精品解析：湖北省武汉市江岸区2024-2025学年高三上学期11月调考数学试卷

2024～2025学年度高三十一月 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 若向量，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（ ） A. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的第75百分位数为4.9 B. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4 C. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7 D 从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势 10. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 11. 已知点是左、右焦点为，椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 4 5 25 38 18 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为0.1，则___________. 13. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为________． 14. 1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，，. （1）求和的值； （2）求三角形边的中线长. 16. 已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求抛物线和双曲线标准方程； （2）已知动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程． 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度高三十一月 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得. 【详解】由题意，因为，所以， 故选：B. 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及作差法可求得结果. 【详解】对于A：因为，利用不等式的性质得，故A错误； 对于B：根据不等式可加性可知：，则，故B错误； 对于C：作差可得，因为，所以，则，故C正确； 对于D：，则，根据不等式可加性可知：，故D错误. 故选：C. 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果. 【详解】设设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以，解得. 故选：B. 5. 若向量，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得∥，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】解：由，，三点共线， 得∥， 得，解得. 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，利用诱导公式结合倍角公式求，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可得， 则， ， 所以， 故选：A. 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断，在上单调递增，且，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得，，上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求出范围. 【详解】如图所示： 设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得 ， ，即 ，即 ， 由可知，令，， 所以，故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（ ） A. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的第75百分位数为4.9 B. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4 C. 从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7 D. 从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图中数据，将其从小到大一排列，即可逐一求解. 【详解】由图可知：10年游客出游花费从小到大排列为2，2.2，2.9，3，3.4，3.9，4.6，4.9，5.1，5.7，故，故第75百分位数为第八个数4.9，A正确， 中位数为，故B错误， 极差为，C错误， 由折线图可知从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势，D正确， 故选:AD 10. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和． 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 11. 已知点是左、右焦点为，椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 4 5 25 38 18 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为0.1，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据频率分布表的频率估计概率，进而得解. 【详解】由表可知，最高气温低于的频率为：， 所以月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为. 故答案为：. 13. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为________． 【答案】. 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出直线斜率，点斜式求出直线方程即可. 【详解】设直线的倾斜角为，由题意知， 则， 所以， 又直线过点， 所以直线方程为， 即直线方程为. 故答案为： 14. 1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，设，利用导数求最值. 【详解】由题意，知，即． 因为，所以在上有解，只需． 设，对函数求导， 得， 所以函数在上单调递增，所以，所以． 故答案为：． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，，. （1）求和的值； （2）求三角形边的中线长. 【答案】（1）=，=；（2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形三条边的长度大小可知角为锐角，由已知条件求出角的余弦值，再由余弦定理求出，正弦定理求出. （2）由中线为边中，用余弦定理即可求出. 【详解】（1）在中，由已知可得，故由，可得. 由已知及余弦定理，有，所以， 由正弦定理，得， 所以，的值为，的值为. （2）设边的中点为，在中，，由余弦定理得： . 16. 已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求抛物线和双曲线标准方程； （2）已知动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程． 【答案】（1）， （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）由焦点在轴上，可设出抛物线和双曲线的标准方程，将代入科的抛物线方程，求出焦点坐标，进而可得到双曲线的方程； （2）与圆知识相结合，注意特殊三角形的应用. 【小问1详解】 由已知，可设抛物线的方程为， 双曲线的标准方程为 把点代入抛物线方程，求得， 抛物线的方程为，焦点坐标为． 则对于双曲线，右焦点坐标为，则另一个焦点坐标为，故， 又在双曲线上，根据双曲线的定义知， ， ，，． 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可得，的中点为，的方程为，以线段为直径的圆交l于、两个点，的中点为，则. 设，则，，，， 则，， 因为，为直角三角形，且， 所以，， 显然，当时，为定值. 所以，弦长为为定值． 故存在垂直于轴的直线（即直线），被圆截得的弦长为定值， 直线的方程为． 【点睛】本题中在求圆的弦长时，利用圆中的特殊直角三角形，通过勾股定理得到半弦长，进而得到弦长. 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明； （2）由已知可知，为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为侧面是平行四边形， 所以为的中点，又因为点为线段的中点， 所以， 因为面，面， 所以面. 【小问2详解】 连接，，因为，， 所以为等边三角形，， 因为点为线段的中点， 所以， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以底面， 过点在底面内作，如图以为坐标原点，分布以，，方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 又因为平面的法向量为， 则， 经观察，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【小问1详解】 当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. 【小问3详解】 由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【小问1详解】 因为，所以的互生向量. 【小问2详解】 由题意可得，所以， 令，解得， 因，所以， 所以函数在上的严格增区间为. 【小问3详解】 由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$