专题6 解析几何-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

专题六 1.(2023·新高考Ⅱ卷)设椭圆G:若+y2=1 a>1).C:若+y=1的离心率分别为e, e2.若e2=√3e1,则a= A.2③ 3 B.√2 C.√3 D.√6 之（多选）已知双曲线产一芳 =1(b>0)的左、 右焦点分别为F1,F2,过点F2作x轴的垂线 与双曲线交于A,B两点，若△ABF为直角 三角形，则() A.b=2+2√2 B.双曲线的离心率为√2十1 C.双曲线的焦距为25 D.△ABF1的面积为12+8√2 3.(2021·新高考Ⅱ卷)（多选）已知直线l:ax +by-2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b), 则下列说法正确的是 () A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线1与圆C相切 4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:写十y=1 的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x十m 与C交于A,B两点，若△FAB面积是 △F2AB面积的2倍，则m= A号 &9C号 n-号 5.(多选)已知抛物线y=2px(p>0)经过点M (1,2),其焦点为F,过点F的直线1与抛物 线交于点A(x,y),B(x2,y2),设直线OA, 第二部分 二轮专题检测 解析几何 OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k,则 A.p=2 B.|AB≥4 C.OA·OB=-4 D.k1k2=一4 6.(2023·新高考Ⅱ卷)（多选）设O为坐标原 点，直线y=一√3(x一1)过抛物线C:y2= 2x(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，l 为C的准线，则 ( A.p=2 B.IMNI- C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 7.(2025·新课标I卷)（多选）设抛物线C:y2 =6x的焦点为F,过F的直线交C于A、B, 过F且垂直于AB的直线交l:x=一 于B, 过点A作准线l的垂线，垂足为D,则( A.AD=AF B.AE=AB C.AB|≥6 D.|AE1·|BE≥18 8.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l:x一my十1 =0与⊙C:(x一1)2十y2=4交于A,B两点， 写出满足“△ABC面积为的m的一个值 9.(2021·天津卷)若斜率为3的直线与y轴交 于点A,与圆x2十(y-1)2=1相切于点B, 则AB引= 10.(2021·北京卷)已知抛物线C:y2=4x,焦 点为F,点M为抛物线C上的点，且|FM =6,则M的横坐标是 ;作MN⊥x 轴于N,则S△MN= 艺考一本通 数学 1.(2021·新高考Ⅱ卷)已知双h线C:若一 =1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线 C的渐近线方程为 12.已知A,B分别为椭圆E:若+y-1(a>1) 的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB= 8,P为直线x=6上的动点，PA与E的另 一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点. 18.已知横圆C:盖希=10<m<)的离心 率为A,B分别为C的左右顶点。 (1)求C的方程： (2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且 BP=|BQ,BP⊥BQ,求△APQ的面积. ·6 14.(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心 为坐标原点，左焦点为（一2√5,0），离心率 为w5. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1,A1,过点 (一4,0)的直线与C的左支交于M,N两 点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于 点P.证明：点P在定直线上 15.(2025·天津卷)已知椭圆+若=1 (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为 x=a上一点，且直线PP的斜率为， △PFA的面积为号，离心率为2 (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异 于点A),求证：PF平分∠AFB 2·√3，故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4. G E(F 15.【解析】(1)连接AE,DE,因为E为BC中，点，DB=DC,所 以DE⊥BC①，因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC= 60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC= AB,从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E,AE,DEC平 面ADE,所以BC⊥平面ADE,而ADC平面ADE,所以 BC DA. (2)不妨设DA=DB=DC=2,因为BD⊥CD,所以BC=2 √2，DE=AE=√2.所以AE+DE=4=AD,所以AE⊥ DE,又因为AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BCC平面BCD. 所以AE⊥平面BCD.以，点E为原点，ED,EB,EA所在直 线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所示： A D /B x 设D(√2,0,0)，A(0,0W2),B(0,2,0),E(0,0,0),设平面 DAB与平面ABF的一个法向量分别为1=(，y1,之)， =(2,地，2)，二面角D-AB-F平面角为0，而AB= (0,√2，一√2)，因为EF=DA=(-2,02),所以F(一2， 02),AF=(-√2,0,0)，所以 -√2.m+√2=0 ,取x1= W2y-√2x1=0 1.所以=11。-0取-1所以m (0,1,1D,所以cos01=m·m= 2 -E,从而sin0 1m|n2√5x√23 √日-号所以二面角D-AB-F的正孩值为号 专题六解析几何 1A【解标】南台-，得后=3所，因光早=3×，而 a>1,所以a=25故选A 3 2.BD【解析】若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可 知，AF1⊥BF1,且AF1=BF.设AF2|=m,则由双曲 线的定义得|AF1=BF1=AF2|+2a=2+m,AB|= 2m.在△ABF中，由勾股定理得(2+m)2+(2+m)2=4m2, 得m=2+2√2，所以|AF|=|BF|=4+2√2，所以 △ABF的面积为2AF1·BF=号X(4+22=12 十82，故D正确；易知AF|·|BF|=|AB·FF2, 所以FF:=2+2E,故C不正确；由2-一苦-=1(6>0)可 知，a=1,又c=1十√2，所以=(1+2)2-1=2+2√2，故 A不正确；易知e=C=1十√2，故B正确.故选BD. 2 3.ABD【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离d= a2十，若 ,点A(a,b)在圆C上，则a2十=2，所以d= 于形=，则 2 直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+ B<r,所以d=后+元 >r,则直线l与圆C相离，故B正 参考答案·数学 确；若点A(a,b)在圆C外，则a2十形>2，所以d= a千<l r,则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l 上，则a2十b2一2=0即a2+b2=2,所以d= √a+b =lr ,直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD. (y=x+m 4C【解析】将直线y三x+m与椭圆联立三+=1，消去y 可得4x2十6m.x十3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于A,B 点，则△=36m2一4X4(3m2一3)>0，解得一2m2,设F1 到AB的距离d1,F2到AB距离d2,易知F1(一√2,0)，F 反，0，则d=-片m,d山=Em,S5 ② S2B |-√2+m √2 2+m =2,解得m=号或-3（合 |W2+m 去)，故选C 5.ABD【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)经过，点M(1,2), 所以22=2p,解得p=2,故A正确；抛物线方程为y2=4x 则焦点为F(1,0),由题知直线l的斜率不为0，设直线l:x= my叶1，由{411，消去x整理得y4my一4=0，则A =16m2+16>0,所以1十2=41，y12=一4，则0十2= m(y+2)+2=4m2+2,xx2=(my+1)(my2+1)=m2y 2+m(h+2)+1=1,所以AB=+2+2=4m2+4≥ 4,故B正确：易知OA=(x1,y),Oi=(x2,),所以OA· O市=12十y1边=一3，故C错误；k1=出·业=一4，故 1 D正确.故选ABD. 6.AC【解析】A选项：直线y=一√3(x一1)过点(1,0)，所以 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),所以号=1，p= 2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为y2=4x.B选 项：设My),N(2),由)一5(x-1D消去y并 1y2=4x 化简得3x2-10x+3=(x-3)(3.x-1)=0,解得=3，x2 =子，所以MN=a十a十p=3+子十2=9，B选项错 误.C选项：设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分 别为d,d,d,因为d=(d+d)=号(MF+NF)= MN,即A到直线L的距离等于MN的一半，所以以 MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线y =-3(x-1),即3x+y-5=0,O到直线3.x十y-3=0 的距离为d=号，所以三角形OMN的面积为宁×号×号 2 2 4号由上述分新可知功=-5(3-1D=-25为= (3-1)-2,所以oM=8+(-25=Vm, 0N√传)+(2=平所以三商形ON不是 等腰三角形，D选项错误.故选AC 93 小题量检测数学 M y=-3(x-1) 7.ACD【解析】对于A,对于抛物线C:y=6x,则p=3,其准 线方程为=一号，焦点F(号，0），则|ADl为抛物线上点 到准线的距离，AF为抛物线上 ,点到焦，点的距离，由抛物线的定义 可知，AD=AF,故A正确；对 于B,过点B作准线（的垂线，交于 ,点P,由题意可知AD⊥l,EF AB,则∠ADE=∠AFE=90°，又 AD=|AF|,AE|=|AE引，所以 △ADE≌△AFE,所以∠AED= ∠AEF,同理∠BEP=∠BEF,又 AED+AEF+BEP+ ∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°， 显然AB为△ABE的斜边，则|AE<|AB,故B错误；对于 C,易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my 十号A(am),B(y),联立 x=my十2，得2、 y2=6.x 6my-9=0,易知△>0，则y十2=61，y12=一9，又1= m十是，a=m十三，所以AB1=n十十D=m (y十2)十3+3=62+6≥6，当且仅当m=0时取等号， 故C正确；对于D,在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE= ∠EAF,所以R△ABER△AEF,则品=即 |AE|2=|AF|·|AB|,同理|BE2=|BF|·IAB|,又 IAFl·IBF=(a+是)(x+是）= (my+3)(m2+3)=n12+3m(y十)+9=-9m2 +18m2+9=9(m2+1),|AB|=6m2+6=6(m2+1), 所以|AE|2·IBE2=|BF|·|AF|·|AB|?=9 (m2+1)X36(m2+1)2,则|AE·|BE|=3(m2+1)元 ×6(m2+1)=18(+1)≥18，故D正确.故选ACD. 8.2(2,一2,2，一之中任意一个皆可以)【解析】设点C到 直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB=2√4一正，所以 S=是×dX2/-=号，解得：d=45或d=25, 51 5 由d=1+1=2 子主·所以元二5或之● √1+7 √1+m =2,解得：m=土2或m=士故答案为 2(2,-2,3,号中任意一个皆可以） 9.5【解析】设直线AB的方程为y=√3.x十b,则点A(0,b), 由于直线AB与圆x2十(y一1)2=1相切，且圆心为C(0, 1D,半径为1，则b,1=1,解得6=-1或=3，所以AC 2 =2,因为|BC=1,故AB=√AC-BC平=√3.故答 案为3. 10.54√5【解析】因为抛物线的方程为y2=4x,故p=2 94 且F1,0).因为MF=6,u+号=6，解得aM=5,故W =士2厅，所以Sam=X6-1)X2厅，故答案为5,4 5. 1.y=士x【解标】因为双曲线号-芳-1(a>0,6>0)的 离心率为2， 所以eV层-√=2，所以号=3 所以该双曲线的渐近线方程为y= a x=士√3x.故答案 为y=士√/3x. 12.【解析】(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1). 则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AG.Gi=8得a2-1=8, 即a=3. 所以E的方程为号十=1. (2)证明：设C(①，y),D(2,2),P(6.t).若t≠0，设直线 CD的方程为x=my十1，由题意可知-3<n<3.由于直线 PA的方程为y=分(x十3)，所以=号（十3）.直线PB 的方程为y=子(x-3),所以为=号(-3).可得31( -3)=(+3.由于号+呢=1，故= +3)(-3》,可得27M=-(m十3)(m+3),即(27 十m2)y12+m(n+3)(y+2)+(十3)2=0.①，将x= m十n代入号+y=1得(m+9y+2my+r-9=0, 所以n十为=学与前=一票号代入①式得(27 2mn +m2)(2-9)-2m(n+3)mm+(n+3)2·(m2+9)=0.解 得n=-3(舍去)，n=是.故直线CD的方程为x=my十 ，即直线CD过定点（号，0），若1=0，则直线CD的方程 3 为y=0,过点（号，0）.综上，直线CD过定点（号，0） 1【解标K)由道设可得立=平.得m=急所以 5 C的方程为元+-1 16 (2)设P(xp,yp),Q(6,ya),根据对称性可设ya>0,由题 意知yp>0,由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y= L(x-5),所以BP1=yPV+6,BQ=√I+6,因 为|BP|=|BQ|,所以p=1,将yp=1代入C的方程，解 得xp=3或一3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点 P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q(6,2):P2(-3,1),Q(6, 8.PQ=而，直线卫Q的方程为y=号点A(- 5,0)到直线PQ的距高为四，故△APQ的面积为 ×四×而=号.PQ=0,直线P.Q的方程为 =号x十号点A到直线PQ的距离为，故 △AP,Q的面积为号××ED=号.综上，△APQ 26 的面积为号 14,【解析】)设双南线方程为号 岁=1(a>0,6>0),由焦点 坐标可知c=2厅，则由e一日 -4-2八O =5可得a=2,b=√c2-a2= 4:双南线方程为号一后=1. (2)证明：由(1)可得A(-2,0),A(2,0),设M(1,y), N(x2,),显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方 程为x=my4,且-合<m<分与千荒=1联立可得 (4n-1)y2-321y+48=0,且△=64(4m2+3)>0,则y 十2 4m一光=4，直线MA的方程为y 32m 48 +2,直线NA的方程为y产2红一2》，联立 直线MA与直线NA2的方程可得： x+2_2(x1十2)_y(my-2) x-2y1(x2-2)y(m2-6) w边二2+28一2·2当+2 48 myiy2-6y1 48 mX42--6y 一创 一号芹号=号可得=-1即 =一1，据此可得点P在定直线x=一1上运动. 15.(1)片+苦-1（2)证明见解析【解折】(1)依题意，设精 怎十岁=1(a≥b>0)的半焦距为c,则左焦点F( 0),右项点A(a,0),离心率e=名=之，即a=2c,因为P为 x=a上一点，设P(a,m),又直线 PF的斜牵为子，则。" a--s 解得m=c,则P(a,c),即P(2c,c), 因为△PFA的面积为号，AF到 a-(-c)=a+c=3c,高为ml=c, 所以S=1 AFIml-=X3xXc=号，解得c=1, 1 则a=2c=2,b2=a2-c2=3, 所以精圆的方程为号+苦=1。（2)证明：由1)可知P (2,1),F(一1,0)，A(2,0),易知直线PB的斜率存在，设其 方程为y=kx+m,则1=2k十m,即m=1一2k,联立 苦+号=1消去y得，3+软)+86mx+m2-12= y=kx+m 0,因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(8k·)2一4(3 +4k2)·(42一12)=0，即4k2一7+3=0，则4k2 1-2k)2+3=0,解得=一号，则m=2,所以直线PB的 2x+2,联立 =-+2 x=1 方程为y=一 ,解得 +-1 39 1y=2 则B1,号)，则i=(2,号)，F市=(3,1)，Fi=(3,0), 参考答案·数学 ∠BFP FB·FP 所以 F·1F 2×3+3X1 2 =30 V2+().3+ 10，cos∠PFA= A·F市 =3X3+1X0=3/①，则os∠BFP=cos FA·13/3+下10 ∠PFA,又∠BFP,∠PFA∈(O,交)，所以∠BFP= ∠PFA,即PF平分∠AFB. 专题七函数与导数 1,D【解析】由图可知函数为偶函数，而函数f(x)=- 和函数f()=T可为奇函教，故排除选项AB:又当x ∈(0,1)时1-r>0-1<0,此时f(x)=>0f ()=<0,由图可知含E(0,D时f)<0,故C 不符合，D符合.故选D. 2.D【解析】对于A,f(x)=一x为R上的减函数，不合题意， 舍.对于B,x)=(号）厂为R上的减函数，不合题意，舍 对于C,f(x)=x2在（一∞，0）为减函数，不合题意，舍.对于 D,f(x)=元为R上的增函数，符合题意，故选D. 3C【解析】由题意可得：f(号)=f(1+号)=f(-号) -f(号)，丙f(号)=(1-3)=f(3)=-了 (-3)=-3,故（停）=子故选C 4.D【解析】函数y=2在R上单调递增，而函数∫(x)= 2a在区间(0，l)上单调递减，则有函数y=x(x一a)= (x一号)一牙在区间(0,1)上单调递减，因此号>≥1，解得 4 a≥2，所以a的取值范围是[2，十o).故选D. 5.2【解析】f[f(w6)]=f(6-4)=f(2)=-|2-3|+a=3,故 a=2,故答案为2. 位A【解折们由画数的解折式可得八一)=半=-. 则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原，点对称，选项CD 4 错误：当x=1时，y==2>0,选项B错误.故选A 7.ABD【解析】对于A、B:因为f(x)=e2的定义域为R,且 f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)],f(x)+f(-x) =f(一x)十f(x),所以y=f(x)一f(一x)为奇函数，y= f(x)十f(一x)为偶函数，故A,B正确；对于B:构建g(x) =e,则g()=Ec,构建p(x)=g(x),则p( =e-1,令9(x)>0,解得x>0:令9(x)<0,解得x<0: 则9(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减， 故9(x)≥9(0)=0即g'(x)>0在R上恒成立，则g (x)在R上单调递增，不妨令>2，则g(x)>g(), 即-号>ei-号，整理得c0-e的>，= 2 +西》，0-)，且x->0,则）f2> 2 x1一2 十型，C不正确：对于D:枸建h(x)=e-e-2x 2 (x≥0)，则h'(x)=e+ez-2≥2√e·e7-2=0,当且 仅当e=ex,即x=0时等号成立，故h(x)在[0，十o)上 单调递增，则h(x)≥h(0)=0,D正确.故选ABD. 8.ACD【解析】由题意可知：Lp,∈[60,90]，Lp∈[50,60]； 95