第19讲 离散型随机变量的分布列，均值与方差-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第19讲离散型随机变量的分布列、均值与方差 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.离散型随机变量的分布列 (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不 A)=P(B),P(A B)=P(A)P(AB)=P 同值为x1,x2,…,x,…,xn,X取每一个值x (A)·P(B). (i=1,2,…,n)的概率P(X=x,)=p,则表 ②如果事件A与B相互独立，那么A与B,A Xxx2… 与B,A与B也都相互独立. Ppp… (3)条件概率 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称 条件概率的定义 条件概率的性质 为X的分布列，有时为了表达简单，也用等 设A,B为两个事件，且 (1)0P(BA)1: 式P(X=x:)=,i=1,2,…,n表示X的分 P(A)>0,称P(B|A)= (2)如果B和C是两个 布列. 提为在事件A发牛 互斥事件，则P(BUC (2)性质 的条件下，事件B发生的 A)=P(BA)+P(CI ①p:≥0(i=1,2,…,n)； 条件概率 A) ②2-1 5.独立重复试验与二项分布 2.离散型随机变量X的均值与方差 (1)独立重复试验 均值（数学期望） 方差 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独 E(X)=x1p1+x2p2+ D(X)= 计算公式 6 立重复试验，A(i=1,2,…,n)表示第i次试 …十x:p:十十xnp E(X))2P: 验结果，则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2) 刻画了随机变量X 反映了离散型随机变 …P(An). 作用 与其均值E(X)的 量取值的平均水平 (2)二项分布 平均偏离程度 方差的算术平方根√D(万为随机变量X的 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发 标准差 标准差 生的次数，设每次试验中事件A发生的概率 3.均值与方差的性质 是p,此时称随机变量X服从二项分布，记作 (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数). XB(,p),并称p为成功概率，在n次独 (2)D(aX+b)=aD(X)(a,b为常数). 立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率 4.条件概率与事件的相互独立 为P(X=k)=C%净(1一p)”-(k=0,1,2,…, (1)定义：设A,B为两个事件，如果P(AB) n). =P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互 (3)二项分布的均值与方差 独立. 若随机变量X服从参数为，p的二项分布， ·122 第一部分 一轮单元复习第六单元 即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(17.正态曲线的特点 一p). (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 6.超几何分布 (2)曲线是单峰的，它关于直线x=4对称； (1)定义：在含有M件次品的N件产品中， (3)曲线在x=μ处达到峰值 任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k) “。√2元 CC,k=0,1,2,,m,其中m=min (4)曲线与x轴之间的面积为1： C (5)当。一定时，曲线随着u的变化而沿x轴 {M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,即如 平移； 果随机变量X的分布列具有下表形式 (6)当以一定时，曲线的形状由。确定，σ越 X 0 1 … 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；0 CMCM CMCNM CCNM 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 C C% C 分散. 则称随机变量X服从超几何分布. 【注意】正态分布的三个常用数据 (2)均值 (1)P(-o<X≤十o)≈0.6827； 若X服从参数为N,M,n的超几何分布，则 (2)P(u-2o<X≤+2o)≈0.9545； E)-兴 (3)P(u-3o<X≤+3o)≈0.9973. 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 离散型随机变量的分布列的性质与 2后：X=3:三种不同球被取出，由排列数 均值 【例1-1】(2025·新课标I卷)一个箱子里有 可知事件X=3的可能情有况5×4×3=60 5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取 种故P(X=3)铝是，所以(X)）= 一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球 ×P(X=1)+2×P(X=2)+3XP(X=3) 的个数X,则数学期望E(X)= 5 【解析】依题意，X的可能取值为1、2、3，总 -1×+2×+3×号-器故答案 的选取可能数为53=125，其中X=1:三次 抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故 P(X=1)=品：X=2:哈好两种不同 【答案 球被取出（即一球出现两次，另一球出现一 【例1-2】在心理学研究中，常采用对比试验 次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出 的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体 现一次的球有4种方式，其中选取出现一次 方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两 球的位置有3种可能，故事件X=2的可能 组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙 种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心 情况有5X4×3=60种，故P(X=2)= 60 理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作 ·123· 艺考一本通数学 用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A, 的定义求E(X). A和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机 变式训练一 抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙 1.随机变量X的分布列如下： 种心理暗示。 -10 1 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 a A但不包含B的概率； 其中a,b,c成等差数列，则P(X|=1)= (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿 ,公差d的取值范围是 者人数，求X的分布列与数学期望E(X). 2.某射击运动员在一次射击比赛中所得环数 【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者 的分布列如下： 中包含A1但不包含B1的事件为M,则P 45 6 (MD- C-5 Px0.10.3y C。-181 已知的均值E()=43,则y的值为 () (2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4，则 A.0.6 B.0.4 C.0.2 C8-1 D.0.1 P(X=0)= C421 3.2021年中国共产党迎来了建党100周年，为 P(X=1)= ciC_5 了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主 C ,P(X-2=CC-10 C211 义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有 P(X=3) CP(X-4)= C%C8_5 Cl_1 200名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情 C42 况，将200名同学的竞赛成绩按[30,40)、 因此X的分布列为 [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80, 0 1 2 4 90)、[90,100)分成7组，绘制成了如图所示 10 5 42 21 2121 42 的频率分布直方图. 、频率 X的数学期望是 组距 0.0250H E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2X 0.0225 0.0200 P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0 0.0150 +1×7+2×号3×号+4×b-2 0.0100 0.0050 0.0025 【规律方法】 0 30405060708090100成绩/分 (1)离散型随机变量分布列性质的应用 (1)求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞 ①利用分布列中各概率之和为1可求参数的 赛成绩不低于80分的同学人数： 值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非 (2)现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采 负；②若X为随机变量，则2X十1仍然为随机 用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随 变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量 机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90 的值，再根据对应的概率写出分布列. 分的同学人数为X,求P(X=2); (2)求离散型随机变量X的均值的方法 (3)学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学 ①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求 以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低 X取每个值的概率；③写出X的分布列：④由均值 于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分 ·124· 第一部分一轮单元复习第六单元 不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品 继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生， 为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本） 并说明理由. 及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低 于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖 书籍的数量为，求的分布列和数学期望. 奖品数量/本 概率 4 4.甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出 题型二离散型随机变量的均值与方差的应用 胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖 【例2】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的 金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者 方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾 获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢 客从一个装有4个标有面值的球的袋中一 4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继 次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和 续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖 为该顾客所获的奖励额， 金.已知每场比赛甲赢的概率为p(0<p< (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面 1),乙赢的概率为1一p,且每场比赛相互 值为50元，其余3个均为10元，求： 独立. ①顾客所获的奖励额为60元的概率， (①)设每场比赛甲赢的概率为，若比赛进行 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. 了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金 (2)商场对奖励总额的预算是60000元，并 的分布列； 规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 (2)规定：若随机事件发生的概率小于0.05， 50元的两种球组成，或标有面值20元和40 则称该随机事件为小概率事件，我们可以认 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总 为该事件不可能发生，否则认为该事件有可 额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获 的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面 能发生.若本次比赛p≥号，且在已进行的3 值给出一个合适的设计，并说明理由， 场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛 【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X元. ·125· 艺考一本通数学 ①依题意，得P(X=60)= ，即质客 C (60-60)2×号+(100-60)2×=1600. 3 6 3 所获的关励颜为60元的概率为分： 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客 所获的奖励额为X2元，则X2的分布列为 ②依题意，得X的所有可能取值为20,60. X 60 80 PX-6x 1 6 6 即X的分布列为 X2的期望为E(X2)=40× +60X2 X 大 2060 0.50.5 80×=60, 6 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)= 20×0.5+60×0.5=40(元). X,的方差为D(X)=(40-60)2X6 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励 (60-60)P×号+(80-60)y2×日-40， 额为60元. 6-3 所以先寻找期望为60元的可能方案. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求， 对于面值由10元和50元组成的情况，如果 但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以 选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面 应该选择方案2. 值之和的最大值，所以期望不可能为60元； 【规律方法】利用均值与方差解决实际问题的 如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元 方法 是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 (1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化 60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)， 为数学问题，并将问题中的随机变量设出来 记为方案1. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体 对于面值由20元和40元组成的情况，同理 事件，求出其相应的概率 可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的 (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期 方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记 望与方差值， 为方案2. (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决 以下是对两个方案的分析： 策或给出合理的解释 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客 变式训练二 所获的奖励额为X1元，则X1的分布列为 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随 机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组 20 60 100 不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理 P 6 6 指标x和y的数据，并制成下图，其中“x”表 X1的期望为E(X1)=20× +60×2+ 示服药者，“十”表示未服药者， 6 3 指标 D B 100×1=60, 6 60 X的方差为D(X1)=(20-60)2× 6 指标 ·126· 第一部分一轮单元复习第六单元 (1)从服药的50名患者中随机选出一人，求 (2)从这10天的数据中任取3天数据，记 此人指标y的值小于60的概率； 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求￡ (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人， 的分布列. 记为选出的两人中指标x的值大于1.7的 【解析】(1)记“从10天的PM2.5日均值监 人数，求的分布列和数学期望E(): 测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质 (3)试判断这100名患者中服药者指标y数 量达到一级”为事件A,则P(A)= CC 据的方差与未服药者指标y数据的方差的大 C3。 小.（只需写出结论） =21 0 (2)依据条件知，服从超几何分布，其中N =10,M=3,n=3,且随机变量的可能取 值为0,1,2,3. P()= C冷·C- C30 (k=0,1,2,3). 所以P(E=0)= CC7 C90 24” P(e=1)= CC_21 Cio 401 P(E=2)= CC 7 Cio 40 题型三超几何分布与二项分布 P(e=3) CC9 1 【例3-1】PM2.5是指悬浮在空气中的空气 Cio 120 动力学当量直径小于或等于2.5微米的可 故E的分布列为 入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095 0 3 2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以 孟 21 4 品 下空气质量为一级；在35微克/立方米~ 【规律方法】求超几何分布的分布列的步骤 75微克/立方米空气质量为二级；在75微 !验证随机变量服从超几何分布，并确定参 克/立方米以上空气质量为超标. 第一步 数V,M,n的值 从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5 !根据超几何分布的概率计算公式计算出 第二步 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样 随机变量取每一个值时的概率 本，监测值频数如下表所示： 第三步一「用表格的形武列出芬布列 PM2.5日均 【例3-2】某企业对新扩建的厂区进行绿化， 值（微克/ [25,35)35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85 移栽了银杏、垂柳两种大树各2株.假定银 立方米) 频数 杏移栽的成活率为，垂柳移栽的成活率为 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据 中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达 号，且各株大树是香成话互不影响。 到一级的概率； (1)求两种大树各成活1株的概率； ·127· 艺考一本通数学 (2)设为两种大树成活的株数之和，求随题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定 机变量的分布列， 二项分布的试验次数n和变量的概率，求得 【解析】(1)记“银杏大树成活1株”为事件 概率. A,“垂柳大树成活1株”为事件B,则“两种 变式训练三 大树各成活1株”为事件AB 1.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中 由题可知PA)-C·是·} 8,P(B)= 2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语 又会英语，现选派3人到法国的学校交流访 问.求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； 由于事件A与B相互独立， (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人 所以P(AB)=P(A)·P(B)= 6 数X的分布列 (2)由题意知的所有可能取值为0,1,2,3， P=0)=(分)广·()=44 P=1)=C·是·（传+C·号3 )-: P(=2)=合+()·(3)+() (号品 2.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生 产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作 为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分 组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510， ()-是 515].由此得到样本的频率分布直方图如图. 频率 P(=4)=()·(号》= 组距 0.07 所以的分布列为 0.05 0 1 2 3 4 0.04 0.03 P 14 37 144 曼 0.01 【规律方法】独立重复试验与二项分布问题的常 490495500505510515重量/克 见类型及解题策略 (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生 的产品数量； 次的概率时，首先要确定好和k的值，再准确 (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设 利用公式求概率. X为质量超过505克的产品数量，求X的分 (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问 布列； ·128· 第一部分 一轮单元复习第六单元 (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量性质， 超过505克的产品数量，求Y的分布列. (2)利用3。原则求概率问题时，要注意把给出 的区间或范围与正态变量的以，。进行对比联 系，确定它们属于（以一0,4十o),(一2o,:十 2o),(μ一3o,十3o)中的哪一个. 变式训练四 1.(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从 题型四均值与方差在决策中的应用与正态 正态分布N(2,o2),且P(2<X≤2.5)= 分布 0.36,则P(X>2.5)= 【例4】(2024·新课标I卷)为了解推动出口 2.(2024·新课标I卷)甲、乙两人各有四张卡 后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区 片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分 抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均 别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有 值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植 数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比 区以往的亩收入X服从正态分布 赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选 V(1.8,0.1),假设推动出口后的亩收入Y 一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大 服从正态分布N(x,s2),则 的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃 (若随机变量Z服从正态分布N(u.o),P 置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮 (Z<u+6)≈0.8413) 次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分 A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5 不小于2的概率为 C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8 3.下图是随机调查某城市1000名有固定工作 【解析】依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y 的市民月收入状况所得的频率分布直方图： ~V(2.1,0.1).故P(Y>2)=P(Y>2.1 频率 组距 0.150f 0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.8413>0.5，C 0.125 0.100 正确，D错误；因为X~N(1.8,0.1),所以 0.075 P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P 0.050 (X<1.8+0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8 01357911月收入/千克 +0.1)1-0.8413=0.1587<0.2, (1)以频率估计概率，在该市任取一人，其月 而P(X>2)=P(X>1.8+20.1)<P(X 收入以所在区间的中点值为代表，记为X,求 >1.8十0.1)<0.2，B正确，A错误，故 X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X) 选BC (计算结果保留小数点后一位) 【规律方法】正态分布下的概率计算常见的两类 (2)从频率分布直方图上看，该市具有固定工 问题 作的市民月收入近似服从正态分布，以样本 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关 估计总体的思想，用样本的数学期望估计， 概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直 用样本的方差估计σ，就上述正态分布求解 线x=4对称，及曲线与x轴之间的面积为1的 下列问题： ·129· 艺考一本通数学 ①计算该市具有固定工作的市民月收入不低 于8500元的概率； ②在该市任取100名具有固定工作的市民， 记这100人中月收入不低于8500元的人数 为Y,求Y的数学期望（结果保留整数）： 附：若X~N(,o),则p(一o<X≤十o) =0.6826,p(2-o<X≤μ+2o)=0.9544; 参考数据：0.05×4.12+0.125×2.12+0.15 ×0.12+0.1×1.92+0.075×3.92=2.9, √2.8=1.7，w5.8=2.4,√6=2.5. 随堂检测 基础训练 温故知新 1.已知随机变量X的分布列为P(X=)=日 =0.7,则P(1<X<5)=0.3 5.某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4 k=1,2,3,则E(3X+5)= ( 只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第 A.6 B.9 C.11 D.14 一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球 2.设随机变量X~N(1,5),且P(X≤0)= 的概率为 () P(X>a一2)，则实数a的值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 A号 B号 C.o n 3.设X~B(4,p),其中0<p<2,且P(X=2) 6.若某科技小制作课的模型制作规则是：每位 学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制 -8那么P(X=1》 作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功 的概率为（≠0），制作次数为X,若X的数 A品 Rsi n器 学期望E(X)>子，则力的取值范围是() 4.(多选)下列关于随机变量X的说法正确的 是 A.(0,》 B(3 A若X服从二项分布B(4,号)，E(X)=号 c(o,》 D.(2,1 B.从包含2件次品的10件产品中不放回地 7.(多选)某学校举行防溺水知识竞赛，共设置了 随机抽取4件产品，若这4件产品中的次 5道题，每道题答对得20分，答错扣10分（每道 品数为X,则E(X)=青 题都必须回答，但互不影响)，设某选手每道题 C.若X的方差为D(X),则D(2X一3)=2D 答对的概率均为号，总得分为X,则 () (X)-3 D.若X服从正态分布N(3,o),且P(X<5) A.该选手恰好答对2道题的概率为号 ·130· 第一部分一轮单元复习第六单元 B.E(X)=50 (1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3 C.D(X)=100 家的普通型民宿的房间均不低于10间的条 3 件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低 D.P(X>60)=112 243 于10间的概率： 8.某工业流水线生产一种零件，该流水线的次 (2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取 的这4家中普通型民宿的房间不低于15间 品率为(0<<1)，且各个零件的生产互不 的家数，求X的分布列和数学期望 影响。 (1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不 影响，其次品率依次为一元：一 ①求： ②现对该流水线生产的零件进行质量检测， 检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若 为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结 果为合格，则进行人工抽检.已知自动智能检 测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽 检时，抽检的一个零件是合格品的概率（合格 品不会被误检成次品)， 10.某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中 (2)视饣为概率，记从该流水线生产的零件中 率均为0.5. 随机抽取n个产品，其中恰好含有m(n>m) (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的 个次品的概率为f(p),求函数f(p)最大值. 条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布B(,p),记 边一，则当n≥20时，可认为n服 √np(1-p) 从标准正态分布N(0,1).若保证投中的频 率在区间[0.4,0.6)的概率不低于90%，求 该同学至少要投多少次. 附：若7~N(0,1),则P(7<1.28)=0.9, 9.乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、 P(1.645)=0.95. 亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游 旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品 质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大 的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿点 甲乙丙丁戊己庚辛 普通型民宿168121413189 20 品质型民宿6164101110912 ·131·积，要得到常数项，有2种情形：(1)5个因式中每一个因式 都取一2，可得到常数项，它的值为（一2）5=一32：(2)5个因 式中，有2个因式取是，一个因式取，其余的因式都取 2,则C号·C·(一2)2=120，综上可得，常数项的值为一32 +120=88.故选C. 6.①1②15【解析】令x=0,则a=1,又(1-2x)4=a- 2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x,故(1-2x)4=a6+a(-2x) +a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x),令t=-2x,则(1+ t)4=ao+a1t+a2t+a3t+a4t,令t=1,则a+a1+a2+a3 十a4=24,故a十a2+a十a4=15.故答案为1，l5. 【基础训练】 1.40【解析】由2xC(-2x)P+(-六)·C(-2)1= 40x3,所以x3的系数为40.故答案为40. 2.C【解析】根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2 支，另一组5支，有C种分组方法：若一组3支，另一组4 支，有C》种分组方法.然后分配到2个不同的笔筒中，故共 有(C号+C9)A8=112种放法. 3.C【解析】(1)除甲、乙、丙外的3个人排成一排有A=6 (种)排法，再将甲、乙2个人插空，有A=12(种)排法，最后 排丙，丙不在两端，则丙有4种排法，故共有6×12×4=288 (种)不同的排法.故选C 4.A【解析】由题意可得C%=36,所以n=9.所以 (0x3左)广-(0：3厂的辰开或的通项为T=C ·g·(一号)·，令9号=0得=6所以展开 式中的常数项为心×9×(-号)》”=84 5.D【解析】将6名导游分成四组，各组人数分别为1,1,1,3 或1,1,2,2.当各组人数为1,1,1,3时，共有CCCC×A A =480种安排方法；当各组人数为1,1,2,2时，共有 COCX A!=1080安排方法.故不同安排方法有480 AA +1080=1560种，故选D. 6.D【解析】第一类，甲景区在最后一个体验，则有A种方 法：第二类，甲景区不在最后一个体验，则有AA3种方法， 所以小李旅游的方法共有A十AA=10(种)，故选D. .CD【解折】（√+F)广的原开式的第三项为T,= C(√)(F=C中·=C,所以第= 项的系数为C=45,所以n=10,故A错误； (+)广”=(V+F)”.合=1得辰开式中 所有项的系数之和为2=1024，故B正确；展开式中总共有 11项，则二项式系数最大的项是第6项，故C正确： (√F+F)的展开式的通项为工=C(√) (7)r=Ci.=C,令1r230=3,解得r 12 =6,所以展开式中含x的项是第7项，故D正确.故 选BCD. 8.D【解析】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有A,B, 且C,D,E至少有2名被选中，则除A,B外剩下的4名金牌 获得者的选取情况种数为CC十CC,又A,B必须在前3 天介绍，所以符合条件的方法种数为A(CC十CC)A= 5040.故选D. 9.AD【解析】对于A.令x=3,得1025=a十a1十…十a225, 即a0十a十…十a2%=1,A正确.对于B,令x一2=t,则原 参考答案·数学 等式变形为(21-1)2025=a十a1t2+…十a2025t25,由二项式 定理得d=Cs2s=20,令1=合，得，0=a十号十 受十十器+器，等式两侧同乘2，得20a十2 a1十…十2a2023十a224十2g5=0,所以22024a+2023a1十…+ 2 2a十a2=一%=一204，B错误.对于C.令x=1,得 2 (-3)225=a0-a1十a2-a3…一a225,故a一a1十a2一a3 一a2s=一320，C错误.对于D.对等式(21-1)225=十 a11十a22十…十a2st205两侧同时求导函数得，4050(21 1)2024=a1十2a2t+3a3t2+…+2025a225t224,令t=1,得a1 十2a十3a3十…十2025a2%=4050,D正确.故选AD. 10.C【解析】(x2-x十y)5=[(x2一x)+y],其展开式的通 项为T+1=C5(x2-x)5-r·y,令r=2,得T=C(x2 x)3·y,而(x2-x)3的展开式的通项为T+1=C略(x2)3- ·(一x)=（-1)Cx-,令k=1,则(x2一x十y)5的展开 式中xy2的系数为C号×(-1)1×C=一30. 第19讲离散型随机变量 的分布列、均值与方差 【典例变式】 变式训练一 1.号[-子]【解析】因为a6c成等差数列，所以2h =a+c又a+b什c=l,所以b=3,所以P(X=1)=a十c =导又a=了-dc=日十d根据分布列的性质，得0< 子-K号0号+K号所以-弓<K3 1 2.C【解析】由题意知，x十0.1十0.3十y=1,又E()=3x十 4×0.1+5×0.3+6y=4.3,两式联立解得y=0.2. 3.【解析】(1)因为0.025+0.15+0.20=0.375,0.025+0.15 +0.20+0.25=0.625,所以中位数位于[60,70)之间，设这 200名同学竞赛成绩的中位数为x,则0.025+0.15+0.20 十0.025(x一60)=0.5，解得x=65.竞赛成绩不低于80分 的学生人数为200×(0.10+0.05)=30. (2)由题意可知，按分层抽样抽取的9人中，竞赛成绩不低于 90分的学生人数为3人，所以P(X=2》智=是 (3)设这名同学获得书籍的数量为ξ，则ξ的可能取值为2， 4.68P(=2)=号×=：P=0=子×(+号 ×-最=6=×C×子×-P(=8)= ×(仔)》=衣所以专的分南列为 2 4 6 8 17 2 48 8 48 B=2X号+4x0+6X日+8X-号 4.【解析】(1)因为进行了5场比赛，所以甲、乙之间的输赢情况 有以下四种情况：甲赢4场，乙赢1场；甲赢3场，乙赢2场； 甲赢2场，乙赢3场；甲赢1场，乙赢4场.5场比赛不同的输 赢情况有C十C+C号+C种，即28种.①若甲赢4场，乙 赢1场：甲获得全部奖金8000元：②若甲赢3场，乙赢2场： 当比案维续下去甲赢得会部奖会的桃率为？十日×号 31 艺考一本通数学 是，所以甲分得600元奖金：③若甲赢2场，乙赢3场：当比 赛继续下去甲赢得全部笑金的概率为×合=}，所以甲 分得2000元奖金：④甲赢1场，乙赢4场.甲没有获得奖金。 设甲可能获得的奖金为X元，则甲获得奖金的所有可能取 值为8000,600,200,0，P(X=800)-器=Z;P(X= 28 60o0)-=：P(X=20o0)-8-是：PX=0)- C C号 C 1 .所以甲获得奖金数X的分布列为 X 8000 6000 2000 0 P 5 7 14 7 (2)设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，则最后一场必然 乙赢.当Y=3时，乙以4：2赢，P(Y=3)=(1一b)3:当Y= 4时，乙以4：3赢，P(Y=4)=Cp(1一p)3=3p(1一p)3:所 以，乙赢得全部奖金的概率为P(A)=(1一p)3+3p(1一p) =(1+3p)(1-)3.设f(p)=(1+3p)(1-p)3.f(p)=3(1 -p)+1+3p)·31-p(-1)=-121-p识.因为号≤P 1所以f(p)<0,所以p)在[音，1)上单调递减，于是 fp)m=f(借)-品=0.0272<0.05.故事件乙赢得全 部奖金”是小概率事件.所以认为比赛继续进行乙不可能赢 得全部奖金 变式训练二 【解析】(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于 60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此 人指标y的值小于60的概率为品=03. (2)由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2 人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C -日P=1D9C=号P=2》=日=所以的 C 3 分布列为 0 636 故专的期望E()=0×日十1X号+2X日=1. (3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服 药者指标y数据的方差. 变式训练三 1.【解析】(1)设事件A:选派的3人中恰有2人会法语，则P (A)-CC=- C 7 (2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2， C 3,P(X=0)= 4 C = ,P(X=1D=cC=8,P(X=2)= C 35 CC=2 C 5 P(X=3)= Cy =需，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 去 器 12 35 35 2.【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5× 0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3= 32 12(件). (2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克 的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分 布.P(X=0)= 是-品PX=10-C-器rX=2》 受-品所以X的分布列为 X 0 1 2 63 28 11 130 65 130 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超 过505克的概率为号-品从流水线上任取2件产品互不 影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的 件数Y的可能取值为0,1,2，且Y~B(2,哥)，P(X=)= C(1-是)（品）广，所以PY=0)=C·(品》-鵠， PY=1D=心·是·名-PY=2=C(品}-品 721 9 所以Y的分布列为 Y 0 2 49 9 P 21 100 50 100 变式训练四 1.0.14【解析】因为X~N(2,o2),所以P(X<2)=P(X>2) =0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X2.5)=0.5 一0.36=0.14.故答案为0.14. 2.2 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2,X3, X4,四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出 示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六 种，从而甲在演轮获胜的概率P(X=1)=没=音，所以 6 EX)=（=1,23,4.从而E0=BX+X+X+ X)= 2=EX)=2景=号.记n=PX==0, 1,2,3).如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出 1 1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8，所以p=本=2：如果甲 得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别 对应乙出8,24,6，所以=元=而X的所有可能取值 是0,1,2,3，故p十p+p2+p3=1,p+2p2+3p=E(X) =号.所以D十a十立-1，A十2n,十言=号，两式相减即 3 得十-日，放么十A=是：所以甲的总得分不小子2 1 1 的概率为p:十口=2故答案为2， 3.【解析】(1)依题意得X=2,4,6,8,10,由频率分布直方图得 每段的频率依次为0.1,0.25,0.3,0.2,0.15.所以频率估计 概率得P(X=2)=0.1,P(X=4)=0.25,P(X=6)=0.3,P (X=8)=0.2,P(X=10)=0.15.其分布列为 6 10 P 0.10.250.30.20.15 所以E(X)=0.1×2+0.25×4+0.3×6+0.2×8+0.15× 10=6.1,D(X)=0.1×(2-6.1)2+0.25×(4-6.1)2+0.3 ×(6-6.1)2+0.2×(8-6.1)2+0.15×(10-6.1)2=2× (0.05×4.1+0.125×2.12+0.15×0.12+0.1×1.92+0. 075×3.92)=2×2.9=5.8. (2)依题意XN(6.1,2.4),=6.1,o=2.4,①由μ十a= 8.5,知p(X≥8.5)=1-X≤+a2=1-0.6826= 2 2 0.1587:②依题意，Y~B(100,0.1587),故Y的数学期望为 E(Y)=100×0.1587=15.87≈16. 【基础训练】 1.C【解析】由题意得P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)= 号，所以EX0=(1+2+3)X号=2，故E3X+5)=3EX) +5=11. 2.B【解析】因为随机变量X~N(1,5),且P(X≤0)= P(X>a一2)，所以由正态分布密度曲线的对称性（对称轴是 x=1)可知，a一2=2X1,解得a=4. 3.D【解析】由题意，P(X=2)=Cr(1一p)2=员，即p(1 -pP=(号)》°.（号），解得=号或p=号，因为0<p <空放=子故PX=D=C×宁×(1-号）广-器 4.AB【解析】对于A,若X服从二项分布B(4,号)，则E （代=4X号-青北A正确：对于BX服从超见行分有，E （X=答=青故B正确：对于C,若X的方差为D(X. 则D(2X-3)=2D(X)=4D(X),故C错误：对于D,若X 服从正态分布N(3,o2),且P(X<5)=0.7,则P(1<X<5) =2P(3<X<5)=2X（0.7一0.5)=0.4，故D错误.故 选AB. 5.B【解析】第一次摸出新球记为事件A,则P(A)=号，第 二次取到新球记为李件B,则PAB)是-号片以P(B 1 A)=PAB=支5 P(A)-39 6 6.C【解析】由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1 )p,P(X=3)=(1-)2p+(1-)3=(1-)2,则E(X)= P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-)p+ 31-p)2=f-3D+3>子，解得D>号浅p<3,又p∈ 0,1,可得pe(0,2) 7.BD【解析】设答对的题目数为Y,则Y一B(5,号)，X= 20Y-10(5-Y)=30Y-50.对于A,该选手恰好答对2道题 的概率为C×(号)》'×（兮）广=器故A错误：对于B,E 40 （)=5X号=号，则EX0=EB30Y-50)=30×E)-50 =30×9-50=50,故B正确：对于C,DY)=5×号×号 3 -9.则DX)=D(30Y-50)=30XD(0=900×号 1000,故C错误：对于D,P(X>60)=P(Y=4)+P(Y=5) -CX(号)广×写+（号）广-器故D三痛故选D 8.【解析】(1)①因为两道生产工序互不影响，所以p=1一(1一 参考答案·数学 A)1-)=1-(1-需)×(1-立)=希@记自动智能 检测合格为事件A,人工抽检合格为事件B,且P(A)= 99%,P(AB)=1一p-器，则人工抽检时，抽检的一个零件 33 恰是合格品的概率为p(BA)=PAB)=玉=20 P(A)99%211 (2)因为各个零件的生产互不影响，所以f()=C”p"(1 p)-m(0<p<1),所以f(p)=C”[mpm-1(1一p)-m-(n m)p"(1-p)-m1]=CWpm-1(1-p)-m-1(m-np),令f (p)=0,得p=,又m心m,则0<职<1，所以当0<p< 时，f(p)>0,f(p)为单调增函数，当m<p<1时，f(p)< n 0,f(p)为单调减函数，所以，当p=m时，f(p)取得最大值， 则f()最大位为f(织)=C(兴)广(1-费)- Co m"(n-m)m n 9.【解析1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不 低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不 低于10间的有4家.记事件A=“这3家的普通型民宿的房 间均不低于10间”，事件B=“这3家的品质型民宿的房间 均不低于10网”则PA-=得-是，PCAB)得-品所 以PBA-票=号 (2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有 3家，故X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=C:C C =亮=P(X=1D=C=器=号，P(X=2y C C-器=号PX=-9=亮-所以X的 C 70 C 分布列为 0 3 3 3 1 14 7 14 所以0=0×+1×号+2×号+3X品=. 7 10.【解析】(1)该同学投篮了四次，设A,B分别表示“第二次没 有投中”和“恰投中两次”，则有P(AB)=PAB)- P(B) 一C 2 (2)随机变量ξ代表次投篮后命中的次数，则ξ服从二项 1 分布B(,弓），然后令随机变量 之_2”，并近 VT 似视为其服从正态分布N(0,1).题目条件即为0.4n≤< 0.6,即-0.2√m≤0.2√n的概率至少为90%.由于我 们有P(-1.645≤<1.645)=2P(0<1.645)=2(P(7 <1.645)一0.5)=2×0.45=0.9，故命题等价于0.2√≥ 1.645,解得n≥67.650625.综上，该同学至少要投68次. 33