第24讲 圆锥曲线-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第24讲圆锥曲线 自主预习 知识梳理 道夯实基础 1.椭圆 2.双曲线 (1)椭圆的定义 (1)双曲线定义 条件 结论1 结论2 平面内与两个定点F,F2的距离之差的绝对 平面内的动点M与平面内的两 M点 F、F2为椭圆 值等于常数（小于|FF,|)的点的轨迹叫做 个定点F,F 的轨 的焦点 双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦 |MF|+|MF2|=2a 迹为 |FF2|为椭 点间的距离叫做双曲线的焦距， 2d>FFa 椭圆 圆的焦距 集合P={M||MF|-|MF2|=2a}, (2)椭圆的标准方程和几何性质 F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. 标准 =1(a>b>0) y =1(a>b>0) ①当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线； 方程 ↑y ②当2a=|F1F2时，P点的轨迹是两条 射线； 图形 ③当2a>FF2时，P点不存在. 0 B 6o B.x (2)双曲线的标准方程和几何性质 1 标准方程 =1(a>0,b>0) 2 =1(a>0,b>0 —axa -b≤xb 范围 -b≤yb -asya 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0,0) 图形 A1(-a,0),A2(a,0) A(0,-a),A2(0,a) 顶点 B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b.0) 性 长轴AA的长为2a 质 轴 范围 x≥a或x≤一a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 短轴BB2的长为2b 对称轴：坐标轴 对称轴：坐标轴 焦距 |FF2|=2C 对称性 对称中心：坐标原点 对称中心：坐标原点 离心率 e= ae∈(0,1) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=士 士分 a,b,c c2=a2-b 离心率 e=c 的关系 e∈(1，+o∞)，其中c=√a+ A1A2=2a叫双曲线的实轴 实轴、虚轴 |BB2=2b叫双曲线的虚轴 a,b,c c2=a2+b(c>a>0,c>b>0) 的关系 ·164· 第一部分一轮单元复习第八单元 3.抛物线标准方程与几何性质 y=2px y2=-2p.x x2=2py x2=-2py 标准 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 方程 p的几何意义，焦点F到准线l的距离 顶点 O(0,0) P(xaYa) 图形 本 对称轴 y=0 y=0 x=0 x=0 焦点 F(2.0) F(-多.oF(o,号)F(o,-) 离心率 e=1 范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R 准线 x=一卫 方程 x=号 y=- y=号 开▣ 向右 向左 向上 向下 方向 PE= PE= IPE= IPE= 焦半径 十号 2 十台 +号 典例剖析○ 典例变式 道 变式训练 题型一 圆锥曲线的定义及标准方程（综合型） B后+若=120 名称 椭圆 双曲线 抛物线 PF=PMI, PF+PF.= PF-PF:= C盖+号-1>0y 定义 点F不在直线 2a(2a>|F1F2|）2a(0<2a<|F1F2l) I上，PM⊥l于M n茶+若=1>0 标准 +- y2=2p.x(p>0) (2)(2024·天津卷)(x-1)2+y2=25的圆 方程 (a>b>0) (a>0,b>0) 心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合， 2 A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距 图形 离为 【例1】(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x (3)(2021·新课标I卷)已知F1,F2是椭圆 +y2=16(y>0),从C上任意一点P向x C苦￥-1的两个焦点点M在C上，则 轴作垂线段PP',P为垂足，则线段PP的 MF|·|MF2|的最大值为 () 中点M的轨迹方程为 A.13 B.12 C.9 D.6 A61等1>0 (4)(2025·新课标I卷)若双曲线C的虚轴 ·165· 艺考一本通数学 长为实轴长的√7倍，则C的离心率为 考虑使用椭圆、双曲线的定义求解； ( ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点 A.√2 B.2 C.√7 D.2√2 到焦点的距离与到准线的距离相互转化使 【解析】(1)设点M(x,y),则P(x,y), 问题得解. P'(x,0),因为M为PP'的中点，所以 (2)圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型， 2y,即P(x,2y),又P在圆x2+y2=16(y> 0)上，所以2+4y=16(y>0),即后+置 后计算” ①定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲 =1(>0),即点M的轨莲方程为后+ 线的焦，点位置，从而设出标准方程； ②计算，即利用待定系数法求出方程中的 1(y>0).故选A. a,形或p.另外，当焦点位置无法确定时， (2)圆(x一1)2+y2=25的圆心为F(1,0), 抛物线常设为y2=2a.x或x2=2ay(a≠0)， (x-1)2+y2=25 故号=1，即力=2，由 可 椭圆常设为m.x2+y2=1(m>0,n>0),双 y2=4x 曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0). 得x2+2x-24=0,故x=4或x=一6（舍）， 变式训练一 故A(4,士4)，故直线AF:y=士青(x-1), 1.(2025·新课标Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p 即4x-3y-4=0或4x十3y-4=0,故原，点 >0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的 到直线AF的距离为d=4=4 准线的垂线，垂足为B,若直线BF的方程为 5 ，故答案为 y=-2x十2，则|AF= A.3 B.4 C.5 D.6 (3)由题意，知a2=9,b=4,则|MF|十 2(2024·前课标1卷)设双曲线号-芳=1☑ MF2|=2a=6,所以|MF1|·|MF2|≤ >0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2 MF MF)'=9(当且仅当MR,= 作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若 2 FA=13,AB|=10,则C的离心率为 MF2|=3时，等号成立).故选C (4)设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a, 2b,2c,由题知，b=√7a,于是a2+b=c2=a2 3(多选)已知椭圆E:千十苦-1的左，右焦点 +7a2=8a2,则c=2√2a,即e=C=2√2.故 分别为F,F2,左、右顶点分别为A1,A2,P a 是椭圆上异于A1,A2的点，则下列说法正确 选D, 的是 【答案】(1)A(2) (3)C(4)D A.△PFF2周长为4 【规律方法】(1)圆锥曲线定义的应用 B.△PFF2面积的最大值为√5 ①已知椭圆、双曲线上一点及焦，点，首先要 C.PA+PA2|的最小值为2√3 ·166· 第一部分一轮单元复习第八单元 D.若△PAA2的面积为2，则点P的横坐标 (PF-PF2=2a 定义及已知条件可知 为-号 PF+PF2=6c PF=3c+a 题型二 圆锥曲线的几何性质（综合型） 则 由勾股定理可 PF2=3c-a=PA 【例2】(1)(2025·天津卷)双曲线若一苦-1 知AF1|2==|PF2-|PA2=12ac,易 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以 知-m…所以w-3a,中-源肥 2 右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0) 与双曲线交于第一象限的点P,若PF|十 12ac=1,整理得22-3ac-2a=0= c2-a2 |PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率e= (2c十a)(c一2a),所以c=2a,即离心率为 2.故选C A.2 B.5 (2)利用抛物线定义转化根据抛物线的定 C2+1 D.5+1 义，PB=PF|,这里F(1,0),于是|PA 2 2 =PB时P点的存在性问题转化成PA (2)(2024·新课标Ⅱ卷)（多选）抛物线C: =PF时P点的存在性问题，A(0,4),F y=4x的准线为l,P为C上的动点，过P (1,0),AF中点(3,2，AF中垂线的斜率 作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为 切点，过P作l的垂线，垂足为B,则( 为一 =,于是AF的中垂线方程为：y 1 AF 2x十15，与抛物线y=4x联立可得y2- 8 16y+30=0,△=16-4×30=136>0，即 AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在 两个P点，使得PA|=|PF,D选项正确. 【答案】(1)A(2)ABD A.l与⊙A相切 【规律方法】 B.当P,A,B三点共线时，|PQ=√/15 (1)椭圆、双曲线的离心率（或范围）的求法 C.当|PB=2时，PA⊥AB 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围， D.满足PA=PB的点P有且仅有2个 关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关 【解析】(1)根据题意可设 系或不等关系，然后把b用a,(代换，求号 F(台，0，双曲线的半焦距 的值 为c,P(xo,yo),则p=2c, (2)双曲线的渐近线的求法及用法 过F1作x轴的垂线l,过P ①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改 作l的垂线，垂足为A,显然直线AF1为抛 为零，分解因式可得： 物线的准线，则|PA=PF2,由双曲线的 ②用法：①可得总或号的值： ·167 艺考一本通数学 (ⅱ)利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 题型三直线与圆锥曲线（综合型）】 变式训练二 【例3-1】已知抛物线y2=2.x(p>0)的焦点 1.(2023·新课标I客)设椭圆C:号+-1 为F,A(x1,yM),B(x2,y2)是过F的直线与 抛物线的两个交点，求证： a>1,C:看十y-1的离心率分别为e, (101=-mx=: e2.若g1=√3e1,则a= (2)AF十BF为定值； A. B.2 (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线 C.5 D.√6 相切. 2.(2025·新课标I卷)（多选）设抛物线C:y2 【证明】 (1)由已知得拋物线焦，点坐标为 =6x的焦点为F,过F的直线交C于A、B, (号0. 过F且垂直于AB的直线交1：x=-号于 由题意可设直线方程为x=m十号，代入 E,过点A作准线1的垂线，垂足为D,则 y2=2px, ( A.AD=AF 得y2=2p(my+号)，即y-2pmy-p-0. B.AEI-ABI (￥) C.AB≥6 则yⅥ1，y2是方程()的两个实数根，所以y D.|AE·BE≥18 y2=-p2. 因为y1=2px1,y2=2px2, (2025·新深茶Ⅱ卷)双圃线双前线C号 芳-1a>0,6>0)的左右焦点分别是F、 所以i唱=4p2,所以1=业 4p2 D4 2 4D2 4 F2,左、右顶点分别为A1,A2,以FF2为直径 的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且 AFTIBE 十1 ∠NAM-,则 1+x2+力 A∠AMA,-吾 十号(a+,)+军 B.MA=2 MA2 因为：-套西十，=1AB1一，代入上 C.C的离心率为√13 式，得 D.当a=√2时，四边形NA,MA,的面积为 1 ABI 8√5 丽+面+AB-川号 ·168· 第一部分一轮单元复习第八单元 另（定。 (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式 及弦长公式求解， (3)设AB的中点为 【例3-2】(2025·新课标I卷节选)设椭圆 M(xo,yo),如图，分 别过A,B作准线的 C: 三=1a≥>0的离心率为2，下 垂线，垂足为C,D, 顶点为A,右顶点为B,AB=10 过M作准线的垂线， (1)求椭圆C的标准方程； 垂足为N,则|MN|= 2(AC+BD)= (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线 AP上，且满足|AR·AP=3. (AFI+BF到)=2IAB1.所以以AB为 (i)设P(m,n),求点R的坐标（用m,n表 直径的圆与抛物线的准线相切. 示)； 【规律方法】 【解析】(1)由题可知，A(0,一b),B(a,0),所 (1)与双曲线几何性质有关问题的解题策略 √a2+b=10 ①求双曲线的离心率（或范围）.依据题设条 以 e=c-22 ,解得a2=9,b=1,c2= 件，将问题转化为关于a,c的等式（或不等 式)，解方程（或不等式）即可求得；②求双曲 c2=a2-b2 线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线 8,放精圆C的标准方程为写十护=1； 中a,b的值或a与b的比值，进而得出双曲 (2)(i)设R(xo,yo),易知m≠0，所以kAp= 线的渐近线方程；③求双曲线焦点（焦距）、 实虚轴的长.依题设条件及a,b,c之间的关 n+1,且m>0.因为A(0,-1),AR1 m 系求解。 AP|=3,所以√x6+(yo+1)2X (2)确定及应用抛物线性质的技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线 m+=3.即[1+()门m= 等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方 3 3,解得西=m+和十1，所以= 程；②要结合图形分析，灵活运用平面几何 的性质以图助解。 平，所以点R的坐标 【规律方法】解决直线与圆锥曲线位置关系 3mn+2-m2-n2 问题的步骤 为(m+m+1):m千(m+1)广 (1)设方程及点的坐标. 【答案1)号+y-1 (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消 元得方程（注意二次项系数是否为零）. ( (3)利用根与系数的关系及判别式. ·169· 艺考一本通数学 变式训练三 2.(2025·天津老)尼知椭圆后+苦=1。>> 1.(2025·断课标Ⅱ卷已知椭圆C号+芳=1 0)的左焦点为F,右顶点为A,P为x=a上 (a>6>0)的离心率为号，长轴长为4. 一点，且直线PF的斜率为写，△PFA的面积 (1)求C的方程； 为号，离心率为2 (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两 (1)求椭圆的方程； 点，O为坐标原点，若△OAB的面积为√2，求 (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于 AB. 点A),求证：PF平分∠AFB. ·170· 第一部分一轮单元复习第八单元 随堂检测●用 基础训练 温故知新 1.过点A3,一2)且与椭圆号+兰=1有相同 8,AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线 方程是 () 焦点的椭圆方程为 A.y2=12x B.y2=8.x C.y2=6x D.y2=4x R会荒1 5已知精圆C若十芳=1(a>>0)的左顶点 为A,点M,N是椭圆C上关于y轴对称的 n元+荒=1 2 两点.若直线AM,AN的斜率之积为三，则C 2已知双i线C若-芳=1a>0,6>0)的左、 的离心率为 () 右焦点分别为F,F2,|FF2=2√3，P为C A号 收号 上一点，PF的中点为Q,△PF2Q为等边三 c D③ 角形，则双曲线C的方程为 6.（多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,顶 Ax--1 点为O,点M(xo,yo)在抛物线C上，若|MF &营y=1 =3,则 () A.x0=2 c等g1 B.yo=2√2 C.|OM=√13 D.3x2-3gY=1 8 D.SACME=√2 3.抛物线y=ax2(a<0)的准线方程是() 7椭圆Cn =1(m>0)的焦点为F, A.y=-2a 1 F2,上顶点为A,直线AF1与椭圆C的另一 By=-1 个交点为B,若∠FAF=,则 () 1 A.椭圆C的焦距为2 C.y-2a B.△ABF,的周长为8 y C精圆c的离心率为号 4.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，且 与抛物线交于A,B两点，若线段AB的长是 D.△BFF,的面积为3 5 ·171· 艺考一本通数学 &已知双曲线若一芳=1(a>0,6>0)的左、右 10.已知双曲线C的中心是坐标原，点，对称轴为 坐标轴，且过A(一2,0)，B(一4,3)两点 焦点分别是F1、F2,若双曲线左支上存在点 (1)求C的方程； P,使得PF2=2PF,则该双曲线离心率 (2)设P,M,N三点在C的右支上，BM∥ 的最大值为 AP,AN∥BP,证明： 9.（多选)设抛物线C:y=8x的焦点为F,过点 (i)存在常数λ，满足OM+O币=O克； F作直线l交C于M,N两点，O为坐标原 (ii)△MNP的面积为定值. 点，则 A.C的准线方程为x=一2 B.∠MON的大小可能为罗 C.MN|的最小值为8 D.MF NF=2(MF+NF) ·172·而PC的最小值为圆心到直线的距离，所以5| W/k2+1 12+22=√5，即k2=4,由k>0,解得k=2. 7.AC【解析】当斜率不存在时直线x=0满足题意.当斜率存 在时，设直线方程为y=kx十1，由直线与圆(x一1)2十(y十 2》=1相切得牛-1，解得=一号，故切线方程4红叶 √+ 3y一3=0.故选AC. 8,2x一y一1=0【解析】由圆的方程易知圆心C的坐标为 C3.0,又PD,所以c=9-子.易知MNLPc, _0-1 所以kN·kC=一1，所以kN=2.由弦MN所在的直线经 过点P(1,1),得所求直线的方程为y一1=2(x一1)，即2x -y-1=0. 9.BC【解析】圆x2十y2=P(r>0)的圆心(0,0)到直线的距 离d=,因为圆2十=户(>0)上恒有4个点到直 2 线x一y一2=0的距离为1，所以圆的半径r>2+1.对比选 项，可得BC符合题意.故选BC 10.ABD【解析】对于A,圆C:(x-1)2+y2=2的圆心为(1， 0),半径为√2，圆C2:(x-a)2+(y-√2)2=8的圆心为(a, √2)，半径为2√2，当圆C1,和圆C2存在公共点时，2√2 2≤|CC2≤2√2+2，所以√2≤(a-1)2+√2≤3√2，解 得-3≤a≤5，所以实数a的取值范围为[一3,5]，正确；对 于B,△ABC的面积为S匹，=号X2 K/2Xsin.∠ACB =sin∠ACB≤1，当∠ACB=交时，△ABC,的面积有最 大值为1，正确；对于C,当弦AB垂直x轴时，A(0,一1)，B (0,1),所以OA·O范=0十1x(-1)=一1，当弦AB不垂直 x轴时，设弦AB所在直线为y=kx,与圆C:(x一1)2十y =2联立得，(1+k2)x2一2x一1=0，设A(x1,1),B(x2, 边)，则2三，0消·ō形=西购十M为三x12P -1 x=（1+)=（1+)×1千表=-1，综上0ì· O市=一1，恒为定值，错误：对于D,设P(x0,%),OP中点 (受，空），该点也是AB中点，且AB=OP=V+%,又 AB 2 V2-[(受-)+]， 所以2 V2[(受-1+学]=+，化简得(，-1+ 始=3，所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为√5的圆， 其周长为长度为2√3π，正确.故选ABD 11.BCD【解析】由题意作出示意图如 图所示.设圆x+y2=1与圆x2+y =4的圆心为O,则|OA|=1,|OP =2,因为PA与圆x2+y2=1相切， 所以OA⊥PA,在Rt△OAP中，|AP| =√OP-OA下=5，易知 ∠APO=30°，所以∠APB=60°， 又AP|=BP|,所以AB|=√3，故A错误，B,C正确.设 AB与OP交于点H,由PA,PB与圆x2+y=1相切，得 AB⊥OP,由PA⊥OA,得∠APO=∠OAB=30°，在 R△A0H中，OH=A01·sin∠OAH=,又周2+ y=子的半径为分，所以直线AB与圆x2+y=子相切， 故D正确.故选BCD. 参考答案·数学 第24讲圆锥曲线 【典例变式】 变式训练一 1.C【解析】对lm:y=一2x十2，令y=0,则x=1,所以F (1,0),p=2即抛物线C:y2=4x,故抛物线的准线方程为x =-1,故B(-1,4),则yM=4,代入抛物线C:y2=4x得x =4.所以AF=AB1=+号=4十1=5.故选C 2.号【解析】由题可知A,B,FB三点 横坐标相等，设A在第一象限，将x c代入若苦-1得，上， A(,2),(c,-),故1AB1= 2B=10,AF==5,又AF a -AF2|=2a,得|AF1=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a =4,代入仁=5得=20，故c2=a2十=36，即c=6,所以 =后=号=昌故答案为号 3.BC【解析】由题意a=2,b=√3， c=1,F(-1,0),F2(1,0),短轴 一个端点B(0,3).由题意 |PF+PF2=2a=4,故 △PF1F2周长为4十2=6，故A 错误；利用椭圆的性质可知 △PFF面积的最大值为2X2XV3=B,故B正确：P +P|=2|P1,设P(2cos0,3sin0),从而1Pò1= √4cos20+3sin0=V√3+cos20≥5，所以PA+PA1=2 P0,故C正确：图为Sam4=号1AA·p=2p 1,则号十+了=1m=士2，故D倍民， 4 变式训练二 1.A【解析】由台=e,得后=3，因此=3×，而 4 。>1,所以a=2故造A 2.ACD【解析】对于A,对于抛物 线C:y=6x,则p=3,其准线方 程为x=一号，焦点F(号，0），则 AD为抛物线上，点到准线的距 离，AF为抛物线上，点到焦点的 距离，由抛物线的定义可知，AD |=AF,故A正确：对于B,过点 B作准线的垂线，交于点P,由 题意可知AD⊥l,EF⊥AB,则 ∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=AF|,AE1=AE1,所以 43 艺考一本通数学 △ADE≌△AFE,所以∠AED=∠AEF,同理∠BEP= ∠BEF,又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以 ∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为△ABE 的斜边，则AE<|AB|,故B错误；对于C,易知直线AB 的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my十多，A(, ）,B(2,2),联立x=my十2，得y2一6y-9=0.易 y2=6x △0，则边十y2=6m,y12三一9，又x=my十分，x2 m十号，所以AB=西十+p=m(+为)+3+3= 6m2+6≥6，当且仅当m=0时取等号，故C正确；对于D, 在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF,所以Rt 人ABER△AEr,则胎-品，平AEF=A. AB,同理|BE2=|BF|·|AB|,又|AF|·|BF|= (a+号)(+2)=(mM+3)(m+3)=my+3m (y+2)+9=-9m2+18+9=9(m2+1),|AB1=6m2 +6=6(m2+1),所以|AE12·1BE12=|BF|·|AF1· AB2=9(m2+1)×36(m2+1)2,则AE·BE=3(m2+ 1)克×6(m2+1)=18(m2+1)立≥18，故D正确.故选ACD. 3.ACD【解析】不妨设渐近线为y=x,M在第一象限，N 在第三象限，对于A,由双曲线的对称性可得AMA2N为平 行四边形，故∠AMA)=元一=否，故A正确：对于B,因 为M在以F1F2为直径的圆上，故FM⊥F2M且MO= 「+y%=c2 G设M(,,则边=色·故{公故MA xo a AA,由A得∠AMA=吾，故MA=MA×号即 MA=2MA1,故B错送：对于 c周为=会=尽，则总=2 √1+(2√3)2=√3，故C正确：对 于D,当a=√2时，由C可知e=13,故c=J26,故b=2 6,故四边形NAMA为2SaM4=2X×26X22= 83,故D正确，故选ACD. 变式训练三 1.(1)片+兰-1(2w5【解折11)周为长轴长为4，故a 2而离心率为号t(=厄，成6=区，此箭圆方程为：号十 芳=1 (2)由题设直线AB的斜率不为 yt 0,故设直线l:x=t(y+2),A (x1,y),B（,),由 任可得0+20y+ 42y+4-4=0,故△=16t-4 (t2+2)(42-4)=4(8-412)>0 即-√2<t<√2，且y十=一 44 中2 42. +2,故Sas=2×24×1m-为1=12l +为=山亚=，解样=士号。 t2+2 故|AB|=√/+ y 5 √/(y+)2-4M为=W 2-16x -=5 2+2 2片+号-1(2)运明元解折【解析11依题意，设新 国后+兰-1@>00)的年距为6则左焦点FP(-60 右顶点Aa,0,商心率一台=号，印a=2,因为力为1 a上-点，设Pa,m,又直线P的斜率为日则”吕 一号即2。号所以开。=日锅得m=6,则Pa,6 即P(2c,c),因为△PFA的面积为号，AF到=Q-(-c)=a 十(=3，高为m=c,所以SmA==AFm=子X3C Xc=号，解得c=1,则a=2x=2,=a2-2=3,所以描因 的方程为子+芳=1.(2)由1)可知P2,1,F(-1,0, A(2,0),易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=kx十m, (y=kx+m 则1=+，帘m1联之号+芳-1消去)得.3 十4k2)x+8kmx十4m2-12=0,因为直线与椭圆有唯一交 点，所以△=(8k·m)2-4(3+4k2)·(4m2-12)=0,即4k2 一m十3=0，则4-(1-2k)2+3=0,解得k=一2，则m =2,所以直线PB的方程为y=-立x十2，联立 y=-x+2 x= ,解得 +号-1 ,则B(1,号)，证明结论：则 y-2 F成=(2,2），F市=(3,1)，Pi=(3,0),所以cos∠BFP= F范.F 2×3+号×1 1FB·币= =310 √2+（号）·3+ 10，cos ∠PFA= FA.FP =9=36,则m FA·13√3+1 ∠BFP=Os∠PFA,又∠BFP,∠PFA∈(O,交)，所以 ∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB. 【基础训练】 1.A【解折]设所求描周方程为号+芳=1a>6>0),则 a2-6=5, -==5且号+青=1解方程是+音-1 得a2= 15,-0,故所家篇国的方权为后+盖-1花毯A 2.D【解析】设双曲线C的半焦距为c(c>0).由题可知2c= 23,即c=5.因为PF1的中点为Q,△PF2Q为等边三角 形，所以F2Q=F2P=PQ,所以∠PF2Q=60°，由OQ =2PF,=zFQ,可得∠FFQ=30,故PF⊥F R片四=奇答四-2P,一考济以 √3 PFP阳=者养务=所以子一所以。 1,6=厄，所以双曲线C的方程为r-兰-1故选八 3.B【解析】抛物线y=ar(a<0)可化为2=，准线方 程为y=一品故选B 4.B【解析】设A(,yⅥ)，B(2,y2),根据抛物线定义，x1十 x2十p=8,因为AB的中点到y轴的距离是2，所以西十应 2 =2,所以p=4,所以抛物线方程为y=8.x.故选B. 5.D【解析】由题意，椭圆C的左顶点为A(-a,0),点M,N 是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0,%),则 N-,所以w=千aeN。产兰可得N= 。产==景9+普=1，即瑞 y “。边，代入可得号=号，所以离心牵e=台= a2 √吾-√号-=选D 6.AD【解析】对A:由题意可知F(1,0),由MF|=x十1= 3,可得xn=2,故A正确；对B:当x=2时，y2=8,解得y= 士2√2，即=土22，故B错误；对C:OM=√十%= V4干8=25，故C错误：对D:SxmF=2XOFX1w= 合×1X2E=厄，故D正确：放选AD 7.ABD【解析】由题意可知， ∠FAF=S,AF=|AF= a,故△AFF2为等边三角形，则a =2c,b=√3c,又a2-b2=m2+1- m2=1,所以c=1,b=√5，a=2,所 以焦距2c=2,A正确；离心率e= 名=合，C错误；由精国定义可如， △ABF2的周长4a=8,B正确.设BF1=x,则BF2=4 一，又∠BFF=号由余孩定理可得(4一)”=4什 4os∠BFF→r=g,所以Sa5，两=合|BF.IIF.F 1 血等=含×gX×2号-3，DE陵，选AD 8.3【解析】由双曲线左支上一点P,可得PF2|一|PF|= 2a,又|PF2|=2|PFl,所以|PF1|=2a,又PF|≥c-a, 所以2a>c一a,所以e=C≤3，所以该双曲线离心率的最大 值为3.故答案为3. 9.ACD【解析】由题意得p=4,则C的准线方程为x=一2， 故A正确；易知F(2,0),设l:x=my十2，M(1,y),N(x2, 参考答案·数学 边)，由(=8，。整理得y-8y-16=0, x=my+2, 所以y1+2=8m,y12=-16,则0+x2=m(y1+2)+4 =8m2+4,x1x2=m2y2+2m(y+2)十4=4，则Oǜ.ON =x1x2十My=4-16=-12<0,所以∠M0N>受，故B错 误；MN=√1+m2√(y+)2-4y=8(m2+1)≥8， 当m=0时，MN取得最小值8，故C正确：因为M丽十 N万=号=含所以1 MFIINF时=2M+NF),tD 1 正确.故选ACD. 10.【解析】(1)设C的方程为1x2一1y2=1,其中1<0.由C 过A,B两点，故m=1,16m一9n=1,解得m=子n=子 因比C的方程为号-号=1.（2)(1)设P()M (0,y),N(x,为)，其中x>0,3.x-4y=12,i=0, 1,2. 因为BM∥AP,所以直线BM的 斜幸为=十2方程为y一3 (y-3=k1(x+4) 得(3-4k)x2-8k1(4k1+3)x-4[(4k+3)2+3]=0,所以 -41= -4[(4k1+3)2+3] (3-4k) ,0=16好+24k+12 3-4k 166+24(xn+2)+12(x+2)2 3(x0+2)2-4y% 12(6-4)+24(十2)+12(m+2》2=2十20.因此 12(x0+2) 为=，(m十40+3=2￥+D+3=2%十号(m x0+2 2)十3=号m十20：同理可得直线AN的针率为：= 意线AN的方在为y=为(：十2).由 ,得(3-4k号)x2-16k号x-(16+12)=0,所 y=2(x+2) -(16k号+12) ,x2= 8k+6 以一 2x2= 3-4k2 3一4k号 860-)+56+=6a+8t486-0)+168- 3(.x0+4)2-4(%-3)2 24(xo+y%+1) 6x品+86+14(3x8-4)十48(m=b2=2-20,因此 24(x0+y%+1) 为=3(m+2)=-3)22+2=2(06-3) 0+4 200坐十3》=2为-6-号(w-40=-号+2. x0+4 则Oǜ+O六=(4x0,4h)=4O泸，即存在入=4，满足OM十 ON=0市.DD,直线MN的方程为y-2-票女 一2xo),所以点P到直线MN的距离d1= 年方西1M1=√+（梁）- 12 V)+(4wP,所以△MNP的面积S=弓dMN= 6为定值. 45