专题01 集合与逻辑（期中复习讲义）（必备知识+5大题型+分层检测）高一数学上学期沪教版必修第一册

该高中数学讲义围绕集合与逻辑构建系统知识体系，通过表格梳理核心考点、关系图示呈现集合间包含与运算规律、思维导图串联命题与充要条件的逻辑链条，清晰展现从概念理解到方法应用的递进路径，突出元素互异性、子集个数、补集边界处理等高频易错点，强化知识间的内在联系。 讲义亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如题型一中通过典例1引导学生关注集合元素的互异性，培养抽象能力和推理意识，又在反证法专题中用典例3训练学生从否定结论出发推导矛盾，提升逻辑思维品质。每类题型均配备解题技巧口诀和典型变式，兼顾基础巩固与能力拔高，既支持学生自主复习时查漏补缺，也助力教师精准定位学情，实现分层教学与高效备考。

专题01 集合与逻辑（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的基本概念 1.清晰理解集合的核心概念，包括集合的定义、元素的三大特性（确定性、互异性、无序性） 2.能准确判断给定对象是否构成集合，以及辨析元素与集合的 “属于（∈）” 关系、集合与集合的 “包含（⊆）”“真包含（⊂）” 关系。 1.高频易错点集合中元素的三大特征，常出现在小题。容易忽视集合中元素的互异性致错； 2.常考元素与集合、集合与集合的关系：集合与集合的子集、真子集关系，根据集合间关系求参数等。 集合的基本运算 全面掌握集合的运算规则，能通过公式或 Venn 图计算。 必考题常与不等式解集等结合考查。 命题充要条件的判断 准确判断命题真假；精准理解充分条件、必要条件、充要条件的定义并熟练掌握判段方法。 必考小题。命题常考选择题；充要条件常考填空题。 反证法 理解反证法的逻辑依据；熟练掌握反证法的完整步骤。 上海特色常考题常以证明的形式考查。 知识点01 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可。 ·示例： 例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2） 互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素． ·示例： 例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3） 无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序． ·示例： 例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． ·易错点：集合中元素的互异性是最易忽略的性质，尤其在含参数的集合问题中，常因未检验参数是否导 致元素重复而丢分。 知识点02 集合的分类与表示方法 1.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 2.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为 （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ·示例： ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 知识点03 集合之间的关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 4.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 5.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 6．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点04 集合的运算 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 3.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 4.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 5．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 6．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A ·易错点： 1.集合运算中 “边界值” 处理错误 集合运算（交集、并集、补集）常结合不等式（如区间形式），此时区间的端点（边界值）是否包含是关 键，容易因 “等号是否保留” 出错。 2.补集运算中 “全集” 范围混淆 补集是 “相对于全集的剩余部分”，若忽略 “全集的限定范围”，会导致补集求解错误。沪教版教材中，若无特殊说明，全集通常是实数集R，但在具体题目中可能限定为 “整数集”“正实数集” 等。 知识点05 命题 1. 定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. ·示例：例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点06 充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3.判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点07反证法 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 题型一 集合的基本概念与集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 (1)解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M， 则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 题型二 集合的基本运算 解｜题｜技｜巧 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解． (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解． 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C， 试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 题型三 充分条件与必要条件 解｜题｜技｜巧 充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【变式2】（23-24高一上·上海静安·期中）设陈述句，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 题型四 命题与反证法 解｜题｜技｜巧 反证法的核心是 “以退为进”：通过否定结论构造反设，利用逻辑推导暴露反设的矛盾，从而间接证明原命题。其解题关键在于： 精准否定结论（反设全面，不遗漏）； 严谨推导矛盾（仅用已知、公理、定理，不循环论证）； 明确矛盾类型（与条件、公理或反设冲突）。 对于直接证明困难的命题（否定性、存在性、唯一性等），反证法是 “破题利器”，需通过大量练习熟练掌握其流程与避坑技巧。 【典例1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【典例3】（22-23高一上·上海静安·期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【变式1】（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【变式3】（22-23高一上·上海黄浦·期中）证朋： (1)设a，b，，则的充要条件是． (2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数． 题型五 集合新定义 解｜题｜技｜巧 新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 解题流程口诀： “定义先翻译，关键词圈住；有限用列举，无限画数轴； 关系验充要，性质找特例； 避坑空集限，最后再验证。” 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 【变式3】（24-25高一上·上海金山·期中）已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期中）若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知为实数，全集.若，则 5．（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，则实数 . 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·上海·期中）下列命题中，真命题的数量为（    ） ①已知，则是偶数是是偶数的充要条件 ②如果，那么除以4的余数为0或1 ③如果，那么x与y同号或x，y至少有一个为0 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）“且”的否定形式是 . 4．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 5．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 三、解答题 6．（22-23高一上·上海长宁·期中）(1)已知集合，，求； (2)已知集合，，求． 7．（22-23高一上·上海松江·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 2．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合 . 4．（24-25高一上·上海·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 5．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 6．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 三、解答题 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的基本概念 1.清晰理解集合的核心概念，包括集合的定义、元素的三大特性（确定性、互异性、无序性） 2.能准确判断给定对象是否构成集合，以及辨析元素与集合的 “属于（∈）” 关系、集合与集合的 “包含（⊆）”“真包含（⊂）” 关系。 1.高频易错点集合中元素的三大特征，常出现在小题。容易忽视集合中元素的互异性致错； 2.常考元素与集合、集合与集合的关系：集合与集合的子集、真子集关系，根据集合间关系求参数等。 集合的基本运算 全面掌握集合的运算规则，能通过公式或 Venn 图计算。 必考题常与不等式解集等结合考查。 命题充要条件的判断 准确判断命题真假；精准理解充分条件、必要条件、充要条件的定义并熟练掌握判段方法。 必考小题。命题常考选择题；充要条件常考填空题。 反证法 理解反证法的逻辑依据；熟练掌握反证法的完整步骤。 上海特色常考题常以证明的形式考查。 知识点01 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可。 ·示例： 例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2） 互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素． ·示例： 例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3） 无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序． ·示例： 例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． ·易错点：集合中元素的互异性是最易忽略的性质，尤其在含参数的集合问题中，常因未检验参数是否导 致元素重复而丢分。 知识点02 集合的分类与表示方法 1.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 2.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为 （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ·示例： ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 知识点03 集合之间的关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 4.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 5.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 6．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点04 集合的运算 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 3.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 4.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 5．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 6．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A ·易错点： 1.集合运算中 “边界值” 处理错误 集合运算（交集、并集、补集）常结合不等式（如区间形式），此时区间的端点（边界值）是否包含是关 键，容易因 “等号是否保留” 出错。 2.补集运算中 “全集” 范围混淆 补集是 “相对于全集的剩余部分”，若忽略 “全集的限定范围”，会导致补集求解错误。沪教版教材中，若无特殊说明，全集通常是实数集R，但在具体题目中可能限定为 “整数集”“正实数集” 等。 知识点05 命题 1. 定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. ·示例：例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点06 充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3.判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点07反证法 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 题型一 集合的基本概念与集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 (1)解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M， 则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集） 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 题型二 集合的基本运算 解｜题｜技｜巧 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解． (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解． 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C， 试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【答案】 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 【变式1】（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为， 由题意可知，，则，即，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）解：因为，则， 若，对于方程， ，解得； 若中只有一个元素，则，解得，此时，，合乎题意； 若中有两个元素，则，无解. 综上所述，. 题型三 充分条件与必要条件 解｜题｜技｜巧 充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【详解】因为，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 【变式2】（23-24高一上·上海静安·期中）设陈述句，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】由是的真子集，即可解题. 【详解】由题可知，， 又是的真子集，所以是的必要非充分条件. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 题型四 命题与反证法 解｜题｜技｜巧 反证法的核心是 “以退为进”：通过否定结论构造反设，利用逻辑推导暴露反设的矛盾，从而间接证明原命题。其解题关键在于： 精准否定结论（反设全面，不遗漏）； 严谨推导矛盾（仅用已知、公理、定理，不循环论证）； 明确矛盾类型（与条件、公理或反设冲突）。 对于直接证明困难的命题（否定性、存在性、唯一性等），反证法是 “破题利器”，需通过大量练习熟练掌握其流程与避坑技巧。 【典例1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，非真子集，假命题. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【典例3】（22-23高一上·上海静安·期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 【变式1】（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【详解】（1）要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 【变式3】（22-23高一上·上海黄浦·期中）证朋： (1)设a，b，，则的充要条件是． (2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数． 【详解】（1）证明：充分性：若， 则，即， 所以，故充分性成立； 必要性：若， 则，即， 所以， 所以，故必要性成立， 所以的充要条件是； （2）证明：假设是有理数，则， 因为x是有理数， 所以， 所以， 因为，所以， 所以是有理数，与y是无理数矛盾， 所以假设错误， 所以x是有理数，y是无理数，则是无理数． 题型五 集合新定义 解｜题｜技｜巧 新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 解题流程口诀： “定义先翻译，关键词圈住；有限用列举，无限画数轴； 关系验充要，性质找特例； 避坑空集限，最后再验证。” 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 【答案】30 【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足， 可得 消去，并整理得， 所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，， 故这样的数对共30组． 故答案为：． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【详解】（1）对于集合，，，故为封闭集， 对于集合，，，故不是封闭集. （2）证明：非空集合是封闭集， 易得，假设是封闭集， 设，在中任取一个元素，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 同理当时，不是封闭集， 所以不是封闭集. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 【详解】（1）对于集合 ， 去掉1时, 根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉2时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉3时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 所以集合 }不是"求真集合"； （2）不妨设 ， 假设集合是“求真集合”，则满足去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等， 去掉，则只能有 ， 去掉, 则只能有， 这样上面两个等式就恒成立，即，这显然与相矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“求真集合”； （3）设集合所有元素之和为， 由去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数， 如果为奇数, 则也均为奇数， 由于, 所以为奇数， 如果为偶数, 则均为偶数， 此时设则也是"求真集合"， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的"求真集合"， 此时各项之和也为奇数, 则集合中元素个数为奇数， 而当为奇数时，例如集合 ，并不是求真集合. 综上所述,元素为正整数集合为求真集合”是“为奇数”充分不必要条件. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 【详解】（1）由题意,. （2）根据题意，中的元素的形式为，其中， 可将作为两个元素之间的差异或距离，为了简单起见，不妨将简化为一个由和排列而成的位数的形式； 当时，一共有个元素，根据集合的互异性，代入公式计算得到，即其特征值. 可列举为可以用各位数字相减的方式计算两个元素之间的距离. 当时，，即元素间的最小距离变为，可以通过添加或者的方式将四位数变为五位数， 此时可以给原本的距离为的两个元素分别添加不同的数字的方式保持集合中元素的数量不减少，并将最小距离变为. 故满足题意的集合中元素个数最大为. （3）由小问2可得，满足，且的集合中元素数量最大为16. 下面考虑，，与之前操作同理，通过增加一位数的方式为距离为的两元素之间的距离增加为， 以此类推，当，时，进行同样操作即可保证元素个数不减少. 又由可知，通过增加位数进行的操作不会使得元素之间距离变小， 即满足，的集合中元素在进行添加位数的操作之前必定满足，， 满足，的集合中的元素个数不会大于满足，的集合中元素的个数， 故满足，最大值为. 【变式3】（24-25高一上·上海金山·期中）已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 【详解】（1），则，故不满足定义， 不具有性质， ，，，，，，，满足要求， 故具有性质， 由于，，，故， 由于，，， ，，， 故. （2）依题意，集合的元素构成有序数对共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）集合具有性质， 对于，根据定义可知：，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素， 那么， 中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 综上，. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①，集合与集合的关系不能用“”，所以①错误. ②，的元素完全相同，所以，所以②正确. ③，空集是任何集合的子集，所以正确. ④，空集是没有元素，有一个元素，所以④错误. ⑤，中有个元素，有一个元素，所以⑤错误. ⑥，元素与集合的关系是属于或不属于，所以⑥错误. 所以正确的有个. 故选：B 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期中）若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 【答案】至少有两个钝角 【详解】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角． 故答案为：至少有两个钝角． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知为实数，全集.若，则 【答案】 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，则实数 . 【答案】 【详解】集合，且， ， 故答案为：． 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】由，得且，当时，显然，于是， 解得，，所以. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合    对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期中）下列命题中，真命题的数量为（    ） ①已知，则是偶数是是偶数的充要条件 ②如果，那么除以4的余数为0或1 ③如果，那么x与y同号或x，y至少有一个为0 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】命题①，由都是偶数或都是奇数，证明充要条件；命题②，分为偶数和为奇数，判断除以4的余数；命题③，由两边同时平方，得，即可判断；命题④，由交集并集的定义判断集合的包含关系. 【详解】命题①， 已知， 若是偶数，则都是偶数或都是奇数，有是偶数； 若是偶数，则都是偶数或都是奇数，有是偶数， 则是偶数是是偶数的充要条件，命题①是真命题； 命题②，时， 当为偶数，记作，，则，除以4的余数为0， 当为奇数，记作，，则，除以4的余数为1. 故命题②是真命题； 命题③，如果，则有，即， 所以，则有x与y同号或x，y至少有一个为0，命题③是真命题； 命题④，当时，有；当时，，此时， 则有，命题④是假命题. 所以真命题有3个. 故选：C. 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）“且”的否定形式是 . 【答案】或 【分析】根据命题的否定可得结果. 【详解】“且”的否定形式是：或. 故答案为：或. 4．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为 . 【答案】6 【分析】依题意，集合S中的元素，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可. 【详解】因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个. 故答案为：6. 5．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数. 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 三、解答题 6．（22-23高一上·上海长宁·期中）(1)已知集合，，求； (2)已知集合，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析出两集合为点集，则集合的交集为两个函数的交点，联立求出交点坐标即可. （2）两集合为数集，则集合的交集为两个函数值域的交集. 【详解】（1）集合均为点集，求其交集即是求函数与函数的交点坐标. 即 ，解得. 故. （2）集合均为数集，求其交集即是求函数与函数值域的交集. ， 故. 7．（22-23高一上·上海松江·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合已知条件，利用集合间的包含关系得到不等式组，进而得到答案；(2)分类讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，解得. 故实数的取值范围为. （2）由可知，或， ①当时，，即，满足题意； ②当时，则，即. 由可知，或，即或， 综上所述，实数的取值范围为. 8．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）代入根据并集含义即可； （2）根据真子集关系得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，； （2）由题意得是的真子集，则，解得， 所以实数取值范围组成的集合. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【详解】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与， 且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合， 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合， 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素，所以C不正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合 . 【答案】 【详解】由，且， 得到只可能，即或， 由知，当时，， 而，则，故舍去， 则，∴，且， ∴或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 【答案】 【详解】由已知集合的非空子集有个， 其中一元集有7个，，的和为， 记最大值与最小值的差为，的值分别为，其中是上面的一元集， 的集合有6个：中相邻两个元素构成的集合，，的和为， 的集合有个：如，之类的，，每个值对应两个集合，的和为， 的集合有个：如之类的， ，每个值对应4个集合，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 所以所求平均数为． 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 【答案】32 【详解】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以，2，3，4，5，6，7，8，9，， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：32 6．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 【答案】3 【详解】若集合的元素个数为3，则方程有三个不等实根, 则有, 所以方程一定有这一个根，且不是方程的根， 又，所以有两个不等于的根， 所以集合的元素个数也一定为3. 故答案为：3 三、解答题 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【详解】（1）不妨设， 记，，共13个数. 假设不存在满足条件的k， 则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6， 从而①， 又因为 ，这与①矛盾. 故假设不成立，结论成立. 即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解. （2）例如， 则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个， 即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. （3）先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $