专题3 数列-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

专题三 1.(2021·北京卷){am}和{bn}是两个等差数 列，其中号(1≤k≤5)为常值，a1=288,a= 96,b1=192,则b3= A.64 B.128 C.256 D.512 2.(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等 差数列，a1=一2，若a3,a4,a6成等比数列，则 a10 () A.-20B.-18 C.16 D.18 3.(2021·浙江卷)已知数列{am}满足a1=1, a+1=,a一(n∈N).记数列{a}的前n 1+√am 项和为Sn,则 ( A是<Sw<3 B.3<S1o0<4 CA<Sm<号 D.号<Sw<5 4.(2021·江苏卷)已知等比数列{am}的公比为 q,且16a1,4a2,a3成等差数列，则g的值是 5.在等差数列{an}中，a1=一9，a3=一1.记Tm =a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}( A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 6.（多选)数列{a,的前n项和为Sa=2若 该数列满足am十2SnS-1=0(n≥2)，则下列 命题中正确的是 A公是等差数列RS云 11 C.an= 2n(n-1) D.{S2}是等比数列 5 第二部分 二轮专题检测 数列 7.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sm为等比数列{an} 的前n项和，若S4=一5，S6=21S2,则S8= ()》 A.120 B.85 C.-85D.-120 8.(2025·新课标Ⅱ卷)记Sm为等比数列 {an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0,若 S3=7,a3=1,则 A4=司 Ba=日 C.S5=8 D.an+S,=8 9.(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列， {bn}是公比为2的等比数列且a2一b2=ag一 b3=b4一a4. (1)证明：a1=b; (2)求集合{kb=am+a1,1≤m≤500}中元 素个数 10.(2023·新高考I卷)已知{an}为等差数列， 「am一6，n为奇数 On= 记Sn,Tn分别为数列 2an,n为偶数 {am},{b}的前n项和，S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tm>Sn. 艺考一本通一 数学 11.(2023·新高考I卷)设等差数列{a}的公 差为d,且d>1.令b.=心+n,i记S,Tn分 别为数列{am},{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{am}的 通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且Sg9一T9=99, 求d. 12.已知正项等差数列{an},a1=2,且a1,a2 1,a3成等比数列，数列{bn}的前n项和为 5a=2251=25.+b. (1)求数列{am}和{bm}的通项公式； (2)若，=b,十。1，数列{c}的前n项和 anan+l 为1求证：工<名 13.(2021·新高考Ⅱ卷)记Sm是公差不为0的 等差数列{an}的前n项和，若a3=S5, a2a4=S4. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求使Sm>an成立的n的最小值. ·5 14.(2021·浙江卷)已知数列{am}的前n项和 为Sa1=-是，且4S1=3S.-9, (1)求数列{an}的通项； (2)设数列{b.}满足3b.十（n-4)an=0,记 {bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意 n∈N*恒成立，求λ的范围. 15.(2021·江苏卷)已知数列{am}满足a1=2, 且an+1=3am+2m-1(n∈N*). (1)求证：数列{am十n}为等比数列； (2)求数列{am}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn. 16.(2021·全国卷)已知数列{am}满足a1=1, an十1，n为奇数， an+1= am十2，n为偶数. (1)记bn=a2m,写出b1,b2,并求数列{bn}的 通项公式； (2)求{am}的前20项和. 2·小题量检测数学 sin/ADB=sin2BAC,而AB=4,∠ADB=,AC= AB BD VABC=5 inBAC-瓷=a∠BAC-0- 告，所以BD-12Y2.os∠ABD=Qs(∠BDC-∠BAC 5 =cos平cos∠BAC+sim至sin∠BAC=7,2 10 A B 13.【解析(1)在△ABC中，因为a=3,c=√2，B=45°，由余弦 定理b=a2+c2-2 accos B,得b=9+2-2X3X√2cos45 =5,所以6=后.在△ABC中，由正孩定理品BC得 sn4好-sC,所以sinC=E 52 5 (2②在△ADC中，因为os∠ADC-告，所以∠ADC为钝 角，而∠ADC+∠C+∠CAD=180°，所以∠C为锐角.故 osC=-smC=25,则amC-0=:因为 5 cos C os∠DCA=-号，所以sin∠ADC=-ZADC- 号a∠ADC=瓷=-是从5m∠DC=am (180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)= tan(∠ADC+∠C) mA0Ca远1-(-￥) 2 1= 14.(1)【解法-】在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC= 3AD=1 D E 则S%e=AD·DCsin∠ADC-X1X含aX号-得 28 a=号S△m=号，解得a=4,在△ABD中，∠ADB=答， 由余弦定理得2=BD十AD-2BD·ADcos∠ADB,即 2=4+1-2X2×1×(-2)=7,解得c=万，则c0sB= 号器血B=B=√(T 2√7×2 任，所以amB肥县得 cos B 5 【解法=】在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC=苓， AD=1,则Sam=合AD·DCsin∠ADC=号X1X分aX -号=2S-号=5-9解得a=4在 2 △ACD中，由余弦定理得2=CD+AD-2CD·ADcos ∠ADC,即=4+1-2X2X1×号=3.解得b=厅，有 86 AC+AD=4=CD,则∠CAD=受，C=否，过A作AE 1BC于E,于是CE=ACoo C=号，AE=ACsin C-号 BE号所以mB能- (2)【解法一】在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 c2=a2+1-2x号aX1Xcos(x-∠AD B=d+1-2X分aX1Xos∠AD0 ,整理得司 d+2=6+2,而十2=8，则a=25,又5ax=号× 5Xs∠ADC-号，解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC< ,于是∠ADC=受，所以b=c=√AD+CD=2. 【解法二】在△ABC中，因为D为BC中点，则2AD=AB +AC,又CB=AB-AC,于是4AD+Ci2=(AB+AC)2 +(AB-AC)2=2(62+2)=16,即4+a2=16,解得a=2 ,又Su=合×，5X1×m∠ADC=9,解得sn ∠ADC=1,而0<∠ADC<x,于是∠ADC=吾，所以b=C =√AD+CD=2. 15.(1号(2)3(3)49【解析】1)已知asin B=56os A,由正孩定星A一B:得asin B=inA=万cos b A,显然c0sA≠0，得tanA=√3，由0<A<元，故A=5: (2)由(1)知osA=7,且(=26十1a=万，由余孩定理口 =8+c2-2bcc0sA,则7=6+(2b+1)2-2×2b(2b+1) =3+3b+1,解得b=1(b=-2舍去)，故c=3;(3)由 里A名B且6=1a=7,mA=号得snB 正弦定理a。 _A_图，且0>b,则B为锐角，故cosB=,故 14 2B=2BasB=2且ms28=1-2mB=1-2 ×(图)-是：故m(A+2B=nAas2B+co Asin 2B=9×+2×-49 7 专题三数列 1.B【解析】由已知条件可得号-会，则6==962 288 =64,因此，=6=19264=128.故选B 2 2 2.C【解析】设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)，因为aa, a4,a6成等比数列，且a=一2，所以a=aa6,即 (-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0 (舍去)，所以a10=a1十9d=一2+9×2=16.故选C 3.A【解析】因为a11,a+1=1十元(n∈N),所以an一 左<台限据系如加法可得左1+”宁=些，当且仅 an 2 4 当n=1时取等号，所以a≥(m十1所以at1 an 1+/a an 1+ 2 a所以。<由累来法可得S =十1 an n+1 6 (十Dm十2，当且仅当=1时取等号，由裂项求和法得 (日)<3，即号<Sm<3故选A 4.4【解析】因为{an}为等比数列，且公比为q,所以a2=a1· 9,a=a·q2且a1≠0，q≠0.因为16a,4a2,a3成等差数 列，所以16a1+a=2×4a2,有16a+a1·=2×4a1·q, 一8q十16=0，解得q=4.故答案为4. 5.B【解析】由题意可知，等差数列的公差d=二4= 5-1 1士9=2，则其通项公式为：a=a十(n一1)d=一9+(n 5-1 1)X2=2-11,注意到a1<a2<a<a4<a<0<a6=1< T=a>] a<…,且由T<0可知T<0(≥6.iN,由T (≥7，iN)可知数列{Tm}不存在最小项，由于a=-9,ag =一7，a3=一5，a4=-3,5=-1,a6=1,故数列{Tn》中的 正项只有有限项：T2=63,T=63×15=945.故数列{Tm}中 存在最大项，且最大项为T.故选B. 6.ABD【解析】对于A,当n≥2时，由an十2SnSm-1=0得：Sm -8+25=0,所以支+2=0，脚支5 2又兮-日=2，所以数列日}是以2为首项，2为公差的 等差教列，A正确：对于B.由A知：写=2+2(n-1)=2, 所以S=元B正确：对于C当≥2时，a,=8-S1=易 1 2%”=D经检绘a=合不 1 1 1 满足au=一 1 n(n-1D,所以au= 21=1 ,C错 1 、2n(n-1)0≥2 误对于D,由B得：S=高，所以S1=S,又S= 子，所以S)是以为首项，分为公比的等比教列，D正 1 确.故选ABD. 7.C【解析】设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,若q=1, 则S=6a1=3×2a1=3S2,与题意不符，所以q≠1；由S4= -5,S=21S,可得，092）=-5,02)=21× 1一q 1-q a1二20，由①可得1十q2+g=21,解得：对=4，所以 1-q S=02)=402×1+g)=-5×1+16)= 1-q 1-g 85.故选C. 8.AD【解析】对于A,由题意得a1￠=] la1十aq十ag=7结合9> a=4a=9 0,解得1或 ==-3 1(舍去)，故A正确；对于B,则a5 =a9=4X(分)=子，故B错误：对于C,S= 参考答案·数学 a二4以1》-头，故C特：对手a.=4X 1-q 1一2 4 (3）=2-,5. 4x[1-(分)] =8-2m+8,则an十 1-日 Sn=2-n十8-23-n=8,故D正确；故选AD. 9.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由a2-b=ag一b=b4一 a得十日治=.叁理得么-a=号所 以a1=b1. （2)由1)知，=a1=号，图为6=a十a,所以a1×21- a1十(m-1)2a1十am,整理得2-1=2m,即m=2-2∈ [1,500],由1≤2-2≤500得2≤k≤10，所以k的取值依次 为2,3,4，…，10，故集合{k|b=am十a1,1≤m≤500}中的元 素个数为9. 10.【解析】(1)设等差数列{am}的公差为d,而b= ae-6,n=2k-1,k∈N,则b=a1-6,b=2a2=2a1十 2an,n=2k 2a6=一6=4+2-6，千是二细招=16 解得a=5,d=2,am=a4+（n-1)d=21十3，所以数列 {an}的通项公式是am=2n十3. (2)【解法-】由(1)知，S。=5+多+3》=r十4，h,= 121-3n=2k-1,k∈N,当n为偶数时，b-1十b=2(n 14n+6,n=2k -1D-3+4+6=6+1,T=18+tD.号=号0 2 +子，当心5时，工。-5=（受心+子）-om+n)= 之1-1)>0，因此Tm>S。,当n为奇数时，T=T+1 61=号(m+1D+子n+1)-[4n+1D+6]=多r+号 n-5,当m心5时，T。-S=(号+号0-5）-(+4n) =合(+20(m-5)>0,固此T>S,所以当n>5时，T >S. 【解法=】由(1)知，S。=u(5+多0+3》=十4.6= 2 [2m-3,n=2k-1,keN,当n为偶数时T.=(6十b+ 14n+6,n=2k …+6-1）+（6+h十+6.)=-1+2g》-3.号+ 2 14+6.号=号f+名，当>5时，工-S 2 (是+子n）-(㎡+4n)=2m-1D>0,因此T.>s, 当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b十b+…十bn)+(b十 6+…+h-1)=1+,20-3.1+14+4m1D+6. 2 2 ”分=号+2m-5显然T=h=-1满足上式，因北 当u为奇数时，T=号十号0-5，当心5时，。-S (受r+号a-5）-(f+4m)=子u+2n-50>0.因比 Tm>Sn,所以当n>5时，Tn>Sn. 11.【解析】(1)因为3a2=3a1+a3,所以3d=a+2d,解得a= d,所以S=3e=3(a1十d)=6d,又T=b十b十b,=a 87 小题量检测数学 +员十号=号所以S十1=d+号=21，即2t-74计 3=0,解得d=3或d=号（舍去），所以a,=a1十(n-1)· d=3n. (2)因为{6，}为等差数列，所以2弘，=b十，即2=2十 a2 a ,所以6(1-1)=6d=1,即a-3ad+2d=0, as a2 a3 解得a=d或a1=2d,因为d>1,所以an>0,又Sg一T9 =99,由等差数列性质知，99a50一99b0=99,即a50一b0= 1,所以a0-255心=1，即aa0二2550=0，解得a60=5 或a50=-50(舍去)，当a1=2d时，a50=a1+49d=51d= 51,解得d=1,与d>1矛盾，无解；当a1=d时，a5o=a1十 49d=50d=51,解得d-品蟒上d-品 12.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,则d>0.因为a1=2,且 a1,a2-1,a3成等比数列，所以2(2+2d)=(2+d-1)2, 所以d=3,所以am=2十3(-1)=3-1. 由2Sa+1=2Sn+bn,得2(S+1-Sn)=2b+1=bn,所以 6是公比为多的等比数列，又6=合，所以6 =(2)月. =A+a-(2）”+mr西-（合）》 +() 所以工=(3广+（分）+…+(3)》”十 3[（分-号)+（分-8）++(3十)] 安》 =名-[（号）”+3n+] 17 因为（号）》广+3+万>0，所以T<名 13.【解析】(1)由等差数列的性质可得S=5a,则a=5a3, 所以a=0,设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=(a d)(a+d)=-d,S4=a+a2+a3+a4=(a3-2d)+(as 一d)+ag+(a3一d)=一2d,从而一=一2d,由于公差不 为零，故d=2,数列的通项公式为an=a3+(n一3)d=2n -6. (2)由数列的通项公式可得a1=2一6=一4，则Sm=nX( ④）+nn)DX2=-5,则不等式S>a,即n2-5n> 2 21-6,整理可得(1-1)(n一6)>0，解得<1或1>6，又n 为正整数，故n的最小值为7. 14.【解折11)当n=1时，4(a十a)=3a1-9,4a:=号-9 平所以a=一器当n≥2时，由4S1=3S-90,得 4S=351-9@.①-@得4a1=3aa=-28≠0，所 以a0,所以公=子又会=导所以{a是首项为 是，公比为是的等比教到，所以a=一是·（受）=-3 ()； 2)由弘十(r-a,=0,得么=-"写a=m-(是)，所 88 以T,=-3×-2×()-1×()》°+0×()广+ …+(m-4).()°，T=-3×()》-2×()° 1×()）广++(m-5).()”+(m40.(经）)，两 式相减得工=-3×+()+()'+（径）广+… +》广)-是- 1- -m-40()=-+是-4()》1-m-4) (=-…(）,所以T=-…(),由 工≤得-m·()）”<-4)·()广恒成立，即 入(n一4)十3n≥0恒成立，n=4时不等式恒成立：<4时，入 ≤兴=3得1心4时2=3 是得2-3所以-31 15.【解析】(1)由a+1=3am+21-1,得a+1+n十1=3(an+ m,所以+=3，又a十1=3，所以{a十m是首项 an十n 为3，公比为3的等比数列. (2)an十=3X3-=3”,所以an=3”一n. (3)S=3+3+…+3-(1+2+…+0=3-301 1-3 1(n+1_3w+1-3_2(n十12_3+1一n2-1-3 2 2 16.【解析】(1)由题设可得b=a2=a1+1=2,b2=a4=a+1 =a2十2+1=5.又a2k+2=a2k+1+1,a+1=a2k+2,(k∈ N")故a2+2=a2%十3，即bn+1=bn十3，即b+1一bn=3.所以 {bn}为等差数列，故bn=2十(n一1)×3=31一1. (2)设{an}的前20项和为S2n,则S0=a1十a十a十…十am, 因为a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1,所以S0=2 (a2+a4+…+a18+a26)一10=2(b+b2+…+bg+b1o) 10=2×(10x2+9×3)-10=30. 专题四概率与统计 1.C【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111， 01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010, 11100,共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为： 01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，故2 个0不相尔的概率为品=0.6，故选C 2.AC【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的 离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集 中趋势：由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度： 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故 选AC. 3.B【解析】对于A,根据正态分布对称性可知，P (X≤一o)=P(X十o),A说法正确；对于B,根据正态 分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2)=0.5,B说法错 误；对于C和D,相关系数|r越接近O,相关性越弱，越接 近1，相关性越强，故C和D说法正确.故选B. 4.C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学 生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为 事件A十B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 A·B,则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+B)=0.96,所以 P(A·B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96= 0.46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学 生总数的比例为46%.故选C.