第12讲 函数与函数图象及性质-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第五单元 函数、导数及其应用 第12讲 函数与函数图象及性质 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.函数的有关概念 (2)单调区间的定义 (1)函数的定义域、值域：在函数y=f(x),x 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减 ∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做 函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有 函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做 (严格的)单调性，区间D叫做函数y=f(x) 函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函 的单调区间. 数的值域.显然，值域是集合B的子集 (3)函数的最值 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系. 前提 设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关 对于任意x∈I,都有f(x)≤M; 系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函 存在x∈I, 条件 对于任意x∈I,都有f(x)≥M: 数相等的依据 使得f(xo)=M 存在x∈I,使得f(.x)=M 2.分段函数 结论 M为最大值 M为最小值 若函数在其定义域内，对于定义域内的不 (4)函数最值存在的两条结论 同取值区间，有着不同的对应关系，这样的 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和 函数通常叫做分段函数 最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定 3.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的 在端点处取到. 是一个函数. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义 最小值. 域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 5.函数的奇偶性与周期 4.函数的单调性与最值 (1)定义 (1)单调函数的定义 奇函数 偶函数 般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意 增函数 减函数 个x 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义 定义 都有f(一x)=一f(x), 都有f(一x) 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x 那么函数f(x)就叫做奇 f(x,那么函数 定义 当x<x2时，都有f(x) 当<x2时，都有 函数 fx)就叫做偶函数 <f(x2),那么就说函数 f(x1)>f(x2),那么 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 f(x)在区间D上是增 就说函数f(x)在区间 函数 D上是减函数 (2)函数奇偶性常用结论 y=fx) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x). fx) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调 图象 fx.) 描述 性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的 0 单调性， 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 在公共定义域内有：奇士奇=奇，偶士偶 64· 第一部分一轮单元复习 第五单元 偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 伸缩变换： (3)周期函数 0长<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 y=f(x)- T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 (x十T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周 y=f(wx). 期函数，称T为这个函数的周期， A>1,横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍 y=f(x)- 6.函数的图象 0<A<1,横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍 (1)利用描点法画函数图象的流程 y=Af(r). 对称变换： 确定函数的定义域、化解函数解析式 化简) 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） y=f(r)关于x轴对称 y=一f(x); 列表 除考虑点的一般性质外，尤其要注意特殊点，如：与坐 y=f(x)关于y轴对称 y=f(-x); 标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、对称点等 y=f(x)- 关于原点对称 y=-f(-x). 描点) 画出直角坐标系，准确描出表中点 翻折变换： 去掉y轴左边图，保留y轴右边图 (连线 用光滑的曲线连接所描点 y=f(x)- 将y轴右边的图象翻折到左边去 (2)利用图象变换法作函数的图象 y=f(|x|); 平移变换： 保留x轴上方图 y=f(x)a>0,右移a个单位， y一f(x)将：轴下方的图象翻折到上方去 a<0,左移a个单位 y=f(x-a); y=|f(x). b>0,上移b个单位 y=f(x)- <0,下移b1个单位广y=fx)十b, 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 求函数定义域 [-1,5],对于函数y= f(x) 【例1】1)函数f(x)=V1-2+1的定 10g2(x+2),有 Vx+3 f-1≤x<5 f-1≤x≤5 义域为 x+2>0 ,即{x+2>0,解得一1< A.(-3,0] 1og2(x十2)≠0 x+2≠1 B.(-3,1] x≤5.因此，函数y= f(x) C.(-∞，-3)U(-3,0] 10g2(x十2)的定义域 D.(-∞，-3)U(-3,1] 为(-1,5].故选D. (2)已知函数y=f(2x十1)的定义域为 【答案】(1)A(2)D [-1,2],则函数y= ®2的定义蚊为 【规律方法】 已知函数解析式：构造使解析式有意义 ( 的不等式（组）求解 函 A.[-1,2] B.(-1,2] 整 实际问题：由实际意义及使解析式有意义】 C.[-1,5] D.(-1,5] 构成的不等式（组）求解 域 的 抽象函数：①若已知函数fx)的定义域为 【解析】(1)由题意知 1-20,解得-3< x+3>0, [a,b],其复合函数g(x)的定义域由不等 解 !式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数g(x)的 x≤0.所以f(x)的定义域为（一3,0]，故 策 定义域为[a,b],则fx)的定义域为g(x)在到 选A. x∈[a,b]时的值域 (2)对于函数y=f(2x十1)，-1≤x≤2，则 【易错警示】求定义域时，对解析式不要化简，求 一1≤2x十1≤5，所以，函数f(x)的定义域出定义域后一定要将其写成集合或区间形式. ·65· 艺考一本通数学 【注意】不要对解析式进行化简变形，以免定义 2f(x)=1 域发生变化 变式训练一 fx)+2f(）=x 1.函数)y=log(2x一4)+3的定义域是 联立方程组 f)+2fx)=2, A.(2,3) B.(2,+∞) 解得fx)= 2 品营(x≠0). C.(3,+∞) D.(2,3)U(3,+∞) 2.函数f(x)=ln(1+)+-7的定义域 【答案】(1)3x+2 (22r732首 【规律方法】求函数解析式的常用方法 为 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定 3.已知函数y=f(x)的定义域为[一2,3]，则函 系数法 数y=f2卫的定义域为 x+1 (2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围， A[- (3)消去法：已知关于)与f)或f(-) B-多-1U(-1 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个 C.[-3,7] 等式，通过解方程组求出f(x). D.[-3,-1)U(-1,7] (4)配凑法：由已知条件f[g(x)]=F(x),可将 题型二函数的解析式 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替 【例2】(1)若函数f(x)满足f(3.x十2)=9x+ 代g(x),即得f(x)的表达式. 8,则f(x)= 变式训练二 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x十 1.已知f(x一2)=x2一4x,那么f(x)= 1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x) 2.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x) (3)已知f(x)+2f()=x(x≠0)，那么 =2f)·-1,则fx= f(x)= 题型三函数的单调性 【解析】1)令3x+2=,可得x=兮是，所 【例3】山)函数y=( 的单调递增区间 以f0-9×号+8-3+2，所以) 为 A.(1,+∞) 3x+2. B(-o,》 (2)设f(x)=ax十b(a≠0) c(合+∞) D.) 则3f(x+1)-2f(x-1)=3a.x+3a+3b (2)已知函数f(x)=x3+sinx, 2ax+2a-2b=ax+5a+b x∈(-1,1)，则满足f(a2-1)+f(a-1)> 即ax十5a十b=2x+17,不论x为何值都 0的a的取值范围是 () 成立 A.(0,2) B.(1,W2) a=2, 所以6+5a=17 解得02， b=7. C.(1,2) D.(0,√2) 所以f(x)=2x+7. (3)(2024·新课标I卷)已知函数为f(x) (3)国为f(x)+2f()=x,所以f()十 -x2-2ax-a,x< e+ln(x+1),x≥0 ,在R上单调递增， ·66· 第一部分一轮单元复习 第五单元 则a取值的范围是 ) 变式训练三 A.(-∞，0] B.[-1,0] (3a-1)x+4a,x<1 1.已知f(x)= 是(-∞， C.[-1,1] D.[0,+∞) loga x,x≥1 【解析】(1)令t=2x2一3.x+1,则t= +∞)上的减函数，那么a的取值范围是 2(x一)一日又函教y(哈广是减函数， ( A.(0,1) 因此函数y=( 2x2-3x+1 B(0,号 的单调递增区间 为-，是引，放地区 c[片) D[71) 2.函数f(x)=log(一x2十x十6)的单调递减区 (2)由题意知f(-x)=(-x)3+sin(-x) 间为 () =-x3-sinx =-(x3+sinx)=-f(x), x∈（一1,1），所以f(x)在区间(-1,1)上是 A(-2,2)】 奇函数.又f(x)=3x2十c0sx>0,所以f (x)在区间（一1,1）上单调递增，因为f(a c(g,+) n(合3 -1)+f(a-1)>0,所以-f(a-1)<f(a 题型四函数的奇偶性、对称性及周期性 -1),所以f1-a)<f(a2-1), 【例4-1】(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)= [-1<1-a<1, (红+on2为偶函数，则a () 所以-1<a2-1<1,解得1<a<√2，故 1-a<a2-1, A.-1 B.0 c D.1 选B. (2)(2024·新课标卷)已知函数为f(x)的定 (3)因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时， 义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x f(x)=e+ln(x十l)单调递增，则需满足 <3时f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 -2a 2X(-1)≥0 解得一1≤a≤0，即a的范 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 -a≤e°+ln1 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 围是[-1,0].故选B. (3)(2025·新课标I卷)设f(x)是定义在R 【答案】(1)B(2)B(3)B 上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x) 【规律方法】 (1)判断函数单调性的常用方法 =5-2则f-)月 () 定义法 注意证明函数单调性只能用定义法和导 和导数法 数法 A-是 B c D 如果)是以图象形式给出的，或者fx)的 (4)(2021·新课标I卷)已知函数f(x)= 图象法 图象易作出，可由图象的升、降判断函数 的单调性 x3(a·2一2x)是偶函数，则a= (2)确定函数的单调区间的方法 【解析】(1)【解法一】函数f(x)的定义域为 定义法 !先求定义域，再利用单调性定义来求 (-o,)U(位+∞小，因为f)是偶画 {由图象确定函数的单调区间需注意两点：一 图象法 是单调区间必须是函数定义域的子集；二是！ 数，不妨令x=1,则有f(一1)=f(1),所以 图象不连续的单调区间要分开写，有“和”} 或 连接，一般不能用“口”连接 (-1+ah3=(1+an号，所以-1+a= 导数法 利用导数取值的正、负确定函数的单调区间 1-a,所以a=0. 【解法二]发现g)=h器是奇高数，而 ·67· 艺考一本通数学 f(x)=(x十a)g(x)为偶函数，有f(-x)= 义域为R,且f(x+y)+f(x一y)= (-x+a)g(-x)=-(-x十a)g(x)=(x+ fx)f),f1)=1,则∑fk= a)g(x)=f(x),故x-a=x十a,则a=0.故 k=1 选B. A.-3 B.-2 C.0 D.1 (2)因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1, (3)已知函数f(x)的定义域为R,f(x十2)为 f(2)=2, 偶函数，f(2x十+1)为奇函数，则 () 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3) Af-2)-0 B.f(-1)=9 >f(2)+f(1)=3,f4)>f(3)+f(2)>5, C.f(2)=0 D.f(4)=0 f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4) >13,f7)>f(6)+f5)>21, 【解析】(1)因为f(x)是定义域为R的偶函 f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7) 数，所以flcg）=f-1bg40=fog40. >55,f10)>f9)+f(8)>89, f(11)>f10)+f(9)>144,f12)>f(11)+ 又因为10g4>1>2号>2号>0，且函数 f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377 f(x)在(0，十∞)单调递减，所以flog:) f(14)>f13)+f(12)>610,f(15)>f(14) +f(13)>987, <f(2)<f(2).故选C. f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次 (2)因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), 下去可知f(20)>1000,则B正确；且无证据 令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),所 表明ACD一定正确.故选B 以f(0)=2,令x=0,可得f(y)+f(-y)= (3)由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对 2f(y),即f(y)=f(一y),所以函数f(x)为 -切x∈R成立，于是(-)=f(保) 偶函数.令y=1,得f(x十1)十f(x-1)= f(x)f(1)=f(x),即f(x+2)+f(x)= f4)=5-2×4=故选A f(x+1),从而可知f(x十2)=-f(x-1), f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x一4)， (4)因为f(x)=x(a·2-2),所以f(- 即f(x)=f(x十6)，所以函数f(x)的一个 x)=一x3(a·2x-2r),因为f(x)为偶函数， 周期为6. 故f(-x)=f(x),即x3(a·2-2x)=-x 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3) (a·2x-2r),整理得到(a-1)(2+2) =f2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2) 0,故a=1.故答案为1. =f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1, 【答案】(1)B(2)B(3)A(4)1 f(6)=f(0)=2, 【例4-2】(1)(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义 所以一个周期内的f(1)+f(2)十…十f(6) 域为R的偶函数，且在(0，十∞)上单调递减， 则 =0.由于2除以6余4，所以三f)- Afg）>f2-i)>f2) f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1= 一3.故选A. Bf1g:)>f(2)>f(2) (3)因为函数f(x十2)为偶函数，则f(2十 x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x), C.f2)>f2子)>flog4) 因为函数f(2x十1)为奇函数，则f(1一2x) D.f2)>f2)>f1g4) =-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x十 1),所以f(x十3)=-f(x+1)=f(x-1), (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定 即f(x)=f(x十4)，故函数f(x)是以4为 68· 第一部分 一轮单元复习第五单元 周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x十 题型五 作函数图象 1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0,故f(-1) 【例5】 作出下列函数的图象： =f(5)=f(1)=0,其它三个选项未知 【答案】(1)C(2)A(3)B (1y-(号)；2y=log(x+1D1； 【规律方法】 (3)y= 2x-1 (1)判断函数周期性的方法 x-1(4)y=x2-21x-1. ①定义法：判断函数的周期性只需证明f(x十 【解析】1)作出y=(2广 的图象，保留y= T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数， 且周期为T; (侵)广图象中x≥0的饰分，加上y=(合)》 ②结论法：对∫(x)定义域内任一自变量的 值x, 的图象中x>0部分关于y轴的对称部分， i.若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0); 即得() 的图象，如图中实线部分 T.若f(x+a)三f,则T=2a(a>0)； 1 i.若fx+a）=-f,则T=2a(a>0). -10 (2)函数周期性的应用，根据函数的周期性，可 以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即 (2)将函数y=1og2x的图象向左平移1个 周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象 单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上 转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意 去，即可得到函数y=log2(x十1)的图象， 结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠ 如图 0)也是函数的周期. 变式训练四 1.(2023·全国乙卷)已知f(x)=e e兰是偶函 数，则a= ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (3)因为y= 号-2+故函数图象 2.(2024·新课标Ⅱ卷)下列函数是偶函数的是 ( ) 可由y一是的图象向右平移1个单位，再向 A千 B.y=cosr十x x2+1 上平移2个单位而得，如图， C D.y= sin x+4x x+1 el 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x(1+x),则x<0时，f(x) 4.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两 (4)因为y= x2-2x-1,x≥0， 且函数为偶 个正数x,x2(x1<x2),都有x2f(x1) x2+2x-1,x<0 函数，先用描点法作出[0，十∞)上的图象， f(x2),记a= 2f2),6=f(1),c 再根据对称性作出（一∞，0）上的图象，即得 3f(-3),则a,6c之间的大小关系为 函数图象如图. ( A.a>b>c B.ba>c C.c>b>a D.a>c>6 ·69· 艺考一本通数学 【规律方法】函数图象的画法 !当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉 直接法 的基本函数时，就可根据这些函数的特征 (找出图象的关键点直接作出图象 13龙013x 0121 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值 符号，转化为分段函数来画图象 A B C D 若函数图象可由某个基本函数的图象经 过平移、翻折、对称得到，可利用图象 【解析】(1)由图可知函数为偶函数，而函数 图象 !变换作出，但要注意变换顺序，对不能 变换法 直接找到熟悉的基本函数的要先变形， 并应注意平移变换的顺序对变换单位及 解析式的影响 f代)1网和函数f）白为奇 变式训练五 函数，故排除选项AB;又当x∈(0,1)时1 作下列函数的图象： >0,d-1<0,此时f)=>0. (D fx)=<0,由图可知当x∈(0,1）时， (2)y=x2-2x+2,x∈(-1,2]； x2-1 (3)y=x-1,x∈R f(x)<0,故C不符合，D符合.故选D (2)【解析一】由题意可知，点P的轨迹为图 中虚线所示，其中四个角均是半径为)的 扇形 题型六函数图象的识别 【例6】(1)(2025·天津卷)已知函数y=f(x) 0 的图象如下，则f(x)的解析式可能为( ) 1R B 因为矩形ABCD的周长为8，AB=x, 则AD=8,2=4-, 所以y=x(4-)-至=-(x-22+4-平 (1≤x≤3)，显然该函数的图象是二次函数 A.f(x)=1-x B.f(x)=Tz]-1 图象的一部分， C.f(r)=1-x x Df)马 且当x=2时，y=4-平∈(3,4)，故选D, (2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB= 【解析二】在判断出，点P的轨迹后，发现当x x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的 边上滑动，且MN=1,当N沿A→D→C→B =1时，y=3-平∈(2,3)，故选D, →A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的 【答案】(1)D(2)D 中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域 【规律方法】识辨函数图象的入手点 的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从 函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势， (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. ·70· 第一部分一轮单元复习第五单元 (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复， 4.函数f()=ln(e十)一‘的部分图象大致 (5)从函数的特征，点，排除不合要求的图象. x2-1 变式训练六 是 1.函数y=n2,x∈(-元，0)U(0,π)的图象大致 是 十的4 2.函数f(x)=ln(x-)的图象是 5.已知两数)=兰则下列结论正确的是 () A.函数f(x)的图象关于点(1,2)对称 B.函数f(.x)在（一o∞，1）上是增函数 C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B, g(g≥h), 使得直线AB∥x轴 3.定义一种运算：g⑧h= 已知函数 h(g<h), D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 f(x)=2⑧1，那么函数f(x一1)的大致图象 6.设函数f(x)=|x十a,g(x)=x一1，对于任 是 意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实 数a的取值范围是 01 随堂检测● 基础训练 温故知新 1.函数f(x)=√x2-5x+6的定义域为( A.f(x)=5x+1 B.f(x)=-3.x+1 A.{xx≤2或x≥>3} Cfx)=2+4x+3D.f)=2 B.{x|x≤-3或x≥一2} C.{x2≤x≤3} 3.设函数f(x)=2x十3，g(x十2)=f(x),则 g(x)的表达式是 () D.{x|-3≤x≤-2} 2.(多选)下列函数中，满足“H1,x2∈(0， A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1 C.g(x)=2x-3 D.g(x)=2x+7 +o∞)，都有f西）二f>0”的有( 1℃2 ·71· 艺考一本通数学 2x+1-8,x≤1 9.已知函数f(x)=ex十x(e为自然对数的底 4.已知函数f(x)= 且 4log(x+1),x>1 数)，且f(3a-2)>f(a-1),则实数a的取 f(m)=一12，则f(6一m)= ( 值范围是 () A.-1 B.-3 C.-5 D.-7 5.下列函数中，在区间(0，十∞)上为减函数的 A(侵+e】 是 ( ) B(-∞，2》 A.y=√x+1 B.y=x2-1 c=( C.(-∞，2)U(,+∞） D.y=log2x 6.函数f(x)=ln(x2一4x+3)的单调递增区间 D.(o,2)U(,+o∞ 是 ( 10.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则 A.(-∞，1) B.(-∞，2) f(x)的解析式可以是 () C.(2,+∞) D.(3,十∞) 7.已知函数f(x)=2x一21-x十a.关于函数f (x)的单调性，下列判断正确的是 A.f(x)在（一∞，2）上单调递增 B.f(x)在（一∞，2）上单调递减 A.f(x)=2-z .x B.f(r)=cos x Cfx)在(}，+∞)上单调递增 C.f(x)-cos'z D.f(c)=cos x D.f(x)在（子，十∞）上单调递减 11.设函数f(x)的定义域为R,满足f(一1 8.(多选)已知定义在R上的偶函数y=f(x)对 x)=f(-1-x),f(1+x)=f(1-x).当x 任意的x满足f(x+2)=f(x),当0≤x≤1 ∈（一1,1]时，f(x)=一x2+1,则下列结论 时，f(x)=x,函数g(x)= 正确的是 () [-ax,x<0 a>0且a≠1)，则下列结 log(x+1),x≥0 Af(3)=-是 论正确的有 B.f(x)在(6,8)上为减函数 A.f(x)是周期为2的周期函数 C.f(x十7)为奇函数 B.当2≤x≤3时，f(x)=x D.方程f(x)+lgx=0有且仅有6个实 C.若g(x)在R上单调递减，则0<a<1 数解 D.若方程f(x)=g(x)在R上有4个不同的 实数根，则实数a的取值范围是（信，号）U (4,6) ·72·艺考一本通数学 一u.所以AD选项错误、BC选项正确.故选BC 6.C【解析]个a,=”引7≥0，解得n3或>号，当n<3 时，am≥0，故当n=1,2时，Sn递增，且S=S.当4≤n≤8 时，an<0,故当n=4,5,6,7,8时，Sn递减；当n≥9时，am> 2 1 1 0,S,递增.且a1=后，a=3a=0,a4=一9，…，a= 5,故S8<S,所以S取得最小时n的值为8.故选C. 7.480【解法一】依题意得，当n是奇数时，a+2一an=1,即数 列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数 列，a1十a十45十…十as9=30X1+30X29X1=465:当n是 2 偶数时，a+2十am=1,即数列{an}中的相邻的两个偶数项之 和均等于1，a2+a4十a6+as+…+a58十a0=(a2十a4)十 (a6十a8)十…+(a58十a0)=15.因此，该数列的前60项和 S60=465+15=480. 【解法二】因为am+2十（一1）"an=1,所以a3一a=1,a6一ag =1,a7-a5=1,…,且a4十a2=1,a6+a4=1,a8+a6=1, …,所以{a2g-1}为等差数列，且a2g-1=1十(n1)X1=n,即 a=1,a3=2,5=3,a7=4, 所以S4=a1+a2+a3+a4=1十1+2=4，S8一S4=a5+a6+ a7+a8=3+4+1=8,S12-S8=ag+a10+a11+a12=5+6+ 1=12,…,所以S=4X15+15X14×4=480. 2 8.(1)a,="1(2)4212【解析】1)设等差数列{a}的公 2 差为1，由ag十a=6,Se=45,得2a十8d=6 12a+66d=45,解得 d=号所以.=1+-1×号-(8图为a.十 a1=1 21 a=空+3=叶2，所以a=,n为奇故 2 {(2)+2,n为偶数1 故 T20=b1+b2+b3+…+b0=(b1+b3+…+b19)+ (b2+b4+…+b20) (3+5+…+21) （2+23++2n)=3+21)X10+41-2)=4212. 2 1-2 a=aa,所以 9.【解析】(1)由题意知S。10, 1(a十d2=a(a十3，解得a1=d=2,故ae=2. 110a1+45d=110, (2)由(1)可知 A=2w2可（市），则T =[(什号)+（传号）+…+(2马门 =1-)宁 1 10.【解析】1)当n=1时，S1=a=a2-3-2,则a2=7,因为 Sn=a+1-31-2,所以Sw-1=a-3(n-1)-2,(n2), 两式相减得：a+1=2a十3，(n≥2)，所以a+1十3=2 (am+3),(n≥2)，a1=2,a1+3=5,a2十3=10，则a2+3= 2(a十3)，即n=1也适合上式，所以{am十3}是以5为首 项，公比为2的等比数列，故：an十3=5×2-1，故am=5X 2n-1一3； 2n 2n (2)由(1)得bm= aa·a+1(5X20-1-3)(5X20-3) 号(x235x2=3)》: 故工.=6+6+6+…+6=号（分-7+号7+… 十xx)=导（合x)当n N时5x23>0,故T<号×日- 18 第五单元 函数、导数及其应用 第12讲函数与函数图象及性质 变式训练一 1.D【解析】由题意得240·解得x>2且≠3，所以函 1x3≠0， 数y=lg:2x-4)十的定义战为(2,3U(3,十o∞)，故 选D. 2.(0,1]【解析】由条件 1+>0,∫。1或>0， x≠0， →x≠0， →x∈(0,1. 1-x2≥0， l-1x1 3B【解折】由题意得：-2≤2x十1<3，解得：-号<<1，由 x十1≠0，解得：x≠-1，故画数的定义城是[-号，-1)U (-1,1],故选B. 变式训练二 1.x2-4【解析】设=x-2,则x=t十2，所以f(t)=(t+2)2 -4(1+2)=一4，则f(x)=x2-4.故答案为x2-4. 2号+号【解析】在f)=2f()丘-1中，用士代 替x. 将f2）=店1 将f(2)-22-1代入K=2(2)G-1中 √x 可求得)=号丘+子 变式训练三 1.C【解析】当x=1时，log1=0,若f(x)为R上的减函数， 则(3a-1)x+4a≥0在x<1时恒成立.令g(x)=(3a-1)x 3a-10f3a-1<0 +4a则必有0a,即0a1、→7<a< 1 g(1)≥03a-1+4a≥0 2.A【解析】由-x2十x十6>0得，x∈(-2,3)，所以函数f (x)=log(-x2十x十6)的定义域为(-2,3).令t=一x 十x十6，则y=log号t是单调递减函数，又t=一x2+x十6，在 (-2,2)上单洞递增，在（分，3）上单调递减，由复合函数 的单调性可得函数f(x)=log(一x2十x十6)的单调递减 区间为(-2,2)： 变式训练四 1.D【解法一】因为f(x)是偶函数，所以f(x)一f(一x)= 。气号+心】 xex 1-eatr ea-1—=0,所 以a一1=1，a=2,故选D. 【解法二】因为f)是偶函教，且f1)-f-1)=吕 号==0，所以a-1=1a=2,t选D 2B【解折】时A,设f)-千，画数定义技为R,但 -1D=2,f1)=号，则f-1D≠f1),故A 错误：对品设g)=巴，函数定义战为R.具 g(-)=os（I)t》=osE=g(x),则 (-x)2+1 x2+1 g)为祸画数，此B正确：对C.设A)=异定又技 为{xx≠一1》，不关于原，点对称，则h(x)不是偶函数，C 错：对D,设p(x)=血十4虹，函数定义域为R,因为(I) el =in1+4,p(-1)=二sin1-4,则g(1)≠g(-1),则 p(x)不是偶函数，故D错误.故选B 3.x(1一x)【解析】当x<0时，则一x>0,所以f(-x)= (一x)(1一x).又f(x)为奇函数，所以f(一x)=一f(x)= (一x)(1一x),所以f(x)=x(1一x). 4.B【解析】因为对任意两个正数x1,(x1<2),都有 fn)>f),所以f>,得函数g(x） f八四在0，十∞)上是减画数，又c=-3-3)=子f3) 所以g(1)>g(2)>g(3),即b>a>c,故选B. 变式训练五 【解析】1)可先作出画数)=上的图象，然后将y=的图 象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到函数y= 十1的图象，如图①所示. 1 图① (2)用描，点法作出函数f(x)=x2一2x十2，x∈（一1,2]的图 象，如图②所示. 4 -1012 图② (3)可先作出y=x一1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻 折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变可得y=|x一1的 图象.如图③中实线部分所示. 图③ 变式训练六 1.A【解析】函教y=n,xE(-x,0U(0,x)为偶函数，所 以图象关于y轴对称，排除B,C,又当xT时y=n工0. 2.B【解析】自变量x满足x-1=亡>0，当>0时， 可得x>1,当x0时，可得一1x0,即函数f(x)的定义 域是(-1,0)U(1,十∞)，据此排除选项A、D.函数y=x 子单洞递增，故函数fx)=1n(子)在(-1,0， (1,+o∞)上单调递增. 3.B【解析】由定义知，当x≥0时，2≥1，所以f(x)=2, 当0时，2<1，所以)=1，所以)三0，其图象 易作，f(x一1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度 参考答案·数学 得到 4A【解析】因为x≠士1，而f(-号)= (+0+立 3 0,所以C,D错误.令g(x)=ln(e2x+1)-2x,所以g'(x)= e千1<0，即g(x)单调递减，当x>1时，g(x)=n 一2 (e2x+1)-2x<g(0),即n(e+1)-2x<0,所以x>1 时，ln(e2+1)-x<x,令h(x)=x,所以x>1时，f )<A,5a=2=品<0即 >1时，h(x）=亡单调递减，所以x>1时，f(x)= 血（心十1）一工，在十∞单调递增错误，B错误. x2-1 6A【解折因为f)=马=名+2，所以函教)在 (一∞，1)上是减函数，排除选项B:画出函数f(x)的大致图 象如图所示，结合图象排除选项C,D. N2345x 因为+2-)=马+2-兴+ =4,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称. 6[-1,十∞)【解析】如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则 -a1,所以a≥-1. 【基础训练】 1.A【解析)使函数y=√x2-5x+6有意义，应满足x2-5x 十6≥0解得x≥3或x2,故选A. 2.AC【解析】因为n,m∈(0，+∞)，都有f)-f) x1-x2 >0,所以函数在(0，十∞)上单调递增，对于A,f(x)=5x十 1在(0，十∞)上单调递增，所以A正确，对于B,f(x)=一3x 十1在(0，十∞)上单调递减，所以B错误，对于C,因为f(x) =x2十4x十3的对称轴为直线x=一2，且开口向上，所以函 数在0，十∞)上单调运增，所以C正确，对于D.f)=号 在(0，十∞)上单调递减，所以D错误，故选AC 3.B【解析】令t=x十2→x=t-2,则有g(x+2)=f(x)→ g(t)=f(t-2)=2(t-2)+3=2t-1. 4.D【解析】由题意知，当m≤1时，f(m)=2m+1一8=一12， 得2m+1=一4，又2m+12>0,所以方程无解：当m>1时， f(m)=4log号(m+1)=-12,得log号(m+1)=3,即m+1= 8,解得m=7,所以f(6-m)=f(-1)=2-1+1-8=-7.故 选D 5.C【解析】y=√x十1，y=x2-1,y=logx在(0，+o∞)上 都为增函教，y=(宁y在(0，十∞)上为减函数，故选C 6D【解析】由题意得24十3>0解得>3.故选D 7.A【解析】令2x=t(t>0),函数f(x)=21-21-x十a可 19 艺考一本通数学 化为为y=一22十t十a(t>0),因为函数y=一2t十1+a(t >0)开口向上，对称轴为1=子，即x=2.当0<1<寻时，函 数y=一2+什a(>0)单调递增；当>时，函数y= 2t2+t+a(t>0)单调递减，又因为y=2x在R上单调递减， 由复合函数的单调性可得，函数f(x)在（一∞，2）上单调递 增.故选A. 8.ACD【解析】因为f(x十2)=f(x),所以f(x)是周期为2 的周期函数，A正确；当2x3时，0x一2<1，所以f(x 一2)=x一2，又f(x)是周期为2的周期函数，所以当2≤a ≤3时，f(x)=f(x-2)=x一2，B错误；若g(x)在R上单调 道减，则801.所以0a<1.C正痛：室a>1时，若了 (x)=g(x)在R上有4个不同的实数根，则大致图象如下图 所示， 个人 -4-3-2-1012345 所以侣尔年a当1时，者 =g(x)在R上有4个不同的实数根，则大致图象如下图所 示，所以{解得号<a<了塔上a的取值范国为 (兮，3)U(4,6),D正确. △△△人△w -5-4-3-2-1Q1234 x -8(x) 9.C【解析】显然f(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递增， 所以f(3a一2)>f(a-1)台3a-2>a一1台(3a-2)2 (a-10台a>子或a<,故选C 10.D【解析】由函数的图象关于原点对称，可知所求的函数 是奇函数，由于f()=Os为偶函数，故排除B:对于选项 A,当x·十∞时，f(x)·一∞，与函数图象不符，故排除 A:对于选项C,f(x)=0Sx=1>0,与函数图象不符，故 π 排除C.选D. 11.ACD【解析】由f(-1+x)=-f(一1-x),则函数y= f(一1+x)为奇函数，即函数y=f(x)的图象关于点（一1， 0)成中心对称，可得f(一2一x)=一f(x):由f(1十x)= f(1一x),则函数y=f(1十x)为偶函数，即函数y=f(x)的 图象关于直线x=1成轴对称，可得f(2-x)=f八x):两式 相加可得f(-2-x)=一f(2-x),则f(x)=一f(x十4)， 即f(x+8)=f(),对于A,f(3)=f(-号+4)= -f(-)=(-2)°-1=-子，故A正蹄：对于B,由 0待8。，则击条在区网(-2.0)与68上国泉相 同，由函数f(x)的图象关于，点（一1,0）成中心对称，则函数 f(x)在区间（一2，一1）与（一1,0）上的单调性相同，f(-1) =0,当x∈(-1,0)时，f(x)=一x2+1,易知函数f(x)在 20 (一1,0)上单调递增，则函数f(x)在（一2，一1）上单调递 增，所以函数f(x)在（一2,0）上单调递增，则函数∫(x)在 (6,8)上单调递增，故B错误：对于C,由f(x十7)=f(x一1 十8)=f(x一1)，则函数f(x十7)为奇函数，故C正确：对 于D,由题意作图如下： y=-lgx v=f(x) 10 则函数f(x)与y=一1gx有且仅有6个交，点，所以f(x)+ lgx=0有且仅有6个实数，故D正确.故选ACD. 第13讲指数函数、对数函数、二次函数、幂函数 变式训练一 D【解折】设y=r,则=，所以a=-2,所以y1, 则它的单调递增区间是（一∞，0），故选D. 2比【解标】由已知可得屏样=1或2 故选BC 变式训练二 1.D【解析】因为a>b>c,且a十b+c=0,得a>0,且c<0, 所以f(0)=c<0,所以函数y=ax2十bx十c的图象开口向 上，与y轴的交点在y轴的负半轴上. 之D【解折1因为f)=2x-6+3=2(x-2)）广-昌，对 称轴x=多，当xE[-1,2],fm=(号)=-多，又 因为f(-1)=11,f(2)=-1,所以f(x)mx=f(-1)=11, 所以函数的值找为[一号1]，故选D 3.(-之，4)【解析】国为fx)=2+2(a-2)x十4，对称轴 x=-(a-2),对x∈[-3,1]，f(x)>0恒成立，所以讨论对 -(a-2)<-3,或 称轴与区间[-3,1门的位置关系得：《二3)0， 1-3≤-a-2)≤1xf0>0, 1△<0， 1-(a-2)>1解得a∈0或1≤a <4或一名<a<1,所以a的取值范国为(-名4)】 变式训练三 1.C【解析】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已 提升至2250 PetaFLOPS,到2026年，其算力提升至2250× 1.5 PetaFLOPS,到2027年，其算力提升至2250× 1.52 PetaFLOPS,…,以此类推可知，从2025年起，到第n(n ∈N")年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5"PetaFLOPS, 由250×（受）”>50，可得（受）”>号所以，>16g:号 1-lg3 1-0.477 =1g31g2≈0.477二0.30≈2.972，所以， DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500 PetaFLOPS, 故选C. 2.(1)2(2)A【解析】(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+ lg5=(lg2+1lg5+1)lg2+2lg5=2g2+2lg5=2(1g2+ 1g5)=2. (2②)因为公=5的=m,所以a=bg:m,6=og:m,所以。+方 =十=2+5=10=2所以m =/10.