第15讲 导数的概念与运算-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

-2)十f(x十2)=0，即f(x)十f(x+4)=0,所以f(.x+4)+ f(x十8)=0，所以f(x)=f(x十8)，所以f(x)的一个周期 为8，故B正确：对于C,由B知f(x)关于点(1,0)对称，因为 x∈[1,3]时，f(x)=x一1单调递增，所以f(x)在[一1,3]也 单调递增，故C错误；对于D,因为f(x)定义域为R,关于 (1,0)对称，所以f(1)=0,又f(x)关于直线x=一1对称， 所以f(-3)=f(1)=0,所以f(x)在(-5,3)内有2个零 点，故D错误，故选AB. 10.(1,2)【解析】画出f (x)的图象，易得2十3 =2X1=2,且当x>0 时，f(.x)的最大值为f Ix/1x2x3 (1)=1,当x<0时f(x) -2-10 =1解得x=一1，故x ∈(-1,0)，故x1+x2十 =2十1∈(1,2)，故答案为(1,2). 第15讲导数的概念与运算 【典例变式】 变式训练 1.(1)因为y=-3x2-5x+6,所以y=(-3x2)′-(5.x)+ (6)'=-6x-5; (2)因为y=x·sinx+e,所以y'=(x)'·sinx+x·(sin )'+(e)'=sin z+xcos x+e'; 3)泅为n青，所以血++D Inx (x2十1)2 (x2+1)-(nx)·2x21-2lnx)+1 x (x2十1)2 x(x2十1)2 2B【解析】因为函数f()=芒，所以其导函数f(x)= g一xe=1一工，故选B, e" 变式训练二 1.AC【解析】因为k=f(xo),所以f(x0)不存在只能说明 曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也 可能存在，其切线方程为x=0,故AC正确.故选AC 2.l+ln2【解析】由y=xlnx得，y'=lnx十l.设直线y= kx一2与曲线y=xlnx相切于点P(o,w),则切线方程为 y-%=(ln十1)(x-x),又直线y=kx-2恒过，点 (0,一2)，所以，点(0，一2)在切线上，把(0，一2)以及y%= ln代入切线方程，得=2，故P(2,2ln2).把(2,2ln2) 代入直线方程y=kx-2,得k=1十ln2. 3.AC【解标】因为f)=号2-2十a-1.所以了()= 2x2一2x十a,可令切，点的横坐标为m,且n>0,可得切线斜 率k=2m2-2m十a=3即2m2-2m十a-3=0,由题意，可得 关于m的方程22-2m十a-3=0有两个不等的正根，且 即 可知m十m:=1>0,则{m>0.月 22-4×2×(a-3)>0 30. 解得3<a<号，所以a的取值可能 为g9 变式训练三 1.【解析】因为f(x)=a(e十a)一x,定义域为R,所以f(x)= ae-1,当a≤0时，由于c>0,则ae≤0，故f(x)=ae-1 <0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f (x)=ae-l=0,解得x=-lna,当x<-lna时，f(x)< 0,则f(x)在（一o∞，-lna)上单调递减；当x>-lna时，f 参考答案·数学 (x)>0,则f(x)在（一lna,十oo)上单调递增；综上：当a0 时，f(x)在R上单调递减：当a>0时，f(x)在(-∞，-lna) 上单调递减，f(x)在(-lna,十oo)上单调递增， 2[9十o∞）【解折1/)=-ar+1,因为函盘fx)在 区间(2,3)上单调递减，所以f()<0在区间（号，3）上恒 成立.所以f号0脚}-2a+10, f11 （f(3)≤0，(9-3a+1≤0， 解得a>吕，所以实数口的取值范国为[号，十∞). 3.(-3,-1)U(1,3)【解析】因为f(x)=3.x2-12,由 f(x)>0,得函数的增区间是（一∞，一2）及(2，十∞)，由 f(x)<0,得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(-1， k十1)上不是单调函数，所以k一1<一2<k十1或k一1<2 k十1，解得一3<k一1或1k3. 4.(D=())=1-in(1+ (1+x)2 1-ln1t卫，由g(x)=0可得x=e-1,当x∈(-1，e-1) (1+x)2 时，g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(e一1，十∞)时，g(x) <0,g)单调运减，所以了(x)的最大值为∫(e-1)=日 (2)因为了(a)=n士@，所以直线h的方程为y-fa) 1十a _n+a(x-a,即y-nl+a(x-a)+fa,i设hx 1+a 1+a =)-[2-a+a小w)-h2 1+x nI+=fr(x）-f(a),由()可知，f(x)在x∈(-l,e 1十a 1)上单调递增，而一1<a<0,所以，当一1xa时，h'(x》 <0,h(x)单调递减，当0>x>a时，h'(x)>0,h(.x)单调递 增，且了a<f0y=0,而当≥0时，f)2> 0,所以总有f(.x)≥f(a),h(.x)单调递增，故h(x)≥h(a), 从而命题得证， 变式训练四 1.一4【解析】由题意有f(x)=(x一1)(x一2)(x一a),所以 f(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(.x-2),因 为2是函数f(x)极值点，所以f(2)=2一a=0,得a=2,当 a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)十(x一2)=(x-2)(3.x 4,当x(-0,号）f()>0,f(x)单调运增，当x (号，2)x)>0,fx)单调递减，当x∈(2，+∞)，f(x) >0,f(x)单调递增，所以x=2是函数f(x)=(x一1)(x 2)(x一a)的极小值点，符合题意；所以f(0)=一1X(一2)X (-a)=-2a=-4.故答案为-4. 2.【解析】(1)当a=1时，则f(x)=e一x-1,f(x)=ex一1， 可得f(1)=e-2,f(1)=e-1,即切点坐标为(1，e-2),切 线斜率k=e一1，所以切线方程为y一(e一2) (e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0. (2)因为f(.x)的定义域为R,且f(x)=e一a,若a≤0，则 ∫(x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不合题意；若a>0,令f(x)>0,解得x>lna:令 f(x)<0,解得xlna;可知f(x)在（一o,lna)内单调递 减，在(lna,十o∞)内单调递增，则f(x)有极小值f(lna) a-alna一a3,无极大值，由题意可得：f(lna)=a一alna a3<0,即a2+lna-1>0,构建g(a)=a2+lna-1,a>0, 23 艺考一本通数学 则g(a)=2a+日>0，可知g(a)在(0，十0)内单调递 增，且g(1)=0,不等式a2十lna-1>0等价于g(a)> g(1),解得a>1,所以a的取值范围为(1，十o∞). 3.C【解析】由题意可知：f(x)的定义域为（一b,十∞），令x 十a=0解得x=一a;令ln(x十b)=0解得x=1-b;则当x ∈(-b,1-b)时，ln(x+b)<0,故x+a≤0，所以1-b+a 0:x∈(1-b,十o∞)时，ln(x十b)>0,故x+a≥0，所以1 -b+a≥0；故1-b+a=0,则a2+=a2+(a+1)2= 2(a+号)广+号>号当且仅当a=合6号时，等号成 2,11 主，所以a十心的最小值为了.故选C 4.【解桥1由题得了x)=十1十x一3kr=千z3r2- r(。3谈).因为r(0.+o0),所以r>0,设g) 1 1十x3k,x>0,则g(x)=+<0,在(0，+o∞)上恒 成立，所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，g(0)=1一3k>0, 令g(m)=0P=3k-1,所以当x∈(0，m)时，g(x)>0, 则f(x)>0;当x∈(x,十∞)时，g(x)<0,则f(x)<0,所 以f(x)在(0，x)上单调递增，在(x0,十∞)上单调递减，所 以f(x)在(0，十∞)上存在唯一极值点，对函数y=ln(1十x) 一x有y=1十21=千x<0在(0，十∞)上恒成立，所 以y=ln(1十x)-x在(0，十o∞)上单调递减，所以y=ln(1十 x)-x<y=0=0在(0，十∞)上恒成立，又因为f(0)=0,x 一十o0时22-k=号r(1-2kx)<0,所以1+o∞时 f(.x)<0,所以存在唯一x2∈(0，十∞)使得f(x2)=0,即 f(x)在(0，十oo)上存在唯一零，点. 5.(1)y-x(2)(0,）【解析】1)当a-1时，f(x)=x (nx>0,则(x)=1-2n2,则f(1)=1,且f1)= 1,则切点(1,1)，且切线的斜率为1，故函数∫(x)在点(1，f (1)处的切线方程为y=x: (2)令f)=ax-(nx)2=0x>0,得a=n) ,设g(x) _(In x)? x>0,则g(x)= y=8(x) 2ln 2.-(In z) 4 e y=a x lnx(2-ln,由g(x)=0 解得x=1或e,其中g(1) =0ge)=告：当0<<1时，g()<0,g)在(0.1D上 单调递减：当1<x<e时，g(x)>0,g(x)在(1，e2)上单调 递增；当x>e时，g'(x)<0,g(x)在(e,十∞)上单调递减； 且当x→0时，g(x)→十∞；当x→十∞时，g(x)→0；如图作 出函数g(x)的图象，要使函数f(x)有3个零点，则方程a= g(x)在(0，十∞)内有3个根，即直线y=a与函数g(x)的图 象有3个交点，结合图象可知，0<u<号.故a的取值范国 为(0，)： 【基础训练】 1.B【解析】函数y=4x2+1的定义域为(-∞，0)U(0,十 x 24 o=8a之-8◆y>0,得80-1>0解得r >7故选B 2.=x一2【解标】末子：y=x-1导数了=子y=lax 1》导教y-马设切点写切线方程：设与y=n工一1切点 A,n一1D,切线方程y一x+h一2设与y-h (x一1)切点B(,ln(-1D),切线方程y=1 -1x+ln(.x -1)一列方程组求解：由公切线性质得 1得= ln-2=ln(w二1D-·由二 1,代入另一式解得x2=2,=1.求直线方程：把=1代 入y=x+ln0-2,得y=x-2.故答案为y=x-2. 3.B【解析】若函数y=x3十x2十mx十1是R上的单调函数， 只需y'=3x2十2x十m≥0在R上恒成立，即△=4-12m≤ 0,所以m≥子故m的取值范国为[号十∞).故选B 4.B【解析】由f(.x)=xln(a.x)+l,可得f(x)=ln(ax)+l, 因为x=。是函数f(x)=h(ax)十1的极值点，所以 ln(a·）十1=0，解得a=1.经验证a=1满足题意.故 e 选B. 5.BC【解析】函数f(x)=的定义域为(0，十∞)， e D天)=上0之 一，令h()=-n,则 )=是是=-（位+）K0>0,所以函数 h(x)在(0，十0)上递减，又h(1)=1>0.h(e)=1-1< 0,所以存在x0∈(1，e)上，使得h(x0)=0,即函数h(x)有 唯-零点x0,且1=lnm,当x∈(0,0)时，h(x)>0,即 .C0 f(x)>0,函数f(x)递增，故C正确；当x∈ (o,十∞)时，h(x)<0,即f(x)<0,函数f(x)递减，所以 x为函数f(x)的极大值点，无极小值点，即f(x)有且仅有 一个极值点，故D错误；所以f(x)x=f()=血 e"o >0,又（日）=是<0，所以高统了)在 (日m)上存在一个零点，故A错误：当x∈(0,1D时.lnz <0,e>0,所以f(x)=n2<0,即当x∈(0,1)时，f(x)的 e 图象位于x轴下方，故B正确.故选BC. 6.BPC【解析】函数f(x)=(x-1)lnx的定义域为(0，十∞)， 则)=nx+1-子令gx)=lnx+1-子，则g(x) 十0在(0，+)上恒成立，所以函数g()在(0，十 ∞)上单调递增，又g(1)=0,所以当x∈(0,1)时，g(x)<0, 即f(x)<0,所以函数f(x)在(0.1)上单调递减，当x∈(1， 十∞)时，g(x)>0,即f(x)>0,所以函数f(x)在(1，十○) 上单调递增，所以函数f(x)存在极小值f(1)=0,所以A选 项不正确，B,C选项正确；由(x一1)lnx=x一1得x=1或x =e,因为f1)=0,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,0) 处的切线方程为y=0,同理f(x)在点(e,e一1)处的切线方 程为y=(2-)正一e,所以D选项不正确，故选C 7.ACD【解析)f(x)=1+ yt lnx十x+x2,得f(1)=3, )=++1+ y=C 2x,所以(1)=3，所以曲 线y=f(x)在x=1处的切 线方程为y-3=3(x-1), 0 即3.x一y=0,所以A正确： f(x)=-nx十x十x2,得 y=h(x) f(.x)=-1+1+2x= 2山D,所以f()在[3，)上单调递减，在 (分1]上单调递增，又f(兮)=号+n3,f1=2且易 知fD>f(兮)，所以当x[31]时fs=f) 2,所以B不正确：f(x)=a十lnx十x,定义域为(0，十oo), 广)=-++1=9.因为/在区间1,2) x 上单调递增，所以f(x)≥0在区间(1,2)上恒成立，即a≤ x2十x在区间(1,2)上恒成立，而当x∈(1,2)时，函数y=x 十x的值域为(2,6)，所以a2,所以C正确；f(x)=一lnx 十x十cx2,所以g(x)=-nx十cx2,定义域为(0，十∞)，g (x)在区间(0，十∞)上存在两个不同的零点，等价于关于x 的方程cx2-nx=0,即c=在区间0，十∞上存在两 个不同的根.令h(x)=n严，则原问题等价于函数y=h(x) 2 .1-2xln x 和y=c的图象有两个不同的交点，h'(x)= x =1-21n工，所以由h'(x)>0,得0<x<e,由'()<0，得 x>√e,所以h(x)在(0We)上单调递增，在(We,十∞)上单调 递减.hW)=2e,当→0时，h(x)→-∞，当1一十o∞时h (x)0,作出函数h()=和y=c的大致图象，如图所 T- 示，由国可得c∈(0,2)，所以D正确。 8.(1)a=-2,b=6(2)6.x-y十2=0(3)最大值为6，最小 值为一2 【解析】(1)因为f(.x)=3a.x2+b,f(x)在x=-1处取得极 位-2，所以(88)解得：公品。 当a=-2,b=6时，f(x)=-6.x2+6=-6(x十1)(.x-1) 所以当x∈(-∞，-1)U(1,十∞)时，f(x)<0;当x∈ (-1,1)时，f(x)>0;所以f(x)在(-∞，-1)，(1，十o∞)上 单调递减，在（一1,1）上单调递增，所以x=一1是f(x)的极 小值，点，满足题意；综上所述：a=一2，b=6. (2)由(1)得：f(x)=-6.x2+6,f(x)=-2x3+6.x+2,所以 ∫(0)=6，f(0)=2,所以y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方 程为：y-2=6(x-0),即6.x-y十2=0. 参考答案·数学 (3)由(1)知：f(x)在（一∞，一1），(1，十○)上单调递减，在 (-1,1)上单调递增；所以f(.x)mx=f(1)=-2+6+2=6, 又f(0)=2,f(2)=-2×8+6×2+2=-2,所以f(x)mm= f(2)=一2，所以f(x)在[0,2]上的最大值为6，最小值为 -2. 9.【解析】(1)(x)=e(a.x十a十b)-2.x-4.由已知得f(0)= 4,f(0)=4.故b=4,a十b=8.从而a=4,b=4. (2)由(1)知，f(.x)=4e(x+1)-x2-4.x,f(x)=4e(x+ 2)-2x-4=4(x+2)(e-2).令f(x)=0得，x=-ln2 或x=-2.从而当x∈(-o∞，-2)U(-ln2,十∞)时， f(x)>0;当x∈（一2，一ln2)时，f(x)<0.故f(x)在 (-∞，一2)，（一ln2,十∞）上单调递增，在（一2，一ln2)上 单调递减.当x=一2时，函数f(x)取得极大值，极大值为 f(-2)=4(1-e2). 第六单元 概率与统计 第16讲 随机事件的概率、古典概型、 条件概率与全概率 【典例变式】 变式训练 (P(A)P(B)= 1 1 1.2 3 【解析】由题意得P(B)P(C)= 8 P(A)P(B)P(C)= 8 得PA)=3,PB)=.所以PB)=P)P(B=号× 2.【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由 所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0十50 200 0.55,故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为 30+30=0.3,故P(B)的估计值为0.3， 200 (3)由所给数据得 保费 0.85a 1.25a1.5a 1.75a 2a 频率 0.300.250.150.150.100.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30十a×0.25 +1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05= 1.1925a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 3.1p=产，p,=P(4-3p)(2)D=号【解析11p为 打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三 场，故所求为=C(1一p)°p=p,p为打完4个球后甲 比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，故所求为p =C(1-p)1p3+C(1-p)°p=4p2(1-p)+p=p3(4 3p); (2)由(1)得p=p,p:=p3(4-3p),同理93=q,q4=q(4 -3g,若二色=4，p+g=1,则2二2=D4二32）E 94-93 94-9sq(4-3q)-q -名-（号）广=4由于01.所以=2y-21-p 2 >0,解得p=3 25第一部分 一轮单元复习第五单元 第15讲 导数的概念与运算 自主预习用 知识梳理 夯实基础 1.导数的概念与运算 在点(xo,yo)处的切线垂直于x轴，则此时 (I)函数y=f(x)在x=x处的导数 导数f(x)不存在，由切线定义可知，切线 称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率 方程为x=x0. 一-士》为两数 2.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调 △x 区间 f(x)在x=xo处的导数，记作f(xo)或 (1)函数的单调性 yx=xo, 在(a,b)内函数f(x)可导，f(x)在(a,b)任 即f(xo) lim △y 意子区间内都不恒等于0. △x limfco十△x)-f(.o) f'(x)≥0曰f(x)在(a,b)上为增函数. △x( △x f(x)≤0台f(.x)在(a,b)上为减函数. (2)函数f(x)的导函数 (2)辨明导数与函数单调性的关系 f(x+A)-fx为 (1)f'(.x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)内单调 称函数f(x)=lim △T0 △x 递增（或递减）的充分不必要条件； f(x)的导函数 (2)f'(.x)≥0（或≤0）是f(x)在(a,b)内单调 (3)基本初等函数的导数公式 递增（或递减）的必要不充分条件， 原函数sin xcos a a"(a>0)e log.c(a>0,且a≠1)ln 【注意】由函数f(x)在区间[a,b]内单调递 导函数 1 增（或递减），可得f(x)≥0（或≤0）在该区 cos x sin x a"ln a aln a 间恒成立，而不是f(x)>0(或<0)恒成立， (4)导数运算法则 “=”不能少. [f(x)士g(x)]'=f(x)土g'(x); 3.利用导数解决函数的极值问题 [f(x)·g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x); (1)函数的极小值 rf=fg)-f)gm）(g(x)≠ 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它 Lg(x)] g(x)]2 在点x=a附近的其他点的函数值都小， 0). f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)< (5)复合函数的导数 0,右侧f(x)>0,则点a叫做函数y=f(x) 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y 的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极 f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=y 小值 ·u,',即y对x的导数等于y对u的导数与 (2)函数的极大值 u对x的导数的乘积 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 (6)导数的几何意义 在点x=b附近的其他点的函数值都大， 函数f(x)在点x处的导数f(xo)的几何意 f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x) 义是在曲线y=f(x)上点P(xo,y%)处的切 >0,右侧f(x)<0,则点x=b叫做函数y= 线的斜率.相应地，切线方程为y一= f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的 f(xo)(x一xo).特别地，如果曲线y=f(x) 极大值 ·83· 艺考一本通数学 (3)函数的极值 数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值 的最大值，f(b)为函数的最小值， 和极大值统称为极值， (3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内 4.函数的最值与导数 可导，求f(x)在[a,b们上的最大值和最小值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a, 的步骤如下： b们上必有最大值与最小值，函数的最大值和 ①求f(x)在(a,b)内的极值； 最小值一定产生在极值点或闭区间的端 ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较， 点处. 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a) 小值. 为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 导数的运算 2.已知函数f(x)=文(e是自然对数的底数)， 【例1】分别求下列函数的导数： (1)y=e·cosx; 则其导函数f(x)= ( 2y=r++: A芒 C.1+x D.1-x (3)y=z-sin tcos 题型二导数的几何意义及应用 考法一求切线方程 【解析】(1)y'=(e)'·cosx十e(cosx) 【例2-1】(1)(2018·全国I卷)设函数f(x) =er·cosx-e"sin a. =x3十(a一1)x2十a.x.若f(x)为奇函数，则 2)=x+1+是所以y=3x-2 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 () 3)y=x-sincos=x2sinx T 1 A.y=-2x B.y=一x C.y=2x D.y=x 1 2cos x. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=lnx过 【规律方法】 坐标原点的两条切线的方程为 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导】 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函！ 【解析】(1)因为f(x)为奇函数，所以f(一 的 数或较为简单的公式函数，再求导 x)=一f(x),由此可得a=1,故f(x)=x 吵 算 对数形式：先化为和、差的形式：再求号 +x,f(x)=3.x2+1,f(0)=1,所以曲线y 方◆ 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导 法 =f(x)在，点(0,0)处的切线方程为y=x.故 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的 形式再求导 选D. 变式训练一 (2)因为y=lnx|,当x>0时y=lnx,设 1.求下列函数的导数 切点为，ln),由y=之所以)1 (1)y=-3x2-5x+6; (2)y=x·sinx+e; ,所以切线方程为一n云=（一小 (3)y=Inz x2+1 又切线过坐标原点，所以一nx= 华华渐4妇。T携"(Q =君(（x-e),印y=名x:当1<0时y= ·84 第一部分一轮单元复习第五单元 ln(-x),设切，点为(x1,ln(一x1)),由y= 士所以1-=，所以切线方程为y (2)(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1) 1n(-)=1(x一)，又切线过坐标原点， 十a的切线，则a= 【解析】(1)对于y=e+x十a,其导数为y 所以-ln(-0)=1(-x1),解得=一e, =er+1,假设y=2x+5与y=e十x+a的 所以切线方程为y一1=。(x十e),即y eo+1=2 切，点为(x0,y%),则y0=2x0十5 ,解得a 1 故答案为y=1 ;y=-1 yo=e+x0十a =4.故答案为4. 【答案11)D(2)①=。x®y=- (2)由y=e+x得y'=e+1,y'|x=o=e°十 1=2,故曲线y=e十x在(0,1)处的切线方 考法二求切点问题 程为y=2x+1;由y=ln(x+1)+a得y'= 【例2-2】(1)(2022·新课标I卷)若曲线 x十1，设切线与曲线y=ln(x十1)十a相切 1 y=(x十a)e有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是 的切点为(xo,ln(xo十1)十a),由两曲线有 (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)= (侵十aln1+x.当a=-1时，求曲线y 公切线符)-2解得=则 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程. 切点为（一2a十ln号），切线方程为y=2 【解析】(1)因为y=(x十a)e,所以y= (+2)+a+ln2=2x+1+a-lh2,根据 (x十1十a)e,设切，点为(0)，则0=(0十 两切线重合，所以a一ln2=0,解得a=ln2. a)e,切线斜率k=(xo十1十a)eo,切线方 故答案为ln2. 程为y-(xo+a)e=(xo+1+a)eo(x 【答案】(1)4(2)ln2 xo),因为切线过原，点，所以一（x十a)e= 【规律方法】导数几何意义的应用类型及求解 (xo十1十a)eo(一xo),整理得：x十axo一a 思路 =0,因为切线有两条，所以△=a2十4a>0, (1)已知切，点A(x0,f(x)求斜率k,即求该点 解得a<一4或a>0,所以a的取值范围是 处的导数值：k=f(xo). (-∞，-4)U(0,+∞). (2)若求过，点P(xo,y)的切线方程，可设切点 (2)当a=-1时，f(x)=(-1ln(x十1) 为(，M),由=f), 求解 y一y=f(x1)(xo-x1) (x>-1),则f(x)=-是×h(x+1)十 即可 (侵-1×+据此可得1)=0.D (3)已知斜率，求切点A(,f(x),即解方程 f(x)=k. =一ln2,所以函数在(1，f(1))处的切线方 (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情 程为y-0=-n2(x-1),即(ln2)x+y一 况反映函数图象在相应，点处的变化情况，由切 ln2=0. 线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的 【答案】(1)(-∞，一4)U(0,十∞) 快慢 (2)(ln2)x+y-ln2=0 变式训练二 考法三求参数的值 1.(多选)下列说法正确的是 【例2-3】(1)(2025·新课标I卷)若直线y A.若f(x)不存在，则曲线y=f(x)在点 =2x十5是曲线y=e十x十a的切线，则a (xo,f(xo))处也可能有切线 ·85· 艺考一本通数学 B.若曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处有切 (2) 线，则f(xo)必存在 导数 法求 :确定的定义域 C.若f(xo)不存在，则曲线y=f(x)在点 函数 单调 求导数f (xo,f(xo)处的切线斜率不存在 区间 的 !在函数的定文域内解不等式f了>0和f0 D.若曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处没有 般步 骤 :根据结果确定函数x)的单调区间 切线，则f(xo)有可能存在 2.已知直线y=k.x一2与曲线y=xlnx相切， (3)利用函数的单调性求参数的取值范围的解 则实数k的值为 题思路 3(多选已知曲线f)-号r-r+a-1上 ①由函数在区间[a,b]上单调递增（减）可知 f(x)≥0(f(x)≤0)在区间[a,b们上恒成立列 存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐 出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求 标都大于零，则实数a可能的取值是( 解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的 A胃 取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若 B.3 c 0. (x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只 题型三利用导数研究函数的单调性 有在个别点处有f(x)=0,则参数可取这 【例3-1】(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f 个值 (x)=ae一lnx在区间(1,2)单调递增，则 (4)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 a的最小值为 ( ) 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求 A.e2 B.e 解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的 C.e-1 D.e-2 单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式 【解析】函数f(x)=ae一lnx在区间(1,2) 【注意】①∫(x)为增函数的充要条件是对任意 单调递增等价于f(.x)=ae- ≥0在区 的x∈(a,b)都有f(x)≥0且在(a,b)内的任 一非空子区间上f(x)≠0.应注意此时式子中 间1,2)上恒成立，即a≥(）设g) 的等号不能省略，否则漏解；②注意函数的单调 =xe,则在x∈(1,2)上恒有g'(x)=(x 区间与函数在某区间上具有单调性是不同的. 变式训练三 1)e>0,所以g(x)>g(1)=e,则1 g(x) 1.(2023·新课标I卷)已知函数f(x)=a(e 是即a≥e,故选C 十a)一x.讨论f(x)的单调性. 【答案】C 【例3-2】(2021·新课标I卷)已知函数f(x) =x(1-lnx),试讨论f(x)的单调性. 【解析】函数的定义域为(0，+∞)，又f(x) =1-lnx-1=-lnx,当x∈(0,1)时， f(x)>0;当x∈(1，+∞)时，f(x)<0,故 f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1， 之若函数f()=等-号r+x十1在区间 十∞). 【规律方法】 (侵3)上单调递减，则实数a的取值范围是 (1) 导数法证 求f 3.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1) 明函数fx 确认f'()在(a.b)内的符号 在(a,b)内 上不是单调函数，则实数k的取值范围 的单调性 !作出结论：f户>0时为增函数：f)<0时为减 的步骤 !函数 是 ·86· 第一部分一轮单元复习第五单元 4.(2025·北京卷节选)函数f(x)的定义域为 考法二根据函数的解析式求极值 (-1,+o),f0)=0,f(x)=ln1+2, 【例4-2】(2025·新课标I卷)（多选）已知 1十x f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0 为A(a,f(a))(a≠0)处的切线. 时，f(x)=(x2一3)e+2,则 () (1)f(x)的最大值； A.f(0)=0 (2)证明：当一1<a<0时，除点A外，曲线y B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)er-2 =f(x)均在l1上方； C.f(x)≥2当且仅当x√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 【解析】对于A,因为f(x)定义在R上奇函 数，则f(0)=0,故A正确；对于B,当x<0 时，一x>0,则f(x)=-f(-x)=-[( 题型四利用导数研究函数的极值与最值 x)2-3)ex十2]=-(x2-3)ex-2,故B 考法一根据导函数图象判断函数的极值 正确；对于C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e 【例4-1】(2024·新课标I卷)（多选）设函数 一1)>2，故C错误；对于D,当x<0时， f(x)=(x-1)2(x-4),则 f(x)=(3-x2)et-2,则f(x)=-(3 A.x=3是f(x)的极小值点 x2)e-r-2xe=(x2-2x-3)e ,f(x) B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) =0,解得x=一1或3（舍去），当x∈(-∞， C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 一1)时，f(x)>0,此时f(x)单调递增，当 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) x∈（-1,0)时，f(x)<0,此时f(x)单调递 【解析】对A,因为函数∫(x)的定义域为 减，则x=一1是f(x)极大值，点，故D正确； R,而f(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2= 故选ABD. 3(x-1)(x-3),易知当x∈(1,3)时，f(x) <0,当x∈（一∞，1）或x∈(3，十∞)时， 【答案】ABD f(x)>0,函数f(x)在(-o∞，1)上单调递 考法三已知函数的极值求参数 增，在(1,3)上单调递减，在(3，十∞)上单调 【例4-3】(2023·新课标Ⅱ卷)（多选）若函数 递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，A f(x)=anx土名十(a≠0)既有极大值也 正确；对B,当0<x<1时，x一x2=x 有极小值，则 () (1-x)>0,所以1>x>x2>0,而由上可 知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以 A.bc0 B.ab0 f(x)>f(x2),B错误；对C,当1<x<2时， C.b2+8ac>0 D.ac<0 1<2x一1<3，而由上可知，函数f(x)在 【解析】由函数f(x) (1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x-1)> anr++,得通数 f(3),即-4<f(2x-1)<0,C正确；对D, 当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)= f(x)的定义域为(0，+ (1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)= ∞)，f(x)=&-b x (x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),D正确；故选ACD 2c=ax2一b一2c.因为函数f(x)既有极大 x3 【答案】ACD 值也有极小值，所以g(x)=a.x2一bx一2c在 ·87· 艺考一本通数学 (0,十∞)上有两个不同的零，点. 故g(a)为(0，十∞)上的减函数，而g(1)= (△=b2+8ac>0 0,故ga)=0的唯一解为a=1,故十日 因为a≠0，所以1十-b>0, a lna的解为a=1. x1x2= 2c70 (2)f(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x, 所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所 因为x∈[0,7，故2x∈[0,5]，故sm2r 以A不正确，B,C,D正确.故选BCD. >0,当0<x<8时，c0s3x>0即f()> 【答案】BCD 考法四利用导数求函数的最值 0,当5<x<平时，cos3x<0即f(x)<0, 【例4-4】(1)(2022·新课标I卷)已知函数 f(x)=ex一a.x和g(x)=a.x一lnx有相同 故f(x)在(0，)上为增函数，在(，）为 的最小值.求a. (2)(2025·新课标I卷节选)设函数f(x) 减函数，故f()在0，上的最大值为f =5 icoscos5,求f(u)在[0，]的最 5π=33. (厝）=5cos-co 大值. 【规律方法】 【解析】(1)f(x)=e一ax的定义域为R,而 (1)利用导数研究函数极值问题的一般流程 f(x)=e-a,若a≤0，则f(x)>0,此时 求定义域 f(x)无最小值，故a>0.g(x)=ax-lnx的 求导数) 求 多 定义城为0，十o)而g)=a, 极值 极值 解方程f'(x)=0 知方程f"(x)=0根的情况 当x<lna时，f(x)<0,故f(x)在(-oo 验根左右f')的符号 得关于参数的方程（不等式） lna)上为减函数，当x>lna时，f(x)>0, 故f(x)在(lna,十o∞)上为增函数，故 极值 参数值范围) f(x)min=f(In a)=a-aln a. (2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领 当0<x<1时，g(x)<0,故g(x)在 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个 条件列方程组，利用待定系数法求解； (0,）上为减函数，当>时g(x)>0 ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点 的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 故g)在（合十∞）上为增函数，故 验证根的合理性. g(x)m=g(日)=1-1n2.因为f(x) 【注意】若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值， 那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在 e一a.x和g（x)=a.x一lnx有相同的最小 某区间上单调函数没有极值. 位，故1-ln日a一alnu,参理得到。 (3)最值 na,共中e≥0，设5@)= 求函数f,)→求函数在(a,b内的极值 -In a,a 在[a,b] 上的最大 求函数在区间端点处的函数值@， -1=-a2-1 值和最小 2 将函数)的各极值与@，此较，其中最大！ 0,则g(a)=a十a-&=a+a≤0， 值的步骤 的一个为最大值，最小的一个为最小值 ·88· 第一部分一轮单元复习第五单元 变式训练四 明：f(x)在区间(0，十∞)存在唯一的极值点 1.(2025·新课标Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)= 和唯一的零点； (x-1)(x一2)(x一a)的极值点，则f(0)= 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=e ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围. 5.(2025·天津卷节选)已知函数f(x)=a.x一 (In )2. (1)a=1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线 方程； (2)f(x)有3个零点，x1,x2,x3且(x1<x2< x3).求a的取值范围； 3.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x十a) ln(x十b),若f(x)≥0，则a2十b的最小值为 ) A c D.1 4.(2025·新课标Ⅱ卷节选)已知函数f(x)= n1+)-x+分2-k,其中0<k<分证 随堂检测 基础训练 道温故知新 1.函数y=4x2+1 的单调增区间为 3.若函数y=x3十x2+x十1是R上的单调函 数，则实数m的取值范围是( A.(0,+∞) B(，+∞) 1 A.（-∞，3 C.(-∞，-1) D.(-∞，-2) c(-,3》 D.(3+∞ 2.若直线l是曲线y=lnx-1与y=ln(x-1) 的公切线，则直线1的方程为 ·89· 艺考一本通数学 4.已知x=1是函数f(.x)=xln(a.x)十1的极 (3)求函数f(x)在[0,2]上的最值. 值点，则a= ( A司 B.1 C. D.2 e 5.(多远)没函数fx)0,则下列说法正确 的是 ) A.f(x)没有零点 B.当x∈(0,1)时，f(x)的图象位于x轴 下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有且仅有两个极值点 6.(多选)已知函数f(x)=(x一1)lnx,则 ( A.函数f(x)在(0，+o∞)上单调递增 9.已知函数f(x)=e(a.x+b)-x2一4x,曲线 B.函数f(x)有且仅有一个零点 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y= C.函数f(x)有且仅有一个极值点 4x+4. D.直线y=x一1是曲线y=f(x)的切线 (1)求a,b的值： (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极 7.(多选)已知函数f(x)=a+blnx十x+cx2 大值. (a,b,c∈R),则 ( A.若a=b=c=1,则曲线y=f(x)在x=1 处的切线方程为3x-y=0 B.若a=0,b=-1,c=1,则函数f(x)在区间 [3,1上的最大值为h2+ C.若b=1,c=0,且f(x)在区间(1,2)上单调 递增，则实数a的取值范围是（一o∞，2] D.若a=0,b=一1，函数g(x)=f(x)一x在 区间(0，十∞)上存在两个不同的零点，则 实数c的取值范围(0，。) 8.已知函数f(x)=a.x3十bx十2在x=一1处 取得极值一2. (1)求a,b的值； (2)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 方程； ·90·