顶点在BC上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形. B 结论： 6.(2425九上·山东临沂沂南县·期中)某校九年级数学学习小组在探究学习的过程中，用两块完全相同的且 含60°角（∠ABC=∠AFE=60°）的直角三角板ABC与AFE按图①所示的方式放置.现将Rt△AEF绕直角顶 点A按逆时针方向旋转∠(0°<<90°)，如图②，AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交 于点P. B M ① ② (I)求证：AM=AN; (2)当旋转角∠α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？说明理由. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25九上·山东青岛第二十六中学期中如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，请用直尺（不带刻度） 和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）. A B 求作：菱形ADCE,使菱形的顶点D落在BC边上. 8.(24-25九上·山东青岛第二十六中学期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点， 过点O的直线分别交边BC,AD于点E,F,连接AE,CF. (I)求证：BE=DF; (2)作∠AEB的平分线交AB于点G,若EG∥AC,求证：四边形AECF是菱形 9.(2425九上·山东青岛即墨区·期中)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 己知：四边形ABCD,AD∥BC. 求作：菱形BEDF,且点E在边AD上，点F在边BC上 D 目目 考点05 菱形的性质与判定综合应用 一、单选题 1.(24-25九上·山东淄博期中)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M,N,再分 别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°，则∠MBN=() / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 米B A.40° B.50° C.60° D.140° 2.(24-25九上山东济南期中)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN;②以点A为圆心，1个 单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两 弧交于点C;④连接BC,CD,BD.若∠A=44°，则LCBD的大小是() M B D N A.64° B.66° C.68° D.70° 3.(2425九上·山东青岛即墨区·期中)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测 得A,C之间的距离为3，B,D之间的距离为4，则线段AB的长为() B C A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 二、填空题 4.(23-24九上·山东淄博·期中)我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和 谐三角形，例如：某三角形三边长分别是，3,2，因为V⑤+32=12=3×22，所以这个三角形是和谐三 角形.在平行四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,AB=√5，且△ABD是和谐三角形，则该平行四边形 ABCD的面积为·（温馨提示：√ax√b=√ab,a≥0，b≥0） 三、解答题 / 学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25九上·山东东营期中)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,连接BE. (I)求证：四边形0CED是菱形： (②)若∠A0B=60,AB=2,求△EBC的面积. 6.(24-25九上·山东济宁.期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=2CD,E为对角线AC的 中点，F为边BC的中点，连接DE,EF. D B (I)求证：四边形CDEF为菱形； (2)连接DF交EC于G,若DF=6,CD=5,求四边形CDEF的面积. 7.(2425九上山东潍坊期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=AD,对角线AC,BD交于点 O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE. D (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=V5,BD=2,求OE的长； (3)在(2)的条件下，已知点M是线段AC上一点，且DM=√2，则CM的长为一 / 专题01 菱形的性质与判定（期中真题汇编） 5大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质求线段长 考点02 利用菱形的性质求面积 考点03 利用菱形的性质证明 考点04 证明四边形是菱形 考点05 菱形的性质与判定综合应用 地 城 考点01 利用菱形的性质求线段长 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南·期中)如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 2．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，设交于点，根据菱形的性质，得到，根据，得到，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，，，则对角线的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．判断是等边三角形，即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 故选: 4．(24-25九上·山东聊城·期中)如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（    ） A． B．5 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．先求出的长，再根据中位线定理即可求出答案． 【详解】解：菱形的周长为36， ， 为中点，H为边的中点， 时的中位线， ， 故选A． 二、填空题 5．(24-25九上·山东枣庄滕州滕州育才中学·期中)如图，已知菱形的对角线，相交于点若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由菱形的对角线互相垂直且平分得到，再由勾股定理得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)如图，菱形中，，，是边上一点，且，是上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．在取一点，使，连接，推出的最小值为的长，再过点作于点，股定理求出的长即可解决问题 【详解】解：如图，在取一点，使，连接， 四边形是菱形， 点与点关于对角线所在直线对称， 的最小值为的长， 过点作于点， 在中， 由勾股定理，得， 的最小值为． 故答案为：． 地 城 考点02 利用菱形的性质求面积 一、单选题 1．(24-25九上·山东菏泽·期中)菱形的对角线长分别为和，它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，进行解答． 【详解】解：菱形的对角线长分别为和， ∴菱形的面积为：． 故选：A． 2．(23-24九上·辽宁辽阳第一中学协作体·调研)菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了求菱形面积，熟知菱形面积计算公式是解题的关键． 根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴该菱形的面积为． 故选B． 3．(24-25九上·山东济宁·期中)如图，菱形对角线与交于点，，则菱形的面积为（     ） A．48 B．96 C．24 D．6 【答案】B 【分析】本题考查利用菱形性质计算菱形面积：对角线乘积的一半；直接根据菱形面积公式计算即可． 【详解】解：菱形对角线与交于点，， 菱形面积为， 故选：B． 4．(21-22八下·山东济南莱芜区莱芜区莲河学校·期中)已知菱形ABCD的面积为96，对角线AC的长为16，则此菱形的边长为（   ） A．20 B．14 C． D．10 【答案】D 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质可得、，再根据菱形的性质求得BD的长，进而得到OB，最后根据勾股定理即可求得AB的长． 【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积为其对角线积的一半是解答本题的关键． 二、填空题 5．(24-25九上·山东威海·期中)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 . 【答案】24； 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为12和8， ∴菱形ABCD的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形， ∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为24． 【点睛】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 三、解答题 6．(24-25九上·山东枣庄·期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ （3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明，可得，根据已知条件即可求证四边形ADCF是平行四边形； （2）根据菱形的性质，可得，结合已知条件证明是平行四边形，则，进而可得，即可知是直角三角形； （3）根据菱形的面积及勾股定理即可求得． 【详解】（1）点E是边AC的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 四边形ADCF是平行四边形； （2）点D是边BC的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当四边形ADCF是菱形时， ， ， 是直角三角形， （3）是直角三角形，AB＝6，BC＝10， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形ADCF是菱形， 菱形，， DG⊥CF， 菱形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键． 地 城 考点03 利用菱形的性质证明 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南天桥区·期中)下列说法中，正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定以及性质等知识．根据平行四边形的判定以及菱形的判定以及性质一一判定即可得出答案． 【详解】解：．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分，原说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．(24-25九上·山东淄博·期中)如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是根据题设条件推出四边形是菱形． 设两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形ABCD是平行四边形，再由，进而得到四边形是菱形，然后再根据菱形的相关性质来判断各选项即可． 【详解】设两张等宽的纸条的宽为h，交叠放在一起，则有 ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴四边形是菱形． ∴，． 故选项A、C、D均成立． 不一定成立，只有两张纸条垂直叠放时，,四边形变成正方形才成立． 故选：B． 3．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 二、解答题 4．(24-25九上·山东青岛·期中)如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由∶如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵．． ∴四边形是菱形 故答案为∶． 5．(24-25九上·山东青岛·期中)借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2）如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． 【答案】理解发现∶（1）；（2）分角点在四边形的对角线上，理由见解析；（3）菱形有无数个分角点；尝试思考：（1）见解析；（2）见解析． 【分析】理解发现： （1）根据定义得出结果 （2）可证明，从而得出结果； （3）根据姜形的对称性得出结论， 理解发现： （1）根据题干做给作法作出图形即可； （2）根据（1）找出点关于的对称点，作射线，交于点即可． 【详解】解：理解发现∶ （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴， 故答案为∶； （2）分角点在四边形的对角线上，理由如下∶ 如图①，，， ∴ ∴点，，共线， ∴分角点在四边形的对角线上； （3）如图1， 菱形有无数个分角点，理由如下∶ ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴ ∴．即． ∴点是四边形的分角点， ∵为上任意一点， ∴菱形有无数个分角点， 尝试思考： （1）如图 （2）如图3， 找出点关于的对称点，作射线，交于点，则点就是求作的图形． 【点睛】考查了尺规作垂线，等腰三角形的性质，轴对称的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是理解题意，转化条件． 地 城 考点04 证明四边形是菱形 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁·期中)如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（    ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知， 则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选：A． 2．(24-25九上·山东济南·期中)在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 二、解答题 3．(24-25九上·山东青岛北区·期中)如图，已知：线段和．求作：菱形，使对角线，． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定与作图，先画作一个角，再作的角平分线与以为圆心长度为半径的弧交于点，再作的垂直平分线与的两边分别交于，，连接四边形，则四边形为菱形． 【详解】解：如图，菱形即为所求，使对角线，． 4．(24-25九上·山东青岛城阳区·期中)已知：．求作：菱形，使点为的中点，点在边上． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—作线段，作图—线段垂直平分线，菱形的判定，熟练掌握基本作图方法和菱形的判定定理是解题关键．作线段的垂直平分线，与的交点即为点D．再在线段上作线段，最后分别以D，E为圆心，长为半径画弧，两弧交点即为点F，再连接和即可． 【详解】解：如图，菱形即为所作． 5．(24-25九上·山东青岛第五十九中学·期中)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点为菱形的一个顶点，一组邻边分别在上，另一个顶点在上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形． 结论： 【答案】作图见解析． 【分析】首先作的平分线交于点，再作的垂直平分线分别交于点，则有，，，即，再证明，由全等三角形的性质可得，最后由菱形的判定方法即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线交于点； 作的垂直平分线分别交于点； ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．(24-25九上·山东临沂沂南县·期中)某校九年级数学学习小组在探究学习的过程中，用两块完全相同的且含角（）的直角三角板与按图①所示的方式放置．现将绕直角顶点按逆时针方向旋转，如图②，与交于点，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)当旋转角时，四边形是什么样的特殊四边形？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，难度较低． （1）利用证明即可得证； （2）当旋转角时，可证明，，得到四边形为平行四边形，又，从而四边形为菱形． 【详解】（1）解：由旋转可知， 又由已知可得，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）四边形是菱形，理由如下： 当旋转角时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 则，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 7．(24-25九上·山东青岛第二十六中学·期中)如图，已知中，，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，菱形的判定．作的垂直平分线交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，即可． 【详解】解：如图，菱形即为所求；      理由：根据作法得：垂直平分，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 8．(24-25九上·山东青岛第二十六中学·期中)如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，． (1)求证：； (2)作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，利用线段中点的性质得到，证明，得到，利用等量的和差关系即可证明； （2）由（1）可得，四边形是平行四边形，利用角平分线性质得到，利用平行线的性质得到，，利用等量代换和等腰三角形性质得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 是对角线的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形性质和判定，线段中点的性质，全等三角形性质和判定，角平分线的定义，平行线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 9．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形，． 求作：菱形，且点E在边上，点F在边上． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，四边形即为所求． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 地 城 考点05 菱形的性质与判定综合应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东淄博·期中)如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·山东济南·期中)小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作于R，于S，连接交于点O， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴． 故选：A． 二、填空题 4．(23-24九上·山东淄博·期中)我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角形三边长分别是，3，2，因为，所以这个三角形是和谐三角形．在平行四边形中，于点O，，且是和谐三角形，则该平行四边形的面积为 ．（温馨提示：，，） 【答案】或3 【分析】本题考查了新定义，菱形的判定及性质，勾股定理，理解新定义，掌握性质，能根据“和谐三角形”中不同的第三边进行分类讨论是解题的关键． 由菱形的判定方法得四边形是菱形，①为第三边时，由新定义得，再由菱形的性质得，由勾股定理得，由菱形的面积得，即可求解；②（或）为第三边时，同理可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ； ①如图，为第三边时， 是和谐三角形， ， 解得：； ， ； ， ； ②如图，（或）为第三边时， 是和谐三角形， ， 解得：； ， ； ， ； 综上所述：该平行四边形的面积为或3． 故答案：或3． 三、解答题 5．(24-25九上·山东东营·期中)如图，矩形的对角线相交于点，，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质． （1）根据菱形的判定证明即可； （2）作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是菱形； （2）解：∵， 在菱形中， ∴均为等边三角形， ∴， 如图，作交延长线于点， ∵， ∴， ∴，    ∴△EBC的面积 6．(24-25九上·山东济宁·期中)如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，．      (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为24． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，，可得，，由菱形的判定可得结论； （2）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，得到的长后，根据菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵为对角线的中点，为边的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，连接与交于点，      ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， 在中，， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 7．(24-25九上·山东潍坊·期中)如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为_______． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)或 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理； （1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再结合图形即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ， 为的平分线， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图， 在（2）的条件下，， ∵， ∴， ∴或 故答案为：或． / 学科网（北京）股份有限公司 $