第17讲 抽样方法与总体分布的估计-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第17讲 抽样方法与总体分布的估计 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.抽样方法 适用范围：总体的个体数不多 从调查的对象中按照一定的方法抽取一部 优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太 分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调 多时适宜采用抽签法。 查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调 ②随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一 查.调查对象的全体称为总体，被抽取的一部 步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始 分称为样本. 的数字；第三步，获取样本号码： (1)简单的随机抽样 (2)分层随机抽样 简单随机抽样的概念 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为 设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽 了使样本更充分地反映总体的情况，常将总 取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时 体分成几部分，然后按照各部分所占的比例 各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽 进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的 样为简单随机抽样. 部分叫做层 ①用简单随机抽样从含有N个个体的总体 2.用样本估计总体 中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取 (1)频率分布直方图 个个体时，任一个体被抽到的概率为：在整 结构一以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的此值 分 个抽样过程中各个个体被抽到的概率为； +数揭一落在各小组内的濒率用各小长方形的面积表示 直 特性各小长方形面积的和等于1 ②简单随机抽样的特点是：不放回抽样，逐个 地进行抽取，各个个体被抽到的概率相等； 可以利用频率分布直方图估计总体的取值 ③简单随机抽样方法体现了抽样的客观性与 规律。 公平性，是其他更复杂抽样方法的基础。 (2)百分位数与总体百分位数的估计 简单抽样常用方法 ①第p百分位数：一般地，一组数据的第p百 ①抽签法：先将总体中的所有个体（共有V 分位数是这样一个值，它使得这组数数据中 个)编号（号码可从1到N),并把号码写在形 至少有%的数据小于或等于这个值，且至 状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、 少有(100一p)%的数据大于或等于这个值. 纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱 ②可以用样本数据的百分位数估计总体的百 子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个 分位数 号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的 (3)众数、中位数和平均数与总体集中趋势的 样本. 估计 ·100· 第一部分一轮单元复习第六单元 若x1…x为n个样本，则平均 验公式可直接利用换元，使新元与y具有线 平均数 数=比…+x 反映 性相关关系，进一步求出，对新元的线性回 数据 组从小到大排列的数，若个数 集中 是奇数位于中间的数为中位数： 归方程，换回x即可得y对x的回归曲线 趋势 中位数 若个数是偶数，中位数则是位于 的量 中间两数的平均数 方程 众数 一组数中出现次数最多的数据 (2)非线性回归问题有时并不给出经验公式， (4)总体集中趋势的估计 这时按以下步骤求回归方程： 极差 一组数据中的最大值与最小值的差 ①画出已知数据的散点图，看是否是线性回 反映 数据 方差 2=化-可+化-习++x-2 归分析问题，如果不是，把它与必修数学中学 离散 程度 过的函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图 的量 标准差 (x1-)+(x2-)+…+(x-) n 像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好 3.两变量间的相关关系与统计案例 的函数，采用适当的变量置换，把非线性回归 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大 分析问题化为线性回归分析问题 致分布在通过散点图中心的一条直线附近， ②作相关性检验，即判断寻找线性回归方程 称两个变量之间具有线性相关关系，这条直 是否有意义， 线叫回归直线。 ③当寻找线性回归方程有意义时，计算系数 (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上 a,,得到线性回归方程. 角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 ④代回x得y对x的回归曲线方程. 正相关，点分布在左上角到右下角的区域内， 5.独立性检验 两个变量的相关关系为负相关， (1)独立性检验 (3)回归方程为y=x十a,其中b 通过2×2列联表， 含- Y 合计 X b a+b ,a=y-bx a 含a好-n d c+d (4)相关系数 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 2(x-x)(y一 再通过卡方统计量公式计算K2的值，利用 随机变量K来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变量有关系”的方法称为两个分类 当>0时，表明两个变量正相关； 变量的独立性检验。 当<0时，表明两个变量负相关， (2)变量独立性的判断 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性 通过对K?统计量分布的研究，已经得到两 相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两 个临界值：3.841和6.635。当数据量较大 个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常 时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进 r大于0.75时，认为两个变量有很强的线 行判断： 性相关性。 ①如果K≤3.841时，认为事件A与B是无 4.非线性回归分析 关的。 (1)对于非线性回归分析问题，如果给出了经 ②如果K2>3.841时，有95%的把握说事件 ·101· 艺考一本通数学 A与事件B有关； n(ad-bc)2 ③如果K>6.635时，有99%的把握说事件 (ate)(b+d(a+b)(c+d)' 计算出K A与事件B有关； 的值； (3)独立性检验的基本步骤及简单应用 ⑤统计推断：当K2>3.841时，有95%的把 要推断“A与B是否有关”，可按下面步骤 握说事件A与B有关； 当K2>6.635时，有99%的把握说事件A与 进行： ①提出统计假设H:事件A与B无关（相互 B有关； 独立)； 当K>10.828时，有99.9%的把握说事件 ②抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都 A与B有关： 要大于5)； 当K≤3.841时，认为事件A与B是无 ③列出2×2列联表； 关的. ④根据2×2列联表，利用公式：K 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 简单随机抽样 【答案】①②③④ 【例1】下列抽取样本的方式不属于简单随机 【规律方法】抽签法与随机数法的适用情况 抽样的有 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随 ①从无限多个个体中抽取100个个体作为 机数法适用于总体中个体数较多的情况！ 样本 (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两，点： ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般 件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意 地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽 拿出一个零件进行质量检验后再把它放回 签法 盒子里， 变式训练一 ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量 1.某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2， 检验 3,…,48,现用系统抽样的办法抽取一个容量 ④某班有56名同学，指定个子最高的5名 为6的样本.已知学号为3,11,19,35,43的 同学参加学校组织的篮球赛， 同学在样本中，那么还有一个同学的学号应 【解析】①不是简单随机抽样.由于被抽取 为 () 的样本总体的个数是无限的，而不是有限 A.27 B.26 C.25 D.24 的。②不是简单随机抽样.由于它是放回抽 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分” 样.③不是简单随机抽样.因为这是“一次 题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米 性”抽取，而不是“逐个”抽取.④不是简单随 内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28 机抽样.因为指定个子最高的5名同学是 粒，则这批米内夹谷约为 () 56名中特指的，不存在随机性，不是等可能 A.134石 B.169石 抽样 C.338石 D.1365石 ·102· 第一部分一轮单元复习 第六单元 3.某年级有1000名学生，随机编号为0001， 解得x=16,y=12,m=42. 0002,…,1000,现用系统抽样方法，从中抽出 【答案】(1)18(2)42 200人，若0122号被抽到了，则下列编号也 【规律方法】分层抽样问题的解题策略 被抽到的是 ) (1)确定抽样比.可依据各层总数与样本数之 A.0116 B.0927 C.0834 D.0726 比，确定抽样比， 4.2015年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮， (2)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意 某网站对购物情况做了一项调查，收回的有效 求出抽样比，再由某层总体个数（或样本数)确 问卷共500000份，其中购买下列四种商品的 定该层的样本数（或总体数）. 人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品 (3)求各层的样本数.可依据题意，求出各层的 94000人；化妆品116000人；家用电器92000 抽样比，再求出各层样本数 人.为了解消费者对商品的满意度，此网站用 变式训练二 分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查， 1.某班50名学生中有女生20名，按男女比例 已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人， 用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分 则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷 学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本 份数为 ( 次调查抽取的人数是 () A.92 B.94 C.116 D.118 A.8 B.10 C.12 D.15 题型二分层抽样 2.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中 【例2】(1)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同 高一480人，高二比高三多30人，为了解该校 型号的产品，产量分别为200,400,300,100 学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进 件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方 行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则 法从以上所有的产品中抽取60件进行检 该样本中的高三学生人数为 () 验，则应从丙种型号的产品中抽取 A.84 B.78 C.81 D.96 件. 3.我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问 (2)一支田径队有男运动员56人，女运动员 m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样 题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八 本，在这个样本中随机取一个当队长的概率 人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三 百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几 为8且样本中的男队员比女队员多4人 何？”其意思为：“今某地北面有若干人，西面 则m 有7488人，南面有6912人，这三面要征调 【解析】(1)应从丙种型号的产品中抽取 300人，而北面共征调108人（用分层抽样的 300 60 200+400+300+100=18(件). 方法)，则北面共有多少人？” () A.8000 B.8100 C.8200 D.8300 (2)由题意知n=28,设其中有男队员x人， 题型三样本估计总体 女队员有y人。 (一)频率分布直方图（高频考点） x+y=28, 则x一y=4, 频率分布直方图是高考的热点，选择题、填 56- 空题、解答题都有可能出现.难度一般较小， m y 高考对频率分布直方图的考查主要有以下 ·103· 艺考一本通数学 三个命题角度：①求样本的频率、频数；②求样 【答案】(1)10.15 210.015 (23 0 本的平均数、众数、中位数；③与概率结合考查 (3)204.56 某区间内的个体被选中的概率」 【规律方法】 【例3】(2025·上海卷)2024年东京奥运会， 中国获得了男子4×100米混合泳接力金 (1)频率、频数、样本容量的计算方法：①海率 组距 牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合 泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据 组距=频车巴得装蔡亚=频率，四擎=样 按照升序排列： 本容量，④样本容量×频率=频数 (2)频率分布直方图与众数、中位数、平均数的 206.78207.46207.95209.34209.35 210.68213.73214.84216.93216.93 关系： (1)求这组数据的极差与中位数； ①最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个 ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相 数据在211以上的概率； 等的； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频 y=-0.311x+b,年份x的平均数为2006， 率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长 预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01 方形底边中点的横坐标之和」 秒). 【易错警示】①频率分布直方图的纵坐标是 【解析】(1)由题意，数据的最大值为 组距，而不是频率，切莫与条形图混淆.②制作 频 216.93,最小值为206.78，则极差为 好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是 216.93一206.78=10.15；数据中间两数为209. 否为1来检验该表是否正确， 35与210.78，则中位数为209.35+210.68_ 变式训练三 1.某平台招聘外卖骑手，该平台提供了两种日 210.015.故极差为10.15，中位数为210.015： 工资方案：方案①，规定每日底薪为50元，骑 (2)由题意，数据共10个，211以上数据共 手每完成一单业务提成3元；方案②，规定每 有4个，故设事件A=“恰有2个数据在211 日底薪为100元，前44单业务没有提成，从 以上”，则P(A)三适=0，故恰有2个 第45单业务开始，骑手每完成一单业务提成 5元.该平台记录了每天骑手的人均业务量， 数搭在211以上的概率为品： 现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 (3)由题意，成绩的平均数 [25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65, 20678+20.4+207.95+209.31+209.35+21068+21373+214.84+216.93+2169盟 75),[75,85),[85,95]七组，整理得到如图所 =211.399,由直线y=-0.311x+b过 示的频率分布直方图. (2006,211.399),则b=211.399+0.311× 十频率 组距 2006=835.265,故回归直线方程为y 0.030 -0.311x+835.265.当x=2028时，y 0.020 0.015 -0.311×2028+835.265=204.557≈204.56. 0.005 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 2535455565758595业务量/单 ·104· 第一部分 一轮单元复习第六单元 (1)随机选取一天，估计这一天该平台的骑手 满意度评 「50,60)「60,70)「70,80)「80,90) [90,100] 人均日业务量不少于65单的概率； 分分组 (2)若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案①， 频数 2 8 14 10 6 丁、戊选择了日工资方案②，现从上述5名骑 (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的 手中随机选取2名，求至少有1名骑手选择 频率分布直方图，并通过直方图比较两地区 日工资方案②的概率； 满意度评分的平均值及分散程度（不要求计 (3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用 算出具体值，给出结论即可) 所学的统计学知识为新聘骑手做日工资方案 B地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率 的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用 组距↑ 该组区间的中点值代替) 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 50 60708090100满意度评分 (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分 为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的 概率大？说明理由 2.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了40个用户，根据用 户对产品的满意度评分，得到A地区用户满 意度评分的频率分布直方图和B地区用户 满意度评分的频数分布表， A地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 88 0.005 0 405060708090100满意度评分 B地区用户满意度评分的频数分布表 ·105. 艺考一本通数学 3.2020年12月31日，国务院联防联控机制发 有确定2(C1十x6),c十x2十x3十x4的大小 布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗 关系，所以无法判断，n的大小，例如：1， 已获药监局批准附条件上市，其保护效力达 2,3,4,5,6,可得m=n=3.5;例如1,1,1， 到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现 1,1,7,可得m=1,n=2;例如1,2,2,2,2， 已对18至59岁的人提供.根据某地接种年 2,可得m=2,m是；故A错误：对于选项 龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接 种年龄的中位数为 B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x≤x6,可知 频率 x2,x3,x4,C5的中位数等于x1,x2,…,x6的 组距 0.040 中位数，均为工，故B正确；对于选项 0.034 2 0.030 88院 C:因为是最小值，x6是最大值，则2， 0.013 x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,…,x6的 波动性，即x2,x3,x4,的标准差不大于1， 01824303642485460年龄/岁 2,…,6的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平 A.40 B.39 C.38 D.37 题型四 用样本的数字特征估计总体的数字 均教0一君(2+4+6十8+10+12)=7，标准差 特征 少 样本的数字特征是每年高考的重点，且多 √合[2-7y+(4-7)+(6-7+(8-7)+10-7)+12-7 与频率分布直方图、茎叶图相结合考查.主要命 105 题角度有：①数字特征的计算；②用样本的数字 3 ,对于数据4,6,8,10，则平均数m= 特征解决生活中的优化问题」 }(4十6+8十10)=7，标准差。 【例4】(2023·全国乙卷)（多选）有一组样本 数据，x2,…,x6,其中0是最小值，x6是 √[4-7)+(6-7)9+8-7P+10-7 最大值，则 ) A.x2,x3,x4,C5的平均数等于C1x2,…,6 -5,显然0西>5，即>故C错误； 的平均数 对于选项D:不妨设x1≤x2≤3≤x4≤x5≤ B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6 x6,则x6一x1≥x5一x2,当且仅当x1=x2, 的中位数 x=x6时，等号成立，故D正确；故选BD. C.x2,x3,x4,C5的标准差不小于x1,x2,…, 【答案】BD x6的标准差 【规律方法】样本数字特征及公式推广 D.x2,x3,c4,x的极差不大于1，x2,…,6 (1)平均数和方差都是重要的数字特征，是对总 的极差 体的一种简明的阐述.平均数、中位数、众数描 【解析】对于选项A:设x2,x3,x4,x的平均 述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动 数为m,x1,x2,…,x6的平均数为n,则n 大小 m=234,5x6-2十x3十x4十 (2)平均数、方差公式的推广，若数据1， 6 _2(十x)-(x十十x十4），因为没 x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,则数据mx1 12 十a,mx2十a,…,mxn十a的平均数为mx十a, ·106· 第一部分一轮单元复习第六单元 方差为ms2. 3.某城市100户居民的月平均用电量（单位： 变式训练四 度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)， 1.(2025·新课标Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16， [220,240),[240,260),[260,280),[280, 20的平均数为 ( 300]分组的频率分布直方图如图. A.8 B.9 C.12 D.18 ,频率 十组距 2.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺 0.0125- 0.011 对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配 0.0095 对试验，每次配对试验选用材质相同的两个 0.005 橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理， 088 另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产 09 M6018020020240260280300月平均用电量/度 品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产 (1)求直方图中x的值； 品的伸缩率分别记为x,y(i=1,2,…,10) (2)求月平均用电量的众数和中位数， 试验结果如下： 试验序号12 3 4567 8910 伸缩率x545533551522575544541568596548 伸缩率536527543530560533522550576536 记：=x:一y(i=1,2,…,10),记1,2，…， 的样本平均数为之，样本方差为s2. (1)求z,s2; (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率 较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有 显著提高（如果≥2 √0，则认为甲工艺处 52 理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的 题型五两变量间的相关关系与统计案例 橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为 (一)回归分析 有显著提高) 【例6-1】(1)x和y的散点图如图所示，则下 列说法中所有正确的序号为 ↑y 300 2500 2000 1500 1000 500 01 345678910x ①x,y是负相关关系； ②在该相关关系中，若用y=c1er拟合时的 相关系数的平方为r,用y=x+a拟合时 的相关系数的平方为r号，则>； ·107· 艺考一本通数学 ③x、y之间不能建立线性回归方程， A.我国2010一2018年未成年人犯罪比重持 (2)(2024·天津卷)下列图中，相关性系数 续下降 最大的是 ( B.与2010年相比，2019年未成年人犯罪比 。 重下降4.19个百分点 C.2019年我国未成年人犯罪的人数多于 ●● 2018年 B D.2010一2019年我国未成年人犯罪人数所 占比重的中位数为3.91% 2.(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效 应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将 D 其中20只分配到试验组，另外20只分配到 【解析】(1)①显然正确；由散，点图知，用y 对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧 =c1er拟合的效果比用y=bx十a拟合的 环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段 效果要好，故②正确；x,y之间能建立线性 时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位： 回归方程，只不过预报精度不高，故③不正 g).试验结果如下： 确.故答案为①②， 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排 (2)观察4幅图可知，A图散，点分布比较集 序为 中，且大体接近某一条直线，线性回归模型 15.218.820.221.322.523.2 拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值 25.826.527.530.132.634.3 相比于其他3图更接近1.故选A. 34.835.635.635.836.237.3 【答案】(1)①②(2)CD 40.543.2 【规律方法】最小二乘估计的三个步骤 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排 (1)作出散点图，判断是否线性相关. 序为 (2)如果是，则用公式求a,b,写出回归方程. 7.89.211.412.413.215.516.5 (3)根据方程进行估计. 18.018.819.219.820.221.6 【注意】回归直线方程恒过，点(x,y) 22.823.623.925.128.232.3 变式训练五（一） 36.5 1.国家统计局2021年1月的统计数据显示，我 (1)计算试验组的样本平均数； 国2010一2019年未成年人犯罪人数所占比 (2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位 重如图所示，则下列说法不一定正确的是 数m,再分别统计两样本中小于m与不小于 ( m的数据的个数，完成如下列联表 2010-2019年未成年人犯罪人数所占比重 10 <m ≥m 6.786.40 5.44 对照组 824.263.56293 2582.412,59 试验组 2010201120122013201420152016201720182019年份 (iⅱ)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握 ·108· 第一部分一轮单元复习第六单元 认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环 销费用多少万元.（结果精确到0.01） 境中体重的增加量有差异？ 参考数据： 附：K2 n(ad-bc)2 2(-1(-3》=4. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 2a-11y=340 ∑(y-3)2=16.5, P(K≥k) 0.1000.0500.010 √340≈18.44，√16.5=4.06，其中x:,y:分别 2.7063.8416.635 为第i个月的促销费用和产品销量，i=1,2, 3,…,8. 参考公式：(i)样本(c,以)(i=1,2,…,n)的相 2(5-0(y- 关系数r x-- (i)对于一组数据（01，y),（x2,y2),…, (In,yn), 其回归方程方 空x-3- -,a =y-bx. - 3.随着网络的发展，网上购物越来越受到人们 的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略 越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是 某购物网站2017年1一8月促销费用x(万 元)和产品销量y(万件)的具体数据 月份 2 3 4 5 6 7 8 促销费用x 2 3 61013 21 15 18 产品销量y 11 233.5 5 4 4.5 (1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线 性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系 数r加以说明；（系数精确到0.001） (2)建立y关于x的回归方程y=bx+a(系 数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份 实现产品销量超6万件，预测至少需投入促 ·109·1 PAB=4-日，故ABD正确，C错误，故选ABD P(A3)1 4 7.A【解析】已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能 顺序有（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女）， (男，男，女，女)，（男，女，男，女），（男，女，女，男），所以第2 位走出的走男同学的概率P=号-合故选A &.ABD【解析]时于A,由题意可得PA=兰=合，P(B)= 4 是=，PCAB)=子，所以PAB)=PAP(B,故A正 疏对于BPC=号-7PA0=PaG=智 =PC=梁=号，所以PA1O=PCA,故 B正瑞；对于C,因为PABC)=,P(A)P(BP(CO)=× 合X号-=日所以PABC)≠PAPPO,故C精 对于D,因为PBO)=},所以P(BC)=P(B)P(C.故D 正确.故选ABD. 9.BC【解析】若正确选项的个数为2个，则有(1,2)，(1,3)， (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种组合，每种组合为正确答 案的概率为了×日=西若正璃选项的个数为3个，则有 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)共4种组合，每种组合 为正确答案的概率为了×=立：若正骑选项的个数为4 个，则有(1,2,3,4)共1种组合，这种组合为正确答案的概率 为行随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为2 A错误：1选项是正确选项的概率为3X品十3X位十 1 日-子>？B正确：1选项为正喷递项为率件A,由B选 项知，P(A=子，正确选项有3个为事件B,则P(BA) 空-占，C至1或项为件溪线项为半外C 1 P(AB) P(A) 3 4 P(O=子，正确选项有2个为事件D,则P(DC)=PC咒 P(C) 3X8=名，D错误. 三 1 3 4 10.需【解析】诺第一轮在第一轮中得1分，若第一轮中甲抽 到的小球为1,3，则乙抽到的小球只能是2，若第一轮中甲 抽到的小球为1,4，则乙抽到的小球可以是2或3，若第一 轮中甲抽到的小球为2,3，则乙抽到的小球可以是1或4， 若第一轮中甲抽到的小球为1,5或者2,4或者2,5或者3， 4或者3,5或者4,5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个 小球中的任何一个，故共有6×3=18，因此第一轮中甲得1 分的概率为1十18-器在第二轮的过程中，只剩下 CC 两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球 中抽到号码大的球即可，故概率为2，因此甲在两轮中共 参考答案·数学 得2分的概率为7×铝-器故答案为器 第17讲抽样方法与总体分布的估计 【典例变式】 变式训练一 1.A【解析】根据系统抽样的规则—“等距离”抽取，也就 抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为 8,所以在19与35之间还有27. 2B【解析】由题意，这批来内夹谷约为1534×器≈ 169(石). 3.B【解析】样本间隔为1000÷200=5，因为122÷5=24余 2,故抽取的余数应该是2的号码，116÷5=23余1,927÷ 5=185余2,834÷5=166余4,726÷5=145余1. 4.B【解析】在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购 买“家居月品”这一美中应袖取的问卷份教为，则6 =94000,解得x=94. 变式训练二 1.B【解析】因为50名学生中有女生20名，按男女比例用分 层抽样的方法，抽到的女生有4名，所以本次调查抽取的人 数是50×易=10，故选B 2.B【解析】设高三人数为x,由480+(30十x)十x=1290 可得x=390,分层抽样为按比例抽样则样本中的高三学生 人数为8×96=78故选B 3.B【解析】设北面人数为x,根据分层抽样，可得 干748+9205解得=810人.故选R 变式训练三 1.【解析】(1)由图知，该平台的骑手人均日业务量不少于65单 的频率为0.2十0.15十0.05=0.4，所以随机选取一天，估计 这一天该平台的骑手人均日业务量不少于65单的概率 为0.4. (2)因为从5名骑手中随机选取2名的基本事件总数=C =10,至少有1名骑手选择日工资方案②的基本事件个数m 二CC+C=7所以所求报奉P-只-品 (3)由图知，该平台的骑手人均日业务量的平均数是30× 0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15 +90×0.05=62(单)，所以方案①的日工资约为50+62×3 =236(元)，方案②的日工资约为100+(62一44)×5=190 (元)，故新聘骑手应选择方案①. 2.【解析】(1)如图所示. B地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率 组距↑ 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100满意度评分 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分 的平均值：B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户 满意度评分比较分散. (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C表示 27 艺考一本通数学 事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”：CB表示：“B地 区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(C)的估计 值为(0.01十0.02+0.03)×10=0.6，P(C)的估计值为(0. 005+0.02)×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 3.C【解析】年龄位于[18,24)的频率为0.013×6=0.078，年 龄位于[24,30)的频率为0.023×6=0.138，年龄位于[30， 36)的频率为0.034X6=0.204,年龄位于[36,42)的频率为 0.040×6=0.240,因为0.078+0.138+0.204=0.420.5， 而0.078+0.138+0.204+0.240=0.42=0.66>0.5，所以 中位数位于[36,42)，设中位数为x,则0.078十0.138+0. 204十(x一36)×0.04=0.5，解得x=38.故选C. 变式训练四 1.C【解析】样本数据2.8,14.16,20的平均数为 2+8+14+16+2060=60=12.故选C. 5 2.【解析】 (1)元=545+533+551+522+575+54+541+568+596+548 10 =552.3, y=536+527+543+530+560+533+522+550+576+536 10 =541.3, 2=x-y=552.3-541.3=11, ≈=x-y的值分别为：9,6,8，-8,15,11,19,18,20,12， 故2= 9-11+(6-11)+8-11十长-8-11十女15-11+0+19-11十(18-11+20-11y+12-11 0 =61 2 (2)(1)知：=11,2√6=26=/24,4，故有≥ 2N10' 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理 后的橡胶产品的伸缩率有显著提高 3.【解析】(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005 +0.0025)×20=1得x=0.0075, 所以直方图中x的值为0.0075. (2)月平均用电量的众数是220240=230. 2 因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5， (0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.5,所以 月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a,则 (0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5, 解得a=224,即中位数为224. 变式训练五（一） 1.C【解析】我国2010~2018年未成年人犯罪比重持续下 降，故A选项正确：与2010年相比，2019年未成年人犯罪比 重下降为6.78一2.59=4.19个百分点，故B选项正确；由于 所有犯罪的人数未知，虽然2019年未成年人犯罪人数所占 比重大于2018年，但无法确定2019年我国未成年人犯罪的 人数是否多于2018年，故C选项不一定正确：2010~2019 年，犯罪人数所占比重从小到大依次为2.41%，2.58%， 2.59%,2.93%,3.56%,4.26%,4.82%,5.44%,6.40%, 6.78%,由中位数的定义可知，我国未成年人犯罪人数所占 比重的中位教为3.56%)426必=3.91%，故D选项正确。 2 故选C. 2.【解析】(1)试验组样本平均数为： 20(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+ 18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+ 28 25.1+28.2+32.3+36.5)=20=10.8 (2)()依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数 据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均 数，故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m= 23.2+23.6 2 =23.4,故列联表为： m 2≥1 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 (i)由(i)可得，K= 40×(6×6-14×14)2 =6.400>3.841, 20×20×20×20 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在 正常环境中体重的增加量有差异. 3.【解析】(1)由题意可知x=11,y=3,将数据代入r= 之(x-五)0一 74.5 二， 得r≈18.44X4.06 (x-x)2 74.5 74.8664≈0.995. 因为y与x的相关系数近似为0.995，说明y与x的线性相关 性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.（需要 突出“很强”，若有“一般”或“较弱”字样不给分) 2》将教据代入=之Ga2(y-》 2,得6=74.5=0.219， 2(x-x)2 340 a=y-x=3-0.219×11≈0.59，所以y关于x的回归方 程为y=0.22x+0.59.由y=0.22x+0.59>6,解得x 24.59,即至少需要投入促销费用24.59万元， 4【解析】(1)依题意，元=1+2+3+4十5=3，= 0.4+07+1+1.4+1.5=1,∑(m-D(y-)=2.9, 5 ∑(-)2=4+1+1+4=10,6= ∑(x,-x(y- ∑(x- =0.29,故a=y-bx=1-0.29×3=0.13,故所求线性回 归方程为y=0.29x十0.13. (2)依题意，新车花费： 5年花费 3,5) 5,7) [7,9) [9,11)[11,13)[13,15 /万元 人数 60 100120 40 60 20 频率 0.150.250.30.1 0.150.05 依题意，x=4×0.15+6×0.25+8×0.3+10×0.1+12× 0.15+14×0.05=8,s2=0.15×(-4)2+0.25×(-2)2十 0.1×22+0.15×42+0.05×62=8. 5.(1)散点图见解析，y=mex+:(2)y=10×e-x十0.8 【解析】(1)散点图如图， /微克 2 012345x/次数 用y=mex十n作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药 量的回归方程类型 ∑(w:-)(y- (2)由题知m= 0.9=10,n=y-m 0.09 ∑(w:-) w=2-10×0.12=0.8,故所求的回归方程为y=10×ex+ 0.8. 变式训练五（二）】 1.A【解析】根据独立性检验的定义，由K≈7.8>6.635可 知，我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有 关”.故选A 2.【解析】(1)依题意，2×2列联表如下： 视频从业人员 Sora的应用情况 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 零假设H。为：Sora的应用与视频从业人员的减少独立， Sora的应用前后视频从业人员无差异，由列联表中数据得， X=150X528×36L-6≈12.981>10.828.根 72×78×90×60 52 据小概率值a=0.001的X的独立性检验，推断H不成立， 所以有99.9%的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减 少有关； (2)(i)设A:=“员工第i轮获得优秀”(i=1,2,3),且A,相互 独立.设B=“员工经过培训能应用Sora”,则P(B)=P A,AA)+P不AA)+PA石A)+PAA不)=号 ××号+号×号×+号×号×号+号××号 号，故员工经过培训能应用S0a的概率是号 (i)设视频部调x人至其他部门，x∈N,X为培训后视频部 能应月用S0a的人数，则X~B(100-,号)，因此E(X) 10,工，调整后视频部的年利润为10，工×10十 2 2 (1-号)100-x)×6-(100-x)=(700-7)(万元)，令 700-7x≥100×6，解得≤109≈14.3，又x∈N,所以xm 7 =14.因此，视频部最多可以调14人到其他部门. 【基础训练】 1.C【解析】因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济 收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为，则建设后 的经济收入为2，A选项，从扇形统计图中可以看到，新农 村建设后，种植收入比建设前增加2m×37%一m×60%=m ×14%,故A正确；B选项，新农村建设后，其他收入比建设 前增加2mX5%一mX4%=mX6%>mX4%,即增加了 倍以上，故B正确：C选项，养殖收入的比重在新农村建设前 与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后 的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误；D选项，新农村建 设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降 为37%，故D正确.故选C. 2.C【解析】数据，，…，x10,2的平均值为2，方差为1， 故7[(m-2)2+(m-2)2+…+(x0-2)2+(2-2)2]= 1,数据1,2，…，xn的方差2=0[(m一2)2+(2-2)2+ …十(x1一2)]>1，故相对于原数据变得比较不稳定，选C. 参老答案·数学 3.B【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高 二：1600人，高三：1500人，则三个年级的人数占总人数的比 181615 创分别为，的丽因此，各年级抽取人数分别为98X9 =36,98×8=32,98×38=30,故选B 4.C【解析】由题意，0.06×5+x×0.1=0.5,所以x为2，所 以由图可估计样本重量的中位数是12，故选C. 5.C【解析】由题意得，(0.004+a十0.022+0.028+0.022+ 0.018)×10=1,解得a=0.006.对于选项A,成绩在[40， 70)内的频率为(0.004十0.006十0.022)×10=0.32，成绩在 40,80)内的频率为(0.004+0.006+0.022+0.028)×10= 0.6,故中位数在[70,80)间，但样本成绩在[70,80)间的可能 均为74分，故中位数不一定大于75，所以选项A错误；对于 选项B,由极差的定义知，学生成绩的极差介于40至60之 间，所以选项B错误：对于选项C,由平均数的定义知，学生 成绩的平均成绩为(45×0.004+55×0.006+65×0.022+ 75×0.028+85×0.022+95×0.018)×10=76.2,介于70 至80之间，所以选项C正确；对于选项D,由于成绩不低于 60分的频率为0.18十0.22×2+0.28=0.9，所以成绩不低 于60分的人数是1500×0.9=1350，所以选项D错误.故 选C 6.B【解析】由表格中数据可得，x=4,y=50,所以50=4× 10.2十a,解得a=9.2,所以回归方程为y=10.2x+9.2,所 以当x=10时，y=10.2×10十9.2=111.2，即预测广告费为 10万元时销售额约为111.2万元，故选B. 7.D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值 为30万元，其比是3：1，故A正确：由图可知，结余最高为7 月份，为80一20=60，故B正确；由图可知，1至2月份的收 入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确； 由图可知，前6个月的平均收入为日(40+60十30+30十 50+60)=45万元，故D错误，故选D. 8C【解析】因为=(i十+对十-16)= 1 [(x1-元)2+(x2-元)2+(x3-元)2+(x4-x)2],所以27(x1 +x2+x3+x4)一4z2=16,所以872一42=16,7=2，即x1 +x十0十4=8，所以+2+十2+西+2+4十2=4， 4 故选C 9.AB【解析】由题得10×(0.005十x十0.035+0.030+0. 010)=1,解得x=0.020,故A正确：在频率分布直方图中， 前三个小长方形的面积和为0.6，前四个小长方形的面积和 为0.9，所以这组数据的第80百分位数约为80十号×10≈ 86.67,故B正确：这组数据的平均数的估计值为10×(55× 0.005+65×0.020+75×0.035+85×0.030+95×0.010) =77,故C不正确：由频率分布直方图可知，得分在[50,70) 内的频率为0.005×10+0.020×10=0.250.50，得分在 [50,80)内的频率为0.005×10+0.020×10+0.035×10= 0.60>0.50,则中位数在[70,80)内，所以这组数据的中位数 的估计值为70十0,5025×10≈7.14，故D不正确.故 0.35 选AB. 10.144【解析】由题意得，这批产品的此项质量指标的平均 数为20×0.1+40×0.6+60×0.3=44，故方差为 (20-44)2×0.1+(40-44)2×0.6+(60-44)2×0.3 =144. 11.(1)认为是否喜欢网上买菜与年龄有关系，此推断犯错误的 概率不大于Q05(2)号(3)X的数学期望E(X)=6,方 差DX)-号，Y的数学期望E)=15,方差D)=9 5 29 艺考一本通数学 【解析】(1)统计假设H:该社区的居民是否喜欢网上买菜 与年龄无关系，由给定的2×2列联表，得X 100×(40×30-10×20)=100>3.841.根据小概率值a 50×50×60×40 6 =0.05的独立性检验，否定假设H,,即认为是否喜欢网上 买菜与年龄有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05： (2)设A表示周i在A平台买菜，B:表示周i在B平台买 菜，i=1.2.由题可得P(A)=P(B)=号，P(BA) 号，P(B:B)=号.由全概率公式，小张周二选择在B平 台买菜的概率P(B2)=P(A1)P(B2A1)+P(B1)P(B2| B)=×号十日×号-易：（3)猴题意，社区居民喜 欢网上买莱的概率估计位为需=是从滨社区随机物取 10名居民，其中喜欢网上买菜的居民人数XB(10,号)， 所以X的教学期望E(X)=10X号=6，方差DX)=10X 号×(1-是)=号.又Y=2X+3,所以Y的数学期塑E 5 (Y)=2EX)+3=15,方差D(Y)=4DX)=s 12.1)答案见解析(2)卫，=号+号(-号）(3)最大值为 子最小值为分 【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得i=4, 2a--8/y-=a2.4-0 -)=∑y-1∑y=68.35-4×16.17=3.67,所以 3.67 相关系数r=0.72X2X2.646≈0.9632，因为y与1的相关 系数近似为0.9632，说明y与t的相关程度相当高，从而可 以用线性回归模型拟合》与y的关系. (2)依题意得，P.=3P1+号P-(≥3)，其中P=3, P,=3×g+号-名，则卫-卫1=-号(P1-P) (n≥3)，所以P。-P,}是以首项为P,-P,=号，公比为 号的等比数列，故P.-P1=号(-号)(n≥2)成 立，则有P.-P1十P-2-P+…+P-P=号 [(-号)°+（号）+（号）++(-号)]= X二盖C》所以=A+ -告（号），又P=子，则R.=子+告-吉 ()=是+（号 《③)当u为偶教时，P,=号十号（号）”，单洞递减，最大值 为P=弓十，P.号当n为奇数时，P.=昌一号 (号)广，单调递增，最小值为卫=号十o©，P,→号，所 以数列P,的最大值为号，最小值为子 30 第18讲排列组合、二项式定理 【典例变式】 变式训练一 1.B【解析】发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人 的情况有CC=20(种)：发言的3人来自3家不同企业且 不含甲企业的人的情况有C=10(种).所以发言的3人来 自3家不同企业的可能情况共有20+10=30（种），故选B. 2.A【解析】若α2=2，则百位数字只能选1，个位数字可选1 或0.“凸数”为120与121，共2个.若a2=3,则“凸数”有2× 3=6(个).若2=4，满足条件的“凸数”有3×4=12（个）， …,若a2=9,满足条件的“凸数”有8X9=72(个).所以所有 凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）. 变式训练二 1.C【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法， 4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C种排法：若2个0 不相邻，则有C号=10种排法，所以2个0不相邻的概率为 102 5+10-3.故选C 2.D【解析】初中部和高中部总共有400+200=600（人），按 照分层抽料的原星，应从初中亦抽取器×60=40（人），从 高中部抽取器×60=40（人），第一步：从初中部抽取40人， 有C8种方法，第2步：从高中部抽取20人，有C8种方法， 根据分步计数原理，一共有C·C鄂种方法；故选D. 3.24112【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有 一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个 方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有4X3X2×1=24种选法；每种选法可标记为(a,b, c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的 可能结果为：(11,22,33,44)，(11,22,34,43)，(11,22,33， 44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12, 21,33,44),(12,21,34,43),(12,2231,44),(12,22,34,40), (12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21, 34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42), (13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22, 31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所 以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15 +21+33+43=112.故答案为24：112. 变式训练三 1.80【解析】由通项公式T+1=Cg·2-r·x-·(一1)= Cg·（-1)”·2-r2x-,令5-r=3,得r=2,可得x3项的 系数为Cg·(-1)2·2-2=80.故答案为80. 2.A【解析(2-x)的展开式的通项公式为T,+1=C·2- ·(一1)”·x,则1X(2一x)4的展开式中含有x的项为C ·21·(-1)3·x3=-8x3,a.x2×(2-x)4的展开式中含有 x3的项为a.x2×C·23·(-1)1·x=-32ax3,则-8 32a=8,解得a=合故选A 3.C【解析】令x=1,可得a十1=2，所以a=1,所以 (ax+7)(2x-1)=(x+之)(2x-1)5,则展开式中常数项 为(2x一1)5展开式中x项的系数，即2C(一1)4=10.故 选C 4.12【解答近-二)的二项展开式的中，只有第5项的 二项式系数最大，所以n=8,通项公式为T,+1=C·(一2) ·→=(-2C心·中，令8=0，求得r=2,可符 二项展开式中常数项等于4×C%=112. 5.C【解桥】(x2+二-2）表示5个因式(x2+-2)的乘