第1章 基础巩固篇-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

第二部分二轮专题复习第一章 第二部分二轮专题复习 令第一章 基础巩固篇 专题1集合 考情分析 高频考点 专题突破 考卷 题号 详细知识点 2022(卷Ⅱ) 1 交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式 2023(卷I) 1 交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式 2023(卷Ⅱ) 2 根据集合的包含关系求参数 2024(卷I) 1 交集的概念及运算 2025(卷I) 2 集合与补集 2025(卷Ⅱ) 3 集合运算与交集 每年此考点在全国卷中均占据前几题的位置，从考查内容来看，主要涉及交并补运算，常与 解不等式等知识点相结合.虽然新定义的运算也可能出现，但其难度通常不高.综合历年经验，今 后对集合部分的考题进行大幅度调整的可能性较小.因此，考生应重点掌握交并补运算的基础知 识，并熟悉其与其他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分.此外，排除法（特殊法）也是 解决此类问题优选方法。 常见集合元素限定条件；对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不 等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题 画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x还是y 【专题突破】 1.若A={yy=2x},B={x(x-1)2<4},则 A.ACB B.AUB=A A∩B= ( C.A∩B=⑦ D.A∩(CB)≠ A.{x-1<x<0} B.{x0<x<3} 5.已知集合M={xx2-2x>0}和N= C.{x1<x<3》 D.{x-1<x<3} {xln(x+1)>1},则 () 2.已知集合A={x∈Zx2-2x-3<0},则集 A.N二M B.M∈N 合A的子集个数为 A.3 C.M∩N=(e-1,+∞) B.4 C.8 D.16 D.MUN=(-∞，0)U(e-1,+∞) 3.已知集合A={0,1,2},N={xx=2a,a∈A}, 6.已知集合M={xx2-x-2>0},N= 则集合A∩N等于 {xx>a},若N三M,则实数a的取值范围 A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2} 为 () 4.设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2}, A.(1,2) B.[1,+o∞) B={x|y=√x-1},则 ( C.(4,+∞) D.[4,+o∞) ·173· 艺考一本通数学 专题2常用逻辑用语 考情分析 高频考点 专题突破 考卷 题号 详细知识点 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列； 2023(卷I) 7 求等差数列前n项和 2024(卷Ⅱ) 2 命题真假判断 2025(卷I) 2 集合与补集 2025(卷Ⅱ) 3 集合运算与交集 2025(卷I) 2025(卷Ⅱ) 近年来该考点考查的比较少，分析发现地方考卷考得比较多，全国卷考得少，很显然这一考 点不是一个热门考点，但依然需要大家引起足够重视，尤其是“充要条件”和“全称与特称”.2026 年要注意“全称量词与特称量词” “充要条件”的判断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件→结论”，必要性“结论→条件”. 要注意“三角与充要条件”结合的考题 【专题突破】 1.设a,6∈k则a<60是君号的 ( 要条件 4.“b=±√10”是“直线x+y十b=0与圆C: A.充分不必要条件 (x+1)2+(y-1)2=5相切”的 () B.必要不充分条件 A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 C.既是充分条件又是必要条件 2.已知a>0且a≠1，“函数f(x)=a'为增函 D.既不是充分条件也不是必要条件 数”是“函数g(x)=x-1在(0，十∞)上单调 5.(多选)若p:x一2|≤1，则p成立的一个充 递增”的 ( 分不必要条件是 () A.充分不必要条件 A.1≤x≤3 B.2<x<3 B.必要不充分条件 C.1<x<3 D.0≤x≤4 C.充要条件 6.在等比数列{an}中，已知a2020>0,则“a2021> D.既不充分也不必要条件 () 3.已知a,b均为正数，则1na>ln方是“a十6 a2024”是“a2022>a2023”的 A.充分不必要条件 >2”的 ( B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 D.既不充分也不必要条件 ·174· 第二部分二轮专题复习第一章 专题3复数 考情分析○： 高频考点 调 专题突破 考卷 题号 详细知识点 2022(卷Ⅱ) 2 复数代数形式的乘法运算 2023(卷I) 2 复数的除法运算；共轭复数的概念及计算 2023(卷Ⅱ) 1 在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算 2024(卷I) 2 复数的除法运算 2024(卷Ⅱ) 1 复数的模运算 2025(卷I) 1 复数运算（求虚部） 2025(卷Ⅱ) 2 复数除法运算 此考点每年一题，非常稳定，也是送分题之一，大家要细心，确保拿下.考查四则运算为主，偶 尔与其他知识交汇，难度较小.考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复 数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设之=α十bi. 重要提示：不管考查的是什么问题，一定要先把复数转化为标准模式之=a十bi! 【专题突破】 1.在复平面内，复数己 的共轭复数对应的点 4.若复数=2士的实部与虚部相等，则实数a a-i 位于 ( 的值为 () A.第一象限 B.第二象限 A.-3 B.-1 C.1 D.3 C.第三象限 D.第四象限 5.（多选)已知复数1，x2,下列命题正确的是 2.（多选)已知1,2是关于x的方程x2-2x十 () m=0(m∈R)的两根，则 ( A.z1z2|=|x1川z2 A.x1十x2=2 B.若|之1=之2，则之1=2 B.|z1=|22 C.之11=2 C.若m>1,则之1=2 D.若之12=2，则之1为实数 D.若m>1,则十号<2 6.(多选)已知复数之，均不为0，则() 3若复数是纯虚数，则实数a=( A.x2=|x2 B-际 C.x-w=x-w c号 n ·175· 艺考一本通数学 专题4平面向量 考情分析○： 高频考点 专题突破 考卷 题号 详细知识点 2021(卷2) 15 数量积的运算律 2022(卷I) 3 用基底表示向量 4 平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示 2022(卷Ⅱ) 10 数量积的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直 2023(卷I) 3 求参数 13 数量积的运算律三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量 2023(卷Ⅱ) 17 积的运算律 2024(卷I) 3 向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数 2024(卷Ⅱ) 3 向量垂直；向量的模运算 2025(卷I) 6 向量运算与风力等级 2025(卷Ⅱ) 12 平面向量运算（垂直条件求解） 向量考查的比较基础，难度不大，很少与其它知识交汇，重点考查向量的基本运算.数量积问 题有坐标按照坐标算a·b=x1x2十y1y2,没有坐标按照模运算a·b=a bcos0;可以建系的 建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影向量问题考的可能性不大 几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位向量要看清， 模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小 于0且不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方. 【专题突破】 1.已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上 结论正确的是 () 有一点C,且2AC+C第=0，则O心=( A.当t=1时，m+n=√/41 A.2OA-OB B.-OA+2 OB B.当t>一2时，向量m与向量n的夹角为锐角 c.B D.o+号Oi C.存在t<0,使得m∥n 2.已知平行四边形ABCD,若点M是边BC的 D.若m⊥n,则t=一2 三等分点（靠近点B处），点N是边AB的中 4.定义：若不相等的两个向量a=(x1,y1),b 点，直线BD与MN相交于点H,则部 (x2,y2)满足条件：a|=b且x1,y1,x2,y2 均为整数，则称向量a,b互为“等模整向量”， 则与向量a=(1,0)互为“等模整向量”的向 A号 c D号 量个数有 () A.2个B.3个 C.4个D.5个 3.已知向量m=(3,4),n=(2t,1-t),则下列 ·176· 第二部分二轮专题复习第一章 专题5三角函数 考情分析○： 高频考点 调 专题突破 考卷 题号 详细知识点 6 用和、差角的余弦公式化简、求值 2022(卷Ⅱ) 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参 数，求sinx型三角函数的单调性 6 给值求值型问题；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求 2023(卷I) 8 值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；余弦函数图象的应用 15 7 半角公式；二倍角的余弦公式 2023(卷Ⅱ) 16 特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式 4 用和、差角的正弦公式化简、求值 2024(卷I) 7 三角函数图像与变换 9 三角函数图像与性质多选 2024(卷2) 13 三角和；差角的化简；求值 三角函数对称中心（正切函数）；三角形面积与三角函数；三角函数不 2025(卷I) 4、11、19 等式与导数综合 2025(卷Ⅱ) 8、15 三角函数（二倍角、两角差的正弦公式）；三角函数与函数单调区间 该考点每年至少一小题.难度不大，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质（重点十难点）、 化简求值（热点十年年考）、基本属于“送分题”.小心平移伸缩问题.最担心。和0问题（这是热点 也是难点，注意用好数形结合) 三角函数的定义式：会巧妙利用定义求解sin、cos、tan,特别要注意正负；熟练诱导公式、两 角和与差公式、倍角公式、辅助角公式，符号问题太重要；牢记sin、cos、tan的图像性质；注意利用 整体思想解决问慝，出现一乏，三元，受，2x等的时候记者用诱导公式，其他角的形式用两角和与 差公式展开或合并；sinα，cosα用降幂公式的较多；巧妙选择倍角公式进行凑角和转化；巧妙选 择两角和与差公式进行凑角和转化. ·177· 艺考一本通数学 【专题突破】 1.已知a为锐角，且cos(a+晋)= ,则 周期大于g(x)的最小正周期， 其中真命题的序号是 tan(g-a）- A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ A.-② B.-2C.2 D号 4.已知0为第一象限角.sin0一cos0= 则 tan 20- 2.已知函数f(x)=2cos(ax-)十1.(w>0) A.22 B.25 C.-22 3 D.-25 的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称 3 5 轴，则w的取值范围是 ( 5.若函数f(x)=2 sin-号）(w>0,当x∈ A.(o. B(层] [0,受]时，值域为[-，2]，则w的取值范围 c[》 n.[3+o∞ 是 () 3.关于x的两个函数f(x)=cos(x-a)与g A[34 B[] (x)=cos(ox十号)有以下命题： c[] [号 ①不存在α，使得f(x)既是奇函数又是偶 6.已知2sin&-sin3=√3,2cosa-cosB=1,则 函数； cos(2a-23)= () ②对任意的a,f(x)都不是奇函数； ③对于任意的a,存在w,使得f(x)与g A B.15 4 (x)有相同的最小正周期； ④对于任意的w,存在α，使得f(x)的最小正 C.4 D 专题6解斜三角 考情分析 高频考点 专题突破 考卷 题号 详细知识点 2022(卷Ⅱ) 18 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公 2023(卷I) 17 式及其应用 2023(卷Ⅱ) 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 2024(卷I) 15 正、余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用 2024(卷Ⅱ) 15 正、余弦定理解三角形；三角形周长 2025(卷I) 11 三角形面积、三角函数 2025(卷Ⅱ) 5 三角形中的余弦定理应用 ·178· 第二部分二轮专题复习第一章 以往考6道大题时，新高考每年解斜三角都会有一道题.自2024年新高考大题调整为5道 解答题，解三角仍出现大题，说明此考点非常重要.余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余 弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是化成角的话，下一步按三角→两角→一角进 行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠.如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含 有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路.三角形内的三角函数求值、三角 恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇. 【专题突破】 1.在△ABC中，内角A,B,C厅对应的边分别是 C.BD=4 D.S△ABC=20 a,b,c,若a=3,b=√/13，B=60°，则c=(） 3.设在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 A.1 B.2 C.3 D.4 a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 2.(多选)如图，在△ABC中，已知点D在边 的形状为 () AB上，AD=3DB,cosA= 5,COs∠ACB= A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 号BC=13则下列说法正确的有 () 4.在△ABC中，AB=√7，AC=1,M为BC的中 点，∠MAC=60°，则AM= 5.在△ABC中，BC=2厅，SAc=A店. 2 AC,则△ABC外接圆半径为 A.cos B-65 16 B.CD=9√2 专题7数列 考情分析 高频考点 专题突破 考卷 题号 详细知识点 3 等差数列通项公式的基本量计算 等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算； 2022(卷Ⅱ) 17 数列不等式能成立（有解）问题 利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求和；含参分类讨论求 22 函数的单调区间 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列； > 求等差数列前n项和 2023(卷I) 等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数 20 列前n项和的基本量计算 8 等比数列前项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用 2023(卷Ⅱ) 利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算；求 18 等差数列前n项和；分组（并项）法求和 ·179· 艺考一本通数学 2024(卷I) 19 数列新信息 2024(卷Ⅱ) 12 等差数列的基本运算， 2025(卷I) 13、16 等比数列公比求解、数列性质（等差数列）及相关函数 2025(卷Ⅱ) 7、9 等差数列前n项和、等比数列通项与前n项和 新高考对数列的考查，这几年基本上是以一大一小的形式出现.2024年新高考题量改为19 题之后，数列有所削弱.分别出现了大题、小题， 等差等比用通项公式和前项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法求通 项，裂项相消、错位相减、分组求和求前项和要掌握类型特点. S1,n=1, 特别注意Sn和anm的关系，an 两个方向都可以转化分组求和、裂项相消法 Sm-Sm-1,n≥2 和错位相减法要看清通项的形式；a1,d,q,am,Sm等基本量的求解很重要，多解问题要多次验证进 行取舍. 【专题突破】 1 2an,0≤an≤ 科学的一个组成部分.美表现在数量比例上 1.若数列{am}满足am+1 的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本 2a,-1,2<a<1 质在于和谐.他们常把数描绘成沙滩上的沙 粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自 3 a=后，则a= 然数进行研究.如图所示，图形的点数分别为 A号 R c D. 1,5,12,22,…,总结规律并以此类推下去，第 8个图形对应的点数为 ,若这些数 2.已知等差数列{an}满足a4十a7=0,a5十a8 一4，则下列命题：①{an}是递减数列；②使S 构成一个数列，记为数列a,则a十号+号 >0成立的n的最大值是9；③当n=5时，S 21 取得最大值；④as=0,其中正确的是( A.①② B.①③ C.①④ D.①②③ 3.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶 等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的 12 22 高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16，从第二 5.88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一 项起，每一项与前一项的差组成新数列2,3， 个递增的等比数列.若中音A(左起第49个 4,5,新数列2,3,4,5为等差数列，则称数列 键)的频率为440Hz,钢琴上最低音的频率 2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等 为27.5Hz,则左起第61个键的音的频率为 差数列{am},其中前几项分别为2,5,9,14， Hz. 20,27,记该数列的后一项与前一项之差组成 6.对于数列{an},由b,=an+1一am作通项得到 新数列{bn},则b。= ( 的数列{bn},称{bn}为数列{am}的差分数列， A.5 B.6 C.7 D.8 已知数列{bn}为数列{an}的差分数列，且 4.毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯 {bn}是以1为首项以2为公差的等差数列， 及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然 则a10一a5= ·180· 第二部分二轮专题复习第一章 专题8立体几何 考情分析○ 高频考点 调 专题突破 考卷 题号 详细知识点 7 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题 2022(卷Ⅱ) 11 锥体体积的有关计算；证明线面垂直 12 正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题 2023(卷I) 14 台体体积的有关计算 圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨 9 2023(卷Ⅱ) 析；由二面角大小求线段长度或距离 14 正棱台及其有关计算；锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算 5 圆锥侧面积的有关计算；锥体体积的有关计算 2024(卷I) 17 空间几何体的平行与垂直；已知二面角求长度 7 台体体积的有关计算；线面角的几何求法 2024(卷2) 17 空间几何体的垂直证明；向量法求二面角. 2025(卷I) 9、17 立体几何（正三棱柱）；立体几何（四棱锥、球心位置、线面关系） 2025(卷Ⅱ) 14、17 圆柱与球的空间几何问题；空间几何折叠与二面角计算 新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不容忽视的.对 于考生而言，必须对此给予特别的关注.深人理解并熟练掌握空间几何体的结构特征是解答这类 问题的关键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积等.在实践中，常采用的方法包括分割法、 补体法、还台为锥法以及等积变换法等，这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效 此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难点出现.这类 问题主要考查几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力.在选择题 和填空题中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不仅要具备解题所需的数学技能，还需要有 读题画图的能力. 总的来说，本考点考查非常稳定，小题、大题都会出现.对于空间几何体的表面积和体积问 题，考生需要深人理解其结构特征，掌握相关计算方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧， 才能顺利应对各种考查. 【专题突破】 1.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆 工件底面半径15cm,高 的半径为8，则圆锥的侧面积为 10cm,加工方法为在底 A.384πB.392πC.398π D.404π 面中心处打一个半径为r 2.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该 cm且和原工件有相同轴 ·181· 艺考一本通数学 的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积 A.2 B.√5 C.4 D.2√5 最大，则r的值应设计为 ( ) 5.四棱锥P一ABCD各顶点都在球心O为的 A.√/10B.√15 C.4 D.5 球面上，且PA⊥平面ABCD,底面ABCD为 3.已知正四棱锥P一ABCD各顶点都在同一球 矩形，PA=AD=2,AB=2√2，设M,N分别 面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为学。 是PD,CD的中点，则平面AMN截球O所 得截面的面积为 则该球表面积为 ( 6.将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成 A.9π B.36π C.4π n号 甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧 4.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截 面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和 得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2， V二 且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长 为 ( 专题9直线和圆 考情分析： 高频考点 专题突破 考卷 题号 涉及知识点 3 已知斜率求参数 10 已知两点求斜率 2022(卷Ⅱ) 求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题；由直线与圆的位置 15 关系求参数 16 根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率 2024(卷Ⅱ) 10 抛物线与圆的综合多选；圆切线问题 2025(卷I) 7 圆与直线距离 2025(卷Ⅱ) 直线的考查基本上没有单独成题，而是作为一个条件或者一个选项出现在某一道题当中，熟 悉掌握基本知识即可.直线与圆的位置关系这几年出现的次数显著增加，值得重视.直线与圆相 交的弦长问题要结合点线距离和勾股定理（垂径定理）. 【专题突破】 1若与y销相切的圆C与直线1：y=停也相 2.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中 最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小 切，且圆C经过点P(2,√)，则圆C的直径 圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100 为 ( 个圆中最大圆的半径是 A.2 B2或号C. A.8 B.9 C.10 D.100 ·182·艺考一本通数学 第二部分 第一章基础巩固篇 专题1集合 1.B【解析】A={yly=2〉={y|y>0},由(x-1)2<4 得，-2x-1<2,即-1<x<3,则B={x|-1<x<3}, 故A∩B={x0<x<3}.故选B. 2.C【解析】解不等式x2-2x-3<0,得-1<x<3,因此A= {x∈Z|-1<x<3}={0,1,2},所以集合A的子集个数 为23=8. 3.D【解析】当a=0时，x=2a=0;当a=1时，x=2a=2;当a =2时，x=2a=4,故N={0,2,4},故A∩N={0,2}. 4.A【解析】'A={yy>1},B={xx≥1}，由此可知Ag B,AUB=B,A∩B=A,A∩CB=, 5.D【解析】.M={xx2一2x>0}=(一∞，0)U(2,十∞)， N={x|n(x+1)>1}=(e-1,+o∞)，.A、B选项错误； .∴.M∩N=(2,+∞)，MUN=(-∞，0)U(e-1,+∞)，故 C错误，D正确. 6.D【解析】由x2-x-2>0,即(x十1)(x-2)>0,解得x >2或x<-1,所以M={x|x<-1或x>2},因为N= {xx2>a}且N二M,若a<0时N=R,若a=0时N= {xx≠0}，不符合题意，所以a>0,则N={xx<一a或x >a),所以 -√a≤-1 解得a≥4，即实数a的取值范围为 a≥2 [4,十∞).故选D. 专题2常用逻辑用语 1.A【解析】因为上-=2，所以当a<b<0时，ab>0,b a b ab 。0,所以日方->0即>合，当>方时，取 a b ab a=1,6-1,得不到a<0,所以a<b0是日>充分 不必要条件 2.C【解析】函数(x)=a为增函数，则a>1,此时a-1> 0,故函数g(x)=x4-1在(0，十o∞)上单调递增；当g(x)= x-1在(0，十o∞)上单调递增时，a一1>0，所以a>1,故 f(x)=a2为增函数. 3.A【解析】由lna>n方，可得n。>n1-h6,所以1na十 lnb>ln1,即lnab>ln1,所以ab>1,所以a+b≥2√ab 2,所以lna>n方”是“a十b>2”的充分条件：取a=2,6= 子，可得1na<n方故1na>n方是“a+b>2”的不必要 条件：所以na>n云是“a+b>2”的充分不必要条件.故 选A 4.C【解析】由已知得圆心C(-1,1),半径r=√5，圆心C到 直线x十y+b=0的距离d=2-5,所以bl=0,即 46 二轮专题复习 b=士√10，所以所求直线方程为x十y士√/而=0.“b= 10”是“直线x十y十b=0与圆C:(x十1)2+(y-1)2=5 相切”的充要条件. 5.BC【解析】设|x-2|≤1对应的集合为A,使p成立的一 个充分不必要条件对应的集合为B,由x一21解得，1 ≤x≤3，故A=[1,3],因为要求使p成立的一个充分不必 要条件，所以B二A且B≠A,满足上述条件的选项有BC.故 选BC. 6.A【解析】公比q≠0，∴.a221>a224,.a22q>a202n9,…g >q,.q(1-q)>0,.q(1-q)(1+q+q)>0, .q(1-q)>0,∴.0<q<1,又a22>a2023,∴.a202m>a2020 ,.>q,.q(1一q)>0,∴.q1且q≠0，∴.0g<1→ q<1且q≠0，即“a221>a221”是“a222>a223”的充分不必要 条件 专题3复数 D【解析1日a十万合十之i的共宛复：为号 1+i 1 合i对应点为（日。一昌）在第四象限 2.ACD【解析】关于x的二次方程x2-2x十m=0,△=4 4m.当m≤1时，△≥0，所以，2∈R,名十2=2,212=m, 但|岩|=|忽|不一定成立.当m>1时，△<0,1,2是方程 的两个复数根，1十2=2,12=m仍成立，此时|刘|= |2|,故A正确，B错误.若m>1,方程x一2x十m=0的 两根为x=1士√m一i,所以名，2互为共轭复数，C正确. 若m>1,由于名十购=2，总2=m,所以好十号= （十2)2-212=4-2m<2,D正确.故选ACD. &A【解折】-a+02-D-2十36-，则2a 5 5 +3=0,有a=-昌. 4.A【解析)=2生=2士)Ca-D=2如+1+(a=2)因 a+i (a+i)(a-i) a2+1 为复兼：的实部与度郭相等，所以2☑十1=a一2解得 a=一3.故实数a的值为一3. 5.AC【解析】对于A,设刘1=a+bi,2=c+di, (a,b,c,d∈R),则|2|=√(ac-bd)'+(ad+bc)= √a2c2+ad+bc2+bE=√a2+bF·Wc2+正= |||2|,故A正确；对于B,当=3+4i,=4十3i时， |ǎ|=√9+16=5，|2|=√16+9=5，故B错误；对于C, 设=a+bi,=a-bi,a,b∈R,a1=a2+b,a112=a 十b2,故C正确；对于D,设=a十bi,=a一bi,a,b∈R, x12=a2-b+2abi,2=a2-b-2abi,当a=0或b=0时， 12=2,故D错误. 6.BCD【解析】设=a十bi(a,b∈R)、=c+di(c,d∈R); 对A:设z=a十bi(a,b∈R),则2=(a十bi)2=a2+2abi b=a2-b2+2abi,z2=(√a2+6F)2=a2+6,故A错误； 对队号=云又=小，脚有号=后故B正确： 对C:x-w=a十bi-c一di=a-c十+(b-d)i,则一=a-c 一(b一d)i,之=a一bi,=c一di,则x一=a一bi一c+di=a 一（一(di,即有2四=-西，故C正确：对D:兰 绵引 ac+bd-(ad-b)i c2+d2 -√()+() N fa'c +2abcd+bd +a'd-2abcd+b c (c2+dP)2 N a22+bd+ad+bc_/ac+62+a+62 (2+d)2 c2+d a@+Fa+F×e+吧 √2+ 2+d -a+)(+西=a牛6C+Q牛6C,故 c2+ c2+d2 |言-故D正跪 专题4平面向量 1.A【解析】2AC+范=2（元-OA)+(Oi-O元）=3d -2OA+Oi=0,所以O元=2OA-O市 2.C【解析】设Bi=a,B=b,则 Bd=3a+2b,M亦=b-a,设Bi =入Bd,Mi=HMN,则Bi=3a +2b,Mi=b-a,因为Bi= B M Bi+Mi=a十b-a=(1一)a十b,所以 3入=1一，解 2λ=4 得=日所以萌=号动器-密-日 3.AD【解析】当t=1时，m十n=(5,4),所以m十n=√4红， 故A项正确；m·n=6t十4-4t=2t十4，当t>-2时，m·n >0,但当1=是时，向量m与向量n同向，夹角为0，故B项 错送；若m/,则1=是故C项错误：若mLm,则m·n 0,即3×21+4(1一t)=0,解得1=一2，故D项正确. 4.B【解析】设b=(x,y)与a=(1,0)互为“等模整向量”的向 量，则√x2+y=1,所以x2+y2=1,令x=1,则y=0,则b =(1,0)(舍去)，令x=0,则y=±1，则b=(0,1)或b=(0, 一1)，令x=一1，则y=0,则b=(-1,0),故与向量a= (1,0)互为“等模整向量”的向量个数有3个.故选B. 专题5三角函数 1.D【解析】因为&为锐角，所以。+音∈(，号)且 cos(e+吾）=号，所以 in(a+吾)>0， im'(a+否）+cos(a+否)=l, 得sin(a+吾)-写，由诱导公式得sin(子-a) 参考答案·数学 sm[受-(a+吾)]=cos(e+吾)-号os(贤-a) 如(。+音)-原所以m(昏-) sin(-a) 3 os(-a） -/2 2 2.A【解析】因为x∈(0,2x),w>0,所以wr-于∈ （-牙，2m吾)，要想图象在区间(0,2x)内至多存在3 条对称轴，则2wm一哥∈(-晋3x],解得c(0,号] 3.A【解析】①由三角函数的奇偶性可知，不存在a,使得f (x)既是奇函数又是偶函数，①正确：②当a=受十m,k∈乙 时，f(x)=士sinx为奇函数，②错误；③当w=1时，f (x)与g(x)有相同的最小正周期2x,③正确：当④w=司 时，g(x)的最小正周期为4π，显然大于f(x)的最小正周期 2π，④错误，故真命题的序号是①③.故选A 4D【解折]周为0为第一象限角，sm0-s0号>0，则 sin a>cos 0>0,cos 20=cos20-sin2<0,(sin 0-cos 0)2= 号，即1-m20=号，解得sn20=号，os20= -个厂m功=9片以如20黑》-2 c0s20 5 5.D【解析】根据题意可知若x∈0，受，则可得r-答∈ [-受，受。一吾]：湿然当1=0时，可得2sn(or音)= 一，由∫(x)的值域为[一√5,2]，利用三角函数图像性质 可得受<受。一晋<晋十x,解得号<w≤号，即w的取值 范国是[号，] 6.D【解析】因为2sina-sinB-√3,2cosa-cosB=1,所以平 方得，(2sina-sinB)2=3,(2cosa-cosB)2=1,即4sima -4sin asin B+sin2B=3,4 cos a-4cos acos B+cos=1, 式相加可得4-4 sin asin B-4 cos acos3+1=4,即cos acos3 十in asin9=子，故cos(a-A=子，ms(2a-29)= 2cos(a9》-1=2X品-1=-日 专题6解斜三角 1.D【解析】由余弦定理得：b=a2+2-2 accos B=9+c2 3c=13,即c2-3c-4=0,解得：c=-1(舍)或c=4,∴.c=4. 2.AB【解析】在△ABC中，cOsA=手，A∈(0，)，所以sinA =厂0sA=是同理可得，m∠ACB=号.所以osB =cos[x-(A+∠ACB)]=-cos(A+∠ACB)=sin Asin 47 艺考一本通数学 ∠ACB-Acos∠ACB=是×号-告×音-品故A正 确：在人ABC中，由正弦定理得：ABCn∠ACB=B ×号=20，又AD=3DB,所以DB=子AB=5,在△BCD 中，由余弦定理得，CD=√BD+BC-2BD·BCcos B= √+132-2X5x13x需=90，厄，故B正骑，C不正角：因 为BE(0x),所以simB=厂os历=器则Sc=司 AB·BC·smB=号×20X13×器=126，故D不正璃，故 选AB. 3.B【解析】因为bcos C.+ccos Bi=asin A,所以由正弦定理可 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,sin(B+C)=sin2A=sin A=sin2A,所以sinA=1,A=交，所以是直角三角形. 4.号【解析】在△ABC中，取AC 的中点N,连接MN,由M为 BC的中点，得MN=号AB=B M 牙，在△AMN中，由会弦定理得MN:=AM:+AN: 2AM·ANcOs∠CAM,则子=AM:+子-号AM.即AM -2AM-号=0，而AM>0,所以AM=号. 5.3【解析】因为S号市.A衣，故宁1A11AsnA -号恋|A衣sA,故anA=厄，故A为锐角，故s血A -故外接周的辛径为2×宁=-3。 √6 3 专题7数列 |2a0ca.≤3 1.A【解析】数列{au}满足am+1= a1= 2am-1,2<am<1 是，则a=2a-1=号a=2a=号a4=2a=青a=2 2 4 a-1=号=a,因国此继续下去会循环，数列{a}是周期为4 的月期数列，所以a0=Q=au=子故选A 2.D【解析】设等差数列{am}的公差为d,故 /a4+a?=2a1+9d=0 a1=9 as十a=2a+1d=-4解得：d=2由于d<0,故 {a,}是递减数列，①正确：S.=9m十n)1DX(-2)= 2 101-,令Sn=101-n2>0,解得：0<n<10,且n∈N",故 使Sm>0成立的n的最大值是9，②正确；an=9十(1-1)X (-2)=-2十11，当1≤n≤5时，an>0,当n≥6时，am< 48 0,故当n=5时，S取得最大值，③正确；a6=一2×6十11= 一1，④错误. 3.D【解析】根据题意知，数列2,5,9,14,20,27，…，满足bm-1 =am一an-1=n十1(n≥2)，所以b6=a7一a6=8. 4.92336【解析】记第n个图形的点数为am,由题意知a= 1,a2-a1=4=1+3×1,a-a2=1+3×2,a4-a3=1+3× 3,…,an一ar-1=1十3(n-1),累加得an-a=4十7+…十 1+3(n-1)]=受(3n-10,即a,=受(（3m-1),所以as 92.又号=32，所以a十号+号+…+货=合2+5+ 8+…+62)=号×22×21=36 2 5.880【解析】设等比数列的公比为q(q>1),则440 =27.5q8,所以q2=2,则左起第61个键的音的频率为27.5 ·g0=27.5·(q2)5=880(Hz). 6.65【解析】由题意得b,=a+1一an=2n-1→an一aa-1=2n -3,a一a1=1,累加得a-a1=1+21-3)(n-D 2 (n-1)2,即an=a1+(n-1)2(n≥2)，则a10-a5=92-42 =65. 专题8立体几何 1.A【解析】设圆锥的半径为，母线长为，则r=8,由题意 知，2xr=号1，解得：l=48,所以圆锥的侧面积为xl=8× 48π=384π. 2.D【解析】大圆柱表面积为2×15π+10×2×15π=750π， 小圆柱侧面积为10×2πr,上下底面积为2π产，所以加工后 物件的表面积为750π十20πr一2π，当r=5时表面积最大. 3.B【解析】如图，设P在底面 ABCD的射影为H,则PH⊥平 面ABCD,且H为AC,BD的交 点.因为正四棱锥底面边长为4， 故底面正方形的面积可为16，且 AH=合X4E=2E,故号× B 3 PHX16=号，故PH=4由正四校维的对称性可知O在直 线PH上，设外接球的半径为R,则OH=4一R,故R= 8十(4-R)2,故R=3,故正四棱锥P-ABCD的外接球的 表面积为4XπX9=36π. 4.D【解析】设圆台的母线长为l,因为该圆台侧面积为3√5π， 则由圆台侧面积公式可得πl(1十2)=3πl=3√5π，所以l= 厅，设藏去的圆锥的母线长为人，由三角形相似可得十 ，则21=1十5，解得1=5，所以原圆锥的母线长1+1 1 =5+/5=25. 5.3π【解析】如图所示，易知四棱锥 P一ABCD外接球与以AP,AB, AD为棱长的长方体的外接球相 同；由题意可知球心O为PC中 点，故球0的直径2R=√22+2+(2√2)=4，解得R=2, 由M,N分别是PD,CD的中点可得MN∥PC,可得PC∥ 平面AMN;所以球心O到平面AMN的距离等于，点C到平 面AMN的距离，设球心O到平面AMN的距离为d,截面 圆的半径为r,在三棱锥C-AMN中，易知AM⊥平面 MNC,且Sawe=2XEXE=1,所以V-c=子X SXAM--=号，而Ve-m=子XSNw·d=3X合× 2x2d=24,由等体积法得d=1,所以2=R2-=3,故 3 截面面积为π=3元. 6.√0/10时【解析】设母线长为l,甲圆锥底面半径为n,乙 圆维底面圆半径为n,则==2=2，所以n=2, Szπr2l 2领十20=2：则中=1所以n=号n=号，所 以甲圆锥的高=√P-看F-号，乙国维的高 3 1 3πi年2X3 3 3Px2, /10.故答案为/10. 专题9直线和圆 1.B【解析因为直线1：一号的候针角为测，所以圆C的 圆心在两切线所成角的角平分线y=√3x上.设圆心C （a,W3a),则圆C的方程为(x-a)2+（y-√5a)2=a2,将 点P(2,5)的坐标代入，得(2-a)2+(5-5a)2=a2,整 理得3ad2-10a十7=0，解得a=1或a=3:所以圆C的直径 7 为2或兰 2.C【解析】设这100个圆的半径从小到大依次为n,r2,, r10,则由题知，疗=1，每相邻的两个圆中，小圆的切线被大 圆截得的弦长都为2，有层+1一员=1(n=1,2,…,99),则 {员}是首项为1公差为1的等差数列，n=1,2,…,100,所 以m=100,得n=10. 3.B【解析】由1-d)z十2ay-3-3=0可得行倍十 y-3=0,令a=am号，由万能公式可得os0= 2a os号-sm昌 1-tan 1-a2 1+tan2 1+a2,sin 0= 2sn号cos号 2an号 os号+si名1+ar号 0,所以直线1的方程 为xcos0+ysin0-3=0①，由题意可知过原点与直线l垂直 的直线方程为xsin0-ycos0=0②， ①十②2可得x2十y=9,即表示，点Q的轨迹为圆心为(0， 参考答案·数学 0)半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围为[r一PO,1 十PO],因为PO=2,所以线段PQ长度的取值范围 为[1,5]. 4.ABD【解析】对于A,设点M(x,y),由MA=2MB,得 √/(x+4)2+y=2√/(x-2)2+y,化为(x-4)2+y2=16, 所以，点M的轨迹是以，点(4,0)为圆心、4为半径的圆，所以 △AMB面积的最大值为号1ABr=号X6X4=12,故A正 确；对于B,设线段AB的中点为N,Mi.M亦=(M衣+ NA)·(M+N范)=|M2-|NA12≤(8+1)2 (一1十4)=72，当点M的坐标为(8,0)时取等号，故MA· M心的最大值为72，故B正确；对于C,显然点Q(8,8)在圆 外，点B(2,0)在圆内，|MA|+2|MQ|=2|MB|+2 |MQ|=2(|MB|+|MQ|)≥2|BQ|=2√/(8-2)+8 =20,当B,M,Q三点共线且，点M在线段BQ之间时， (MA|+2MQ)m=20,故C错误；对于D,由1OA|=4,| 0B=2有8=2=编当点M不在x销上欧：由三 角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，O是 △AMB中∠AMB的平分线，故D正确.故选ABD. 4 专题10椭圆、双曲线、抛物线 1.A【解析】设动点P(,n),m≠0，⊙P与⊙F外切于点Q, 则|PF=|PQ|+|QF|,由抛物线焦半径公式得， |PF=m十号，⊙F的半径为号，即|QF=号，所以 IPQ=|PF-|QF=m+号-号=m,即oP的半径 为m,所以点P到y轴的距离为m,则⊙P与直线x=0 相切. 2.B【解析】由描圆C:千+y=1,可得a=2,=1,所以c =可=5，所以描国的离心率=写，又=2e,所 以双南线的离心率为6=3，又双南线G:芳-y=1a> 0),所以c=√，所以百=3，解得a=.故选B 4 3.A【解析】依题意，抛物线C的焦，点在x轴的正半轴上，设 C的方程为：y2=2px,p>0,显然直线PQ不垂直于y轴，设 直线PQ的方程为：x=十2，点P(苏)，Q芳，由 =2p消去x得：-2p0一4=0，则有M为=-4h, x=ty+2. 由0PL0Q得：0市.0à-苏·芳+n0=4-4=0,解得 p-=1,于是抛物线C:y=2x的焦点F(号，0)，弦PQ的中 49 艺考一本通数学 点M的纵坐标为要=1，则点M十2，)，显然直线Mr的 斜率最大，必有1>0，则直线MF的斜率=1 2+ 3 2 2 当且仅当2=三，即1=9时取 √6 等号，所以直线MF的斜率的最大值为 ty 4.B【解析】由S△PB=S△PN,则2 sin∠APB·|PA|IPBl=之sn 1 ∠MPN·PN|PM,由图知：当P Q 位置变化时，∠APB=∠MPN或 ∠APB+∠MPN=x,故sin∠APB=sin∠MPN,所以 IPA|IPB|=|PN|IPM川，而直线AP、BP斜率存在且 不为0(0≠士1)，故|PA||PB|=√+·|xo十1|· √1+p·|x-1|,|PN|IPM川=√1+p· |x-2|·√1+kp·|x0-2|,所以|x8-1= (xn一2)2，即6-1=x8一4x0十4或1一x6=x6-4x0+4,当 后-1=后-4场十4，化简得=是当1一号=后-4场十 4时，2x-4x十3=0，显然△=16-20<0，无解.所以x0 5.D【解析】P(xM),Q(-,-y),H(-x,0), T(),则=义.选项A,双曲线C:号-y=1,所以渐 近线方程为)=士1，直线与双曲线交于P,Q两点，所以 -子<k<子，由已知，k≠0，所以该选项正确；选项B,km =m一十。六一会，所以诚递项正猜：选项C 怎-子如=头6如g=号：所以接递项正确：选 1 项D因为ka=号，所以0十品r>2ko·kar=2X2 =1≠2，故该选项错误. 6.AC【解析】由原点(0,0)在曲线上得a=|OF|· |OF2|=1,选项A.设曲线与x轴正半轴相交于(t,0),t> 0,则(t+1)(t一1)=1，解得1=√2，故A正确；选项B,设曲 线C上任一点坐标为(x,y),则√(x十1)十y· √(x-1)2+y=1,得(x2+y+1)2-4x2=1,则 (x2+y2)(x2+y2+2)一4x2=0,所以(x2+y2)2+2 (x2+y2)-4x2=0,即(x2+y2)2=2x2-2y2,故B错误； 50 选项C,由(x2+y2)2=2x2-2y2,得x+(2y2-2)x2+y +2y=0,由x∈R,得△=(2y-2)2-4(y+2y)= 16+≥0，所以<，则|川≤故C正确：选项D, 由(x2+y2)2=2x2-2y≥0，得|x|≥|y|,故点 (n,h)在C上时有yo≤||成立，故D错误.故选AC 专题11计数原理 1.C【解析】将5位同学分为2,1,1,1的分组，再分配到4所 学校，共有C号A=240种方法. 2.BCD【解析】对于A,所有可能的方法有43种，故A错误 对于B,分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则 去场馆甲的志愿者情况为C,另外两名同学的安排方法有3 ×3=9种，此种情况共有CX9=27种，第二种：若有两名 志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有C,另外一名志愿者 的排法有3种，此种情况共有CX3=9种，第三种情况，若 三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，则共有27十9十1= 37种安排方法，B正确.对于C,若小明必去甲场馆，则小红， 小兵两名志愿者各有4种安排，共有4X4=16种安排，C正 确.对于D,若三名志愿者所选场馆各不同，则共有A=24 种安排，D正确.故选BCD. 3.C【解析】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与 个位数字相同，且不能为0：千位与十位数字相同，求有且仅 有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个 0,取奇数字有A种，取能重复的偶数字有A种，它们排入 数位有A种，取偶数字占百位有A}种，不同“回文数”的个 数是AAAA=200个，最少2个0，取奇数字有A种，占 万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有A种， 不同“回文数”的个数是AA=25个，由分类加法计算原理 知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文 数”共有200+25=225个. 4.C【解析】1与4相邻，共有A=2种排法，两个2之间插入 1个数，共有A=2种排法，再把组合好的数全排列，共有 A=6种排法，则总共有2×2×6=24种密码. 5.D【解析】因为f)=C+Cz+子Cx3+号Cr+… 十C++Cx,所以f0)=C=1,所以f()= 71 C十C%x2+C克x4+…+C%x-1+…+Cx-1,则f(1)=C +C%+C%+…+C路+…+C,其中Cw+C+C%+…+C%十 …十C阳=2-1，所以f(1)=2-1,所以(1)十f(0)= 2w-1+1. C%38-r>Cg137-r 6.D【解析】A选项：令 C3C3解得<r<是， 所以r=2,所以A正确；B选项：C3x号≤C37x号，整理可 得<专，当0<<1时，不等式恒成立；当>1时，解得 1<≤（号）广，所以0<≤（告），故B正确；C选项：令 10-号=0，解得=6，所以常数项为C3106=C31,故C 正确D选项：令27-号<0，解得>，所以r可取17,18 …,27,共11项，故D错. 7.3【解析】令x=1得展开式中各项系数和，则 (1十a)(2-1)=1十a=4,解得a=3.故答案为3. 8.D【解析】由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素， 则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学， 由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练， 则分4组的情况有C号种方法数，再将4组人分配到4所学 校有A种方法数，则甲、己分在同一所中学的不同的安排 方法种数为C房A=10X24=240. 专题12统计 1.B【解析】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从 小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的 众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字 为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、 8,9、9,所以平均数为6十7十8+9十9=7.8. 5 2AD【解折]省m=n时-n平+=号计 =,A正确：当=时，取0==…=1=0，y 2 2 =2=…=y=0,则m与n不一定相等，B错误；当x=y 时=+n十=件+n十=- 李于，C正确：当>时，=十m十n>,有 （nn-1)+n1>0,故n十m十>0，即n十 m十n=n十n了->0，所以>，D正确，故 选ACD. 3.C【解析】依题意，3士5十7十士9=6，解得x=6,将数据 5 从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又5×0.4=2，则40%分位 数为5=.5故选C 4.C【解析】对于A,2018年电子信息制造业企业利润总额增 速为负数，从2017到2018利润总额下降，故A不正确；对 于B,2015年工业企业利润总额增速为负数，从2014到 2015利润总额下降，2019年工业企业利润总额增速为负数， 从2018到2019利润总额下降，故B不正确；对于C,2012一 2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，所以 利润总额均较上一年实现增长，且其增速均大于当年工业企 业利润总额增速，故C正确：对于D,2012一2021年工业企 业利润总额增速的均值为 5.3+12.2+3.3-2.3+8.5+21+10.3-3.3+4.1+34.3 10 =9.34,2012一2021年电子信息制造业企业利润总额增速 的均值为 7.9+19.7+17.1+5.9+12.8+22.9-3.1+3.1+17.2+38.9 10 14.24, 9.3414.24,故D不正确」 5.D【解析】设甲组数据分别为x1、2、…、6,乙组数据分别 参考答案·数学 为”，甲组致据的平均数为日∑=3，可得 =8方为 (x-3)2=5,可得 3230,乙组数据的平均数为石 得x=30,方差为6 1 (x-5)2=3,可得 12 〈红一5=18，提合后，新裁搭的手均数为品习 8吉2=4方送为品空-40+习-4门 12 =[(-3-1)+ 克(x,-5+1)门 CD士5D=2-3 22(-5+12]=b×[0+18-2X8-3X6+2× (5-5)×6+12]=5. 专题13概率 1.A【解析】当x=1,2,3时，这6个点数的中位数为3，当x =4时，这6个点数的中位数为4，当x=5,6时，这6个点数 的中位数为4.5，故由古典概型概率公式可得：P=行 2.B【解析】甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育 教学工作的安排方法共有：3=81种：每个地区至少安排1 名专家的安排方法有：CA=36种；由古典概型的计算公 式，每个地区至少安排1名专家的概率为-号 &D【瞬折I向题可得P(A)-XgXi-品，P(AB) 6×6 5 6X68,所以P(B到A)=PAB2=店10 2×55 P(A)1五11 36 4.BCD 【解析】对于A:因为P(BA)= P(AB) →P P(A (AB)=P(ADP(B引A)=号×=A错送：对于B:由 1 P(AB)=P0-=行，放B正确：对于C,因为P P(B> (A+B)=PA)+P(B)-P(AB)=号+号-0=品 故C正确；对于D:P(B)=P(A)·P(BA)+P(A)·P (BA)→是=号X十号·P(BA,所以：P(BA)= ，所以P()=P()·P(BI)=是×号=放D 5 正确.故选BCD. 5.B【解析】对于A,由题意可知A1,A2,A不可能同时发生， 所以A1,A2,A两两互斥，所以A不正确；对于B,由题意可 得P(A)=冬=子，P(AB)=子X音=立所以 51 艺考一本通数学 P(BA2)=P分=12=1 1 3,所以B正确；对于C,因为 PA)==，PAB=}×号=PB)=PCA,B +PA:B+PAB)=÷×号+子×是+×号=3， 所以P(AB)≠P(A)P(B),所以A与B不是相互独立事 件，所以C错误；对于D,由C选项可知D是错误的. 6.0.74【解析】记产品是优等品为事件A,来自甲地为事件 B,来自乙地为事件C,则P(B)=70%,P(C)=30%,P (AB)=0.8,P(AC)=0.6,所以P(A)=P(B)P (AB)+P(C)P(A1C)=70%×0.8+30%×0.6=0.74, 故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概 率为0.74.故答案为0.74. 7.B【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有3 =243种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少 有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1，当5人被分为3,1， 1时，情况数为C×A=60:当5人被分为2,2,1时，情况数 为XCi XA=90:所以共有60+90=150.由于所求甲不 A 去A,情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总 数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A,甲若为1，则 C×A号=8，甲若为3，则C×A虽=12，共计8+12=20种， 当5人被分为22,1时，且甲去A,甲若为1，则×A3= 甲若为2，则C×C×A=24,共计6+24=30种，所以甲 不在A小区的概率为150-(20+30)=100 243-243 8.C【解析】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、 乙，丙3所学校去任教，共有CCC.A=1680中分法：对 A 于A,甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲 学校，再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有C.C3C A ·A=200种分法，故甲学校没有女大学生的概率为 最A错误：对于B,甲学校至少有两名女大学生的情况包括 恰有两女大学生和恰有三女大学生，共有CC·CC.A 十C1.CC·A=680种分法，故甲学校至少有两名女大 A 学生的抵率为腮-品B错民：对于心每所学枝海有男大 学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为1,1,3 或2,2,1，当男生人数为1,1,3时，将4名女生平均分为2 组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，此时共有 CCA=360种分法：当男生人数为2,2,1时，将4名女生 按人数1,1,2分为3组，人数1,1的2组分到男生人数为2， 2的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3 所学枝，此时共有爱.CNN=1080种分法：越年片学 校都有男大学生的分法有360十1080=1440种，则每所学校 52 都有男大学生的概率为鵠=号，C正确：对于D,乙学校分 配2名女大学生，1名男大学生共有CCCC=600种分 法，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有 女大学生的分法有CCC=120种，故乙学校分配2名女 大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为 60620=号，D错误. 1680 专题14函数的概念与基本初等函数 1.D【解析】由x-2x-8>0得：x∈(-∞，-2)U(4, +o∞)，令t=x2-2x-8,则y=lnt,:x∈(-∞，-2)时，1 =x2-2x-8为减函数；x∈(4，十∞)时，1=x2-2x-8为 增函数：y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln(x2一2x一8)的 单调递增区间是(4，十∞). 2C【解析】：fx)满足对任意m≠，都有西）二f(》 x1一x2 <0成立，.∫(x)在R上是减函数， (0a<1, ∴.3a-2<0, 解得0<a<行∴a的取值范国 (a-2)X0+3a≤a°， 是(0号] 3.B【解析】因为函数y=f(x)十e为偶函数，则f(一x)十 e=f(x)+e,即f(x)-f(-x)=ex-e,①又因为 函数y=f(x)-3e为奇函数，则f(-x)-3ex= -f(x)+3e,即f(x)+f(-x)=3e+3e,②联立① ②可得f(x)=e十2e,由基本不等式可得f(x)=e十 2ex≥2√e·2e7=2√2，当且仅当e=2ex时，即当x= 合n2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2厄 4.A【解析】依题意，函数g(x)=f(x)一b有四个不同的 零点，即f(x)=b有四个解，转化为函数y=f(x)与y=b 图象有四个交点，由函数函数y=∫(x)可知，当x∈ (一∞，一1)时，函数为单调递减函数，y∈[0，十∞)：当x ∈(-1,0]时，函数为单调递增函数，y∈(0,1]；当x∈ (0,1)时，函数为单调递减函数，y∈(0，+∞)：当x∈ [1,十∞)时，函数为单调递增函数，y∈[0，十∞)；结合图 象，可知实数b的取值范围为(0,1门. yt y=f(x) y=b 3 -2-10 1234x -1 5.ABD【解析】对于A:若2是f(x)的周期，则f(x十2)=f (x),由f(1+x)+f(1一x)=0,可得f(2+x)=f(1+x十 1)=一f(1-x一1)=一f(一x),所以f(一x)=一f(x),所 以f(x)为奇函数；故A正确：对于B:若f(x)为奇函数，则f (一x)=一f(x),由f(1十x)+f(1一x)=0,可得f(2+x) =f(1+x+1)=-f(1一x-1)=一f(一x)=f(x),所以2 是f(x)的周期，故B正确；若4是f(x)的周期，设f(x)= sinπx,则f(1一x)+f(1+x)=sin(x+πx)+sin （π一元x)=0,该函数的最小周期为2π，故4π为该函数的周 期，当该函数为奇函数，故C不正确；对于D:若f(x)为偶函 数，则f(一x)=f(x),由f(1一x)=f(x一1)，可得f(x一1) =一f(x+1),所以f(x)=一f(x+2),所以f(x+4)=一f (x十2)=f(x),所以4是∫(x)的周期，故D正确.故 选ABD. 专题15函数与导数 1.A【解析】由f(x)=e-1+a.x2+1,得f(x)=e-1+2a.x, 因为函数f(x)=e-1十a.x十1的图象在x=1处的切线与 直线x十3y-1=0垂直，所以f(1)=1十2a=3,则a=1. 2.B【解析】函数f(x)=lnx-x2的定义域为(0，十∞)，且 f(x)=1-2x=1=2x-1+E)1=E2,当0<x <号时了(x)>0,当x>号时(x)<0,所以f)在 (0,号)上单调递增，在（号，+∞）上单调递减，所以f 《)在号处取得视大值，无板小值，款选B 3.C【解析】过，点P作曲线y=lnx一x2的切线，当切线与直 线1：x十y一4=0平行时，点P到直线l:x十y一4=0距离的 最小.设切点为P(0,)(m>0),y=-2,所以，切线 斜率为=1一2，由题知1一2=-1得m=1或= (舍)，所以，P1,-D,此时点P到直线1：x十y一4=0 距离d=1-14=22. 4.ACD【解析】由函数f(x)=2x3-6x+1,可得(x)= 6x2-6=6(x-1)(x+1),对于A中，由g(x)=f(x)-1 =2x3-6,定义域为R关于原点对称，且g(一x)=2 (-x)3-6(-x)=-2x3+6x=一g(x),所以函数g(x)为 奇函数，所以A正确：对于B中，由f(x)=6(x一1)(x十1) >0,解得x<一1或x>1,即函数f(x)的递增区间为（一 ∞，一1)，(1，十∞)，所以B不正确；对于C中，由f(x)< 0,解得一1x<1,所以函数f(x)的递减区间为（一1,1）， 所以，当x=1时，函数f(x)取得极小值，极小值为∫(1) 一3，所以C正确：对于D中，由函数f(x)在（一∞，一1）上 单调递增，在区间（一1,1）上单调递减，在区间(1，+∞)上单 调递增，所以极大值为f(一1)=5，极小值为f(1)=一3， 且x→一∞时，f(x)→一∞；x十∞时，f(x)十∞；又由 关于x的方程f(x)一m=0恰有3个不等的实根，即函数y =f(x)与y=m的图象有3个不同的交点，可得一3<m< 5,所以实数m的取值范围为（一3,5），所以D正确.故 选ACD. 5C【解析】因为a=2-h,6=}-c=2,所以 2 ee 构造函数()=，因为f(x)=1,由/() T2 1-血>0有：0<<e,由f(x)=1h<0有：>e,所 22 参考答案·数学 以f)=n严在(e,十∞)上单调递减，因为a=2_血4 2 =f(4),b=1=he=f(e),c=h9=f(9),因为9>4> e 9 e,所以b>a>c,故ABD错误. 第二章多选题专攻篇 专题1函数与导数 1.BC【解析】对于A选项，因为f(x)十f(2-x)=2,则函 数f(x)的图象关于，点(1,1)对称，A错：对于B选项，因为 f(x)十f(2一x)=2且函数f(x)为偶函数，所以，f(x) +f(x-2)=2可得f(x+2)+f(x)=2,所以，f(x+2) =f(x一2)，所以，对任意的x∈R,f(x十4)=f(x),B对： 对于C选项，因为f(x十4)=f(x),若函数f(x)在区间 [0,1]上单调递增，则f(x)在区间[2021,2022]上单调递 增，C对；对于D选项，当x∈(2,3)时，2一x∈（一1,0），x 一2∈(0,1)，所以，f(x)=2一f(2-x)=2-f(x-2)=2 -[ln(x-2)+1]=1-ln(x-2),D错.故选BC. 2.ABC【解析】对于A,由f(x)=x一ax2一2x,得f(x)= 3x2-2ax-2,因为x=1是函数f(x)的极值点，所以f(1) =3-20-2=0,得a=司，经检验x=1是画数了(x)的极 小值点，所以A正确，对于B,由选项A,可知∫(x)=x3 是r-2x,则f(x)=3x2-x-2,由f)>0,得x<-号 或>1，由f)<0,得-号<1，所以f在(-o -号)和(1，十∞)递增，在(-号，1上递减，所以当x∈ [0,2]时u=1时，八)取得最小值了1)=1--2 -多，所以B正确，对于C,因为f()在1,2)上单调递 减，所以f()<0,即f(x)=3x2-2ar-2<0,得a≥号x 在1,2)上恒成立，令8()=号x-子（e1,20,则 g)=是+己>0，所以g()在(1,2)单调递增，所以 g1<g)<g2,即7<g)<号，所以a≥号，所以C 正确，对于D,由xlnx≥f(x)在x∈[1,2]上恒成立，得 x2lnx≥x3-ax2-2x在x∈[1,2]上恒成立，即a≥x nx一兰在xe[1,2]上恒成立，令A()=一hx-是x ∈[1,21，则1(x)=1-1+2=2-+2>0,所以h(x x T2 x x∈[1,2]上单调递增，所以h(x)mx=h(2)=2-ln2-1= 1一ln2,所以a≥1-ln2,所以D错误，故选ABC. 3.BC【解析】原式变形为me"一m>nlnn-lnn,构造函数 f(x)=xe一x,则f(m)>f(lnn),,f(x)=e2(x+1) -1,当x>0时，e>1,x+1>1,则e(x+1)>1,即f(x) =e(x+1)-1>0;当x<0时，0<c<1,x+1<1,则 e(x+1)<1,即f(x)=e(x+1)一1<0：故f(x)在 (一∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，对于A:取 53