专题7 函数与导数-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

第二部分 二轮专题检测 专题七函数与导数 1.(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如 下，则f(x)的解析式可能为 函数y千的图象大致为 B A.f(x)=11x可 B.f(x)=x-1 C.o D.f)- x2-1 2.(2021·全国甲卷文)下列函数中是增函数的 为 ( 7.(多选)已知函数f(x)=e,则下列结论正确 A.f(x)=-x B.f(x)=（ 的有( C.f(x)=x2 D.f(x)=元 A.y=f(x)一f(一x)为奇函数 3.(2021·全国甲卷文)设f(x)是定义域为R B.y=f(x)十f(一x)为偶函数 的奇函数，且f(1+x)=f(-.若升-号) C.,22,当m1≠时，f四）-fx2） x1一C2 =则() <十2 2 A号 D.Hx≥0，f(x)-f(-x)≥2x c n号 8.(2023·新高考I卷)（多选）噪声污染问题越 来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱， 4.(2023·新高考I卷)设函数f(x)=2xx-在 区间(0，l)上单调递减，则a的取值范围是 定义声压级L,=20×1g是，其中常数(p ( >0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为 A.(-∞，-2] B.[-2,0) 不同声源的声压级： C.(0,2] D.[2,+o∞) 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 5.(2021·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)= 燃油汽车 10 60-90 x2-4,x>2 若f[f6)]=3,则a= 混合动力汽车 10 50~60 |x-3|+a,x≤2， 电动汽车 10 40 63· 艺考一本通 数学 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽 该切线的斜率及= 车10m处测得实际声压分别为1，p2,3, 14.已知函数f(x)=x(lnr-a),a∈R, 则 ( (1)若函数f(.x)在[1,4]上单调递增，求a A.p1≥p2 B.p2>10p3 的取值范围； C.p3=100p D.p1≤100p2 (2)若a>0,求证：f(x)≤x(x-2-lna). 9.(2025·新课标Ⅱ卷)（多选）已知f(x)是定 义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) (x2-3)e十2，则 A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 10.设a=3,6=(得) ,c=l10ga.70.8,则a, 15.(2023·新高考Ⅱ卷)证明：当0<x<1时， x-12<sin x<x. b,c的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 11.(2023·新高考I卷)（多选）已知函数f(x) 的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+xf(y), 则 A.f(0)=0 16.(2021·全国甲卷文)设函数f(x)=ax2+ B.f(1)=0 ax-3lnx+1,其中a>0. C.f(x)是偶函数 (1)讨论f(x)的单调性； D.x=0为f(x)的极小值点 (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点， 12.(2023·新高考Ⅱ卷)（多选）若函数f(x)= 求a的取值范围. anx十+(a≠0)既有极大值也有极小 值，则 A.bc0 B.ab0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 13.已知f(x)=a.x2(a>0)的图象在x=1处的 切线与与函数g(x)=e'的图象也相切，则 ·64·14,【解析】)设双南线方程为号 岁=1(a>0,6>0),由焦点 坐标可知c=2厅，则由e一日 -4-2八O =5可得a=2,b=√c2-a2= 4:双南线方程为号一后=1. (2)证明：由(1)可得A(-2,0),A(2,0),设M(1,y), N(x2,),显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方 程为x=my4,且-合<m<分与千荒=1联立可得 (4n-1)y2-321y+48=0,且△=64(4m2+3)>0,则y 十2 4m一光=4，直线MA的方程为y 32m 48 +2,直线NA的方程为y产2红一2》，联立 直线MA与直线NA2的方程可得： x+2_2(x1十2)_y(my-2) x-2y1(x2-2)y(m2-6) w边二2+28一2·2当+2 48 myiy2-6y1 48 mX42--6y 一创 一号芹号=号可得=-1即 =一1，据此可得点P在定直线x=一1上运动. 15.(1)片+苦-1（2)证明见解析【解折】(1)依题意，设精 怎十岁=1(a≥b>0)的半焦距为c,则左焦点F( 0),右项点A(a,0),离心率e=名=之，即a=2c,因为P为 x=a上一点，设P(a,m),又直线 PF的斜牵为子，则。" a--s 解得m=c,则P(a,c),即P(2c,c), 因为△PFA的面积为号，AF到 a-(-c)=a+c=3c,高为ml=c, 所以S=1 AFIml-=X3xXc=号，解得c=1, 1 则a=2c=2,b2=a2-c2=3, 所以精圆的方程为号+苦=1。（2)证明：由1)可知P (2,1),F(一1,0)，A(2,0),易知直线PB的斜率存在，设其 方程为y=kx+m,则1=2k十m,即m=1一2k,联立 苦+号=1消去y得，3+软)+86mx+m2-12= y=kx+m 0,因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(8k·)2一4(3 +4k2)·(42一12)=0，即4k2一7+3=0，则4k2 1-2k)2+3=0,解得=一号，则m=2,所以直线PB的 2x+2,联立 =-+2 x=1 方程为y=一 ,解得 +-1 39 1y=2 则B1,号)，则i=(2,号)，F市=(3,1)，Fi=(3,0), 参考答案·数学 ∠BFP FB·FP 所以 F·1F 2×3+3X1 2 =30 V2+().3+ 10，cos∠PFA= A·F市 =3X3+1X0=3/①，则os∠BFP=cos FA·13/3+下10 ∠PFA,又∠BFP,∠PFA∈(O,交)，所以∠BFP= ∠PFA,即PF平分∠AFB. 专题七函数与导数 1,D【解析】由图可知函数为偶函数，而函数f(x)=- 和函数f()=T可为奇函教，故排除选项AB:又当x ∈(0,1)时1-r>0-1<0,此时f(x)=>0f ()=<0,由图可知含E(0,D时f)<0,故C 不符合，D符合.故选D. 2.D【解析】对于A,f(x)=一x为R上的减函数，不合题意， 舍.对于B,x)=(号）厂为R上的减函数，不合题意，舍 对于C,f(x)=x2在（一∞，0）为减函数，不合题意，舍.对于 D,f(x)=元为R上的增函数，符合题意，故选D. 3C【解析】由题意可得：f(号)=f(1+号)=f(-号) -f(号)，丙f(号)=(1-3)=f(3)=-了 (-3)=-3,故（停）=子故选C 4.D【解析】函数y=2在R上单调递增，而函数∫(x)= 2a在区间(0，l)上单调递减，则有函数y=x(x一a)= (x一号)一牙在区间(0,1)上单调递减，因此号>≥1，解得 4 a≥2，所以a的取值范围是[2，十o).故选D. 5.2【解析】f[f(w6)]=f(6-4)=f(2)=-|2-3|+a=3,故 a=2,故答案为2. 位A【解折们由画数的解折式可得八一)=半=-. 则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原，点对称，选项CD 4 错误：当x=1时，y==2>0,选项B错误.故选A 7.ABD【解析】对于A、B:因为f(x)=e2的定义域为R,且 f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)],f(x)+f(-x) =f(一x)十f(x),所以y=f(x)一f(一x)为奇函数，y= f(x)十f(一x)为偶函数，故A,B正确；对于B:构建g(x) =e,则g()=Ec,构建p(x)=g(x),则p( =e-1,令9(x)>0,解得x>0:令9(x)<0,解得x<0: 则9(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减， 故9(x)≥9(0)=0即g'(x)>0在R上恒成立，则g (x)在R上单调递增，不妨令>2，则g(x)>g(), 即-号>ei-号，整理得c0-e的>，= 2 +西》，0-)，且x->0,则）f2> 2 x1一2 十型，C不正确：对于D:枸建h(x)=e-e-2x 2 (x≥0)，则h'(x)=e+ez-2≥2√e·e7-2=0,当且 仅当e=ex,即x=0时等号成立，故h(x)在[0，十o)上 单调递增，则h(x)≥h(0)=0,D正确.故选ABD. 8.ACD【解析】由题意可知：Lp,∈[60,90]，Lp∈[50,60]； 95 小题量检测数学 Lg=40,对于选项A:可得L1-L,=20X1g-20X1g =20X1g,因为L,≥L,则Ln-L,=20×1g≥ Do 0,即lg≥0，所以B≥1且p1,>0,可得p≥p2,故A 正确；对于选项B:可得L,-Lp,=20X1g2-20X1g= Do Po 20×1gg,因为L%-L=Ln-40≥10，则20×1g会≥ 10即归会≥号，所以会>而且A>0,可得为≥ √I0p,当且仅当L=50时，等号成立，故B错误；对于选 项C:因为Ln=20X1g合会=40，即g会=2，可得=10， 即p=100p,故C正确；对于选项D:由选项A可知：Lp Ln=20×1g多，且Ln-Ln≤90-50=40，则20X1g≤ p21 p2 40,即1g色≤2，可得≤100，且，p>0,所以≤ 2 100p2,故D正确；故选ACD. 9.ABD【解析】对于A,因为f(x)定义在R上奇函数，则f (0)=0,故A正确：对于B,当x<0时，一x>0,则f(x)= f(-x)=-[((-x)2-3)ex+2]=-(x2-3)ex-2, 故B正确：对于C,f(一1)=一(1一3)e一2=2(e一1)>2， 故C错误；对于D,当x<0时，f(x)=(3-x2)e-2,则 f'(x)=-(3-x2)e2-2.xe2=(x2-2x-3)e2,令f (x)=0,解得x=-1或3（舍去），当x∈(-∞，-1)时，f (x)>0,此时f(x)单调递增，当x∈（一1,0）时，f(x)<0, 此时f(x)单调递减，则x=一1是f(x)极大值点，故D正 确；故选ABD. 10.D【解析】因为a=37>1,6=(分）“=34>301-a, c=log.70.8<log.70.7=1,所以c<1<a<b.故选D. 11.ABC【解法一】因为f (zy)=yf(x)+22f(y), f(x) 对于A,令x=y=0,f(0) =0f(0)+0f(0)=0,故A 正确.对于B,令x=y=1,f (1)=f(1)+1f(1),则f (1)=0,故B正确.对于C, 令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f( 1)=0,令y=一1，f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),又函 数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，对 于D,不妨令f(x)=0,显然符合题设条件，此时f(x)无极 值，故D错误. 【解法二】因为f(xy)=yf(x)+xf(y),对于A,令x=y =0,f(0)=0f(0)十0f(0)=0,故A正确.对于B,令x=y =1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确.对于C, 令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f( 1)=0,令y=一1，f(-x)=f(x)+x2f(一1)=f(x),又函 数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，对 于D,当xy2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+xf(y)两边同 时除以y,得到义=八四+巴，故可以设 T2 lnx(x≠0)，则f(x)= |2nll≠0，当>0时，f(x) 10,x=0 =21nx,则f(x)=2.xlnx+2.=x(2nr+1),令f (x)<0,得0<x<e2;令f(x)>0,得x>e言；故f(x) 在(0，e立)上单调递减，在(e言，十∞)上单调递增，因为 f(x)为偶函数，所以f(x)在（一e立，0）上单调递增，在 96 (一∞，e立)上单调递减，显然，此时x=0是f(x)的极大 值，故D错误.故选ABC 12.BCD【解析】函数f(x)=alnx++S的定义域为(0， x 十o0),求导得f(x)=g-2-2S=心-2，因为 函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数∫(x)在(0，十 ∞)上有两个变号零，点，而a≠0，因此方程ax2一bx一2c=0 △=b+8ac>0 有两个不等的正根，2，于是0干=a>0,即有2 a am=-2>0 a +8ac>0,ab>0,ac<0,显然abc<0,即bc<0,A错误， BCD正确.故选BCD. l3.e立【解析】函数f(x)=a.x的图象在x=1处的切线的切 点为(1，a),因为f(x)=2a.x,所以切线斜率为f(1)= 2a,切线方程为y一a=2a(x-1),即y=2a,x一a,设g(x)= e的图象的切线的切，点为(x0,eo),因为g'(x)=e,所以 切线斜率为g(x0)=e0,切线方程为y一e0=e0(x m),即y=cx+(1-m)e,由题/2a=c0 1-a=(1-0)eo,解 得a=c,w=号，斛率为2a=e,故答案为. 14.【解析】(1)f(x)=lnx-a+1,因为函数f(x)在[1,4幻上单 调递增，所以f(x)≥0在[1,4]上恒成立，又f'(x)=lnx -a十1在[1,4幻上单调递增，所以f'(x)mim=一a十1，所以 一a十1≥0，解得a1,所以a的取值范围是（一∞，1]. (2)因为a>0,x>0,所以要证f(x)x(x一2-lna),只需 证lnx-ax-2-na,令g(x)=x+a一2-na-lnx, 则g(x)=1-=.当0<x<1时，g()<0,函数 g(x)单调递减；当x>1时，g(x)>0,函数g(x)单调递增. 所以g(x)≥g(1)=a-1-lna,令h(a)=a-1-lna(a> 0),则'(a)=1-1=a二，当0<a<1时，K(a)<0, h(a)单调递减，当a>l时，h(a)>0,h(a)单调递增.所以a =1时，h(a)取最小值，则h(a)≥h(1)=0,所以a>0时， h(a)≥0，因此g(x)≥0.所以f(x)≤x(x-2-lna). 15.【解析】令F(x)=x一sinx,x∈(0,1)，则F(x)=1一cosx >0对Hx∈(0,1)恒成立，则F(x)在(0,1)上单调递增，可 得F(x)>F(0)=0,所以x>sinx,x∈(0,1)；构建G(x)= sinx-(x-x2)=x2-x+sinx,x∈(0,1)，则G'(x)=2x 一1十cosx,x∈(0,1)，构建g(x)=G'(x),x∈(0,1)，则g (x)=2-sinx>0对Hx∈(0,1)恒成立，则g(x)在(0,1) 上单调递增，可得g(x)>g(0)=0,即G'(x)>0对Vx∈ (0,1)恒成立，则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G (0)=0,所以sinx>x-x2,x∈(0,1)；综上所述：x-x2< sin xx. 16.【解析】(1)函数的定义域为(0，+∞)，又f(x)= 2ax+3)(ax-1D,因为a>0,x>0,故2ax+3>0,当0< 1<a时，f(x)0:当x>时，f(x)>0:所以f(r的 a 减区间为(0，)，增区间为（日，十∞）. (2)因为f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图象与x轴没 有公共点，所以y=f(x)的图象在x轴的上方，由(1)中函 教的单调性可得f(xm=(合)=3-3n日=3+3na, 故3+31na>0,即a> e