第8讲 两角和与差的正弦，余弦与正切-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第8讲 两角和与差的正弦、余弦与正切 自主预习● 知识梳理 道夯实基础 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos2a). (1)sin(a±3)=sinacos3±cosasinB; 3.公式逆用 (2)cos(a±3)=cosacos3年sinasin3; (1)sin(f±a)=cos(F干a): (3)tan(a士β)= tana士tan3 l千tanatan3 (2)sim(3±a)=cos(干a): 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2a=2sinacosa; (3)sim(±a)=cos(3干a片 (2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1- 4.辅助角公式 2sin a; asina bcosa √a2+bsin(&+9) (3)tan2a= 2tana 1-tan'a (其中amg2》, 【常用结论】 特别的 1.公式Ta士的变形 (1)tana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB); sina士coa=V2sin(a士T): (2)tana-tanB=tan(a-B)(1+tanatanB). 2.公式C2.的变形 sina士5cosw=2sin(a±号）： (1in(0:(co 2(1+ V3sina士cosa-2sina士否）： 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 三角函数的化简与求值 (3)(2024·新课标I卷)已知cos(a十3)= 【例1-1】(1)(2025·新课标Ⅱ卷)已知0<a< m,tan atan B-2,cos(a-B)=() A.-3m &一得 A器 B号 c罗 D.3m (4)(2022·新课标I卷)若sin(a+3)十 C3② 10 D.23 10 cos(a十B)=22cos(a+平)sinB,则() (2)计算 sinl10°sin20° cos155°-sin155的值为( A.tan(a-B)=1 B.tan(a+)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(aB)=-1 A- B.z D.- 2 ·40· 第一部分一轮单元复习第三单元 【解析】(1)0sa=2cos号-1=2X 5 R司 c-司 -1=一号，因为0<a<,则受<<，则 (2)tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°= sina=√1-cos2a= (3)(2025·北京卷)已知a,3∈[0,2π]，且 sin(a十B)=sin(a-B),cos(a+B)≠cos(a sina-f）=nc 4 -cos asin 一5 B),写出满足条件的一组a= ,B= 号-（-》×竖-7语逸D 【解析】(1)因为sin(a-3)=sin acos B- (2) sinl10°sin20° sin70°sin20° cos asin B-- ，而cosasin=言，国此sin cos2155°-sin155 c0s310° 1 -cos20'sin20sin40 acos -2 1 cos50° sin40°= ,故选B 则sin(a+g)=sin acos计cos asin=号， (3)由tan atan=2,可得sinasin且。=2，即 所以cos(2a+23)=cos2(a+3)=1-2sin cos a cos B sin asin B=2 cos acos.因为cos(a+B)= (a+)=1-2×(号}'=故选B m,所以cos acos B--sin asin B=m,所以cos (2)由tan(20°+40°)= tan20°+tan40° acos B-2cos acos B=m,Ep cos acos B=- =√5， 1-tan20°tan40 m,从而sin asin3B=一2m,故cos(a-3)= 得tan20°+tan40°=√5(1-tan20°tan40°)， 3m,故选A. 所以原式=√3(1-tan20°tan40°)+√3tan20° (4)由已知得sin acos B+cos asin B+ tan40°=√5. cos a.cos B-sin asin B=2(cos a-sin a) sin B,E sin acos B-cos asin B+cos acos B (3)因为sin(a+B)=sin(a-B),cos(a+B) +sin asin B=0,Ep sin(a-B)+cos(a-B)= ≠cos(a一B),所以a十B,a一B的终边关于y 0,所以tan(a-)=一1，故选C. 轴对称，且不与y轴重合，故a十B十a一B=π 【答案】(1)D(2)B(3)A(4)C +2km,k∈Z且a十B≠5+m,l∈乙，即a= 【规律方法】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 受十kπ，k∈乙，故取a=受，9-晋可满足题设 一看角}通过看角之间的差别与联系，把角进行 合理地拆分：从而正确使用公式 要求；故答案为受：晋（答案不唯一） 看 二看看函数名称之间的差异，从而确定使用 函数名称的公式，常见的有“切化弦” 【答案】(1)B(2)V3(3) 晋（答案不 三看 分析结构特征找到变形的方向，常见 唯一) 的有“遇到分式要通分”“整式因式分 结构特征 ￥三次式配方等 【规律方法】三角函数求值的三种情况 (2)三角函数式化简的方法 (1)“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升 角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系， 幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升 结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角 角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式 的三角函数求解 时，一般需要升次， (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的 【例1-2】(1)(2023·新课标I卷)已知sin 值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 (a-)=},cos asin月=日，则cos “变角”，使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先 (2a+23)=(). 求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 ·41· 艺考一本通数学 变式训练一 1.化简并求值. -9m2x-os2x=如2x一君》 √3tan12°-3 (1)4co912-2)sin12 所以f)的最小正周期T-受=元 (2)由(10知fx)=2sn(2z-晋)： 因为一骨≤≤至，所以一<2x一晋≤骨， (2)os40°+sin50(1+,3tan109). sin70°√1+cos40° 所以当2x-晋=-受，即x=一君时，f() 有最小值，且f(-晋）--2，当2x-看 (3)B-4sin20°+8sim20 牙，即x=时，f(x)有最大值，且f) 2sin20°sin480°-； 所以f)在区间[吾，]上的最大位 为厚成小值为立 1 【规律方法】三角恒等变换在三角函数图象和性 (4) 3 c0s280°cos210 c0s20, 质中的应用 解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把 函数表达式变为正弦型函数y=Asin(wx十o) 十t或余弦型函数y=Acos(wx十o)十t的形式， 2.(多选)下列式子正确的是 再利用三角函数的图象与性质求解. Asm15cos15r-号 变式训练二 已知函数f(x)=√3 sinxcosx-+cos2x. &w吾-os吾-9 (1)求函数f(x)的最小正周期； C.sin15°-6-2 (2②)若-吾<a<0,fa)-哥求sin2a的值. 4 D.tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，3 为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B-= √2+1，则sin(a+B)= 题型三三角变换的简单应用 题型二三角恒等变换的综合应用 【例2】已知函数f(x)-sinx-sin(-晋 【例8】已知sin aco。5.a∈o,引， x∈R. sin(）号（任》 (1)求f(x)的最小正周期； (1)求sin2a和tan2a的值； (2)求f()在区间[一晋，至]上的最大值和 (2)求cos(a-23)的值. 最小值. ,可得 【解析】(1)由sina+cosa=35】 【解析】(1)由已知得 (sna+casa)P-号，即1十2ineo0sa- 9 f)-1-o2x1-cos(2x-) 2 2 所以sin2a= 又a∈(0，，所以2a∈ =(分o2x+ 2sin2x-号 3 (0,,所以cos2a=1-sin2a-号， ·42· 第一部分一轮单元复习第三单元 所以tan2a= sin 2a4 cos 2a 3 22×× (2)因为∈（年，引，所以B∈(0，）： 4 4 【答案】(1)sin2a=5,tan2a=3 又ng》=是所以co(B) (2)- 41W5 125 1-s㎡(B-)-手，所以sm2(g) 变式训练三 2 incos）2×g×考结又 已知os(后+a)cos(假-a)--},a∈ sin2(B开）=-c0s28,所以cos23 ()求： (1)sin2a; 2经所以sn2g1一o明 (2)tana tana 名又sa-1十受=号又e∈0，》 所以c0sa= 25,所以sina=V1-cosa 5 9,所以cos(a-2B)=cos acos2,B+sin asin 随堂检测 基础训练 温故知新 1.已知sin2a= 则cas(e+) 7.已知tan(a+)=2，则 2sing 3sina+cosa A后 号 c 8.已知3sinx+4cosx=Asin(x+0)对于Hx∈ 2.c0s70°-cos20 R恒成立，则sin20= () cos 65 25 3.已知锐角a,3满足c0a-25,sim(。一) A是 A岩 c是 n器 9.某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公 号，则sim8的值为 ( 式：①sin30=3sin0-4sin30;②cos30=4 cos30一3cos0.根据以上研究结论，研究以下 A.25 B写 c n 问题. (1)在①和②中任选一个进行证明； 4.若tan(a+80°)=4sin420°，则tan(a+20°)的 值为 (2)当≠k元十牙(k∈Z)时，尝试用tan0表示 A-写 c n9 tan 30; (3)求值：sin1098°. 5.已知cosa-cosg=号 3，six—si3>，贝0 cos(B-a)- ( ) A一号 R易 n岩 6.（多选)若tana十tanB-3-√3 tan atan B,则 a十B的值可能为 A.号 B晋 C. ·43·≥2k+8,k∈z 号 当k=0时，号<<号 9.B【解析】f(x)=3sin2x+2cos2x+3=√5sim2x+ cos2x+4=2sim(2a+否）+4，因为0≤x≤受时，否≤2x 十吾<径，所以，当2x十吾-语时，函数fx)取得最小 值，即f(x)m=2sin25+4=2×(-2)+4=3.故选B 10.BD【解析】设∈Z,对于y=sim(2x-号)，由2z+号- x得x=吾十经对于A,由2x十吾=饭得x=音十 经：对于B,由2x十吾=登+m得x=晋+受：对于C,由 2x吾=受十饭得x登+经：对于D,由上一吾-经得 =吾十经：则B和D的函数与题设函数有完全相同的对 称中心. 1.C【解析】根据函数因象，可得子=寺-了=1，可得 T=2,所以w亭=经=x,可得fx)=(十g,又了 )的图象过点（号0）小，且<受，所以受十9=0，解得 9=-牙，所以f(x)=sin(元x-号)，令f()=0,则x 吾=领，k∈乙，可得x=弓+，令-号十6<解得-元 子<<元一子根据k∈乙可得长的取位分别为一3 -2,-1,0,1,2,所以y=f(x)在区间(-x,π)上的零点个 数为6.故选C. 12.BD【解析】由题意知fx)=osin(x一吾）=号 血msx-古oex-9血2x-寸6as2x-}-名 1 sm(2x-吾）-子，所以y=(x+g) 2n(2x+29一晋）一子，又函数y=fx十p)为偏函数， 所以29吾=kx+受k∈乙，即9-经十子，k长Z,所以当 k=0时，g=吾；当k=5时，g1故选BD. 13.A【解析】因为f(x)=sin2x十acos2x= √+asin(2x十g)(其中tan9=a),因为直线x=否是 函数f(x)的对称轴，所以有2·否十9=x十受(k∈Z), 所以g-x+吾∈刀，所以a=amg=号g(0=-号 3 如2-w2x=-2g(2x吾）g(0)=-2 3 o(各一吾)=-2片以)关于立线吾对称， 故A正确，B特误g受)=2c0s(女吾)=1，所以 g()不关于直线x=受对称，也不关于点（受，0）对称，故 C,D错误.故选A. 参考答案·数学 14.【解析11)因为f()=sin(2x-吾)+2cosx-1-写 2 sin 2x- 2os2x十c0s2z=sin(2x+否)，所以f(x)的最 小正周期为T=受=元 (2)因为f)=sin(2红+吾)，由2kx-受≤2x+吾≤2kx +受，k∈么得x吾≤≤m十吾，k∈Z,所以f(x)的 单调增区间是[x子，km十音](k∈： (3)因为x∈[0，m],2x+吾∈[，2m+吾]，f(x)∈ [宁，1]，所以受<2m+吾<警，所以晋≤m≤子，故实数 m的取值范国为吾≤m≤子 第8讲 两角和与差的正弦、余弦与正切 【典例变式】 变式训练一 1)-43(22(3)25 (4)32 【解析】(1)原式= 3tan12°-3 3sim12°-3cos12° 2cos24°sin12-2cos24°sin12cos12 3sin12°-3cos12 23sin12°-6cos12° cos24°sin24 sin 48 45(2sin12-5。 cos12° -4V5sim48°=-45. sin 48 sin48° os40°+sin50(1+5n10 (2)原式 cos 105 √2sin70°cos20° cos10cos40°+sin50°(cos10°+√5sin10) √2sin70°cos20°cos10 cos10°cos40°+2sin50°(cos60°cos10°+sin60sin10°) /2sin70°cos20°cos10 cos10°cos40°+2sin50cos50 =cos10cos40°+sin100 √2sin70cos20cos10 √2sin70cos20°cos10 cos10°cos40°+sin80 cos40°+1 √/2sin70°cos20°cos10 √2sin70°cos20 2 cos220 =√2. V2cos20°cos20 (3)原式 3-4sin20°(1-2sim20°) 2sin20°sin480 5-4sin20°cos40 W5-4sin20°cos40 2sin20°sin480 2sin20sin480° 2sin(20°+40°)-4sin20°cos40° 2sin(40°-20°) 2sin20°sin480 2sin20°sin480 23 sin480°sin120 3 (4)原式=（os10-5os80)(os10+/3os80）.1 cos 80'cos 10 c0s20° 4(cos60cos10°-sin60°sin10°)(cos60cos10°+sin60°sin10°) c0s280cos2109 =4c0s50°c0s70 4sin40°sin20° 00s20 c0s280°c0s2101 ·c0s20=sim10"c0s10c0s20 32sin20°cos20 =32 sin20cos20° 2.ACD【解析】时于A,易知m15rc0s15=2×2sin15 11 艺考一本通数学 c0s15”=7n30=子，即A正确：对于B,显然im景 四景=一0s号=号，可得B特英：对子C,易知6m15 =sn(45°-30)=sin45cos30-ms45'sn30-号×9 号×号-后2，片以C正确：对于D易知m5 4 m12r+38)=需器=1，翠可释m12+ tam33°=1-tan12°tan33°，即tan12°+tan33°+tan12° tan33°=1，即D正确.故选ACD. 3.-22 3 【解析】由题态得ma十》=巴昌- 1-(W2+1) =-2V2,因为&∈(2kx,2kx+罗)，B∈ (8mx十，2mx+受），k,m∈五，则a十月∈ (2m+2k)x+x,(2m十2k)x+2x),k,m∈Z,又因为 tan(a十B)=-2√2<0，则a+B∈ (c2m+2k)x+要，(2m+2)x+2x),k,m∈Z,则 sin(a十9》<0，则Ca士=-2厄，联立sim2(a十+ cos (a+B) os(a十8》=1.解得m(a十9)=29.故答家为-2号 3 变式训练二 【解析】（1因为高教)=厅nx0sx十cos号n2 +1+2=sin(2x十晋)+合，所以画教f代)的最小正 2 周期为受=元 (2)若-吾<a<0,则2a+晋∈(-晋，吾)，所以fa) sin(2a+吾)+号=音，所以sn(2a+吾）=子，所以2a十 吾∈(0，否)，所以cos(2a+若)=√1-sim(2a+答） 2,所以sin2a=sim[(2a+吾）-晋]=sn(2a+吾）o 3 吾-os(2a+吾）m吾=}×号-22×是 -5-22 6 变式训练三 【解析】(1)os(否+a)os(-a）=os(否+a）· sin(g+a)=zsim(2a+号)=-，即sin(2a+号） 7.又因为a∈(g,受），故2a十号∈(x,弩)，从而cos (2a+吾）=-号，所以sn2a=sin[(2a+吾）-吾]=sm (2a+晋)ms背-ca(2a+晋)sn吾=-×号+9× 9安 (2)国为a∈（号，受），所以2a∈（写x,则由(1）知os2a =，所以amw 1-sing cosg-sin'a cos'a tana cosa sina sinacosa 12 -2cos2a=-2X- 2 =2√3. sin2a 2 【另解】由(1)知2a+号-吾，所以a-受所以aw am2a-1=-2=23. tang tan2a 【基础训练】 1.A【解析】因为co2(a+至)= +cos2(a+） 2 十602+号g,3日，故选A 2 2 2.一√2【解析】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公 式，可得.0s70°0s20°=90s(90°-20)0s20 c0s65 0s65 sin20°-cos20° sin20°-cos20° cos(45+20)-c0s45c0s20°-sm45sin20=-V2.故 答案为一√2. 3A【解析】因为。是锐角，9是锐角，co=25 5 ,sin(a-B) =一号所以su得osa-0=青所以ng=sma am]=5×专5×(-是）-25选A 4.D【解析】由tan(a+80°)=4sin420°=4sin60°=2√3，得 a+2=ma+wn-0门=平离 =2B=5=5,故选D. 1+25X5 7 元B【解析】由cosa-cs月=号得，(cosa一cosB2= (号）月，即cas。一20sg计cosg号①，由sin。-如月 -号，sin atin=(停）}，即sr。-2s血9叶 simg子②，①+②得，osa十sina十cos28+sin-2 (cos acos B+sin asin B) 1 十，即2 2 (o9计snsn月》=器则2-2ms(ga)=器·解 得cos(g-a)=易故选B 6AC【解折由题意得am(a十》=巴品-尽.所以 a十吾十kmkC),所以a+日的值可能为受，一系故 选AC. 元号【解折】由m(+子)=2，得品=2，得aw= 2sina 2tana 2x生 1 子，所eeo3u十13X+7 &B【解析】因为3sinx十4msx=5(号snx+吉oms)= 5sin(x+0>,其中c0s0=号，sin0=寺，所以s20= 2sns0=2X号×号-装放选B 5 9.(1)证明见解析(2)tan30=3tan)-tam0 1-3tan20 3)6-1 【解析】(1)若选①，证明如下：sin30=sin(20+0)=sin2cos0 +cos 20sin 0=2sin 0 cos20+(1-2 sin20)sin 0=2sin 0 (1-sin20)+(1-2 sin20)sin 0=3sin 0-4 sin0. 若选②，证明如下：c0s30=cos(20+0)=c0s20cos0-sin20 sin 0=(2 cos20-1)cos 0-2 sin20 cos 0=2 cos0-cos 0-2 (1-cos 0)cos 0=4 cos0-3cos 0. (2)当0≠kx+受(k∈Z)时，tan30=sn32 c0s30 3sin 0-4 sin0 3sin 0(sin20+cos 0)-4 sin0 4 cos0-3cos 0 4 cos0-3cos 0(sin0cos20) 3sin 0 cos20-sin0 3sin 0 cos 0-sin0 c0s30 3tan o-tan'0 cos30-3cos 0 sin20 cos0-3cos 0 sin20 1-3 tan0 c0s°0 (3)由题，sin1098°=sin18°，因为90°=2×18°+3×18°，则 cos54°=sin36°，所以由公式②及正弦的二倍角公式得4 c0s318°-3cos18°=2sin18°cos18°，又因为cos18>0,所 以4cos218°一3=2sim18°，所以4(1-sin218°)-3=2sin 18°，整理得4sim218+2sin18°-1=0解得sin18°=-5- 或二5，又in18>0,所以sn18°=5-1 4 第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形 【典例变式】 变式训练一 1.A 【解析】由题意得cosA=AB+AC-BC 2AB·AC 6)2+(1+-3)2-2=2 2×√/6×(1+√/3) ,又0∠A<180,所以A= 45°.故选A. 2.【解析】(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b=a2+ 2-2acsB,即25=4r+9r-2X2X3×6,解得1=2 (负舍)：则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，所以sinB=√1一cosB √()-语弄机据正酸宠理得A=品B即 益透解得血A= 4 4 16 (8)因为cosB=最>0，且BE(0,x),所以B∈(0，受).由 (2知mB=语因为a<6,则A<B,所以aA √1-(9)=，则sm2A=2 sin AcosA=2x×是 3 4 3gI.cos 2A-2 c0A-1=2x)1c0s 3V7 1 (B-2A)-mss2A十saBn2A=言×是+票× 37_57 864 3.BD【解析】由正弦定理得2 casin B-√3a2=√3(c2-b), 所以5(a2-B)=sinB,即5cosB=sinB因为B∈ 2ac (0,受，所以anB=B,B=晋，故B对，A错：又名= 1 sin A sin(c+s） sin Cos C 3 sin C sin C sin C 2品c+日在 参考答案·数学 锐角△ABC 中，B= 所以 {0<C<号x,0<-C<x所以吾<C<受mC> 号k品c7c(仔2)选m 1 4.【解析】(1)因为A十B=3C,所以x-C=3C,即C=平，又 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C),2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=3cos Asin C,所以sinA=3cosA,即tanA=3,所以0<A<受， 所以sinA=3=30 /1010 (2)由(1)知，osA=1 10,由sinB=sin(A+C)= ./10 sin Acos C+co Asin C=-号(3厘+①)=25，由正弦 2 10 10 6 5×2⑤ 定理，sC一sB,可得6 5 =2而，所以号AB h=号AB.AC·sinA,所以h=6sinA=2V而×3厘 10 =6. 变式训练二 1.B【解析】由sinB=2 sin Asin C及正弦定理，得=2ac ①，又B=乏，所以d十2=②，联立①②解得a=c=6, 所以S△x=XX5=3,故选B 2【解析】(1)因为d2=B+c2-2 bccos A,所以+c2一Q= Cos A 2 bccos A=2bc=2,解得：bc=1. COs A (2)acos Bbcos Absin Acos B-sin Bcos A sin B acos B++bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C _sin (A-B) sin B 1（A+B)一smAB万=2Bh5=1 sin (A+B) 形可得：sin(A-B)-sin(A+B)=sinB,即-2 cos Asin B=nB,而0<snB1,所以osA=-子又0<A< 所以smA=号，故△ABC的面积为S△e=子红smA=号 1 1 ×1×9-9 变式训练三 ABD【解析】在△ABC中，若A>B,则a>b,2 Rsin A> 2 Rsin B,即sinA>sinB,A正确；由A为锐角可得，cosA= +C2-c>0,即F+c2-Q2>0恒成立，B正确：若sin2A 2bc =sin2B,则2A=2B或2A十2B=π，△ABC为等腰三角形 或直角三角形，C错误；锐角△ABC中，A十B>受，所以受 >A>受-B>0,所以sinA>sin(受-B)=cosB,同理 sinB>cosA,所以sinA+sinB>cosA+cosB,D正确 变式训练四 1.2√3-1【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BD= BC+CD-2BC,CD·os∠BCD=1+4-2X1X2X} =4,则BD=2.在△ABD中，∠BAD=180°-30°-45° 1o5n105=m(46+60）-号×号+号×号-4， 4 13