第10讲 等差数列与等比数列-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第四单元 数列 第10讲等差数列与等比数列 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.等差数列的有关概念 4.等差数列前n项和的性质 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项 (1)数列Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,…(m∈ 与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 N*)也是等差数列，公差为md. 这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1 (2)S2m-1=(21-1)a,S2m=n(a1十a2m)=n 一an=d(n∈N*,d为常数). (an十am+1). (2)等差中项：数列a,A,b成等差数列的充 (3)当项数为偶数2n时，S偶一S奇=nd;项数 要条件是A=a,其中A叫做，6的等差 为奇数2n一1时，S奇一S偶=a中，S奇：S偶=n :(n-1). 中项 (4){an},{bn}均为等差数列且其前n项和为 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1+(n-1)d. s工…则哈- T2m- (2)前n项和公式：S。=a1+nnDd (5)若{a}是等差数列，则S也是等差数 2 n =n(a1十an) 列，其首项与{an}的首项相同，公差是{a}的 2 3.等差数列的常用性质 公差的2d, (1)通项公式的推广：an=am十(n一m)d(n,m 5.等差数列的判定与证明方法 ∈N). 方法 解读 适合题型 (2)若{an}为等差数列，且k十l=m十n(k,l, 对于数列{an},an一a-1(n≥2,1 定义法 m,n∈N*),则ak十a=am十an. ∈N)为同一常数台{an}是等差 解答题中的 数列 (3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2m}也 等差中 2am-1=a,十an-2(n≥3，n∈N") 证明问题 是等差数列，公差为2d. 项法 成立台{an}是等差数列 (4)若{am}是等差数列，公差为d,则ak, an=pn十q(p,g为常数)对任意 ak+m,a+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的 通项公 的正整数n都成立台{a.}是等 式法 等差数列. 差数列 选择、填空 题中的判 (5)若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的 验证Sn=An2十Bm(A,B是常 前n项和 定问题 等差数列，则数列{pan},{am十p},{am十 数)对任意的正整数n都成立与 公式法 qbn}都是等差数列(p,q都是常数)，且公差 {an}是等差数列 分别为pd,d,pd+qd2. ·50· 第一部分 一轮单元复习第四单元 6.等比数列的有关概念 q,可减少运算量. (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项 9.等比数列的性质 与它的前一项的比等于同一常数（不为零）， (1)通项公式的推广：a,=am·q-m(n,m∈ 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫 N*) 做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义 (2)若m十n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*), 的表达式为出=： 则am·an=ap·ag=a. (3)若数列{am},{bn}(项数相同)是等比数 (2)等比中项：如果Q,G,b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的 列，则a,a,a·,层a≠ 等比中项台→a,G,b成等比数列G=ab. 0)仍然是等比数列. 7.等比数列的有关公式 (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也 (1)通项公式：an=a1q”-1. 构成一个等比数列，即an,an+,an+2, (2)前n项和公式： an+3k,…为等比数列，公比为g na1,q=1, (5)公比不为一1的等比数列{an}的前n项和 S= a1-q）-,-a9,q≠1. 为Sn,则Sn,S2m-Sn,Sm一S2n仍成等比数 1-9 1-q 列，其公比为q. 8.运用方程的思想求解等比数列的基本量 10.等比数列的四种常用判定方法 (1)若已知n,an,Sm,先验证q=1是否成立， 若a中=q(q为非零常数，n∈N)或 若q≠1，可以通过列方程（组） an an=a1q”-1, 定义法 =q(g为非零常数且n≥2，n∈ an-1 S,=a1-g).求出关键量a和g,问题可 N),则{an}是等比数列 1-9 若数列{an}中，an≠0且a+1=an· 中项公式法 迎刃而解. an+2(n∈N),则{an}是等比数列 (2)若已知数列{an}中的两项an和am,可以 若数列{an}的通项公式可写成an=c 通项公式法 ·”-1(c,g均是不为0的常数，n∈ 利用等比数列的通项公式，得到方程组 N),则{an是等比数列 a.=a4:计算时两式相除可先求出g,然 若数列{an}的前n项和Sn=k·q一 am=agm-I 前n项和公式法 (k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是 后代入其中一式求得a1,进一步求得Sm.另 等比数列 外，还可以利用公式an=am·g-m直接求得 典例剖析用 典例变式 变式训练 题型一 等差（比）数列的基本量的计算 (2)(2025·新课标Ⅱ卷)（多选）记S为等 【例1】(1)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sm为等差 比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，g 数列{an}的前n项和，若a3十a4=7,3a2十 >0,若S3=7,a3=1,则 () a5=5,则S10= ·51· 艺考一本通数学 A.q=2 !设出首项a和公比q,然后将通项公式或前} 方程思想→ :n项和公式转化为方程（组）求解 C.S5=8 D.am十Sm=8 当所给条件只有二个时，可将已知和所求】 整体思想 结果都用，q表示，寻求两者联系，整体 【解析】(1)因为数列am为等差数列，则由 代换即可求解 a+2d+a1+3d=7 利用性质→ 运用等比数列性质，可以化繁为简、优} ：化解题过程 题意得 ,解得 3(a1+d)+a+4d=5 变式训练一 则S。=10a1+10X9d=10× 01=-4 1.(2025·新课标Ⅱ卷)记S为等差数列{am d=3 2 的前n项和，若S3=6,S=一5，则S6= (-4)十45×3=95.故答案为95. () aq2=1 A.-20 B.-15C.-10 D.-5 (2)对于A,由题意得 a+a9+ag=7结 2.(多选)记Sm为等差数列{an}的前n项和，公 (a1=4a1=9 差为d,若S,=a5十a12,a1>0,则以下结论一 合9>0，解得1或 (舍去)，故 q=29=-3 定正确的是 () A.do A正确：对于B,则a=a1g=4X(侵》'- B.S2-S5 4,故B错误；对于C,S=41一) C.a >as 1-q D.Sm取得最大值时，n=3 3.(2025·天津卷)Sn=一n2十8n,则数列{|am 1一立 ,故C错误；对于D,4,=4 31 1}的前12项和为 () A.112 B.48 C.80 D.64 4×[1-(侵门 4.(2025·北京卷)已知{am}是公差不为0的等 1- 差数列，a1=一2，若a3,a4,a6成等比数列，则 a10 2n+3,则am十Sn=23-n十一23-n=8,故D正 A.-20 B.-18C.16 D.18 确；选AD, 题型二等差、等比数列的性质的运用 【答案】(1)95(2)AD 【例2】(1)(2023·全国甲卷)记Sm为等差数 【规律方法】 列{an}的前n项和.若a2十a6=10,a4ag= (1)等差数列基本运算的解题方法 45,则S= () ①等差数列的通项公式及前项和公式，共涉 A.25 B.22 及五个量a1,am,d,n,Sm,知其中三个就能求另 C.20 D.15 外两个，体现了用方程的思想来解决问题；②数 (2)已知等差数列{an}的前n项和为S,,若 列的通项公式和前项和公式在解题中起到变 S10=1,S30=5,则S40= () 量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本 A.7 B.8 C.9 D.10 量，用它们表示已知和未知是常用方法 (3)(2023·新课标Ⅱ卷)记S,为等比数列 (2)等比数列运算的思想方法 {am}的前n项和，若S4=一5，S6=21S2,则 ·52· 第一部分一轮单元复习第四单元 S8= 【规律方法】等差数列常见性质的应用 A.120 B.85 (1)等差数列和的性质 C.-85 D.-120 在等差数列{am}中，Sn为其前n项和，则①S2m 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,首 =n(a1十a2n）=…=n(am十am+1）;②S2n-1= 项为1，依题意可得， (2n一1)am;③当项数为偶数2n时，S偶一S奇= a2十a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d= nd;项数为奇数2n一1时，S奇一S偶=a中，S奇： 5,又a4as=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得：d S偶=n：(n-1). -1,a=2,所以5=501+5X4×d=5×2 (2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ①函数法：利用等差数列前项和的函数表达 十10=20.故选C. 式Sn=an2十bm,通过配方结合图象借助求二次 (2)因为S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成 函数最值的方法求解；②邻项变号法： 等差数列，设其首项为a1,公差为d,S1。 [am≥0， 1,S30=5,2(S20-S10)=S10+(S30-S20), 当a1>0,d0时，满足 的项数m使得 am+1≤0 所以S=8.2(5-5)=(5-S)+ Sn取得最大值为Sm; (S40一S30),所以S40=8.故选B. am0, 当a1<0,d>0时，满足 的项数m使得 (3)【解法一】（基本量法）如果q=1,则S6= am+1≥0 6a1,S2=2a1与题意不符合，所以q≠1，由 Sm取得最小值为Sm· (3)等比数列常见性质的应用 S=215,得0)=2141二)，所 1-9 1-q 等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公 以1-g=(1-q2)(1+q+q)=21(1- 式的变形；②等比中项的变形；③前项和公式 q),则q十q-20=0,解得q=4.由已知 的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的 S=10）=-5,而S=a1二4) 变化特征即可找出解决问题的突破口. 1-q 1一q 变式训练二 a(1-g)(1十g)=-85.故选C. 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S1o= 1-q 10,S20=30,则S30= 【解法二】（性质法）由等比数列性质：{an}为 2.已知等差数列{am}的前n项和为Sm,若a1= 等比数列，则S,S2m-Sn,S3n-S2m…依次 成等比数列，当n=2时，S2,S4-S2,S6 2w2.且器 S0%2=1,则S203=（） 2022 S4,S8一S6成等比数列.设公比为Q,所以 A.0 B.1 S2十S4-S2十S6-S4=S2(1+Q+Q2)= C.2022 D.2023 21S2,所以1+Q+Q=21,Q=4,S2+S4 3.(2025·新课标I卷)若一个等比数列的各项 S2=(1+Q)S2=5S2=-5,所以S2=-1, 均为正数，且前4项和为4，前8项和为68， 所以S8=S2+(S4-S2)+(S6-S4)+(Sg 则该等比数列的公比为 -S6)=S2(1+Q+Q+Q)=-85,故 4.已知等比数列{an}的公比q>0,且a·a= 选C 4a2,a2=1,则a1= () 【答案】(1)C(2)B(3)C A司 号 C.√2 D.2 ·53· 艺考一本通数学 5.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和， (1)求{am}的通项公式； 若a1十a2十a3=4,a4十a5十a6=8,则S12等于 (2)求数列{am}的前n项和Tm. ( 【解析】(1)设等差数列的公差为d, A.40 B.60 C.32 D.50 a2=a1+d=11 题型三等差、等比数列的判断与证明 由题意可得 ,即 S1o=10a1+1029d=40 【例3-1】(1)(2025·新课标I卷节选)设 数列{an}满足a1=3,a中1=a, a1+d=11 n n+1 2a1+9d=8 解得a12 d=-2 n(n十1)证明：na,}为等差数列： 1 所以am=13-2(n-1)=15-2m. (2)已知数列{an}满足a1=5,a+1一2an= (2)因为S。=13+)5-2m）-=14m-m. 2 3m(n∈N*).记bn=am-3”. (i)求证：{b}是等比数列： 令a,=15-2>0,解得m<5且nEN, (i)设cn=nb,求数列{cm}的前n项和. 当n≤7时，则am>0,可得Tm=|a1|+a2 【解析】(1)由题意证明如下，n∈N*,在数 +…+|an|=a1+a2+…9+am=Sm=14n 列a中a=3.分-n十十D所 -n2;当n≥8时，则am<0,可得Tm=a +la2+…+|am=(a1+a2+…+a7) 以(+1)an+1=an+1,即(n+1)am+1-nam (a8+…+an)=S,-(Sm-S,)=2S,-Sn= =1,所以{nan}是以a1=3为首项，1为公差 2(14×7-72)-(14n-n2)=n2-14n+98; 的等差数列. 14n-n2,n≤7 (2)1由已知，a+1一2an=3”,an+1=3m+ 综上所述：Tm= n2-14n+98,n≥8 2an,bn=an-3”,b+1=a+1-3+1=3”+2an 【规律方法】 -3X3"=2am-2X3"=2(am-3")=2bm,又 (1)判断等差数列的解答题，常用定义法和等差 a1=5,b=a1一31=5-3=2，易知数列 中项法，而通项公式法和前项和公式法主要 中任意一项不为0，=2.数列 适用于选择题、填空题中的简单判断. {bn}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子 i由第(i)问，bn=2×2”-1=2”,cn=nbn= a+1一am=d和an一an-1=d,但它们的意义不 n·2m,设数列{cn}的前n项和为Sn,则Sn= 同，后者必须加上“n≥2”，否则n=1时，ao无 1×21十2×22+3×23+…+n·2m①，2Sn= 定义 1X22+2×23+3X24+…+n·2m+1②，① 证明数→定义法：证明9≥2，g为常数测 列a是 ------------2------------------ -②得，-Sn=2十22十23十24十…十2-1 等比数 !等比中项法：证明a=a1·a若判断一 列常用 !个数列不是等比数列，则只需举出反例 .2+1,-S=20-2）-·2+1=-2+ 的方法 即可，也可以用反证法 1-2 ----------------------------- 2+1-n·2n+1,Sm=2十(n-1)2+1.数列 变式训练三 {cn}的前n项和为2+(n-1)2m+1. 1.已知数列{a}中，a,=3 5am=2-1(n≥2,1 【例3-2】(2023·全国乙卷)记Sm为等差数 列{an}的前n项和，已知a2=11,S1o=40. nEN),数列b,满足6.。(n∈N) ·54· 第一部分一轮单元复习第四单元 (1)求证：数列{b}是等差数列； 2.已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Snm (2)求数列{am}中的最大项和最小项，并说明 2an=n-4. 理由. (1)证明：{Sn一n十2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tm. 随堂检测 基础训练 温故知新 1.设S,为等差数列{an}的前n项和，已知a= A.b=2X3” B.bn=2X31-1 3,S8=48,则a5= ( C.bn=2×3m+1 D.b,=2X3-1+1 A.5 B.6 C.7 D.8 5.(多选)已知数列{a,}的前n项和是Sm,则下 2.在等比数列{an}中，a1=4,公比为q,前n项 列说法正确的是 () 和为Sm,若数列{Sm十2}也是等比数列，则 A.若Sn=am,则{an}是等差数列 9= ( ) B.若a1=2,an+1=2an十3，则{an十3}是等比 A.2 B.-2 数列 C.3 D.-3 C.若{an}是等差数列，则Sm,S2n一Sn,S3n一 (3-a)x-3,x≤7， 3.函数f(x)= 若数列{an} S2n成等差数列 a-6,x>7. D.若{an}是等比数列，则Sn,S2n一Sn,S3m 满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数 S2n成等比数列 列，则实数a的取值范围是 ( 6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sm, A[副 B(是3 a1<0,S7=S12,则 () C.(2,3) D.(1,3) A.数列{an}是递减数列 4.若数列{an}满足a+1=3an十2，则称{an}为 B.a1o=0 “梦想数列”，已知正项数列{b,一1}为“梦想 C.Sn<0时，n的最大值是18 数列”，且b1=2,则bn= () D.S2>S16 ·55· 艺考一本通数学 7.已知等差数列{an}满足a3=10,a5一2a2=6. 8.设数列{an}的前n项和为Sm,已知a1=1, (1)求an; Sn+1=4an十2. 2n-1,n为奇数 (1)设bn=an+1一2an,证明：数列{bn}是等比 (2)数列{bn}满足bm= 2am-1,n为偶数 数列； (2)求数列{an}的通项公式. 为数列{b}的前n项和，求T2m. ·56·1及已知，得S=宁s血A-c,d=6+-c,所以 V3S 则1=b=sinB_sim-(号+C)] sin(3+c） c sin C sin C sin C cos C+2sin C3 sin C 一=2十2anC因为△ABC为锐角三角 0<C< 形，所以 ,解得否<C<,因为y= 0<x-苓-C< ianx在（答，受）上单调递增，所以tanC>写，所以0< 3 c号所以号<名<2，即（号2）小.国为y=叶 在(？，1)上单调逅减，在(1,2》上单调递增，所以y=1 +}e[2号).即名+台e[2,号).t∈ 3S [,9)所以心十的取值范周为[4,9)。 3S 16.(1)∠A=平(2)BC=2【解析J(1)因为an∠ABD=3 >0,所以∠ABD是能角，则os∠ABD=,sn∠ABD =3.在△ABD中，由余球定理得AD=BD十A 2·BD·AB·cos∠ABD=18,AD=32.又由正弦定理， 可得=n识DA为A. 所以∠A<∠ADB,则∠A<90°，故∠A=工.(2)在 △ABD中，由余弦定理得os∠ADB=AD十BD一AB 2AD·BD -5则sn∠BDC=m(90-∠ADB)=os∠ADB= 5 5o∠BDk=-sin ZBIX=25,在△BD中，由 余弦定理得BC=BD+DC-2·BD·DC·cOs∠BDC =10+2-2X/10X2×25=4,解得BC=2. 5 第四单元数列 第10讲等差数列与等比数列 变式训练一 1.B【解析】设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 13a1+3d=6 a+10d-5>仁53，所以s=6a+15d=6X5 15×(-3)=一15.故选B. 2.AB【解析】由S=a5+a2,得9a1+36d=a1+4d+a1+ 1d,即a=-3d,又a>0,所以d=-子a<0,选项A正 骑：由S=2a+d=2a-3a=号a:S=51+10d=5a 105 3a=3a1,得S2=S,选项B正确；由a=a1十8d=a 号a=-号a:得a=号a又a>0,所以a1=a< 8 参考答案·数学 1a=号a1,选项C错误；a,=a十(m-1)d=a1十(m-1)· (-号)m=(-3什号)a,令a,<0,得-子+号<0， 解得n>4,又n∈N",所以n≥5，即数列{an}满足：当≤4 时，an>0,当n≥5时，an<0,所以Sn取得最大值时，n=4, 选项D错误.故选AB. 3.C【解析】因为Sm=一2十8，所以当n=1时，a1=S= -12+8X1=7,当n≥2时，an=S-S-1=(-n2+8n)- [-(1-1)2+8(-1)]=-21+9,经检验，a1=7满足上 式，所以an=-2+9(n∈N),令an=-21十9≥0→n≤4， an=一2n十90→n≥5，设数列{lam|)的前n项和为T,则数 列{am})的前4项和为T4=S4=一42十8×4=16.数列 {an}的前12项和为T2m=a+a十…十|a12=a1十 a2+a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12=2X16-(-122 +8×12)=80.故选C. 4.C【解析】设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)，因为ag,a4, a6成等比数列，且a=一2，所以a=a3a6,即(-2十3d)2= (-2+2d)(-2+5d0,解得d=2或d=0(舍去)，所以a1o= a1+9d=-2+9×2=16.故选C. 变式训练二 1.60【解析】由题意知，S10,S一S10,S0一S成等差数列. 则2(Sw-S10)=S10+(S30-S20),即40=10+(S0-30), 解得So=60. 2.A【解析】设等差数列的公差为d,则S。=a十u")Dd, 2 会=a+”学：因为常一是-名4.所以（各是学短数 列：周为器一器=1.片以5=-202+(2023-1DX1 =0,所以S023=0;故选A. 3.2【解析】设该等比数列为{an},Sn是其前n项和，则S:= 4,S8=68,设{an}的公比为q(q>0),当q=1时，S4=4a1= 4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68，显然不成立，舍去：当q≠1 时，则S=@1二2=4，S=40二2=68， 1-q 1一q 两式相降得号-学中1心=17，期1十 1-g 17,所以g=2,所以该等比数列公比为2.故答案为2. 4.B【解析】a5·a=a=4a,公比q>0,所以a6=2a4,则 ==2所以g=区，又a=1.所以a=-号，故 a 选B. 5.B【解析】S12=(a1十a2十a3)+(a4+a5+a6)+(a+as+ a9)+(a10+a1+a12)=4+8+16+32=60. 变式训练三 1.【解桥】1因为a=2-(m≥2，n∈N).6=n an-】 ∈N.所以1-6=aa(2-士）- 1 aa品=1又6=a-号所以长列 1 么是以-号为首项1为公差的等差数列。 2)由1知么=m一子，则a.=1十2=1十27设f) 2 =1+227则)在区间(-0，受)和（受十）上为 减函数.所以当n=3时，an取得最小值一1，当n=4时，am取 得最大值3. 2.【解析】(1)证明：由题意知S一2(Sn一S-1)=n一4(1≥2)， 即S。=2S-1一n+4,所以S.-n+2=2[S-1-(n-1)+ 2],又易知a1=3,所以S1-1十2=4，所以{Sm一n十2}是首 15 艺考一本通数学 项为4，公比为2的等比数列.(2)由(1)知S。一n十2=2+1， 所以Sn=2+1+1-2,于是Tm=(22+23+…+2+1)+(1+ 2+…+n）-2,=4-2）+D-2n 1-2 2 =20+3十n2-31-8 【基础训练】 1.心【得行】南巴知可择，品十2g解可得日=2 所以am=-1+(n-1)×2=21-3,所以a5=2×5-3=7, 故选C 2.C【解析】由题意可得q≠1，由数列{Sn十2}是等比数列， 可得S1十2，S十2，S十2成等比数列，所以(S2+2)2= (S1+2)(S3+2),所以(6+4g)2=24(1+q十q)+12,所以g =3(q=0舍去). 3.C【解析】因为am=f(n)(n∈N°)，{am}是递增数列，所 以函数f)=/3ax-3,x≤7， la-6,x>7, f3-a>0, 为增函数需满足三个条件a>1, 解不等式组得实数 (f(7)<f(8), a的取值范围是(2,3). 4.B【解析】依题意，(b+1一1)=3(b一1)十2，所以b+1= 3bn,即{bn}是首项为2，公比为3的等比数列，bn=2X3m-1; 故选B 5.ABC【解析】对于A,Sn=an,n≥2时，an=Sm一Sm-1=an au-1,解得a-1=0,因此n∈N”,an=0,{an}是等差数列，A 正确：对于B,a1=2,an+1=2an十3，则a+1十3=2(an十3)， 而a1十3=5，{an十3}是等比数列，B正确；对于C,设等差 数列{an}的公差为d,首项是a,Sn=a1十a2十…十an,S -Sn=a+1+au+2+…+a2n=(a1十nd)+(a2十nd)+… +(an+nd)=Sn+nd,Ssn-Sin=azn+1+a2nt2++asn= (auh+d)+(a+2+d)+…+(a2n+nd)=(S2m-Sn)十 nd,因此2(Sm一Sn)=Sn+(Sn一Sm),则Sm,S2m一Sn,S3 一S2m成等差数列，C正确；对于D,若等比数列{an}的公比g =-1,则S=0,S4一S=0,S一S4=0不成等比数列，D错 误.故选ABC. 6.BCD【解析】设等差数列{an}的公差为d,由S,=S2,得7 a+24=12a1+124,解得a=-9d,因为a<0,所 2 以>0.A:由d>0,可得an+1一an=d>0所以等差数列 {am}为递增数列，故A错误；B:a1o=a1十9d=一9d十9d= 0,故B正确：C:S=na1+n"D1=-9nd+号d-受d 2 =号(r2-19m),由S,<0可得m-19m<0,所以0<n<19, 又n∈N“,所以n的最大值是18，故C正确：D:S2=2a1十d =2×(-9d)+d=-17d,S6=16a+16X15d=16× 2 (-9d+1615d=-24d,由dD0,得S>S6,故D正确. 2 故选BCD. 7.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=10,a5 2a=6.则8。十02a+0=6解得份子所以 an=2+4(n-1)=4n-2. (2)由(1)可得b.= ∫2-1，n为奇数 21一3，n为偶数’则T。= (b十b+…+b2m-1)+ (b2+b4+…+b2m)= 1+2+…叶2)+[1+5++-3]=二等+ ng2=2n-叶"号，所以T=2i-2+号 3 8.(1)【证明】由a1=1及S+1=4an+2,得a1十a2=S2=4a1 16 +2.所以a2=5,所以b=2-2a1=3.又 S.=4a1+2m≥2)，②由①-②，得a+1=4a。-4a-1(n ∫S+1=4an+2,① ≥2)，所以a+1-2an=2(an-2aa-1)(n≥2).因为bn=at1 -2an,所以b=2b-1(n≥2)，故{bn}是首项b1=3,公比为2 的等比数列. (2【解析】由（1)知6，=a1-2a.=3·21,所以2 会=是故会}是首项为合公差为是的等差数列所以 会=+0r-1D…是-30，故a=(3r-1)2. 4 第11讲数列的通项与求和 变式训练一 【解标】1a,=21（2a.=1+-1)1(2-D (2n)2 (③a,=子（10-)(4a,=V中（或V什csm或 a,=E+(-1)2 2 变式训练二 1(-2)【解析】由S=号4十号，得当m≥2时，S1 ar1十弓，两式相减，整理得a=一2a1,又当=1时， 2 S=a=号a十号，所以a=1,所以a)是首项为1，公比 为一2的等比数列，故an=(一2)”1 2.【解析】(1)由am=√S+√S-,得Snm-Sw-1=√S+ √S。-1,因为Sm>0,所以√Sn-√Sw-1=1,所以{√S}是 以√S1=1为首项，1为公差的等差数列，所以√Sm=1十(n -1)=,所以，当n≥2时，an=√S+√Sw-1=n十n-1= 21一1，当n=1时，a=1也满足上式，所以数列{an》的通项 公式为am=21-1. (2)由b+1-bn=2w-1·an=(21-1)·2w-1知：当n≥2时，bn =b+(b-b)+(b-b)+…+(bn-bm-1),=1+1×2°+ 3×21+…+(2-3)·2-2①，则2bn=2+1×2+3×22+ …十(21-3)·2w-1②，由①-②得：-b=2(21+2+…+ g)-(2m-3)·2容=2x2x2-D-(2m-3)· 2-1 21,化简得：bn=(21-5)·2-1十4(n≥2)，当n=1时，b =1也满足上式，所以数列{b}的通项公式为bm=(2一5) ·2-1+4. 变式训练三（一）】 1.【解析1)当0=1时，a=S=1-a,即a=,当n≥2 时，an=Sa-Sn-1=1-nan-1+(n-1)am-1,即(n+1)an =一1a周光号所以a。二：二· 1 an-3 a n-1 1 1 a.=十，经检验，1=1时成立，所以a,=mm十D (2)1D=(-1)(m十1)=(-1)(r+n),所以T. an -(12+1)+(22+2)一(32+3)+(42+4)一… -[(21-1)2+(21-1)]+[(2)2+2]=-12+22-32 +42-…-(21-1)2+(22)2-1+2-3+4-…-(21 1D+2m=3+7+…+(4m-1)+m=[3+(4”-1D]m+m= 2 2n2+22.