第4章 教考衔接2 数学建模 构建函数模型解决实际问题(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 教考衔接2　数学建模　构建函数模型解决实际问题 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 一、真题展示 1．(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p0>0))是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　　　　　　　　　 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 2．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为( eq \r(10,10)≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 二、真题溯源 [人教B版必修二P44例4] 人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有 f(x)＝10lg eq \f(x,1×10-12). (1)求等级为0 dB的声音的强度； (2)计算出90 dB的声音与60 dB的声音强度之比． 三、类法探究 新教材新高考突出考查在真实情境中运用所学知识，分析问题、发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养数学建模核心素养． 建模解决实际问题应过的三关： (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么； (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题； (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 类型一　构建二次函数、分段函数模型 　某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． [解析]　(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2，当4＜x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数， 由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，)) 所以v＝－ eq \f(1,8)x＋ eq \f(5,2). 故函数v＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2，0＜x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4＜x≤20.))(x∈N＋) (2)设年生长量为f(x)千克/立方米， 依题意，由(1)得 f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，0＜x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4＜x≤20.))(x∈N＋) 当0＜x≤4时，f(x)为增函数， 故f(x)max＝f(x)＝4×2＝8； 当4＜x≤20时，f(x)＝－ eq \f(1,8)x2＋ eq \f(5,2)x＝－ eq \f(1,8)(x2－20x)＝－ eq \f(1,8)(x－10)2＋ eq \f(25,2). ∴f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 1．构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制． 2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.　 类型二　构建指数函数、对数函数模型 　医学上为研究传染病传播中含病毒细胞的发展规律及其预防措施，将含病毒的细胞注入一只小白鼠体内进行实验．经检测，含病毒细胞的增长数与天数的关系如表．已知该种含病毒的细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将杀死其体内含病毒细胞的98%. 天数t/天 1 2 3 4 5 6 7 … 含病毒细胞的总数N/个 1 2 4 8 16 32 64 … (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天) (2)在(1)的条件下，第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知lg 2≈0.301) [解析]　(1)由题意知，含病毒细胞总数N关于时间t的函数为N＝2t-1，则2t-1≤108. 两边取对数得(t－1)lg 2≤8，解得t≤27.6. 故第一次最迟应在第27天注射该种药物． (2)由题意知，第一次注入药物后小白鼠体内剩余的含病毒的细胞个数为226×2%， 再经过x天后，小白鼠体内含病毒的细胞个数为226×2%×2x. 由题意得226×2%×2x≤108， 两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋x lg 2≤8， 解得x≤6.2. 故再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． [提醒]　构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.　 $