精品解析：湖北省武汉市部分学校2025-2026学年高三上学期九月调研考试数学试卷

2025~2026学年度 武汉市部分学校高三年级九月调研考试 数学试卷 武汉市教育科学研究院命制 2025.9.10 本试题卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 4. 正方形ABCD边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是奇函数，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 将4个不同小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 7. 已知内角A，B，C满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8. 设椭圆E：左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面向量，满足，，，则______． 13. 已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则______． 14. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． （1）证明：平面； （2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，，，． （1）求角A的大小； （2）求； （3）若线段AB上点D满足，求CD的长． 18. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线l过点T，求的面积； （3）若直线平分，求直线l的斜率． 19. 已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和． （1）求实数k的取值范围； （2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值； （3）若函数有三个零点，，，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度 武汉市部分学校高三年级九月调研考试 数学试卷 武汉市教育科学研究院命制 2025.9.10 本试题卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助一元二次不等式解法得到两集合后利用交集定义即可得. 【详解】，解得或， 即， ，解得， 即， 则. 故选：C. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】由， 得， 故选：A 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算即可. 【详解】令，所以. 故选：D 4. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面几何知识可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求解. 【详解】作出示意图如图所示： 第一个正方形是，记为， 由平面几何知识可得第二个正方形的边长为， 所以正方形的面积为，记为， 依次类推可得第三个正方形的面积为，记为， 可得第个正方形的面积为， 所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列， 所以前11个正方形的面积和为. 故选：D 5. 若函数是奇函数，则实数（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】的定义域为, 由于为奇函数，故，解得， 当时，， 故符合题意， 故选：B 6. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 7 已知内角A，B，C满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为，把转化为，把转化为，利用两角和的正余弦公式展开整理，再进行弦切互化，结合两角和的正切公式求解即可. 【详解】在中，, 故有， ， 又， ，两边同除以， 可得; , ， 可得 根据两角和的正切公式可得 因为在中，， 故， 则， 故选：. 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性质对选项进行逐一判断. 【详解】由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期， 即， 由周期公式， 所以，选项A正确； 因为图象经过点，代入函数得：， 由正弦函数性质可知时，， 所以， 因为，所以， ， 因为，故B错误； 因为是中心对称函数，对称中心为，， 若函数图象关于点对称，则. 代入计算：， 所以图象关于点对称，故C正确； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则， 由正弦函数性质可知在上单调递增， 令，解得， 区间位于增区间内，故在区间内是增函数，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面向量，满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对两边平方可得，再计算从而可得结果. 【详解】由，两边平方可得，解得， 则，. 故答案为：. 13. 已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求出的关系，结合等差数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知等差数列的公差，，，构成等比数列， 则，即， 即得，则， 故， 故答案为： 14. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由2×2列联表直接求解即可 （2）首先求出名教师中经验丰富和经验不丰富教师的人数，然后根据超几何分布求出对应的概率并列出分布列，最后根据期望公式求出期望. 【小问1详解】 零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关， 由题意， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关. 【小问2详解】 由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人， 则可取的值有， ，， ，，， 的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以. 16. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． （1）证明：平面； （2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 由中位线可得：， 又，由， 所以， 所以， 即四边形为平行四边形， 所以， 又不在平面内，在平面内， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，都在平面内， 又， 所以可得：两两垂直，如图建系： 则， ， 设平面的法向量为， 则， 设，可得， 所以， 设直线BC与平面所成角为， ， 即直线BC与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，，，． （1）求角A的大小； （2）求； （3）若线段AB上点D满足，求CD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件切化弦，结合正弦和角公式整理化简计算即可； （2）先利用余弦定理结合第一问计算，再利用余弦定理计算即可； （3）先由内角和及正弦和角公式计算，再利用正弦定理求边即可. 【小问1详解】 由， 即， 又， 所以， 在中，，所以，则； 【小问2详解】 由，，， 结合余弦定理可得， 所以，则； 【小问3详解】 易知， 所以 ， 由正弦定理得. 18. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线l过点T，求的面积； （3）若直线平分，求直线l的斜率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解出即可； （2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案； （3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3， 即，解得， 所以拋物线的标准方程为：． 【小问2详解】 点，设． 此时直线的斜率为，的方程可写为． 与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，，， 此时面积为． 【小问3详解】 设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：， 将其与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，. 由题意：． 又，所以． 又因为，， 代入化简得：． 即． 又，故． 即，解得：． 19. 已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和． （1）求实数k的取值范围； （2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值； （3）若函数有三个零点，，，其中，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知在区间和各有一个解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围； （2）应用导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，进而有，结合（1）得，利用导数求其最大值； （3）应用导数研究的区间单调性，得依次在区间、、上，设在点处的切线为且且，在点处的切线为且且，利用导数研究、的区间单调性，结合即，即可证. 【小问1详解】 令，若，则是一个零点，不是题设区间内的零点， 所以的两个根分别在区间和内， 故只需，所以； 【小问2详解】 ，结合（1）知， 所以曲线在点处的切线，， 令，则，而， 所以，故，而，且， 所以， 令，则，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为； 【小问3详解】 记的导函数为，有显然在上单调递增， 又，时，存在，使， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又，或时， 所以，存在，，使， 当或时，，在、上单调递增， 当时，，在上单调递减， 结合题设，依次在区间、、上， 设在点处的切线为， 设且，则， 记的导函数为，则，故在上单调递减， 又，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 若与直线的交点横坐标为，则， 由，则的斜率，故， 同理，设在点处的切线为， 设且，则， 记的导函数为，则，故在上单调递增， 又，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 若与直线的交点横坐标为，则， 由，是方程的根，满足和，则的斜率，故， 综上，， 由，，，则， 所以，则，故，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $