第23讲 直线与圆-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第八单元平面解析几何 第23讲 直线与圆 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.直线的倾斜角 斜截式 y=kx+b 同上 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基 y一hx一x1 准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的 两点式 y2一1x2一x1 不含垂直于坐标轴的直线 角α叫做直线l的倾斜角；当直线l与x轴平 (x≠x2且M≠y2) 不含垂直于坐标轴 行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 截距式 +义 a =1(ab≠0) 和过原点的直线 直线倾斜角的取值范围为0°≤α<180°. Ax+By+C=0 平面直角坐标系 般式 2.直线的斜率 (A,B不同时为零) 内的直线都适用 (1)直线的斜率定义： 4.两条直线平行与垂直的判定 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直 (1)两条直线（不重合）平行的判定 线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k 类型 斜率存在 斜率不存在 tan a. 前提条件 a=c2≠90° a1=c2=90° 1∥12台两直线 (2)斜率与倾斜角的对应关系 对应关系 1∥12台k=k2 的斜率都不存在 图示 图示 倾斜角 a=0° 0°<a<901 a=90 90°<a<180 (范围) (2)两条直线垂直的判定 斜率 k=0 k>0 不存在 k<0 (范围) 图示 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1,y),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直 的斜率不存 1⊥l2(两直线的斜率都存 线的斜率公式为k=业二 对应关系 在，2的斜率为 x2一x1 在)台kk2=-1 0台l1⊥2 3.直线方程的五种形式 5.有关公式 名称 方程 适用范围 (1)中点公式：若P1(x1,h),P2（x2,y2),线 点斜式 y-yo=k(x-Zo) 不含垂直于x轴的直线 ·156· 第一部分一轮单元复习 第八单元 段PP的中点M(x,y),则x=2,y8.直线与圆的位置关系 2 位置关系有三种：相离、相切、相交 =y1十2 2 判断直线与圆的位置关系常见的有两种 (2)两点间距离公式：平面上的两点P(, 方法. 2),P2(x2,y2),则PP2= (1)代数法： (Ax+By+C=0, √(x2一1)2十(2一M),特别地，原点O0,0)与 消元得一元二次方 (x-a)2+(y-b)2=r2 任一点P(x,y)的距离OP|=√x十y. 程的判别式△ (3)点到直线的距离公式：点P(xo,yo)到直 △>0台直线和圆相交 线l:Ax+By十C=0的距离 △=0台直线和圆相切 d=A+B%十C △<0台直线和圆相离 √JA+B (2)几何法：利用圆心到直线的距离d= 6.圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a,b),半径长为r Aa十Bb+C和圆半径r的大小关系 VA2+B (2)方程：(x-a)+(y-b)2=2. d<r台→直线和圆相交；d=r台直线和圆相切； (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆 d>r台直线和圆相离 的方程是x2十y2=2. 9.圆与圆的位置关系的判定 (4)点与圆的位置关系 设⊙O:(x-a1)2十(y-b)2=r(r1>0), 点M(.xo,yo)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=P ⊙O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0) 的位置关系及判断方法 则有：OO2>n十r2台⊙O与⊙O2外离 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 1OO21=n1十r2台⊙O1与⊙O2外切 点M在圆上 ICMI=r (x0-a)2+(h-b)2=r n-r2|<|O1O2|<n1+r2台⊙O与⊙O2 点M在圆外 CM>r x0-a)2+(b-b)2>r 相交 点M在圆内 CM<r kx0-a)2+(-b)2<r |O1O2|=n1-r2(m1≠r2)台⊙O与⊙O2 7.圆的一般方程 内切 (1)圆的一般方程 OO2<n1-r2台⊙O1与⊙O2内含 当D+E-4F>0时，二元二次方程x2十y 十Dx十Ey十F=0称为圆的一般方程， (2)方程x2+y+Dx+Ey+F=0表示的 图形 条件 图形 D+E-4F<0 不表示任何图形 D+E-4F=0 表示-个点(-号-号) 表示以（号。号）为圆心，以 D+E-4F>0 D+E-一4亚为半径的圆 2 ·157· 艺考一本通数学 典例剖析 典例变式 明 变式训练 题型一 直线的方程（基础型） (3)因为y=kx一k十2=k(x一1)十2，所以 【例1】(1)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a) l:y=x-十2过定点(1,2).设定点(1， 的直线l1与经过点P(0,一1)和点Q(a, 2)关于点(2,1)对称的点的坐标为(x,y), 一2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为 1+x=2, 2 x=3, 则 得 所以直线2过定点 A.0 B.1 2十y=1, y=0, C.0或1 D.-1或1 (3,0).故选B. (2)若直线l:x+ay十6=0与l2:(a-2)x 【答案】(1)C(2)C(3)B 十3y十2a=0平行，则l1与l2之间的距离 【规律方法】 为 (1)三种距离公式 A B.4√2 ①A(x1,y1),B(x2,y2)两，点间的距离： C82 1AB|=√x2-x)2+(-y1)P. D.22 3 ②点到直线的距离d=A十B+C(其 (3)若直线l1:y=kx一k十2与直线l2关于 √/A+B 点(2,1)对称，则直线12过定点 ( 中点为(x,yo),直线方程为Ax十By十C= A.(3,1) B.(3,0) 0). C.(0,1) D.(2,1) ③两平行直线间的距离：d= 1C-一C1(共 【解析】(1)直线11的斜率1= 3a-0 √A2+B 1-(-2) 中两平行直线的方程分别为1：Ax十By十 a.当a≠0时，直线l2的斜率k2 C=0,l2:Ax+By+C2=0), -2a-(-1)_1-2a a-0 a 因为1⊥l2,所以 (2)两条直线平行与垂直的判定 1k2=-1,即a.1一2a=-1,解得a=1, 若两条不重合的直线11，l2的斜率k1,k2存 a 在，则1∥L2台k1=k2,l⊥L2台kk2=一1. 当a=0时，P(0,一1)，Q(0,0),此时直线l2 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考 为y轴，又A(一2,0)，B(1,0),则直线11为 虑斜率是否存在。 x轴，显然U1⊥l2.综上可知，实数Q的值为 【注意】要注意几种直线方程的局限性，点 0或1.故选C 斜式、两，点式、斜截式要求直线不能与x轴 (2因为4/，所以。2=号≠8解得a 垂直.而截距式方程不能表示过原，点的直 =一1，所以1与l2的方程分别为l1:x一y 线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 +6=0,l2:x-y+3 =0,所以4与l2的距 变式训练一 1.(多选)点(1,0)到直线3x十4y-2十λ(2x十y 2 6-382 +2)=0(入∈R)的距离可能是 () 离d 2 3 A.√7 B.2√2 C.√13 D.√/15 ·158· 第一部分一轮单元复习第八单元 2.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线，则a5.已知两直线l1:x十ysin a-1=0和l2:2x· 的值为 sina十y十1=0，求a的值，使得： 3.直线l的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1(a∈ (1)l∥12； R). (2)l1⊥l2. (1)求证：直线1必过定点. (2)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求1 的方程。 6.(多选)关于直线l:2x+(a-3)y-a-1=0, 下列说法正确的是 () A.当a的值变化时，l总过定点 B.存在a∈R,使得l与x轴平行C.存在a∈ R,使得l经过原点D.存在a∈R,使得原点 到1的距离为3 7.已知，点P(4,a)到直线4x一3y一1=0的距离 不大于3，则a的取值范围为 8.已知直线1：2x-3y+1=0,点A(-1, 4.求适合下列条件的直线方程： 一2).求： (1)经过点A(一5,2)，且在x轴上的截距等 (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标； 于在y轴上截距的2倍： (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的 (2)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个 对称直线m的方程； 等腰直角三角形 (3)直线1关于点A(一1，一2)对称的直线' 的方程. ·159· 艺考一本通数学 题型二圆的方程（基础型） 【例2-1】(1)圆C的半径为2，圆心在x轴的 正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相 变式训练二 切，则圆C的方程为 ( 1.一个圆经过椭圆后+￥=1的三个顶点，且 A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0 圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程 C.x2+y2-4x=0 D.x2+y2+2x-3 为 =0 2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 (0,w√5)在圆C上，且圆心到直线2x一y=0 M(0,√5)在圆C上，且圆心到直线2x一y= 0的距离为1则圆C的方程为 的距离为，则圆C的方程为 3.已知圆心为C的圆经过点A(0,一6)，B(1, 5),且圆心在直线l:x一y十1=0上，则圆 【解析】(1)由题意设所求圆的方程为(x 的标准方程为 m)2+y2=4(m>0),则3m+4 =2,解得 √32+4 题型三直线（圆）与圆的位置关系（综合型）】 【例3-1】(1)(2025·新课标I卷)若圆x2+ m=2或m=二3（舍去)，故所求圆的方程 (y+2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x十2的 为(x-2)2+y2=4,即x2十y2-4x=0.故 距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范 选C 围是 () (2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设 A.(0,1) B.(1,3) C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x一y= C.(3,+o∞) D.(0,十∞) 0的距离d=20-45 √55 (2)(多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2 =16上，点A(4,0),B(0,2),则 () 解得a=2,所以圆C的半径r=|CM= A.点P到直线AB的距离小于10 √/4+5=3， B.点P到直线AB的距离大于2 所以圆C的方程为(x-2)2十y2=9. C.当∠PBA最小时，PB=3√W2 【答案】(1)C(2)(x-2)2+y=9 【规律方法】圆的3种方程 D.当∠PBA最大时，|PB=3√2 (1)圆的标准方程：(x一a)2十(y一b)2=2. 【解析】(1)由题意，在圆x2+(y+2)2=r (2)圆的一般方程：x2十y2十Dx十Ey十F (>0)中，圆心E(0,一2)，半径为r,到直线 0(D+E-4F>0). y=√3x十2的距离为1的点有且仅有2个， (3)圆的直径式方程：(x一x1)(x-x2)+（y 因为圆心E(0,一2)到直线y=√3x十2的距 一y1)(y一y2)=0(圆的直径的两端，点是A 离为：d=10xy5-（-2)×1+2=2,故由 (x1,y1),B(x2,y2)). W(W5)2+(-1)2 图可知，当r=1时，圆x2十(y+2)=(r> ·160· 第一部分一轮单元复习第八单元 0)上有且仅有一个 坐标原点O对称，AB=4,⊙M过点A,B ,点(A点)到直线y 且与直线x十2=0相切. =√3x+2的距离等 (1)若A在直线x+y=0上，求⊙M的 于1；当r=3时，圆 半径； x2+(y+2)2=2(r (2)是否存在定点P,使得当A运动时， >0)上有且仅有三 MA一MP|为定值？并说明理由， 个，点(B,C,D,点)到直线y=√3x十2的距离 【解析】(1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M 在AB的垂直平分线上， 等于1；当则r的取值范围为(1,3)时，圆x2 由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于 +(y十2)2=r2(r>0)上有且仅有两个，点到 坐标原点O对称，所以M在直线y=x上， 直线y=√x十2的距离等于1.故选B. 故可设M(a,a). (2)圆(x-5)2十(y一5)2=16的圆心为M 因为⊙M与直线x十2=0相切，所以⊙M (5,5),半径为4，直线AB的方程为晋+觉 的半径为r=a十2. 连接MA,由已知得|AO=2,又MOLAO, =1,即x十2y一4=0，圆心M到直线AB的 故可得2a+4=(a+2)2,解得a=0或a 距离为5+2×5-4=1=115>4，所 √12+22 √5 5 =4. 故⊙M的半径r=2或r=6. 以，点P到直线AB的距离的最小值为 (2)存在定点P(1,0),使得MA一MP 11√5 5 -4<2,最大值为山5 5 +4<10,A 为定值， 选项正确，B选项错误； 理由如下： 如下图所示： 设M(x,y),由已知得⊙M的半径为r=|x +2,AO=2. 由于MO AO,故可得x2+y2+4=(x十 2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x. 因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点， 以直线x=一1为准线的抛物线，所以 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切， MP|=x+1. 连接MP,BM,可知PM⊥PB, 因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x |BM=√(0-5)2+(2-5)2=√34，|MP 十1)=1，所以存在满足条件的定点P. =4,由勾股定理可得BP 【规律方法】 √TBM2-MP=3√2，CD选项正确. (1)直线（圆）与圆位置关系问题的求解思路 故选ACD. ①研究直线与圆的位置关系主要通过圆心 【答案】(1)B(2)ACD 到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的 【例3-2】(2019·全国I卷)已知点A,B关于 位置关系的判断依据是两圆心距离与两半 ·161 艺考一本通数学 径差与和的比较； 4.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲 ②利用位置关系求过圆外一定点的切线方 线y=x2+x-2与x轴交于A,B两点，点C 程的基本思路：首先将直线方程设为点斜 的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题： 式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求 (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； 斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在 (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的 弦长为定值 一条过切点与x轴垂直的切线， (2)弦长的求解方法 ①根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角 形，构成三者间的关系R-f+(其中1 为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的 距离)； ②根据公式：l=√1十k|x1一x2求解（其中 l为弦长，x1,x2为直线与圆相交所得交点 的横坐标，k为直线的斜率). ③求出交点坐标，用两，点间距离公式求解. 变式训练三 1.(多选)已知M为圆C:(x+1)2+y2=2上的 动点，P为直线l:x一y十4=0上的动点，则 下列结论正确的是 5.已知点P(W2+1,2-√2)，点M(3,1),圆C: A.直线l与圆C相切 B.直线l与圆C相离 (x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程； CPM的最大值为3y2 (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切 D.PM的最小值为号 线长. 2.（多选)已知点P(2,4),若过点Q(4,0)的直 线l交圆C:(x一6)2十y2=9于A,B两点，R 是圆C上一动点，则 A.AB的最小值为2√5 B.P到1的距离的最大值为2√5 C.PQ·P求的最小值为24-6√5 D.|PR的最大值为4√2-3 3.过点A(W3,1)的直线1与圆x2十y=1有公 共点，则直线（的倾斜角的取值范围是 ·162· 第一部分一轮单元复习 第八单元 随堂检测 基础训练 温故知新 1.若直线ax+2y十1=0与直线x十y-2=07.(多选)过点(0,1)且与圆(x-1)2十(y+2)2 互相垂直，则a= =1相切的直线的方程是 () A.1 A.x=0 B.y=0 C.4x+3y-3=0 D.3x+4y-4=0 c-号 D.-2 8.若点P(1,1)为圆C:x2+y一6x=0的弦 2.已知直线l:x-my+1=0过定点A,直线 MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 l2:mx十y一m+3=0过定点B,l1与l2相交 于点P,则|PA2十|PB2= 9.(多选)若圆x2+y2=2(r>0)上恒有4个点 3.已知直线1：y=x十1平分圆C:(x-1)2+(y 到直线x一y一2=0的距离为1，则实数r的 一b)2=4的周长，则直线x=3与圆C的位 可能取值是 () 置关系是 A.√2 B.√5+1C.3 D.2+1 A.相交 B.相切 10.（多选)在平面直角坐标系xOy中，已知圆 C.相离 D.不能确定 C:(x一1)2+y2=2的动弦AB,圆C2:(x 4.两圆x2十y2+4x一4y=0和x2+y2+2x一8 一a)2十(y一√2)2=8，则下列选项正确的是 =0相交于M,N两点，则线段MN的长为 A.当圆C1,和圆C2存在公共点时，则实数 A.36 a的取值范围为[一3,5] B.4 5 B.△ABC,的面积最大值为1 c. D.125 C.若原点O始终在动弦AB上，则OA·O 5 不是定值 5.已知圆C:(x-1)2+(y-4)2=r2(r>0),A D.若动点P满足四边形OAPB为矩形，则 (-3,0),B(-1,0),若C上存在点P,使得 点P的轨迹长度为2√3π ∠APB=90°，则r的取值范围为 11.(多选)过圆x2十y=4上一点P作圆x2十y 6.已知P(x,y)是直线k.x十y十4=0(k>0)上 =1的两条切线，切点分别为A,B,则() 一动点，PA,PB是圆C:x2+y-2y=0的两 A.AP|=|BP|=√2 条切线，A,B分别是切点，若四边形PACB的 B.∠APB=60° 面积的最小值是2，则k的值为 C.|AB|=√3 A.1 B.√2 C.√5 D.2 D直线AB与圆x2+y=4相切 ·163·(1,W5w5-),由cos<m,n>1=m·m m·n1 2-(5- 2互，整理得9x2-6以+1 4+3×√1+3+(5-) =0,解得入=子所以在线段AF上存在一点N,使得平面 AFC与平面NB,C的夹角的余孩值为，点N是线段AP 上靠近A1的三等分，点. 第八单元 平面解析几何 第23讲直线与圆 【典例变式】 变式训练一 1.ABC【解析】对于直线3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0.(A∈ R,个位22郎将22，故直我的必连点为 1y=2 (-2,2),设点(1,0)到直线3x十4y-2+λ(2x+y十2)=0. (∈R)的距离为d,则dx=√(1+2)2+(0-2)严=√/13， 所以0<d≤√13，而√13<√15，所以ABC正确，D错误. 故选ABC. 24【解析】因为kc-名-1，ke-号子-a-3 由于A,B,C三，点共线，所以a一3=1，即a=4. 3.【解析】(1)将l的方程变形为(3x-y)a一x十2y-1=0,令 3x一y=0,所以2y-x-1=0,联立方程解得x= 5= 亭，戴直线1必过定点（宁） 3 (21的方程化为千十土=1(a≠2且a≠号，由 1 3a-12-a 2。解得a=子故直线1的方程为（得-2） 1 (9-1)x-1,即5x+5y-4=0. 4.【解析1)当直线不过原点时，设所求直线方程为克十名 1,将(-5,2)代入所设方程，解得a=一宁，所以直线方程为 x十2y十1=0；当直线过原点时，设直线方程为y=kx,则 -5=2解得=一号，所以直线方程为y=一号x,即2☑ +5y=0.故所求直线方程为2x十5y=0或x十2y+1=0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为士1.又过，点(3,4)，由点 斜式得y一4=士(x一3).所求直线的方程为x一y十1=0或 x+y-7=0. 5.(1)【解法-】当sina=0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率 为0，显然1不平行于，当sima≠0时，1= 2e要使山/化，需。2sme,即sma=士月 2 所以a=r士于，k∈乙，此时两直线的斜率相等.故当a=kπ 士交，k∈Z时，4∥la. 【解法二】由A1B2一A2B1=0,得2sina-1=0,所以sina 土号，所以&=饭士吾，kEZ又BG-AG≠0.所以1十 参考答案·数学 sina≠0，即sina≠-l.故当a=kr士于，k∈Z时，山∥la. (2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，所以2sima +sina=0,即sina=0,所以a=kπ，k∈Z.故当a=kπ，k∈Z 时，l1l2. 6.AC【解析】：2x+(a一3)y一a一1=0，A.其方程可变形为 （一1a+2x3y-1=0.令23-1=0得子即 直线恒过定，点(2,1).故选项A正确；B.a=3时，直线方程变 为2x一a一1=0，此时直线与x轴垂直.a≠3时，直线方程 支为y=32。x十8共斜率=32。≠0则直线1与x 2 轴不可能平行，故选项B不正确：C.当一a一1=0，即a=一1 时，直线（过原点，故选项C正确：D.若原，点到（的距离d= -a-1 =3,则2a2-14a+29=0.因为△=142一4×2 /4+(a-3)2 ×29=一36<0，则方程2a2一14a+29=0无解，即原，点到l 的距离d≠3.故选项D不正确.故选AC 7.[0,10]【解析】由题意得，点P到直线的距离为 4×4-3×a-1=15-3a.又153a≤3，即115-3a 5 5 15,解得0a10,所以a的取值范围是[0,10]. 8.【解析】(1)设A'(x,y),再由已知 = 解得 2x分-3x2+1=0: 4 所以A(一器吉)》 (2)在直线m上取一点，如M(2,0),则M(2,0)关于直线1 的对称点必在m上.设对称点为M(a,b),则 2x(号)-3×生+1=0 2 解得M(g）.设m 与1的文点为N,则由经-日8得，3队.又因为 直线m'经过，点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为 9x-46y+102=0. (3【法一】在l:2x一3y十1=0上任取两点，如M1,1),N (4,3),则M,N关于点A的对称点M,N'均在直线'上. 易知M(一3，一5)，N'(一6，一7)，由两点式可得'的方程 为2x一3y一9=0. 【法二】设P(x,y)为1上任意一点，则P(x,y)关于点A(一 1,-2)的对称点为P(-2-x,一4一y),因为P'在直线U 上，所以1'：2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9 =0. 变式训练二 1.(红-)‘+y=要 【解析】由题意知圆过(4,0)，(0,2)， (0,一2)三，点，(4,0)，(0，一2)两点的垂直平分线方程为2a 十)一3=0，令y=0,解得x=号，国心为（受.0），半径为 号故圆的标准方程为(。一是)广+y少-空 41 2.(x一2)2十y2=9【解析】因为圆C的圆心在x轴的正半 轴上，设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距 离d=12a=45,解得a=2,所以圆C的半径r=√4十5 √5 =3,所以圆C的方程为(x一2)2十y2=9. 3.(x十3)2+(y十2)2=25【解法-】设圆的方程为x2+y2+ Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0),则圆心坐标为 (-6)2-6E+F=0, (-号，-号).由题意可得十〔5+D5E+F=0,消 D-E-2=0, 41 艺考一本通数学 去F得P+00”解得B-:代入家得户=一12，所 以圆的方程为x2十y十6.x十4y-12=0,标准方程为(x十 3)2+(y+2)2=25. 【解法二】因为A(0,一6)，B(1,-5),所以线段AB的中点D 的坐标为（合，号），直线AB的斜率km=5= 1-0 1,因此线段AB的垂直平分线的方程是y十昌= (x-之)，即x十y十5=0.圆心C的坐标是方程组 工十叶50的解，解得{二所以圆心C的坐标是 x-y+1=0 (-3,一2).圆的半径长r=|AC|=√(0+3)2+（-6+2) =5,所以，圆心为C的圆的标准方程是(x十3)2十(y十2)2= 25. 变式训练三 1.BD【解析】圆C:(x+1)+y2=2,所以圆心C(一1,0)，半 径r=√2.因为圆心C(一1,0)到直线1：x一y十4=0的距离 d=10+4L=32>,所以直线1与圆C相离，A不 /12+(-1)2 2 正确，B正确：PM≥PC-r≥d-r=号，C不正确，D 正确. 2.ABC【解析】当直线l与x轴垂直时，AB取得最小值，且 最小值为2√5，所以A正确：当直线l与PQ垂直时，P到U 的距离取得最大值，且最大值为PQ=2√5，所以B正确； 设R(6+3cos0,3sin0),则F0·F克=(2，-4)·(4+3cos0, 3sin0-4)=6cos0-12sin0+24=6W5cos(0+p)+24,其中 tanp=2,当cos(0十p)=一1时，P0·P求取得最小值24-6 √5，所以C正确；因为圆心为C(6,0),半径r=3,所以当C 在线段PR上时，PR|最大，且最大值为√(2-6)2十4+3 =4√2+3，所以D错误.故选ABC 3.[0,登]【解析】①当直线1的斜率不存在时，直线1的方 程是x=√3，此时直线（与圆相离，没有公共点，不符合题 意.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y一1=k(x 一√3)，即kx一y一√3k十1=0.因为直线l和圆有公共点，所 以圆心到直线的距离小于或等于半径，则一+1≤1， /k2+1 计算得0≤≤√5.所以直线l的倾斜角的取值范围 是[0,5] 4.(1)【解析】不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1, 0),B(x2,0),则x1,x2满足x2十m.x一2=0，所以1x2=一2. 又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为 .1=- Z,所以不能出现ACLBC的情况. (2)【证明】BC的中点坐标为（号，7），可得BC的中垂线方 程为)一号=(x-号）由(1)可得十=一m,所以 x=一， AB的中垂线方程为1=一受联立 y2 =(x-受)， x=-m 号十m2-2=0,可得 1 所以过A,B,C三点的圆的 y=-2 国心坐标为（一罗，一），半径r=m.故圆在y轴上 42 藏得的弦长为2√P-(受)2=3，即过A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值. 5.【解析】(1)由题意得圆心C(1,2),半径长r=2.因为(W/2+1 一1)2十(2-√2-2)2=4，所以点P在圆C上.又kc= 2一E-2=一1，所以切线的斜率k=一 1=1.所以过点P /2+1-1 的圆C的切线方程是y-(2-√2)=1X[x-(W2+1)],即x -y+1-2√2=0. (2)因为(3一1)2+(1一2)2=5>4，所以点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,即x一3 =0.又，点C(1,2)到直线x一3=0的距离d=3一1=2=r,即 此时满足题意，所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率 存在时，设切线方程为y一1=k(x一3)，即kx一y十1一3k= 0,则圆心C到切线的距离d=k-2士-3=r=2,解得k k2+1 =是所以切线方程为y一1=子(x一3.即3x一4-5=0 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x一3=0或3x一4y -5=0.当切线为3x-4y一5=0时，因为|MC|= √(3一1)十(1一2)=√5，所以过点M的圆C的切线长为 MC2一2=√/5一4=1.当切线为x=3时，切线长为1. 【基础训练】 1.D【解桥】直线ax十2y十1=0的斜率=一号，直线x十y 一2=0的斜率k2=一1，因为两直线相互垂直，所以k1·k2 =-1,即(-号)·(-1)=-1，所以a=-2. 2.13【解析】对于直线l1:x一1y+1=0,即(x+1)一y=0, 令y=0,则x+1=0,则{二0·可得直线4过定点A(一L, 0):对于直线2：mx十y-m十3=0，即m(x一1)+(y十3)= 0,令一1=0，则y+3=0,则3.可得直线6过定点 B(1,-3).因为1×m十(-m)×1=0,所以l⊥2.当点P 与A,B不重合时，PA⊥PB,所以|PA2+PB2=|AB2 =(1+1)2+(一3一0)2=13：当，点P与点A或B重合时， |PA|2+|PB2=|AB2=13. 3.B【解析】由已知得，圆心C(1,b)在直线l:y=x+1上，所 以b=1+1=2,即圆心C(1,2),半径为r=2.由圆心C(1,2) 到直线x=3的距离d=3一1=2=r知，此时直线与圆相切. 4.D【解析】两圆方程相减，得直线MN的方程为x一2y十4 =0,圆x十y+2x一8=0的标准方程为(x十1)2+y=9, 所以圆x2十y2+2x一8=0的圆心为（一1,0），半径为3，圆 心(-1,0)到直线MN的距离d=是，所以线段MN的长为 5 F12巨.故选D, 5 5.[4,6]【解析】因为点A(一3,0)，B(一1,0)，而点P满足 ∠APB=90°，则，点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除 点A,B外)，圆M:(x+2)2+y2=1(y≠0)，半径n=1,又点 P在圆C:(x一1)2十(y一4)=r2(r>0)上，圆C的圆心C (1,4),半径为r,CM川=√(-2-1)2+4=5，依题意，圆M 与圆C有公共点，因此r-n≤|MC<r十n,即|r-1≤ 5≤r+1,解得4≤r≤6.故答案为[4,6们. 6.D【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1),半径r=1,四 边形PACB的面积S=2S△Pr,若四边形PACB的面积的 最小值是2，则S△的最小值为1.而S△W=之rPB= 合PBl=1,则PB的最小值为2，此时PC取得最小值， 而PC的最小值为圆心到直线的距离，所以5| W/k2+1 12+22=√5，即k2=4,由k>0,解得k=2. 7.AC【解析】当斜率不存在时直线x=0满足题意.当斜率存 在时，设直线方程为y=kx十1，由直线与圆(x一1)2十(y十 2》=1相切得牛-1，解得=一号，故切线方程4红叶 √+ 3y一3=0.故选AC. 8,2x一y一1=0【解析】由圆的方程易知圆心C的坐标为 C3.0,又PD,所以c=9-子.易知MNLPc, _0-1 所以kN·kC=一1，所以kN=2.由弦MN所在的直线经 过点P(1,1),得所求直线的方程为y一1=2(x一1)，即2x -y-1=0. 9.BC【解析】圆x2十y2=P(r>0)的圆心(0,0)到直线的距 离d=,因为圆2十=户(>0)上恒有4个点到直 2 线x一y一2=0的距离为1，所以圆的半径r>2+1.对比选 项，可得BC符合题意.故选BC 10.ABD【解析】对于A,圆C:(x-1)2+y2=2的圆心为(1， 0),半径为√2，圆C2:(x-a)2+(y-√2)2=8的圆心为(a, √2)，半径为2√2，当圆C1,和圆C2存在公共点时，2√2 2≤|CC2≤2√2+2，所以√2≤(a-1)2+√2≤3√2，解 得-3≤a≤5，所以实数a的取值范围为[一3,5]，正确；对 于B,△ABC的面积为S匹，=号X2 K/2Xsin.∠ACB =sin∠ACB≤1，当∠ACB=交时，△ABC,的面积有最 大值为1，正确；对于C,当弦AB垂直x轴时，A(0,一1)，B (0,1),所以OA·O范=0十1x(-1)=一1，当弦AB不垂直 x轴时，设弦AB所在直线为y=kx,与圆C:(x一1)2十y =2联立得，(1+k2)x2一2x一1=0，设A(x1,1),B(x2, 边)，则2三，0消·ō形=西购十M为三x12P -1 x=（1+)=（1+)×1千表=-1，综上0ì· O市=一1，恒为定值，错误：对于D,设P(x0,%),OP中点 (受，空），该点也是AB中点，且AB=OP=V+%,又 AB 2 V2-[(受-)+]， 所以2 V2[(受-1+学]=+，化简得(，-1+ 始=3，所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为√5的圆， 其周长为长度为2√3π，正确.故选ABD 11.BCD【解析】由题意作出示意图如 图所示.设圆x+y2=1与圆x2+y =4的圆心为O,则|OA|=1,|OP =2,因为PA与圆x2+y2=1相切， 所以OA⊥PA,在Rt△OAP中，|AP| =√OP-OA下=5，易知 ∠APO=30°，所以∠APB=60°， 又AP|=BP|,所以AB|=√3，故A错误，B,C正确.设 AB与OP交于点H,由PA,PB与圆x2+y=1相切，得 AB⊥OP,由PA⊥OA,得∠APO=∠OAB=30°，在 R△A0H中，OH=A01·sin∠OAH=,又周2+ y=子的半径为分，所以直线AB与圆x2+y=子相切， 故D正确.故选BCD. 参考答案·数学 第24讲圆锥曲线 【典例变式】 变式训练一 1.C【解析】对lm:y=一2x十2，令y=0,则x=1,所以F (1,0),p=2即抛物线C:y2=4x,故抛物线的准线方程为x =-1,故B(-1,4),则yM=4,代入抛物线C:y2=4x得x =4.所以AF=AB1=+号=4十1=5.故选C 2.号【解析】由题可知A,B,FB三点 横坐标相等，设A在第一象限，将x c代入若苦-1得，上， A(,2),(c,-),故1AB1= 2B=10,AF==5,又AF a -AF2|=2a,得|AF1=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a =4,代入仁=5得=20，故c2=a2十=36，即c=6,所以 =后=号=昌故答案为号 3.BC【解析】由题意a=2,b=√3， c=1,F(-1,0),F2(1,0),短轴 一个端点B(0,3).由题意 |PF+PF2=2a=4,故 △PF1F2周长为4十2=6，故A 错误；利用椭圆的性质可知 △PFF面积的最大值为2X2XV3=B,故B正确：P +P|=2|P1,设P(2cos0,3sin0),从而1Pò1= √4cos20+3sin0=V√3+cos20≥5，所以PA+PA1=2 P0,故C正确：图为Sam4=号1AA·p=2p 1,则号十+了=1m=士2，故D倍民， 4 变式训练二 1.A【解析】由台=e,得后=3，因此=3×，而 4 。>1,所以a=2故造A 2.ACD【解析】对于A,对于抛物 线C:y=6x,则p=3,其准线方 程为x=一号，焦点F(号，0），则 AD为抛物线上，点到准线的距 离，AF为抛物线上，点到焦点的 距离，由抛物线的定义可知，AD |=AF,故A正确：对于B,过点 B作准线的垂线，交于点P,由 题意可知AD⊥l,EF⊥AB,则 ∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=AF|,AE1=AE1,所以 43