第13讲 指数函数、对数函数、二次函数、幂函数-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

第一部分一轮单元复习 第五单元 第13讲指数函数、对数函数、二次函数、幂函数 自主预习： 知识梳理 夯实基础 1.幂函数 的对称轴是x=西十丝 (1)定义 2 (2)二次函数的图象和性质 形如y=x“(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x是自变量，a为常数.对于幂函数，只讨论a f(x)=ax+bx+c f(x)=ax+bx+c 解析式 (a>0) (a<0) 1 =1,2,3,2,-1时的情形. (2)五种幂函数的图象 图象 1 定义域 -0,十00) (-∞，+o) 值域 「4ac-,十o∞）】 Aa -00,4ac-b Aa 234 在( b 2a 在(-0，]上单调 上单调递减，在 单调性 (3)性质 ，+o上 b 递增，在[名+∞)上 单调递减 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； 单调递增 ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和 对称性 函数的图象关于x= 品对称 (0,0),且在(0，十∞)上单调递增； 3.根式 ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且 (1)根式的概念 在(0，十∞)上单调递减」 若x"=a,则x叫做a的n次方根，其中n>1 2.二次函数 且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指 (1)二次函数解析式的三种形式 数，a叫做被开方数。 一般式：f(x)=ax2十bx十c(a≠0)，图象的 (2)a的n次方根的表示 对称轴是x= b 2a’ 顶点坐标 x=a(当n为奇数且n>1时)， x"=a→ 是（会） x=士Va(当n为偶数且n>1时). (2)根式的性质 顶点式：f(x)=a(x-m)2十n(a≠0)，图象的 ①(Wa)"=a(n∈N*,n>1). 对称轴是x=m,顶点坐标是(m,n)； a,n为奇数， 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其 ②'a"= a,a≥0，n为偶数. 中x1,x2是方程ax2十bx十c=0的两根，图象 -a,a<0, ·73· 艺考一本通数学 4.有理数指数幂 7.对数函数的图象与性质 (1)幂的有关概念 a>1 0a<1 ①正分数指数幂：a”=am(a>0,m,n∈ y1x-1 √y=logx N*,且n>1); 图象 ②负分数指数幂：a”=1 1 =(a>0,m, an 定义域：(0，十∞) n∈N*,且n>1); 值域：R ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数 过定点(1,0) 性质 当x>1时，>0 当x>1时，y<0 幂无意义 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 (2)有理数指数幂的运算性质 在(0，十∞)上是增函数在(0，十∞)上是减函数 ①a'a'=a+s(a>0,r,s∈Q); 8.反函数 ②(a)=a(a>0,r,s∈Q); 指数函数y=a与对数函数y=logx互为反 ③(ab)r=abr(a>0,b>0,r∈Q). 函数，它们的图象关于直线y=x对称. 5.指数函数的图象与性质 y=a" a>1 0a<1 y↑ y=a 图象 0,1) 2.-y=1 0》.…yl 01 定义域 个 值域 (0,+00) 6.对数 如果a'=N(a>0,a≠1)，那么数x叫做以a为底 概念 N的对数，记作x=logN.其中a叫做对数的底数， N叫做真数 底数的限制：a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化：a'=Nelog.N=x 性质 负数和零没有对数 1的对数是零：log1=0 以a为底a的对数是1：loga=l,对数恒等式：av=N log(M·N)=logM+logN 运算 a>0,且a≠1， =log M-log N 性质 e M>0,N>0 logM=nlog M(n∈R) 公式：log.b=10gb log.a 换底 (a>0,且a≠1：c>0,且c≠1：b>0) 公式 推广：logb=是1ogb:logb=oga 1 ·74· 第一部分一轮单元复习 第五单元 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 幂函数的图象及性质 在定义域内为增函数，所以 【例1】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(8， a+1≥0， 2√2)，则幂函数y=f(x)的图象是( 3-2a≥0， 解得-1Ka<号 a+1<3-2a, 名k长 【答案】(1)C(2)D(3)BC 4[-1,号) 【规律方法】幂函数的图象特征 (2若a=()b=(日)c=(日》)，则a (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象 限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1,y b,c的大小关系是 =1,y=x所分区域.根据a<0,0<a<1,a=1, A.a<b<c B.c<a<b α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶 C.b<c<a D.b<a<c 性决定。 (3)已知函数y=xm-m+4(m∈Z)为偶函数 (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特 且在区间(0，十∞)上单调递减，则实数m ,点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 的值可以为 ) 变式训练一 A.1 B.2 C.3 D.4 1.若幂函数的图象过点 2,1 ,则它的单调递 (4)若(a十1)<(3-2a),则实数a的取 增区间是 ( ) 值范围是 A.(0,+∞) B.[0,十o∞) 【解析】(1)令f(x)=x,由f(8)=2√2得 C.(-0∞，十∞) D.(-∞，0) 8=2√2， 2.（多选)如果幂函数y=(m2-3m十3)x-m-2 即2=2，解得a=2,所以f(x)=x,故 的图象不过原点，则实数m的取值为() A.0 B.2 C.1 D.无解 选C 题型二二次函数的图象与性质 2a=(=日)6=（日》=（层》 高考对二次函数图象与性质进行考查，多 与其他知识结合，且常以选择题形式出现，多为 中高档题， c=(份)，南<<号得<a<c故 高考对二次函数图象与性质的考查主要从 选D, 以下三个角度命题：①二次函数图象的识别问 (3)因为函数在区间(0，十○)上单调递减， 题；②二次函数的最值问题；③一元二次不等式 所以m2-5m十4<0，解得1<m<4,因为m 恒成立问题， ∈Z,所以m=2或3，当m=2时，函数y= 【例2】(1)（多选）已知函数f(x)=-4x2十 x2为偶函数，符合题意；当m=3时，函数y 4ax一4a-a2在区间[0,1]内的最大值是 =x2为偶函数，符合题意，综上，m=2或m 一5，则a的值为 () =3.故选BC A.1 B.-5 (4)易知函数y=x2的定义域为[0，十o∞)， c D.2 ·75· 艺考一本通数学 (2)已知函数f(x)=x2十m.x-1,若对于任f(x)台a≤f(x)min 意x∈[m,m十1]，都有f(x)<0成立，则实 变式训练二 数m的取值范围是 1.已知函数y=a.x2+bx十c,如果a>b>c,且a 【解析】(1)由题意知函数f(x)的对称轴方 +b十c=0,则它的图象是 程为x=受当号<0，即a<0时，f(x)在 [0,1]上单调递减，则f(x)max=f(0)=一4a B D -a=-5,解得a=1或a=-5.又a<0, A 2.已知函数f(x)=2x2一6x十3，x∈[一1,2]， 则a=一5； 则函数的值域是 当号>1，即a>2时，f(x在[0,1]上单调递 A[-川 B.2号 增，则f(.x)mx=f(1)=一4一a=一5，解得 a=1或a=-1.又a>2,则a不存在；当0 C.[-1,11] n[-, ≤号≤l,即0≤a≤2时，f(x)mx=f(受)） 3.已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对x∈ [一3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围 -4=-5,解得a=至综上a=-5或是。 为 故选BC. 题型三指数与对数运算 (2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x 【例3】(1)若a =2, b=4,求 ∈[m,m十1]，都有f(x)<0,则有 (a+a2b)÷(b十a6)-1 f(m)<0, a-拓 一六的位 f(m+1)<0, (2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工 m2+m2-1<0, 智能大语言模型训练N个单位的数据量所 即 (m+1)2+m(m+1)-1<0, 需要时间T=log2N(单位：小时)，其中k 为常数.在此条件下，已知训练数据量N从 解得一 2 <m<0. 10°个单位增加到1.024×109个单位时，训 练时间增加20小时；当训练数据量N从 【答案】(1)BC(2)(- 1.024×10°个单位增加到4.096×109个单 【规律方法】 位时，训练时间增加（单位：小时）() (1)二次函数最值问题的类型及处理思路 A.2 B.4 C.20 D.40 ①类型：a.对称轴、区间都是给定的，b.对称轴 【解析】(1)原式=a-b+a6-a 动、区间固定，C.对称轴定、区间变动； (a-b)(b十ab) ②解决这类问题的思路：抓住“三，点一轴”数形 1 结合，三，点是指区间两个端点和中点，一轴指的 石 是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分 a-b)(辰+ad+6)+aba-6) 类讨论的思想即可完成 (a-拓)(b+a)》 (2)二次函数中恒成立问题的求解思路 是-(a+6)2 1_(a+6)2 1 ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不 6-b+a6 6(a+6) 分离参数； ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值， 派 至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这 当a=2,b=4时，原式= 21 两个思路的依据是：a≥f(x)台a≥f(x)max,a≤ 162 ·76· 第一部分 一轮单元复习第五单元 (2)设当W取106个单位、1.024×109个单 A.2026年 B.2027年 位、4.096×10°个单位时所需时间分别为 C.2028年 D.2029年 T1,T2,T3,由题意，T1=klog210 2.(1)lg25+lg2·lg50+(1g2)2= 6k1og210,T2=k1og2(1.024×109)=b1og2 (2)设2“=5=m,且片十方=2，则m等于 (210×10°)=k(10+6log210),T3=k1og2(4.096 a ×109)=1og2(212×106)=k(12十 () 6log210),因为T2-T1=k(10+6log210) A./10B.10 C.20 D.100 6k10g210=10k=20,所以k=2,所以T3 题型四 指数与对数不等式 T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k 【例4】(1)(2024·天津卷)若a=4.2-0.3,b= =4,所以当训练数据量N从1.024×10 4.2.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 个单位增加到4.096×109个单位时，训练 ) 时间增加4小时.故选B. A.ab>c B.bac 【答案】(1)2 C.c>a>b D.b>c>a (2)B (2)(2019·全国I卷)已知a=log20.2, 【规律方法】 b=20.2,c=0.20.3,则 () (《有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算 A.a<b<c B.a<c<b 数 {先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 C.c<a<b D.b<c<a !底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数； (3)(2021·新课标I卷)函数f(x) 的 1底数是带分数的，先化成假分数 ------2-2-----------2-------------2---- 2x一1|一2lnx的最小值为 :若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表 则 !示，运用指数幂的运算性质来解答 【解析】(1)因为y=4.2在R上递增，且 -0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.2°< 【注意】运算结果不能同时含有根号和分数指数 4.20.3,所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a 幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求 <1<b,因为y=log4.2x在(0，十∞)上递 统一。 增，且0<0.2<1，所以log1.20.2<1og.21= 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 对数 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 0,即c<0,所以b>a>c,故选B. 运算 正用对数的运算性质化简合并 的 (2)因为a=log20.2<0,b=20.2>1,0<c= 般思 合： 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 ◆！算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数 0.2.3<1,所以b>c>a.故选B. 真数积、商、幂的运算 (3)由题意知f(x)=2x一1|一2lnx的定 【注意】在运算中要注意对数化同底和指数与对 义域为(0，十∞)， 数的互化。 变式训练三 所以当0<x≤2时，f(x)=1-2.x-2lnx, 1.2023年，深度求索(DeepSeek)公司推出了新 此时f(x)单调递减； 一代人工智能大模型，其训练算力需求为 <x≤1时，f(x)=2x-1-2lnx,有 1000 PetaFLOPS(千亿亿次浮点运算/秒).根 据技术规划，DeepSeek的算力每年增长 f)=2-二0，此时f)学羽递减： 50%.截止至2025年，其算力已提升至 当x>1时，f(x)=2x-1一2lnx,有f(x) 2250 PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长 率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次 =2-2>0,此时f()单调递增； 突破7500 PetaFLOPS? ( 又f(x)在各分段的界，点处连续， (参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477,1g5≈ 所以综上，当0<x≤1时，f(x)单调递减；x 0.699) >1时，f(x)单调递增. ·77· 艺考一本通数学 所以f(x)≥f(1)=1,故答案为1. 【答案】(1)B(2)B(3)1 值范因为号小 【规律方法】指数函数的图象及应用 (2)设设2+log2x=3+log3y=5+log5之 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利 m,所以令m=2,则x=1,y=3-1=号 用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折 变换得到其图象. 5-3 125此时>y>之，A有可能；令m= (2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往 5,则x=8,y=9,x=1,此时y>x>,C有 利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 可能；令m=8,则x=26=64,y=35=243,之 【注意】利用对数函数的图象可求解的两类热，点 问题：①对一些可通过平移、对称变换作出其图 =53=125,此时y>之>x,D有可能；故 象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间） 选B. 值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想求 【答案】(1)B(2)B 解；②一些对数型方程、不等式问题常转化为相 【规律方法】有关指数函数性质的问题类型及解 应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 题策略 变式训练四 (1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单 1.设a=ln2,2=5,c=202,则 调性及中间值(0或1). A.abc B.bc>a (2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函 C.cb>a D.c>a>b 数的单调性，要特别注意底数α的取值范围，并 2.若4一m·2x十3>0在x∈(0,1)上恒成立， 在必要时进行分类讨论， 则实数m的取值范围是 (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先 A.(2√3，+∞) B.(4,+∞) 要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关 C.(-o∞，23) D.(-o∞，4) 性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、 题型五 指数与对数函数的性质 单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减” 这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函 【例5】 (1)当0<x≤2时，4<logx,则a的 数相关的问题加以解决， 取值范围是 【注意】在研究指数型函数单调性时，当底数与 A.(0 “1”的大小关系不明确时，要分类讨论 【规律方法】有关对数函数性质的问题类型及解 C.(1,2) D.(2,2) 题策略 (2)(2025·新课标I卷)若实数x,y,之满 (1)对对数函数性质的考查主要从以下四个角 足2十log2x=3+log3y=5十logx,则x,y, 度命题：①求对数函数的定义域；②解简单的对 之的大小关系不可能是 ( 数不等式或方程；③比较对数值的大小；④探究 A.I>y> B.>>y 对数函数的性质. C.y>x> D.y> (2)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 【解析】(1)构造函数f(x)=4和g(x)= 函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面 og,当a>l时，结合0r<,得1og< 的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域 内讨论；二是底数与1的大小关系；三是函数的 0<4,不满足题意；当0<a<1时，画出两 构成形式，即它是由哪些基本初等函数通过初 个函数在(0,2]上的图象，可知f(2)< 等运算构成或复合而成的. g(2》,即26g分，则a>号，所以a的取 变式训练五 1.(2025·北京卷)为得到函数y=9的图象， ·78· 第一部分一轮单元复习 第五单元 只需把函数y=3x的图象上的所有点( 2.(多选)已知函数f()=1n十1是偶函数， A横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 则 () B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 A.a=-1 C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 B.f(x)在(0，十∞)上是单调函数 C.f(x)的最小值为1 D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 D.方程f(x)=2有两个不相等的实数根 随堂检测● 基础训练 温故知新 1.幂函数y=f(x)的图象经过点(3，√3)，则 f(x)是 8.若函数f(x) (2-a)r-号(<1D在 logx(x≥1) A.偶函数，且在(0，十o∞)上是增函数 (一∞，十∞)上单调递增，则实数a的取值 B.偶函数，且在(0，十∞)上是减函数 范围是 C.奇函数，且在(0，十∞)上是减函数 9.(多选)下列结论正确的有 ) D.非奇非偶函数，且在(0，十∞)上是增函数 A.若lna2>ln,则2a>2 2.如果函数f(x)=x2十bx十c对任意的x都有 f(x+1)=f(一x),那么 ( B若会>则2<2 A.f(-2)<f(0)<f(2) C.若b>a>e(e为自然对数的底数)，则a B.f(0)<f(-2)<f(2) <b9 C.f(2)<f(0)<f(-2) D.若0<2a<b<3-a2,则sina<sin白 D.f(0)<f(2)<f(-2) 2 3.已知a=1.52,b=2.5,c=l1og1.52,则() 10.已知函数y=e-e-1与y=ln(.x+e+1) A.a<c<b B.c<a<b 交于M,N两点，如图截取两函数在M,N C.a<b<c D.c<b<a 之间部分图象得到一条封闭曲线x,则 4.已知a=23,b=45,c=25,则 ( A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 5.若函数f(x)=|2-a一1的值域为 [一1，十∞)，则实数a的取值范围为 6.若-a<0,xe=1,lny-e=1,则xy= A.x关于直线y=一x对称 B.若点M的横坐标为xo,则xo∈(1,2) 7.(多选)若函数f(x)=x,且x1<x2,则 C:的点到直线y=x距离的最大值为。 ( D.A,B是x上互异的两点，分别过A,B作 A.(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0 x的切线，斜率记为k1,k2,若k1=k2,称 B.x1-f(x)>x2-f(x2) (A,B)为x的一组关联点，则x的关联点 C.f(x)-x2<f(x2)-x 有无数组 D.faf>f色2) 2 ·79·艺考一本通数学 化为为y=一22十t十a(t>0),因为函数y=一2t十1+a(t >0)开口向上，对称轴为1=子，即x=2.当0<1<寻时，函 数y=一2+什a(>0)单调递增；当>时，函数y= 2t2+t+a(t>0)单调递减，又因为y=2x在R上单调递减， 由复合函数的单调性可得，函数f(x)在（一∞，2）上单调递 增.故选A. 8.ACD【解析】因为f(x十2)=f(x),所以f(x)是周期为2 的周期函数，A正确；当2x3时，0x一2<1，所以f(x 一2)=x一2，又f(x)是周期为2的周期函数，所以当2≤a ≤3时，f(x)=f(x-2)=x一2，B错误；若g(x)在R上单调 道减，则801.所以0a<1.C正痛：室a>1时，若了 (x)=g(x)在R上有4个不同的实数根，则大致图象如下图 所示， 个人 -4-3-2-1012345 所以侣尔年a当1时，者 =g(x)在R上有4个不同的实数根，则大致图象如下图所 示，所以{解得号<a<了塔上a的取值范国为 (兮，3)U(4,6),D正确. △△△人△w -5-4-3-2-1Q1234 x -8(x) 9.C【解析】显然f(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递增， 所以f(3a一2)>f(a-1)台3a-2>a一1台(3a-2)2 (a-10台a>子或a<,故选C 10.D【解析】由函数的图象关于原点对称，可知所求的函数 是奇函数，由于f()=Os为偶函数，故排除B:对于选项 A,当x·十∞时，f(x)·一∞，与函数图象不符，故排除 A:对于选项C,f(x)=0Sx=1>0,与函数图象不符，故 π 排除C.选D. 11.ACD【解析】由f(-1+x)=-f(一1-x),则函数y= f(一1+x)为奇函数，即函数y=f(x)的图象关于点（一1， 0)成中心对称，可得f(一2一x)=一f(x):由f(1十x)= f(1一x),则函数y=f(1十x)为偶函数，即函数y=f(x)的 图象关于直线x=1成轴对称，可得f(2-x)=f八x):两式 相加可得f(-2-x)=一f(2-x),则f(x)=一f(x十4)， 即f(x+8)=f(),对于A,f(3)=f(-号+4)= -f(-)=(-2)°-1=-子，故A正蹄：对于B,由 0待8。，则击条在区网(-2.0)与68上国泉相 同，由函数f(x)的图象关于，点（一1,0）成中心对称，则函数 f(x)在区间（一2，一1）与（一1,0）上的单调性相同，f(-1) =0,当x∈(-1,0)时，f(x)=一x2+1,易知函数f(x)在 20 (一1,0)上单调递增，则函数f(x)在（一2，一1）上单调递 增，所以函数f(x)在（一2,0）上单调递增，则函数∫(x)在 (6,8)上单调递增，故B错误：对于C,由f(x十7)=f(x一1 十8)=f(x一1)，则函数f(x十7)为奇函数，故C正确：对 于D,由题意作图如下： y=-lgx v=f(x) 10 则函数f(x)与y=一1gx有且仅有6个交，点，所以f(x)+ lgx=0有且仅有6个实数，故D正确.故选ACD. 第13讲指数函数、对数函数、二次函数、幂函数 变式训练一 D【解折】设y=r,则=，所以a=-2,所以y1, 则它的单调递增区间是（一∞，0），故选D. 2比【解标】由已知可得屏样=1或2 故选BC 变式训练二 1.D【解析】因为a>b>c,且a十b+c=0,得a>0,且c<0, 所以f(0)=c<0,所以函数y=ax2十bx十c的图象开口向 上，与y轴的交点在y轴的负半轴上. 之D【解折1因为f)=2x-6+3=2(x-2)）广-昌，对 称轴x=多，当xE[-1,2],fm=(号)=-多，又 因为f(-1)=11,f(2)=-1,所以f(x)mx=f(-1)=11, 所以函数的值找为[一号1]，故选D 3.(-之，4)【解析】国为fx)=2+2(a-2)x十4，对称轴 x=-(a-2),对x∈[-3,1]，f(x)>0恒成立，所以讨论对 -(a-2)<-3,或 称轴与区间[-3,1门的位置关系得：《二3)0， 1-3≤-a-2)≤1xf0>0, 1△<0， 1-(a-2)>1解得a∈0或1≤a <4或一名<a<1,所以a的取值范国为(-名4)】 变式训练三 1.C【解析】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已 提升至2250 PetaFLOPS,到2026年，其算力提升至2250× 1.5 PetaFLOPS,到2027年，其算力提升至2250× 1.52 PetaFLOPS,…,以此类推可知，从2025年起，到第n(n ∈N")年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5"PetaFLOPS, 由250×（受）”>50，可得（受）”>号所以，>16g:号 1-lg3 1-0.477 =1g31g2≈0.477二0.30≈2.972，所以， DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500 PetaFLOPS, 故选C. 2.(1)2(2)A【解析】(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+ lg5=(lg2+1lg5+1)lg2+2lg5=2g2+2lg5=2(1g2+ 1g5)=2. (2②)因为公=5的=m,所以a=bg:m,6=og:m,所以。+方 =十=2+5=10=2所以m =/10. 变式训练四 1.B【解析】因为a=n2∈(0,1)，b=log25>1og24=2,c= 202∈(1,2)，所以b>c>a. 2.C【解析】令1=2，t∈(1,2)，则原问题转化为-mt+3> 0在1∈(1,2)恒成立，即m<1+在1∈(1,2)恒成立，又1 十马≥2√X马=2（当且仅当1=月时取等号），故实数 m的取值范围是（一∞，2√3），故选C. 变式训练五 1.A【解析】因为92=32，所以将函数y=32的图象上所有 点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y =9的图象，故选A. 2.BD【解析】f(x)是偶函数，则ne+1=n+1 e ar e+1=e十1，er=e,2ax=2x恒成立，所以a=1,A 错：()=n中，由勾形函教性质知u=什上在≥1时 e 是增函数，又1=e在x≥0时有1≥1且为增函数，所以 fx)=lh(e+己)在x∈0，十o)上是增函数，B正确， f(x)为偶函数，因此f(x)在（一∞，0）上递减，所以f(x)m =ln2,C错：易知x→十∞时，f(x)→十o∞，即f(x)的值域 是[ln2,十∞)，所以f(x)=2有两个不相等的实根.D正 确.故选BD 【基础训练】 1.D【解析】设幂函数f(x)=x,则f(3)=3=3,解得a= 之，则fx)=x寸=丘，是非奇非偶函数，且在(0，十∞)上是 增函数.故选D. 2.D【解析】由f(1十x)=f(一x)知f(x)的图象关于直线x =2对称，又抛物线(x)的开口向上，所以f(0)<(2)< f(一2)，故选D. 8B【解折]因为==5√-=是-15=>2，所以 b>a>2.又c=log1.52<1og1.51.52=2,所以c<a<b.故 选B. 4.A【解析】因为a=2=163,b=4后=165，c=25,且幂 函数y=x了在R上单调递增，指数函数y=16在R上单调 递增，所以b<a<c. 5.(0,十o∞)【解析】令g(x)=|2一a,由题意得g(x)的 值域为[0，十∞)，又y=2的值域为(0，十∞)，所以解得a >0,所以a的取值范围为(0，十∞).故答案为(0，十∞). 6.e【解析】由xe2=1,两边取以e为底的对数，得x十lnx 血1=0，由ny-号=1，令号=，则y-兰，所以血y9 y =ln-1=1-n1-t=1,即-ln1-1=0,所以0=ln1+t, 设f(x)=x+1nx,则f(x)=1+1>0,所以f(x)=x +lnx在(0，+o∞)上单调递增，由x+lnx=0以及lnt+t =0,则x=1,由y=号即y=号，则xy=c故答案为e T.AC【解析】由幂函数的性质知，f(x)=x寸在R上单调递 增.因为x<,所以f()<f(x2),即x一2<0， f(x1)一f(x2)<0,所以（一x2)(f(x)一f(x2)) 参考答案·数学 0.故A正确：令0=0,2=1，则0-f(0)=1一f(1)=0,故 B错误；令g(x)=f(x)十x=x十x,则由函数单调性的性 质知，f(x)=x方在R上单调递增，y=x在R上单调递增， 所以y=f(x)十x=x寸十x在R上单调递增，因为x1<2, 所以g()<g(x2),即∫()+<f(2)十，于是有 f(x1)一2<f(x)一x,故C正确；令x1=-1,2=1,则 十立=0，所以因为1)土f-卫=f(0)=0,故D错误. 2 2 故选AC. 8[亭，2)【解析1因为函数) ∫2-a)x-号(x<1)在 1ogx(x≥1) fa>1 （-∞，十∞)上单调递增，所以2-a>0 ,解得 2-a-2≤1og.1=0 专<a<2,即a∈[号2)：故答案为[音，2) 9.AD【解析】由lna2>ln可得a>b,即a>bl,而y=2 是婚画数，所以2>2成主，故A正确：由号>会可得 日>故6>a,所以容<学不成立，如a=1,6 -2,故B错误；当b=4,a=3时，满足b>a>e,34=81>4 =64,故a<b不成立，故C错误；由0<2a<b<3一a2可知 0<2a<3,所以0a<合<是<受：而y=nx在x (0,受)上单调道增，所以sna<sn合故D正确， 10.BCD【解析】对于A,由函数y=e2一e一1，得x=ln(y十e +1),故函数y=e一e-1与函数y=ln(x十e十1)互为反 函数，所以封闭曲线x关于直线y=x对称，故A错误：对 于B,当x=1时，e一e-1=-1ln(1+e+1)=ln(2+e), 当x=2时，e2-e-1=e(e-1)-1>3,ln(2+e+1)=ln(3 +e)lne2=2所以e2一e一1>ln(2+e十1)，即，点M的横 坐标为x0,且x0∈(12)，故B正确：对于C,设函数y=e e一1上一点P(xy),即y1=e1一e-1,则点P(,y) 到直线y=x的距离为d=西二=-(e1一e-1) √2 2 =l西-e十e+1,令g(x)=x-e十e十l,则g(x)=1 √2 -e2,令g'(x)=1-e>0,解得x<0,令g'(x)=1-e< 0,解得x>0,所以函数g(x)在（一∞，0）单调递增，在(0， 十o∞)单调递减，所以g(x)mmx=g(0)=0一e°十e十1=e,故 d=0洁山-号e,故C正确：对于D.因为封闭 2 曲线x关于直线y=x对称，所以对任意，点A(2,y2),存在 对称，点B(x,y),满足1=k2,故由对称性导致存在无数 对关联，点，故D正确.故选BCD. 第14讲函数与方程 变式训练一 C【解折】因为f)=h一（合）厂在(0，十o)上是增 -2 函数，又f1)=n1-(号)=1n1-2<0,f2)=h2 (）<0,f(3)=n3-(号）>0，所以m∈(2,3)，故 选C 21