第24讲 圆锥曲线-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

第一部分 一轮单元检测 第24讲 圆锥曲线 ©限时：60分钟⊙总分：84分 一、选填题(60分) 点分别为F、F2,过F的直线交椭圆于M,N 1.已知抛物线=日，则它的准线方程为 两点，交y轴于点H.若F,H是线段MN 的三等分点，则△F2MN的周长为() A.y=-2 B.y=2 C.x=一32 1 1 D.y=32 2点P2.0到双曲线好 =1的渐近线的距离 A.20 B.10 C.25 D.4√5 为 ( R号 6已知F,:分别是椭圆C等+芳 =1(a>b C.4 D.3 >0)的左、右焦点，P是C上的一点，若 3.已知O为坐标原点，F,F2分别为双曲线C: 3PF|=2|FF2,且∠PF1F2=60°，则C zy a2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P 的离心率为 在双曲线的右支上，若△POF2是面积为2√3 A35 B.2-√3 的正三角形，则？的值为 C.√7-2 D.3-2√2 A.2 B.6 7.(多选)设F(0,√2p)为抛物线C:x2=2y(p C.43 D.8-45 >0)的焦点，O为坐标原点，A为C上一点， 4(多选)已知F,P,为双曲线C:背-2-1 且|AF=9,则 () 的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则 A.p=8 B.F(0,4) ( A.|PF-|PF2|=23 C直线AP的斜率为明 B双曲线C的渐近线方程为y= 32 D.△AOF的面积为8√5 8.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F C.双曲线C的离心率为2 3 到准线的距离为4，直线1过点F且与抛物线 D.IPF+PF1≥23 交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若M(m,2) () 5如图所示，椭圆焉+兰=1(a>0)的左、右焦 是线段AB的中点，则 A.=4 ·45· 艺考一本通 数学 B.抛物线的方程为y=16x 与双曲线的两个交点为A,B(点B,A分别 C.直线1的方程为y=2x-4 位于第 一、二象限)，且双曲线的虚轴长为 D.AB|=10 9.直线1与双曲线x2-=1交于A,B两点， 2,离心率=琴 (1)求双曲线的标准方程； 线段AB的中点为点M(一1，一4)，则直线1 (2)直线AB与渐近线l1,l2分别交于点M, 的斜率为 ( N,若△MON的面积为，求直线AB的 A.-g B C.-9 4 n号 斜率. 10.(多选)设F,F为椭圆号+兰-1的左，右 焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有 17个不同的点P:(i=1,2,3…),|FP, |FP2,FP3,…组成公差为d的递增等 差数列，则 A.FP的最大值为2√5+4 B.△FPF的面积最大时，tan∠FPF= 13.已知椭圆C,若+带=1(a>6>0)过点 1 ,直线l:y=x十m与椭圆C交于A, C.d的取值范围为0，] B两点，且线段AB的中点为M,O为坐标 D.椭圆上存在点P,使∠FPF=3π 原点，直线OM的斜率为一0.5. (1)求椭圆C的标准方程； 11.（多选)在平面直角坐标系xOy中，已知双 (2)当m=1时，椭圆C上是否存在P,Q两 曲线C:号苦-1的右焦点为下，过F且 点，使得P,Q关于直线1对称，若存在，求 出P,Q的坐标，若不存在，请说明理由. 倾斜角为的直线1分别交C的左、右两支 于点A,B,直线AO交C于另一点D,则 ( A.DF⊥OF B.AF=5 BF C.∠DOF=2∠BOFD.∠ADB≠∠FDB 二、解答题（每题12分，共24分） 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲 线C:若苦-1a>0.6>0)的两条渐近线 分别为l,l2,圆E:(x-a)2+y2=2(r>0) ·46·小题量检测数学 2)到圆心的距离为√(3-1)2+(0-2√2)2=25>3，所 以，点(1,2√2)在圆C的外部，所以B错误，对于C,因为圆 心C(3,0)到直线l:x十√3y+3=0的距离为d= 3+3 =3=r1,所以直线l:x十√3y十3=0与圆C相 √12+(3)2 切，所以C正确，对于D,圆C:(x十1)2十y2=4的圆心为 C(-1,0),半径n=2,因为|CC1=√(3+1)=4，n-r2 ≤4<n十3，所以圆C:(x+1)2十y=4与圆C相交，所 以D正确，故选ACD. 13.ACD【解析】由条件可知，圆C 的半径为1，圆心坐标为(a,lna) 即圆心在曲线y=lnx上运动.对 于A,当a=1时，圆C与y轴相 切，当lna=士1，即a=e或时， 圆C与x轴相切，所以满足要求 的a有3个，A正确：对于B,若圆 C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴 的距离相等，故圆心在y=士x上，又圆心在y=nx上，作 图可知曲线y=lnx与y=x没有公共点，与y=一x有 个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误； 对于C,若圆C过坐标原点，则a2十(lna)2=1,如下图可 知，曲线y=lnx与x2十y=1有两个交点，所以满足要求 的a有2个，C正确： 对于D,若圆C的面积被直线 =工平分，则直线y=工经过 圆心(a,lna),计算可知曲线y =lnx在x=e处的切线恰好为 y=工，即满足要求的a仅有一 x+y=1 个，故D正确.故选ACD. 14.ACD【解析】圆M的圆心M (cos0,sin),半径n=1,而圆x2+y2=4的圆心O(0,0), %=2,所以|OM=1=n一n1,所以圆M与圆x2+y=4 内切，A正确；圆心到直线的距离cos eos a+sin Osin a Vcos a+sin a =c0s(0一a)1,故圆和直线相切或相交，B错误；因为圆心 M(cos0,sin0)到直线x十y=√2的距离为：d= cos 0+sin 0-2 Esim(+）-2 2 √E sin(+平)-1，因为sin(0+)∈[-1,1]， sim(0+年）-1∈[-2,0]，sim(0+平）-1∈[0,2]， 又因为圆M的半径为1，所以圆上到直线x十y=√2的距离 等于1的点最多两个，故C正确；过直线x十y=3√2上任 一点P作圆M的切线，切，点为A,B,四边形PAMB面积 为：S=2S△PmM=|MA|·|PA|=|PA|=√MP2-1,当 MP垂直直线x十y=3√2时，|MP|有最小值，且|MP|= cos0+sin0-3√2 /2sim(0+年)-3V2 √2 √2 sim(0叶)-3，因为sim(0叶平)∈[-1,1， sm(0叶交）-3∈[-4，-2]，sim(0叶于)-1∈[2,4]， 所以MP|mm=2,则四边形PAMB面积的最小值为Smm= √MP|m一1=3，故D正确.故选ACD. 15.5【解析】因为圆心(0,0)到直线x一3y十8=0的距离d =4,由AB|=2√P-正可得6=2√P-4,解 J1+3 得r=5.故答案为5. 16.(x-12+(y-2)=13,或(x-号)°+(y号)》=号或 x2+y2=16 【解析】若选点（一2,0），(4,0)，则圆心在直线x=1上，又圆 心在直线y=2x上，故圆心坐标为(1,2)，半径r= √(4一1)+(0-2)严=√3，故所求圆的标准方程为(x 82 1)2+(y一2)2=13；若选，点（一2,0），(0,4)，则以这两点为 端，点的线段的中点坐标为（一1,2），所以其垂直平分线的方 程为y-2=一9号(x+10,即x十2y-3=0,由 23=0,得1=景y=导，即周心坐标为 /y=2.x, （号9)半径r√（号+2）+（号-0=故 5 所求国的标准方程为(。是》十（一号》厂=号：若选点 (0,4),(4,0),则以这两点为端，点的线段的中点坐标为(2， 2),所以共垂直平分线的方程为y一2=9x一2，即 x一y=0,由二0.得x=0y=0,即周心坐标为(0， 0),半径r=(4一0)2十(0一0)=4，故所求圆的标准方 程为x2+y2=16. 第24讲 圆锥曲线 1.C【解折】周为抛精线y=日，所以少=·号=动它的 准线方程为x=一2： 1 2B【解析】双曲线苦一后=1的裔近线方程为3x士4y=0, 故点P(2.0)到双商线号-后=1的新近钱的距高为 V3干伞=分，故选B 6 3.C【解析】△POF,是面积为25的正三角形，即号XcXc Xsin60°=2W5,所以c2=8,即c=2√2，所以△POF2的边长 为2②，高为6，所以P(E,6)或P(E,-6),所以是 户=1，又a2+P=8,所以=43，故选C 4CD【解析】双曲线C:苫-x2=1焦点在y轴上，a=5,b 1,c=√a2+6=2,对于A选项，||PF|-|PF2|=2a=2 √3，而P点在哪支上并不确定，故A错误；对于B选项，焦点 在y轴上的双南线新近线方程为y=士分x=士，故B 错误，对于C选项e。=后=，故C正确。 对于D选项，设P(x,y),则|PO|=√x2+y= √x+(3x十3)=√3+4x3(x=0时取等号)，因为O 为F1F2的中点，所以|PF1十PF2=2PO=2PO≥2 3,故D正确，故选CD. 5.D【解析】由F1,H是线段MN的三等分点，得H是FN 的中点，又F1(一C,0),所以，点N的横坐标为C,联立方程得 号+-1，得N(,),所以H(0,2),M -C, 22 26,一名起点M的坐标代入楷围方程得鸳士丹 =1,化简得c2=2中，又2=2-4，所以心1=a2-4,解 4 得a2=5,所以a=5.由椭圆的定义知NF2|+NF1= MF2|+MF1=2a,所以△F2MN的周长为NF2|+1MF +MNI=NF2+MF2+NF+MFI=4a=4 √5，故选D. 6.C【解析】在△PF2F中，∠PFF2=60°，设F(一c,0),由 题意知PF=皆，FF=2c,由余弦定理得PF, 4+-2X2X宁cx号-得，片以PF1=2由 精圆的定义知2a=PF1十PF,=4什2互c,则离心率e 3 =3=7-2.故选C. 2+√7 7.ABD【解析】由题意得号=√2，又p>0,所以b=8,所以 抛物线C的方程为x2=16y,焦点为F(0,4),故A,B正确； 由抛物线的定义知AF到=M十号=M十4=9，所以=5， 代入抛物线方程，可得xA=士4√5，即A(士45,5)，所以 、k=45后士易故C不正确：易知△AOF的面积S= OF·a=8后，故D正确.放选ABD 8.ACD【解析】因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的 定义可知p=4,故A正确；故抛物线的方程为y=8x,焦点 F(2,0),故B错误：则y1=81,=82.又M(1,2)是AB 的中点，则y十为=4，所以听-=8.m一8x2,即当二业= x1一x2 8=2,所以直线1的方程为y=2x一4.故C正确：由 y1十y2 二2}故正病散AB=AF十 9.D【解析】设A(x,y),B(2,2),则直线1的斜率为k= 代入-苦-1，得 -=1 ,两式相减得：x x1一x2 x=。追.又线段AB的中点为，点M(-1,-4),则m十 9 x=-2,M十为=-8.则x好-=。竖→》二业. 9 x1一x2 十兴=6·二号=9P=是.经检登满足题意，故选D x1+x2 10,AC【解析】向精国方程号+兰=1知，a=25,6=2c =4.选项A:因为P为椭圆上的动点，所以a一c≤|PF≤ a十c,所以FP|的最大值为a十c=25+4,故A正确，选 项B:当点P为短轴顶点时，△FPF的高最大，所以 △F,PF的面积最大，此时an∠F,PF=一专，所以B正 确；选项C:设FP1,|FP2,FP,…组成公差为d的等 差数列为{an},所以a1≥a一c=25-4,an≤a十c=2√5十 4,d-<马≤73=故C亚确选项D,周为 8 ∠EPF=PEP+IPF2-IEFE 2 PF PF (PF +PED:-2IPE LIPFIEF,IPF1+ 2 PFPF 22 PF=2a,EF=2.所以os∠FPF=PFPF-1, 而PF|+|PF|≥2 PF PE,当且仅当|PF|=| PF时取等号，此时PF|PF≤G2,cos∠RPF≥2 1,故北时∠万PF最大，此时am∠FPF=一专<-1= an平，故D不成立.故选AC 1.ABD【解折]以南线C:亏-苦-1的右盒点为F3,0, 直线AB:y号(x一3)=写-反由 3x3, 可得 3 36=1, 9 x= x=一3， =-25则A(-3,-2,B 51 y=-23或 5 (号，-2)，根据对称性知D(3,2.对于A,m=年 5 =3,故DF⊥OF,故A正确；对于B,AF|=4√3，|BF|= 参考答案·数学 45,故1AF=5BF,故B正确；对于C,tan∠DOF= 5 25 2tan∠BOF 3,tan/BOF=23.则tan2∠B0F=1-an2/BOE 9 12岁≠n∠0f=29,又∠0F,∠0F∈(0受).所 23 以∠DOF≠2∠BOF,故C错误：对于D,直线AD:2x一√3y 18⊥6 =0,点B到直线AD的距离为1 54,点B到 w4+3 直线DF的距离为3-号=号，则∠ADB≠∠FDB,故D 正确.故选ABD. 2.【解析1)由题意得6=1，e=日=号，可得a=2,所以双曲 贷的标准方程为 -y2=1. 2设An).B队g.后，得 (x-2)2+y2=2, 一4红十3-P=0,所以西十=9.设直线AB的方程为y （y=kx+t, 田{年-y=,得(1-4)2-86 一-4=0，所以通十=9中E=号 8kt kt y=kx十t, (y=kx十t, 得由安，得w= ①.由 .2t 欲所以sm=子（产运+平云）=产e -2t 1 /2t 2t =号②.由①②得，1=2,6=士号，因为点B,A分别往于 第一、二象限，所以1=2k>0,所以k=子，即直线AB的斜 率为子 13.【解析】（1)设A(x1少)，B(2),则M (白会，2)，即=品=宁周为A,B在 2 x1十x2 精周C上，所以兰+普=1，+兽=1，两式相减得 +)(x-2+y士2=0，即六+ 士二y=0,又kw=A0=1,所以 b(xm+x2)(x1一x2） x1一x2 办=0，即a2=水.又因为精圆C过点(1，号)，所以 是十是=1，解得a2=4,心=2，所以精國C的标准方程 1 为号+=1： (2)由题意可知，直线l的方程为y三x十1.假设椭圆C上 存在P,Q两点，使得P,Q关于直线L对称，设P (,为)，Q(x4,y4),PQ的中点为N(m,y),所以x 十4=20为十y=2如，因为P,Q关于直线1对称，所 以ko=一1且，点N在直线l上，即b=0十1 又因为P.Q在摘圆C上，所以号+普=1，等+受=1， 两式相减得十)(-)+土M)C二) 2 =0,即+1+当y)的2=0，所以十= 4 2(-x4) .4 1解得0二二子即 当4，即n=20.联立{二20 2 N2》.又国为241，p点N在精 2 圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存 在，点P,Q两点，使得P,Q关于直线l对称. 83