第11讲 数列的通项与求和-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

第一部分一轮单元复习第四单元 第11讲 数列的通项与求和 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.数列的通项公式 前n项和公式求和， (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列 ①等差数列的前n项和公式：S,=naa） 2 中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的 =a1+ un-Dd. 每一项都和它的序号有关，排在第一位的数 2 称为这个数列的第一项（通常也叫做首项）， ②等比数列的前n项和公式： (2)数列的通项公式 na1,q=1, 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系 a1-am9_a1(1-q" 1-q 1-9 ,q≠1. 可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 (2)倒序相加法 这个数列的通项公式. 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等 (3)数列的递推公式 “距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且 那么求这个数列的前n项和可用倒序相加 任何一项an与它的前一项am-1(或前几项) 法，如等差数列的前n项和公式就是用此法 间的关系可以用一个式子来表示，即am= 推导的. f(an-1)(或an=f(am-1,an-2)等)，那么这 (3)并项求和法 个式子叫做数列{a}的递推公式. 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解， (4)Sn与an的关系 则称之为并项求和 已知数列{am}的前n项和为Sm,则 形如a,=(一1)”f(n)类型，可采用两项合并 S1,n=1, an 这个关系式对任意数 求解， Sn-Sm-1,n≥2， 例如，Sn=1002-992十982-972+…十22-12 列均成立 =(1002-992)+(982-972)+…+(22-12) 2.数列的分类 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)= 分类标准 类型 满足条件 5050. 按项数 有穷数列 项数有限 (4)错位相减法 分类 无穷数列 项数无限 如果一个数列的各项是由一个等差数列和 按项与 递增数列 an1>an 项间的 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个 递减数列 大小关 aan 其中n∈N 数列的前n项和即可用错位相减法来求，如 系分类 常数列 an1=an 等比数列的前n项和公式就是用此法推 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 按其他标 导的. 从第二项起，有些项大于它的前 准分类 摆动数列 (5)裂项相消法 项，有些项小于它的前一项 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间 3.数列求和的常用方法 的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常 (1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的 见的裂项技巧： ·57 艺考一本通数学 ④n+√n+T =√n+1一√n ②na十2 1/1 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 用归纳法求数列的通项 变式训练一 【例1】根据数列的前n项，写出下列各数列的 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 一个通项公式： 是下列各数： (1)-1,7,-13,19,… (1)1.357 (2)0.8,0.88,0.888,…: 2’4816 (3)号，1，-5.13.2961 2’4’8163264…； (21+安1-是1+01- 01,号… 79 (3)7,77,777,7777; (4)0,√2,0，W2. (5)0,1,0,1,… 【解析】略 【答案】(1)am=(-1)"(6-5) (2)a,= 81-) (3)a,=(-1)".2”-3 2” (4)a,=2n十1 n2+1 「0(n为奇数) 或a=1十(-1)” 题型二a,与Sn关系式的应用（高频考点） (5)am= 1(n为偶数) 2 an与Sm关系的应用是高考的常考内容，且 或an= 1+cos nm 多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解 答题的已知条件中，属容易题.主要命题角度 【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法 有：①利用an与Sn的关系求通项公式an;②利 及具体策略 用an与Sn的关系求Sn (1)常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知 【例2-1】(1)已知数列{an}的前n项和为Sm 数列)、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联 =n2一2n+2,则数列{an}的通项公式an 想常见的数列)等方法 (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相 (2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=一 邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符 1,a+1=SnS+1,则Sn= 号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还 【解析】(1)当n=1时，a1=S1=1;当n≥2 可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、 时，an=Sn-Sw-1=2n-3.由于n=1时，a1 分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况， =1≠2×1一3，所以{am}的通项公式为am 可用（一1）或（一1）k+1,k∈N*处理. 1,n=1, 2n-3,n≥2. ·58 第一部分一轮单元复习第四单元 (2)因为a+1=S+1-Sn,a+1=SS+1, 2 (2) 所以S+1-S,=SnS+1. 因为S≠0，所以5一S+ 11 =1,即S1 1 1 所以a =-1. 2a-+合)++（日】 又写-1，所以是项为-1，公为 21小2 一1的等差数列. 【规律方法】 所必51+(1DX(-D,所2 (1)已知Sn求an的三个步骤： ①先利用a1=S1求出a1; S=- n ②用n一1替换Sn中的n得到一个新的关系，利 【答案】(121-3，n≥2 1,n=1, (2)-1 用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时a 的表达式； 【例2-2】(2022·新课标I卷)设Sm为数列 ③注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2 {a,}的前n项和，已知a-1,(S是公差为 的表达式合并. a (2)S,与am关系问题的求解思路，根据所求结果 司的等差数列 的不同要求，将问题向不同的两个方向转化， ①利用am=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn, (1)求{an}的通项公式； S-1的关系式，再求解； (2)证明：上+1+…+1<2. ②利用Sn-S,-1=a,(n≥2)转化为只含a, a a2 an am-1的关系式，再求解. 【解析】(1)因为a1=1,所以S1=a1=1,所 变式训练二 以1，又国为品是公差为号的等定 L若数列a的前n项和S,号a+号则a 数列， 的通项公式a,= 所以器1十日(m-1)半所以s 2.设正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, an _(n十2)an 当n≥2时，amn=√Sn+√Sm-1. 3 (1)求数列{am}的通项公式： 所以当n≥2时，S1=n十1a (2)设数列{bn}满足b1=1,且b+1一b,=2-1 3 ·am,求数列{bn}的通项公式. 所以an=S,-Sn-1= (n+2)an 3 n十1)am⊥，整理得(n-1)am=(n十1)am-1, 3 即am=n+1 am-1n-1' 所以am=a1Xa2×aX…X-Xam=1 题型三数列求和 a a2 0n-20n-1 ×号×告×…Xn”2×,足 (一)分组与并项求和 ^n-2^n-1 2 然对于=1也成立. 【创】卫知数列a的前项和S。t,n 所以{a,}的通项公式a,=n(n1 ∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式； ·59· 艺考一本通数学 (2)设bn=2+（一1)”am,求数列{bn}的前 （二)错位相减法求和 2n项和. 【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1, 【解析】(1)当n=1时，a1=S1=1; Su+1=2Sn十2m+1,7n∈N*. 当n≥2时，a,=S。-S1=心n (1)求数列{an}的通项公式； 2 m-1)2+(0n-1D= (2)设b,= ，么的前项和为T,若对 2 a=1也满足an=n,故数列{an}的通项公 任意的正整数，不等式T,>m,+7恒 27 式为am=n. 成立，求实数m的取值范围. (2)由(1)知an=n,故bn=2m+(-1)"n. 记数列{bn}的前2项和为T2n,则T2n=(2 【解析11)由S1=2S,十2，得=受 2n+1 +2+…+22m)+(一1+2一3+4一…+ 2m). 1,又号号日所以数列是以吃为 记A=21+22+…+22m,B=一1+2-3+4 首项，公差为1的等差数列，-十 -…+2m,则A=21-2）=2+1-2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+.+[-(2n-1) n-10=2”21,即S=(2n-1)·2,当 +2n]=n. n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)·2m-1 故数列{b,}的前2n项和T2n=A十B=22n+1 (2-3)·2-2=(2n十1)·2m-2,又a1=1 +n-2. 不满足上式，所以 【规律方法】分组转化法求和的常见类型 1,n=1, (1)若an=bn士cn,且{bn},{cn}为等差或等比数 (2n+1)·2m-2,n≥2. 列，可采用分组求和法求{am}的前n项和， (2)由(1)知Sm=(21一1)·2-1，所以bn= bn,n为奇数， (2)通项公式为am= 的数列，其 cn,n为偶数 2m=2-a-》(号， 中数列{bn},{cm}是等比数列或等差数列，可采 所以.-3×（得）广+是×()+…+ 用分组转化法求和， 变式训练三（一） (-2)×(号)”，① 设数列{an}的前n项和为Sn,满足S,=1一nam (n∈Nt). 是工，-×（得+号×（得）+…十 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列1)”)的前n项和为T,求T的 (-》×(层)*，@ a 表达式。 ①@得：号T.=}+(号)+（号+…+ (号)°-(u)×(号)，整理得工.-5 (2m+5)(号)八， 又因为对任意的正整数n,Tn>m-m十7 27 位成立，所以心+7<（工，）， 27 所以T+1-Tm=(2n十5)（ ·60· 第一部分 一轮单元复习第四单元 2+7)()=(3)”(3+3)>0,所以 (三)裂项相消法求和 【例5】已知数列{an}的通项，求其前n项 Tn在(0，十∞)上单调递增，(Tm)mm=T1 和Sm 含尚2<字可得-1m<2,所以 1 27 (1)am= n+I+√n 实数m的取值范围是（一1,2） 1 【规律方法】错位相减法求和策略 (2)an= n(n十1) (1)如果数列{am}是等差数列，{bn}是等比数 1 (3)an= 列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位 n(n+1)(n+2)9 相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b} (4)am= n+1 4n2(n+2)2 的公比，然后作差求解. (2)在写“Sn”与“qSm”的表达式时应特别注意将 【解析】(1)a,=√n+-√n(2)a,=1 两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S,一 1 qSm”的表达式. n+l 8a,=2t+Dra-2l (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公 (4)a= 1「1 比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情 -u十2] 167n2 况求解. 【答案】1)S=+-1(2)S。=n+ 变式训练三（二） 3)5,=2·2 11 1 1 1.在数列{am}中，a1= 2,am+1= n+1 (n+1)(n+2). 2n an, (4s.=1+2wDam+2] 1 1 n∈N*. (1)求证：数列为等比数列： 【规律方法】利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， (2)求数列{an}的前n项和S… 也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面 剩几项，后面也剩几项 (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数， 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 如：若{a,}是等差数列，则。1 anan+l ，1= (-1 变式训练三（三） 2.在数列{an}中，a1=1,a+1=2am十2" 1.已知数列{an}的各项都为正数，其前n项和 ()设6，一.证明：数列6，是等差数列： 为Sm,且满足4S,=a?十2an一3对任意的正 (2)求数列{an}的前n项和Sn 整数n都成立. (1)证明数列{an}是等差数列，并求其通项 公式； (2)设6.求数列么)的前n项和工 ·61· 艺考一本通数学 2.已知函数f(x)=x的图象过点(4,2)，令考法三形如am+1=Aam十B(A≠0且A≠1)， a,=f+)+fm,n∈N.记数列{a,}的 求a 【例6-3】已知数列{am}满足a1=1,a+1=3an 前n项和为Sn,则S2o19= +2,求数列{an}的通项公式. 3.在等差数列{an}中，a2=4,a1十a4十a7=30, 【解析】因为a+1=3a,+2, 其前n项和为Sn. 所以am+1十1=3(am+1), (1)求数列{an}的通项公式； 又a1=1,所以a1+1=2, (2求数剑s2的前”项和T 故数列{am十1}是首项为2，公比为3的等比 数列， 所以am十1=2·3"-1，因此an=2·3"-1 1. 【规律方法】由递推关系式求通项公式的常用 方法 (1)已知a1且am一am-1=f(n),可用“累加法”求 题型四由数列的递推关系求通项公式 考法一形如an+1=an十f(n),求an an,即an=(am-am-1)十(aw-1-am-2）十…十 (a3-a2)+(a2-a1)+a1. 【例6-1】在数列{an}中，a1=2,am+1=am十3n 十2(n∈N*),求数列{an}的通项公式. (2)已知a1且a,=f(n),可用“累乘法”求an, an-1 【解析】因为a+1一a,=3n十2， 所以am一am-1=3n-1(n≥2)， 即an=an.a…a.a2·a1. an-1 an-2 a2 a1 所以an=(am一am-1)十(am-1一am-2)十…十 (3)已知a1且an+1=qam十b,则am+1十k=q(a, (a-a1)十a1=n(30+1D(≥2). 十)（其中可由待定系数法确定），可转化为 2 等比数列{an十k}. 当m=1时，0号×(3X1+1)=2符合公 (4)形如an+1= a元A,B,C为常数)的数 式，所以an= 列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列 求解 考法二形如a+1=anf(n),求am. 变式训练四 【例6-2】（多选）已知数列{an}满足a1=1, 根据下列条件，求数列{a,}的通项公式. a+1=n+La,则 ( (1)a1=1,am+1=am+2"; A 2》a2a,-%7010≥2： 1 B.an=n (3)a1=1,am+1=2am+3; C.数列{an}为递增数列 (4)a1=1,a+1= 2an am十2 D.数列{an}为递减数列 【解析】因为数列{am}满足，a1=1,a+1= n+1 a,则当n≥2时，1=n,am-1= am-1n-1'a-2 -2…,=2 n-1 “a=气，所有的式子相乘得% ,即an=n,当n=1时也符合通项，故am= n,数列{an}为递增数列，故选BC. 【答案】BC ·62· 第一部分一轮单元复习第四单元 随堂检测 基础训练 温故知新 1.已知数列1号3 1 1 4,5 8,716…,则其前n 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且a3十 a7=6,S12=45. 项和Sm为 ( (1)求an; A+1-品 我+8品 (2)若数列{bn}满足bm= an十a+2,n为奇数 C.n2+1- 27 D.n2+2- 1 27 ,求数列{bn}的前20 (2).+a+2,n为偶数 2.已知等差数列{an},a2=3,a=6,则数列 项和T20· 1的前8项和为 a,an+1 A B c昌 D 3.已知数列{an}满足a1=0,am+1=an十2n一1， 9.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和 则数列{an}的一个通项公式为 ( 为Sm,若S1o=110,且a1,a2,a4成等比数列. A.an=n-1 B.an=(n-1)2 (1)求数列{am}的通项公式： C.am=(n-1)3 D.am=(n-1)4 1 4.数列{an}的首项a1=1,对于任意m,n∈N*, (2)设数列{6，}满足b。=(a-Da.十D若 有am+m=an十3m,则{an}前5项和S= 数列6，)的前n项和为T,证明：T<2 A.121 B.25 C.31 D.35 5.(多选)设数列{am}满足：a1=1,且对任意的n ∈N*,都有an+1=2am十1，Sn为数列{an}的 前n项和，则 () A.{an}为等比数列 B.an=2"-1 10.已知Sm为数列{am}的前n项和，a1=2,S Ca十为等比数列DS=2-” =a+1-3n-2. 6.已知数列1a,的通项公式为a,= (1)求数列{an}的通项公式an; 2n-17,前 (2)设bn= n项和为Sm,则Sn取得最小时n的值为 ”一，记{6》的前n项和为 an·an+1 ( T,证明工<号 A.6 B.7 C.8 D.9 7.在数列{an}中，a=1,a+2十(-1)”am=1,记 S是数列{an}的前n项和，则So ·63·艺考一本通数学 项为4，公比为2的等比数列.(2)由(1)知S。一n十2=2+1， 所以Sn=2+1+1-2,于是Tm=(22+23+…+2+1)+(1+ 2+…+n）-2,=4-2）+D-2n 1-2 2 =20+3十n2-31-8 【基础训练】 1.心【得行】南巴知可择，品十2g解可得日=2 所以am=-1+(n-1)×2=21-3,所以a5=2×5-3=7, 故选C 2.C【解析】由题意可得q≠1，由数列{Sn十2}是等比数列， 可得S1十2，S十2，S十2成等比数列，所以(S2+2)2= (S1+2)(S3+2),所以(6+4g)2=24(1+q十q)+12,所以g =3(q=0舍去). 3.C【解析】因为am=f(n)(n∈N°)，{am}是递增数列，所 以函数f)=/3ax-3,x≤7， la-6,x>7, f3-a>0, 为增函数需满足三个条件a>1, 解不等式组得实数 (f(7)<f(8), a的取值范围是(2,3). 4.B【解析】依题意，(b+1一1)=3(b一1)十2，所以b+1= 3bn,即{bn}是首项为2，公比为3的等比数列，bn=2X3m-1; 故选B 5.ABC【解析】对于A,Sn=an,n≥2时，an=Sm一Sm-1=an au-1,解得a-1=0,因此n∈N”,an=0,{an}是等差数列，A 正确：对于B,a1=2,an+1=2an十3，则a+1十3=2(an十3)， 而a1十3=5，{an十3}是等比数列，B正确；对于C,设等差 数列{an}的公差为d,首项是a,Sn=a1十a2十…十an,S -Sn=a+1+au+2+…+a2n=(a1十nd)+(a2十nd)+… +(an+nd)=Sn+nd,Ssn-Sin=azn+1+a2nt2++asn= (auh+d)+(a+2+d)+…+(a2n+nd)=(S2m-Sn)十 nd,因此2(Sm一Sn)=Sn+(Sn一Sm),则Sm,S2m一Sn,S3 一S2m成等差数列，C正确；对于D,若等比数列{an}的公比g =-1,则S=0,S4一S=0,S一S4=0不成等比数列，D错 误.故选ABC. 6.BCD【解析】设等差数列{an}的公差为d,由S,=S2,得7 a+24=12a1+124,解得a=-9d,因为a<0,所 2 以>0.A:由d>0,可得an+1一an=d>0所以等差数列 {am}为递增数列，故A错误；B:a1o=a1十9d=一9d十9d= 0,故B正确：C:S=na1+n"D1=-9nd+号d-受d 2 =号(r2-19m),由S,<0可得m-19m<0,所以0<n<19, 又n∈N“,所以n的最大值是18，故C正确：D:S2=2a1十d =2×(-9d)+d=-17d,S6=16a+16X15d=16× 2 (-9d+1615d=-24d,由dD0,得S>S6,故D正确. 2 故选BCD. 7.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=10,a5 2a=6.则8。十02a+0=6解得份子所以 an=2+4(n-1)=4n-2. (2)由(1)可得b.= ∫2-1，n为奇数 21一3，n为偶数’则T。= (b十b+…+b2m-1)+ (b2+b4+…+b2m)= 1+2+…叶2)+[1+5++-3]=二等+ ng2=2n-叶"号，所以T=2i-2+号 3 8.(1)【证明】由a1=1及S+1=4an+2,得a1十a2=S2=4a1 16 +2.所以a2=5,所以b=2-2a1=3.又 S.=4a1+2m≥2)，②由①-②，得a+1=4a。-4a-1(n ∫S+1=4an+2,① ≥2)，所以a+1-2an=2(an-2aa-1)(n≥2).因为bn=at1 -2an,所以b=2b-1(n≥2)，故{bn}是首项b1=3,公比为2 的等比数列. (2【解析】由（1)知6，=a1-2a.=3·21,所以2 会=是故会}是首项为合公差为是的等差数列所以 会=+0r-1D…是-30，故a=(3r-1)2. 4 第11讲数列的通项与求和 变式训练一 【解标】1a,=21（2a.=1+-1)1(2-D (2n)2 (③a,=子（10-)(4a,=V中（或V什csm或 a,=E+(-1)2 2 变式训练二 1(-2)【解析】由S=号4十号，得当m≥2时，S1 ar1十弓，两式相减，整理得a=一2a1,又当=1时， 2 S=a=号a十号，所以a=1,所以a)是首项为1，公比 为一2的等比数列，故an=(一2)”1 2.【解析】(1)由am=√S+√S-,得Snm-Sw-1=√S+ √S。-1,因为Sm>0,所以√Sn-√Sw-1=1,所以{√S}是 以√S1=1为首项，1为公差的等差数列，所以√Sm=1十(n -1)=,所以，当n≥2时，an=√S+√Sw-1=n十n-1= 21一1，当n=1时，a=1也满足上式，所以数列{an》的通项 公式为am=21-1. (2)由b+1-bn=2w-1·an=(21-1)·2w-1知：当n≥2时，bn =b+(b-b)+(b-b)+…+(bn-bm-1),=1+1×2°+ 3×21+…+(2-3)·2-2①，则2bn=2+1×2+3×22+ …十(21-3)·2w-1②，由①-②得：-b=2(21+2+…+ g)-(2m-3)·2容=2x2x2-D-(2m-3)· 2-1 21,化简得：bn=(21-5)·2-1十4(n≥2)，当n=1时，b =1也满足上式，所以数列{b}的通项公式为bm=(2一5) ·2-1+4. 变式训练三（一）】 1.【解析1)当0=1时，a=S=1-a,即a=,当n≥2 时，an=Sa-Sn-1=1-nan-1+(n-1)am-1,即(n+1)an =一1a周光号所以a。二：二· 1 an-3 a n-1 1 1 a.=十，经检验，1=1时成立，所以a,=mm十D (2)1D=(-1)(m十1)=(-1)(r+n),所以T. an -(12+1)+(22+2)一(32+3)+(42+4)一… -[(21-1)2+(21-1)]+[(2)2+2]=-12+22-32 +42-…-(21-1)2+(22)2-1+2-3+4-…-(21 1D+2m=3+7+…+(4m-1)+m=[3+(4”-1D]m+m= 2 2n2+22. 变式训练三（二） 1L1【证明由a=岩知常=合·台济以告}是 以号为首项，为公比的等比数列. (2)【解析】由(1)知{受}是首项为，公比为令的等比数 I n 列所以号=（合）”.所以=兴所以8=分+是+十 兴0则25=2十是+十2升@，①-②得号8=号 1 2 十安++叶=1，所以S=2是 1 2.【证明】D由已知a1=2a,+2,所以-2=+1.因为 a=马，所以b1=6,+1,而61-6=1，又a=1,所以 6=婴=1.所以数列(b}是首项，公差均为1的等差数列. 6=1十(m-1)·1=,即0=. (2)【解析】由(1)知an=·2-1,所以Sn=1·2”+2·2+ 3·22+…+(n-1)·2-2+n·2-1,2Sm=1·21+2·2+ …+(n-1)·2-1十1·2"，两式相减(1-2)Sm=1+(21+22 +十2-1)-1·2=122）-1·20，所以S.=(m-1) 1-2 ,2n+1. 变式训练三（三） 1.【解析】(1)当n=1时，4S1=a+2a1-3,即a-2a1-3= 0,解得a1=3或a=-1(舍去)，由4Sn=a2十2am-3,得当 1≥2时，4S。-1=a21十2am-1-3,两式相减， 得4an=a-a是1+2an-2a-1,即(an十ar-1)(an-a-1-2) =0,又au>0,所以an一am-1一2=0，即an一a-1=2(n≥2)， 所以数列{am}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以am =3+2(-1)=2+1. (2)由a=2m+1,得S=3+2+1.m=n(十2)，所以6.= 2 11 Snn+2)-2（i一n干2，所以T.=b+b十b十… 1/11 ba-1 2 1+号h)=m2② 2m+3 2.2√5丽-1【解折】由4)=2，可得4=2，解得a=, 1 则f(x)=x立.所以a.=fn+D+fm)=n干I+元 /n+I-√m,S20m9=a1十a2+a3+…+a2019=(W2-1)+(W3 -2)+(W4-5)+…+(√/2019-√/2018)+（√/2020 /2019)=/2020-1=2/505-1. 3.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d. 【法-】由已知可得0+(@+3d0+(@,+60=30. 即好 所以am=a+(n-1)d=1+(n-1)X3=31-2. 【法二】由等差数列的性质可得a1十a4十a=3a4=30,解得 a4=10,所以d=4号=1024=3，所以a=a+(m-2)d 4-2 2 =4+(-2)×3=3-2. (2)由(1)知S。=3m,”,所以S+2=3m2卫+2m= 2 2 参考答案·数学 告=，所以十2==号 1 2 2 (日人所以T=号×1-日)+号x(合吉)片 +号只)=号-) 变式训练四 【解析】(1)由题意知a1一an=2",au=(an一an-1)十(au-1 -am-2)+…+(a2-a1)+a1=21+2w-2+…+2+1= 2-12图为a-吊≥2》所以当22 1-22 时品号所以品吊二-…器= aw-1n十1'ae-2-n a24 会=言以上1个式子湘来将品·二·器·会 az a +1 以a=D查=1时a=2=分与已加a=方 1 相符，所以数列{a》的通项公式为a,=nm十D 1 (3)由a+1=2an十3得a+1+3=2(an+3).又a1=1,所以 a1十3=4.故数列{an十3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以am十3=4·2m-1=2+1,所以an=2+1一3. 1十 (0调为a1=2孕a=1.所以a≠0，所以= 合即亡分·又a=1,明日=1.所以出}是以1 an 为首项，日为公差的等差数列.所以=十(m-1DX司 an a =受+所以a,=吊N). 2 【基础训练】 1.A【解胡】因为a=2m-1+品，所以5=1+0-》 2 1 =元+1- 2.B【解析】由a=3,a5=6可得公差d=52=1,所以a 3 =4g十a-2d=+1,因北ad=0m-m7- 1 2所以商8项和为（合号）+（日-）+…十 1 (付)=名品=号故递取 3.B【解析】由题意知a,一a-1=21-3(n≥2)，则an=(an a-1)+(ag-1-au-2)+…+(a2一a)+a1=(2n-3)+(2 -5)+…+3+1=1=1D(2-2=(m-1).故选B 2 4.D【解析】由题意知a+1=an十3，所以{an}是首项为1公 差为3的等差数列，as=a1十12=13，所以S,=5(a寸a2- 35.故选D. 5.BC【解析】依题意a+1=2an+1,则au+1十1=2(an十1)，因 为a+1=20,故a+1≠0，所以2干号=2，所以数列(0 十1)是首项为2公比为2的等比数列，所以{1 {十}是首项 为行子公比为分的等比数列4十1=2X21=, an=2m-1,a=1,a2=3,a3=7,a≠a·a3,所以{an}不是 等比教列.S,=2+2+…十2°一n=21二29)-m=21-2 1-2 17 艺考一本通数学 一u.所以AD选项错误、BC选项正确.故选BC 6.C【解析]个a,=”引7≥0，解得n3或>号，当n<3 时，am≥0，故当n=1,2时，Sn递增，且S=S.当4≤n≤8 时，an<0,故当n=4,5,6,7,8时，Sn递减；当n≥9时，am> 2 1 1 0,S,递增.且a1=后，a=3a=0,a4=一9，…，a= 5,故S8<S,所以S取得最小时n的值为8.故选C. 7.480【解法一】依题意得，当n是奇数时，a+2一an=1,即数 列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数 列，a1十a十45十…十as9=30X1+30X29X1=465:当n是 2 偶数时，a+2十am=1,即数列{an}中的相邻的两个偶数项之 和均等于1，a2+a4十a6+as+…+a58十a0=(a2十a4)十 (a6十a8)十…+(a58十a0)=15.因此，该数列的前60项和 S60=465+15=480. 【解法二】因为am+2十（一1）"an=1,所以a3一a=1,a6一ag =1,a7-a5=1,…,且a4十a2=1,a6+a4=1,a8+a6=1, …,所以{a2g-1}为等差数列，且a2g-1=1十(n1)X1=n,即 a=1,a3=2,5=3,a7=4, 所以S4=a1+a2+a3+a4=1十1+2=4，S8一S4=a5+a6+ a7+a8=3+4+1=8,S12-S8=ag+a10+a11+a12=5+6+ 1=12,…,所以S=4X15+15X14×4=480. 2 8.(1)a,="1(2)4212【解析】1)设等差数列{a}的公 2 差为1，由ag十a=6,Se=45,得2a十8d=6 12a+66d=45,解得 d=号所以.=1+-1×号-(8图为a.十 a1=1 21 a=空+3=叶2，所以a=,n为奇故 2 {(2)+2,n为偶数1 故 T20=b1+b2+b3+…+b0=(b1+b3+…+b19)+ (b2+b4+…+b20) (3+5+…+21) （2+23++2n)=3+21)X10+41-2)=4212. 2 1-2 a=aa,所以 9.【解析】(1)由题意知S。10, 1(a十d2=a(a十3，解得a1=d=2,故ae=2. 110a1+45d=110, (2)由(1)可知 A=2w2可（市），则T =[(什号)+（传号）+…+(2马门 =1-)宁 1 10.【解析】1)当n=1时，S1=a=a2-3-2,则a2=7,因为 Sn=a+1-31-2,所以Sw-1=a-3(n-1)-2,(n2), 两式相减得：a+1=2a十3，(n≥2)，所以a+1十3=2 (am+3),(n≥2)，a1=2,a1+3=5,a2十3=10，则a2+3= 2(a十3)，即n=1也适合上式，所以{am十3}是以5为首 项，公比为2的等比数列，故：an十3=5×2-1，故am=5X 2n-1一3； 2n 2n (2)由(1)得bm= aa·a+1(5X20-1-3)(5X20-3) 号(x235x2=3)》: 故工.=6+6+6+…+6=号（分-7+号7+… 十xx)=导（合x)当n N时5x23>0,故T<号×日- 18 第五单元 函数、导数及其应用 第12讲函数与函数图象及性质 变式训练一 1.D【解析】由题意得240·解得x>2且≠3，所以函 1x3≠0， 数y=lg:2x-4)十的定义战为(2,3U(3,十o∞)，故 选D. 2.(0,1]【解析】由条件 1+>0,∫。1或>0， x≠0， →x≠0， →x∈(0,1. 1-x2≥0， l-1x1 3B【解折】由题意得：-2≤2x十1<3，解得：-号<<1，由 x十1≠0，解得：x≠-1，故画数的定义城是[-号，-1)U (-1,1],故选B. 变式训练二 1.x2-4【解析】设=x-2,则x=t十2，所以f(t)=(t+2)2 -4(1+2)=一4，则f(x)=x2-4.故答案为x2-4. 2号+号【解析】在f)=2f()丘-1中，用士代 替x. 将f2）=店1 将f(2)-22-1代入K=2(2)G-1中 √x 可求得)=号丘+子 变式训练三 1.C【解析】当x=1时，log1=0,若f(x)为R上的减函数， 则(3a-1)x+4a≥0在x<1时恒成立.令g(x)=(3a-1)x 3a-10f3a-1<0 +4a则必有0a,即0a1、→7<a< 1 g(1)≥03a-1+4a≥0 2.A【解析】由-x2十x十6>0得，x∈(-2,3)，所以函数f (x)=log(-x2十x十6)的定义域为(-2,3).令t=一x 十x十6，则y=log号t是单调递减函数，又t=一x2+x十6，在 (-2,2)上单洞递增，在（分，3）上单调递减，由复合函数 的单调性可得函数f(x)=log(一x2十x十6)的单调递减 区间为(-2,2)： 变式训练四 1.D【解法一】因为f(x)是偶函数，所以f(x)一f(一x)= 。气号+心】 xex 1-eatr ea-1—=0,所 以a一1=1，a=2,故选D. 【解法二】因为f)是偶函教，且f1)-f-1)=吕 号==0，所以a-1=1a=2,t选D 2B【解折】时A,设f)-千，画数定义技为R,但 -1D=2,f1)=号，则f-1D≠f1),故A 错误：对品设g)=巴，函数定义战为R.具 g(-)=os（I)t》=osE=g(x),则 (-x)2+1 x2+1 g)为祸画数，此B正确：对C.设A)=异定又技