专题5 立体几何-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

小题量检测数学 0×/2配≈1.2≈0.92，所以两个变量有较强的正 47 47 相关关系 (2)(i)令Q= e= (y-bx:)2= 当且仅当b= 时残差平方和最小，即的最小二乘 估计为方= (i)因为x=t-t,y=w-,由(i)知i= 24-0(-而 ==4.7,所以y关于x的经验回 10 归方程为y=4.7x,所以0一0=4.7(t-t).因为t=3,0 =14,所以0=4.7(t一t)+0=4.7t-0.1,当t=7时， =4.7×7一0.1=32.8，因此预测2025年该品牌新能源 汽车的销售量将达到32.8万辆. 14.【解析】(1)根据表格中数据，完善表格，如下： 观，点 人数 没有 有一些 很有 类别 帮助 帮助 帮助 合计 男 2 10 8 20 性别 女 5 35 40 80 40岁以下 19 35 55 年龄 (含40岁) 40岁以上 6 26 13 45 可以得到这100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮 助”的频率为0，用频率估计概率，估计该地区中小学教 师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为2000× 100=140. 7 (2)由(1)知，该地区2000名中小学教师中，男教师的人数 与女教师的人数之比为1：4，故抽取的5名教师中，有1 名男教师，4名女教师，用频率估计概率，估计该地区中小 学教师中男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率 为易=号，女教师认为人工智能对于教学“很有帮助“的概 率为船-日，故这5名教师中怡有1人认为人工智能对于 教学“很有帮助”的概率为号×(1-)广+(1-号)×C ××(1-)广=而+品=石 (3)= 7×0+45×2+48×4 141 100 50 1×0+19×2+35×4=178, 55 ,w-6X0+26x2+13X4 45 罗国为路号>号所以>> 15.【解析(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A:,“第i次投 90 篮的人是乙”为事件B:,所以P(B2)=P(AB2)十P(B1B2) =P(A1)P(B2A)+P(B1)P(B2B1)=0.5X(1-0.6)+ 0.5×0.8=0.6. (2)设P(A:)=p:,依题可知，P(B:)=1一p:,则P(A+1)= P(AA+1)+P(BA+1)=P(A:)P(A+1|A)+P(B:)P (A+1B),即p+1=0.6p:+(1-0.8)×(1-p:)=0.4p 十0.2，构造等比数列{p:十，设p+1十入=号（p十)，解 得x=-子则-吉=号(A-号)又A=号P- 号=石，所以{弓}是首项为日公比为号的等比教 列，即A吉=古×（停）厂=×（唱）厂+日 3)国为A=日×（号）+子，=1,2…，所以当n N时，EY)=A十A十+A=日 1-(号) 1-号 十3 [1-(号°]+号故n=[1-(号)门+号 16.【解析】(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0. 012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+ 75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁). (2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以 P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)× 10=1-0.11=0.89. (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一 人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得 P(C1B)=PC=Q.1%X0.023X10=0.001X0.23_ P(B) 16% 0.16 0.0014375≈0.0014. 专题五立体几何 1LB【解折】由题意，一个丰径为2空9=10(mm)的国面内的 降两充满一个底面丰径为婴× =50(mm),高为 150mm的圆锥， 所以积水厚度4=三X0X150 =12.5(mm),属于中雨. π×1002 故选B. 2.BD【解析】对于A,在正三棱柱ABC-A1BC中，AA1⊥ 平面ABC,又ADC平面ABC,则 C AA1⊥AD,则A1A·AD=0,因为 ·A △ABC是正三角形，D为BC中点， 则AD⊥BC,则CD·AD=0,又AC =AA+AD+CD,所以A1C·AD =(A1A+AD+CD)·AD=A1A .AD+AD+CD.AD=AD≠0， 则AD⊥A1C不成立，故A错误；对 于B,因为在正三棱柱ABC一A1B1C1中，AA1⊥平面ABC, 又BCC平面ABC,则AA⊥BC,因为△ABC是正三角形， D为BC中点，则AD⊥BC,又AA∩AD=A,AA,ADC平 面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,故B正确；对于D,因为在 正三棱柱ABC一A1B1C1中，CC1∥AA又AA1C平面 AAD,CCC平面AAD,所以CC∥平面AAD,故D正 确：对于C,因为在正三棱柱ABC一AB1C1中，A1B1∥AB, 假设AD∥A1B,则AD∥AB,这与AD∩AB=A矛盾，所以 AD∥A1B1不成立，故C错误；故选BD. 3.ABD【解析】由直观图可得，四边形ABCD为直角梯形，且 AD=5,CD=4,BC=2,则四边形ABCD的面积为 2十5)X4=14,故A正确：如图，以点D为坐标原点建立 2 平面直角坐标系，则D(0,0),A(5,0),C(0,4),B(2,4), 则AB=(一3,4)，所以与AB同向的单位向量的坐标为 高-(-号吉)成B三市-《一50则动在向 上的投影向量的坐标为市：边.惠=5× ·=号 -g4=(-号号)，故C错误：设P(02[0,41, 5 则PA=(5,-y),P克=(2,4-y),则3PA+Pi= (17,4-4y),|3PA+Pi|=√17+(4-4y),当y=1 时，|3PA+P|取得最小值17，故D正确.故选ABD. D 47后【解折】如图，过A作MLAC,垂足为M,易知 AM为四棱台ABCD-A1BCD,的高， D B 4 因为AB=2,AB=1,AA1=E,则A0,=号AC=× EAB,=号，A0=合AC=×厄AB=E,故AM=司 AC-AG)-号，则AM=AN-M-V2舌 吾所以所求休积为V-日×4+1十VT)×号- 6 故答案为25 5.AC【解析】依题意，∠APB=120°，PA=2,所以OP=1, 0A=0B=5,A选项，圆维的体积为号Xx×(W3)X1=, A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为πX√5X2=23π，B 选项错误；C选项，设D是AC的中，点，连接OD,PD,则AC ⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面 角，则∠PDO=45°，所以OP=OD=1,故AD=CD= √3-I=√2，则AC=2√2，C选项正确；D选项，PD= 中T=厄，所以Sac=合X22X万=2.D选项错误. 故选AC. 6.C【解析】设母线长为l,甲圆锥底面圆半径为r1,乙圆锥底 面国丰径为，测岭一所以门=所，又织+停- 2x,则中=1，所以八=号n=宁，所以甲国维的高 .2 -V√F-音-号1，乙同锥的高：-√-gF-2.所 3 =3 =√10.故选C. 3h2 参考答案·数学 7.ABD【解析】对选项A:在△ACQ中，因为M,N为AC,AQ 的中点，所以MN∥CQ,所以CN与QM共面，所以A正确； 对选项B:由VA-DN=VN-DM,因为N到平面ABCD的距 离为定值7，且△ADM的面积为定值，所以三棱锥A DMN的体积跟入的取值无关，所以B正确；对选项C:当入 =子时，AQ-子，可得AM=号，AQ=AM2+AQ=1 十是-部取AD,AD的中点分别为NE,连接EN.EBM 则EM=MN+EV=+1在直角三角形MEQ中，QM =ME+EQ=(合）'+()厂'+1=器，则AM+QF> AQ,所以AM⊥QM不成立，所以C不正确.对选项D:当入 =弓时，取Di=号DC,连接HC,则HQ∥AC,又AC ∥AC1所以HQ∥AC,所以A,M,C,H,Q共面，即过A,Q, M三点的正方体的我面为ACHQ,由AQ=CH=V+号 =四.则ACHQ是等膜格形，且QH=号AG=号所以 3 平面我正方体所得藏面的周长为1=厄+号+2X√十哥 =4E+2VE,所以D正确；故选ABD. 8.A【解析】设该正三棱台上下底面圆的半径分别为n,2, 3√3 43 所以2n=、m6品，2n=n6品，解得n=3,n=4,设该球的 球心到上下底面的距离分别为山，d2,球的半径为R,所以 d1=√R-9,d=√R2-16,故|d-d=1或d1+d2= 1,即|√R2-9-√R-16=1或√R2-9+/R2-16=1, 解得R2=25,符合题意，所以球的表面积为S=4πR= 100元.故选A 9.A【解析】在正方体ABCD- D A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD ⊥平面ABCD,又EFC平面 ABCD,所以EF⊥DD,因为E F分别为AB,BC的中点，所以 EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD ∩DD1=D,所以EF⊥平面 BDD,又EFC平面B1EF,所 以平面BEF⊥平面BDD,故 E B A正确：如图，以，点D为原，点，建立空间直角坐标系，设AB =2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2, 0,2),A(2,0,0),C0,2,0),C1(0,2,2),则EF=(-1,1,0), EE=(0,1,2),DB=(2,2,0),DA=(2,0,2),AA1=(0,0, 2),AC=(-2,2,0),A1C=(-2,2,0),设平面BEF的法 jm·EF=-m+y=0 向量为m=(四)，则有：贰=十2=0，可取 m=（2,2,一1)，同理可得平面A1BD的法向量为n=(1, -1,-1),平面AAC的法向量为应三(1,1,0)，平面 AC1D的法向量为n=(1,1,-1),则m·1=2-2+1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与 n2不平行，所以平面BEF与平面A1AC不平行，故C错 误；因为m与3m不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不 平行，故D错误 10.【解析】(1)连接BO并延长交AC于点D,连接OA、PD,因 91 小题量检测数学 为PO是三棱锥P一ABC的高，所以POL平面ABC,AO BOC平面ABC,所以PO⊥AO、PO⊥BO,又PA=PB,所 以△POA2△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又 AB⊥AC,即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°， ∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD,所以AO= DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点，又E为PB 的中点，所以OE//PD,又OE过平面PAC,PDC平面 PAC,所以OE//平面PAC. (2)如图，以点A为坐标原点， 直线AB,AC分别为x轴，) 轴，过点A与平面ABC垂直的 直线为之轴建立空间直角坐标 系，因为PO=3,AP=5,所以 OA=√AP-PO=4,又 ∠OBA=∠OBC=30°，BD=2OA=8,所以AD=4,AB=4 √5，AC=12,所以O(2√5,2,0)，B(4√3,0,0)，P(25,2, 3),C(0,12,0),所以E(35,1,号)，则A证= (35,1,号)，Ai=(45,0,0),AC=(0,12,0),设平面 AEB的法向量为n=(x1,1,之)，则 {n…A花=35+n+是=0，n·A=45m=0,令 1=2,得n=(0,-3,2); 设平面AEC的法向量为m=(x2,2,2),则 {m·A花=35十y+2a=0,m·A心=12=0，取x =5,得m=(3,0,一6)；设二面角C-AE-B为0，则 cos0l=n·m 12 n m √13×39 =得所以0 V厂cos0-吕故二面角C-A北-B的正孩值为是 B 1.)证明见解折(2)号(3) 3 【解析】(1)证明：如图以 D为中心建立空间直角坐标系，则B(4,4,0),E(2,0,4), F(2,4,4),G(0,4,3),所以EF=(0,4,0),E第= (2,4,-4),FG=(-2,0,-1),设m=(a,b,c)是平面 BEF的一个法向量，剥m·庄=4h=0 m·Ei=2a+4b-4c=0'令a= 2,则b=0,c=1,所以m=(2,0,1),易知FG=一m,则FG 也是平面BEF的一个法向量，所以GF⊥平面BEF; (2)建立的空间直角坐标系，所以武=（一2,4，一1），B武 =(一4,0,3)，由(1)知F是平面BEF的一个法向量，设 平面BEG的一个法向量为n=（x,y,之)，所以 n·或=-2x十4y=0,令x=6,则x=8,y=5,即n 1n·BC=-4.x+3z=0 (6,5,8),设平面BEF与平面BEG的夹角为a,则cosa Ft·n 20 cos (FG,n=F·n5X/25=5:(3)由 (1)知EF⊥平面BCC1B1,FBC平面BCC1B1,所以EF⊥ FB,易知Sm=2EF·BF=7×4×+2=4V5, 又D)=(2,0,4),则D到平面BEF的距离为d= D成-是，由棱维的体积公式知：V脑=子dX FG■ 5 92 SABEF- ×8×4=32 1 5 3 A 12.【解析】(1)如图，连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边 形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面 ABCD,于是AC⊥BB.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF C平面BB1D1D,所以EF⊥AC D (2)如图，在棱AA上取，点G,使得AG=2GA,连接GD1, FC,FG,因为DE=号DD,AG=号AA,DD1LAA,所 以ED业AG,于是四边形EDGA为平行四边形，故AE ∥GD. 因为BF=子BB,A,G=子AA1,BB业AA,所以FG2 A1B1,FGLC D1,四边形FGD1C1为平行四边形，故GD ∥FC.于是AE∥FC.所以A,E,F,C1四点共面，即，点C 在平面AEF内. 13.【解析】(1)以C为坐标原，点，CD,CB, CC1所在直线为x,y,之轴建立空间直 角坐标系，如图，则C(0,0,0),C2(0,0, D 3),B2(0,2,2),D3(2,0,2),A2(2,2, 1),所以B2C=(0,-2,1),AD=(0, -2,1),所以B2C∥A2D,又BC2, D AD2不在同一条直线上，所以B,C ∥A2D2. (2)设P(0,2,)(0≤A≤4)，则A2C= X/D (-2,-2,2),P=(0,-2,3-), D2C=(-2,0,1),设平面PA2C2的法向量n=(x,y,之)， 则n:AG=-2x-2y+28=0 n:P元=-2y+(3-A)=0令2=2，得y=3-入x= 入-1，所以n=(入-1,3-入，2)，设平面AC2D2的法向量m m·AC=-2a-2b+2c=0 =(a,b,c),则 m·D2C=-2a+c=0 令a=1,得b=1,c=2,所以m=(1,1,2),所以cos<n,m〉 化6年8D+8示-cos1501-9, =n·m 6 2 化简可得，2一41十3=0，解得λ=1或入=3，所以P(0,2, 1)或P(0,2,3),所以B2P=1. 14.【解析】(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故 AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四，点共面.由已知 得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB@ 平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)取CG的中，点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB 平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知， 四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥ 平面DEM.因此DMCG.在Rt△DEM中，DE=1,EM= √3，故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4. G E(F 15.【解析】(1)连接AE,DE,因为E为BC中，点，DB=DC,所 以DE⊥BC①，因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC= 60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC= AB,从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E,AE,DEC平 面ADE,所以BC⊥平面ADE,而ADC平面ADE,所以 BC DA. (2)不妨设DA=DB=DC=2,因为BD⊥CD,所以BC=2 √2，DE=AE=√2.所以AE+DE=4=AD,所以AE⊥ DE,又因为AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BCC平面BCD. 所以AE⊥平面BCD.以，点E为原点，ED,EB,EA所在直 线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所示： A D /B x 设D(√2,0,0)，A(0,0W2),B(0,2,0),E(0,0,0),设平面 DAB与平面ABF的一个法向量分别为1=(，y1,之)， =(2,地，2)，二面角D-AB-F平面角为0，而AB= (0,√2，一√2)，因为EF=DA=(-2,02),所以F(一2， 02),AF=(-√2,0,0)，所以 -√2.m+√2=0 ,取x1= W2y-√2x1=0 1.所以=11。-0取-1所以m (0,1,1D,所以cos01=m·m= 2 -E,从而sin0 1m|n2√5x√23 √日-号所以二面角D-AB-F的正孩值为号 专题六解析几何 1A【解标】南台-，得后=3所，因光早=3×，而 a>1,所以a=25故选A 3 2.BD【解析】若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可 知，AF1⊥BF1,且AF1=BF.设AF2|=m,则由双曲 线的定义得|AF1=BF1=AF2|+2a=2+m,AB|= 2m.在△ABF中，由勾股定理得(2+m)2+(2+m)2=4m2, 得m=2+2√2，所以|AF|=|BF|=4+2√2，所以 △ABF的面积为2AF1·BF=号X(4+22=12 十82，故D正确；易知AF|·|BF|=|AB·FF2, 所以FF:=2+2E,故C不正确；由2-一苦-=1(6>0)可 知，a=1,又c=1十√2，所以=(1+2)2-1=2+2√2，故 A不正确；易知e=C=1十√2，故B正确.故选BD. 2 3.ABD【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离d= a2十，若 ,点A(a,b)在圆C上，则a2十=2，所以d= 于形=，则 2 直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+ B<r,所以d=后+元 >r,则直线l与圆C相离，故B正 参考答案·数学 确；若点A(a,b)在圆C外，则a2十形>2，所以d= a千<l r,则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l 上，则a2十b2一2=0即a2+b2=2,所以d= √a+b =lr ,直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD. (y=x+m 4C【解析】将直线y三x+m与椭圆联立三+=1，消去y 可得4x2十6m.x十3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于A,B 点，则△=36m2一4X4(3m2一3)>0，解得一2m2,设F1 到AB的距离d1,F2到AB距离d2,易知F1(一√2,0)，F 反，0，则d=-片m,d山=Em,S5 ② S2B |-√2+m √2 2+m =2,解得m=号或-3（合 |W2+m 去)，故选C 5.ABD【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)经过，点M(1,2), 所以22=2p,解得p=2,故A正确；抛物线方程为y2=4x 则焦点为F(1,0),由题知直线l的斜率不为0，设直线l:x= my叶1，由{411，消去x整理得y4my一4=0，则A =16m2+16>0,所以1十2=41，y12=一4，则0十2= m(y+2)+2=4m2+2,xx2=(my+1)(my2+1)=m2y 2+m(h+2)+1=1,所以AB=+2+2=4m2+4≥ 4,故B正确：易知OA=(x1,y),Oi=(x2,),所以OA· O市=12十y1边=一3，故C错误；k1=出·业=一4，故 1 D正确.故选ABD. 6.AC【解析】A选项：直线y=一√3(x一1)过点(1,0)，所以 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),所以号=1，p= 2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为y2=4x.B选 项：设My),N(2),由)一5(x-1D消去y并 1y2=4x 化简得3x2-10x+3=(x-3)(3.x-1)=0,解得=3，x2 =子，所以MN=a十a十p=3+子十2=9，B选项错 误.C选项：设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分 别为d,d,d,因为d=(d+d)=号(MF+NF)= MN,即A到直线L的距离等于MN的一半，所以以 MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线y =-3(x-1),即3x+y-5=0,O到直线3.x十y-3=0 的距离为d=号，所以三角形OMN的面积为宁×号×号 2 2 4号由上述分新可知功=-5(3-1D=-25为= (3-1)-2,所以oM=8+(-25=Vm, 0N√传)+(2=平所以三商形ON不是 等腰三角形，D选项错误.故选AC 93艺考一本通 数学 专题五 1.(2021·北京卷)定义：用24小时内降水在平 地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小 雨(<10mm),中雨(10mm~25mm),大雨 (25mm~50mm),暴雨(50mm~100mm), 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水， 如图，则这天降雨属于哪个等级 200mm 300mm A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 2.(2025·新课标I卷)（多选）在正三棱柱 ABC-ABC1中，D为BC中点，则() A.AD⊥AC B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC∥平面AA1D 3.（多选)如图所示，四边形AB'CD'是由斜二 测画法得到的平面四边形ABCD水平放置 的直观图，其中，A'D'=5,CD'=CB'=2, 点P'在线段CD'上，P对应原图中的点P, 则在原图中下列说法正确的是 C B' D A 01 A.四边形ABCD的面积为14 R与不铜向的单位向量的坐标为（一号，） C.AD在向量A上的投影向量的坐标为（号， 5 立体几何 D.|3PA+P的最小值为17 4.(2023·新高考I卷)在正四棱台ABCD A1B1CD1中，AB=2,A1B1=1,AA1=√2， 则该棱台的体积为 5.(2023·新高考Ⅱ卷)（多选）已知圆锥的顶点 为P,底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB =120°，PA=2,点C在底面圆周上，且二面 角P-AC-O为45°，则 ( A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4√3π C.AC=2√2 D.△PAC的面积为√3 6.(2022·全国甲卷理)甲、乙两个圆锥的母线 长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧 面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和 -2 A.√5 B.2√2 C.√/10 D.5 v10 7.(多选)在棱长为1的正方体ABCD1 ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱 A1D上一点，且DQ=λD1Ai,A∈[0,1]，N 为线段AQ的中点，给出下列命题，其中正确 的是 8 A.CN与QM共面 B.三棱锥A一DMN的体积跟入的取值无关 C.当入=时，AMLQM D.当入-时，过A,Q,M三点的平面截正方 体所得截面的周长为4②+23 3 8.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为 1,上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点 都在同一球面上，则该球的表面积为() A.100πB.128πC.144πD.192π 9.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD- A1BCD1中，E,F分别为AB,BC的中点， 则 A.平面B1EF⊥平面BDD B.平面B1EF⊥平面ABD C.平面BEF∥平面A1AC D.平面BEF∥平面A1C1D 10.(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥 P-ABC的高，PA=PB,AB⊥AC,E是PB 的中点 (1)证明：OE//平面PAC; (2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3,PA=5, 求二面角C-AE一B的正弦值. ·5 第二部分 二轮专题检测 11.(2025·天津卷)正方体ABCD-A1B1CD1 的棱长为4，E、F分别为A1D,CB1中点， CG=3GC1. (1)求证：GF⊥平面FBE; (2)求平面FBE与平面EBG夹角的余 弦值； (3)求三棱锥D一FBE的体积. D 12.如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，点 E,F别在棱DD1,BB1上，且2DE=ED1, BF=2FB.证明： (1)当AB=BC时，EF⊥AC: (2)点C在平面AEF内. 9· 艺考一本通一 数学 13.(2023·新高考I卷)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA=4.点 A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1, DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明：B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上，当二面角P一A2C D2为150°时，求B2P. 14.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC 折起使得BE与BF重合，连接DG,如图2. (1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且 平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的四边形ACGD的面积. E(F 图 图2 ·6 15.(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A一BCD 中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB= ∠ADC=60°，E为BC的中点. (1)证明：BC⊥DA; (2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB 一F的正弦值， D 0·