河北省保定市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段考试（开学考）数学试题

尊河光保字首 一切为了学生的全面健康发展 保定一中2025-2026学年第一学期第一次阶段考试（开学考) 第九届数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试 卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的 1.已知角的终边经过点P(-12,5),则cosa=() A哥 B,品 c号 D-号 2.设命题p:任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是() A.3x∈R,x2≥0 B.VxE R,x2<0 C.3x∈R,x2<0 D.3x∈R,2>0 3.已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为、) A君 B c D. 4.已知函数f(x)=lnx+2x-5的零点xo∈（化，k+1),则整数k的值为(） A.0 B.1 C.2 D.3 5.函数f)=产的图象的大致形状是（、 名六 第1页共4页 德河共保字 一切为了学生的全面健康发展 6.“不等式2x2-x-m>0在x∈R上恒成江”的一个必要不充分条件的是() Am≤-i Bm<-日 C.m<- D.-<m<-日 7.己知8e(（-,),且sin8+cos6=子，则sin9-cos8=() A受 B.、4 c. 3 3 D._VI0 3 8.已知函数f(x)=ln(Vx241-x)儿，若a=f(log32),b=fln2),c=f(0.7-.2), 则a、b、c之间的大小关系是() A.b<c<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 二、多选题：本题共3小题，共18分. 9.已知a、b、c、d是实数，则下列说法一定正确的有() Aa2+b2≥2(a+b)2 3.a+日22 C若>台则a<b D.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd 10.已知函数f(x)=sinx+cosx+sinx-cosx,则() A.f(x)的图象关于点(，O)对称 B.f(x)的最小正周期为2π C.f(x)的最小值为-2 D.f(x)=√3在[0,2π]上有四个不同的实数解 11.已知函数f(x)= 1()严-1业x≤1，若函数y=f)-k有四个零点，从小到 (log4(x-1)1,x>1 大依次为x1,x2,x3,x4,则下列说法正确的是() A.kE(0,2] B.x3+x4的最小值为4 C.x1+x2>0 D.方程f[f(x)]-t=0最多有10个不同的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知sin(（传+a=-手则cos(0-a)=一一 13.已知函数f(x)在R上为偶函数，且x≥0时，f(x)=x3-x+2,则当x<0时， f(x)=-: 第2页共4页 福河光尾文一1 一切为了学生的全而腿质发尽 14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+fy),当x>0时，f(x)<0,则 不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知集合A=(xy=√log2(x-1),集合B=(x刘x2-2x<0), (I)求年合A,B,并求A∩CRB: (2)若集合C={x2a≤x≤a+1},且BnC=C,求实数a的取值范围. 16.(本小题15分) 己知函数f(x)=sin(π-2x)+cos(+2x) (1)求函数f(x)的单调递减区间： (2)记函数g(x)=f(x+),当x∈[0，羽时，求函数g(x)的最大值和最小值.并求出 取最值时x的值. 17.(本小题15分) 目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严 重影响生态文明建设，“去产能”将是-项重大任务.某企业从2018年开始，每 年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1). (1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a,n表示x: (2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数 据：lg2≈0.301，lg3≈0.477) 第3页共4页 弹河北保文1 切为了学生的全而健康发辰 18.（本小题17分) 已知函数f(x)=Iog3(9x+1)-x. (1)证明：函数g(x)=3(x)在(0，+∞)上为增函数： (2)求使f(2cos29-3)-f(2+sin8)<0成立的6的取值范围. 19.(本小题17分) 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问 题.在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义. 定义1：设函数f(x)在区间1上有定义，f(x)称为1上的下凸函数，当且仅当x1,x2∈I, 有f(（）≤1r 定义2：设函数f(x)在区间1上有定义，f(x)称为1上的下凸函数，当且仅当 x,…x∈neN)有f(作+t）≤/t. 将定义1,2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数f(x)为1上的上凸函数.可以 证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题： (1)若f(x)=x2+ax+b,试根据定义1证明f(x)为R上的下凸函数： (2)已知g(x)=sinx为(0，π)上的上.凸函数，若A,B,C为·ABC的内角，求sinA+ sinB+sinC的最大值： (3)设为大于或等于1的实数，证明：本++…+ 纳4页共4页 高一上开学考试试题【必修一1.15.4】 答案和解析 1~8 DCACB ABD 9AD 10BD 11ACD 12.-9 13.-x3+x+214. (-1,) 15.解：(0A={xlog2x-1)20)=(xx≥2)，B={x0≤x≤2]， :CRB={xx>2),An CRB={x>2); 四'BnC=C,÷CsB, 当C=⑦时，2a>a+1,解得a>1,满足题意， 2a≤a+1 当C≠可时， 2a≥0，解得0≤a≤1， a+1≤2 综上：a的取值范围是[0，+∞)· 16解：(1)因为f(x)=sin(π-2x)+cos(经+2x)=sin2x+sin2x=2sin2x 由正弦函数的单调性可得+2km≤2x≤受+2km,kEZ, 解得，+km≤x≤要+kr,k∈Z, 因此，函数f)的单调递减区间为[后+km,+kn],k∈z. (2)由(1)可知，f(x)=2sin2x, 所以g()=f(x+)=2sin[2(x+别=2sin(2x+), 当0≤xs时，月s2x+号≤g 当2x+号=时，即当x=7时，函数g(x)取最大值2sin=2, 当2x+号=时，即当x=时，函数g()取最小值2sim=1. 6 17.解：(1)设2017年的产能为1，依题意得(1-x)n=a, 1-x=Va,x=1-a(n∈N): (2)设m年后年产能不超过2017年的25%，则(1一10%)m≤25%， 即()”s 解得m之品 即m之鹨 :13<9<14.且meN m的最小值为14， 2017+14=2031, 至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%. 18解：()证明：函数f0=1og(9+1)-x=10g=1og(3*+), 函数g(=3/因=3*+， 设0<x1<x2, 则gx)-9x)=(31+)-(3+)=(3*1-3*)+(六-女)=(34- 3)1-六)， 又由0<x1<x2,则1<31<32，故有g(x1)-g(x2)<0, 故函数g(x)=3(在(0，十∞)上为增函数： (2)根据题意，设t=3*+,函数y=3在R上为增函数， 而函数g(x)=3fx在(0，+∞)上为增函数， 故f(x)在(0，+∞)上为增函数， 又由f(x=log3(3*+),其定义域为R,而f(-x)=1og3(3*+)=fx), 则函数f(x)为偶函数， 又由f(2cos26-3)-f(2+sin8)<0曰f(2cos20-3)<f(2+sin8)- f(12cos20-31)<f(12+sine|) 则有12cos20-31<|2+sin8l,即3-2cos2日<2+sim8, 变形可得：2sin28-sin6-1<0, 解得：-<sin8<1, 则有2km-<0<2km+或2km+<0<2km+名，ke2. 故9的取值范围为2km-君<0<2kr+或2km+<日<2km+7g,k∈). 19.解：(1)因为f(x)=x2+ax+b的定义域为R, 任取x1,x2∈R, 则21-f(）=a+5+*地-[【()+a(2)+b 2 =1=22≥0. 4 即f(2）≤2，所以f(x)为R上的下凸函数. 2 (2)因为g(x)=sinx为(0，π)上的上凸函数，且A,B,C∈(0，π)，A+B+C=π， 则ni+nc≤sin+g*c=sin号=复，即sinA+sinB+sinC≤， 3 3 2 例如A=B=C=时，sinA+sinB+sinc=9+9+5=3y3 2 2 2 所以sinM+sinB+sinC的最大值为3W 2 (3)设r1=e,因为r:≥1，所以x,≥0(i=1,2,3,,n), 要证++十之只需证+e+…+之 1 1 1 下证：h()=+在[0，+∞)上为下凸函数. 设x1,x2≥0，则h()=空 h)+hx2=12本 e2+1 2 2 下证@之h(学)即证六+品产耍 2 即证(e学+1)(e*+1+e+1)≥2(e+10(e2+1), 化简得(e+e-2e)(e空2-1)≥0， 即证(e登-e)(e艺-1)≥0()， 1+x2 又之0，e”≥1，()式显然成立， 所以2≥h(白兰）成立，h()在o,+四)上为下凸函数， 则，++…+得证。 n