第6讲 任意角、弧度制与任意角的三角函数-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 =0,得k=2,B正确；若(a)>(b2,有1+>(2-k)2+ 9,解得b>3,C正确；当k=一1时，a与b平行，夹角不是锐 角，D错误.故选BC 16.AC【解析】若a∥b,则2-m=3m,解得m=2,故选项A 正确；若a⊥b,则m(2-m)十3=0，解得m=-1或m=3, 故选项B错误；由题得2a十b=(4一m,7),故2a+b= √72+(4-m)≥7，当且仅当m=4时取得最小值，故选 项C正确；当m=0时，a·b>0,a与b的夹角不为钝角，故 选项D错误.故选AC. 第三单元三角函数与解三角形 第6讲任意角、弧度制与任意角的三角函数 【典例变式】 变式训练一 l.B【解析】因为，点P(tana,cosa)在第三象限，所以tana<O, cosa<0,所以a为第二象限角，故选B. 2.A【解析】因为sin2>0,cos3<0,tan4>0, 所以sin2·cos3·tan4<0. 变式训练二 1.B【解析】由题意得，点P到原点的距离r=√64m+9, 所以c0Sa= √64m2+9 一青，所以m>0,所以 4m2 云，即m=之故选B 2.aa=2kx-吾或a-2x+ξ，k∈Z或aa=x晋k∈☑ 3 【解析】因为直线y=一x的倾斜角是牙，所以终边落在 直线y=一√3x上的角的取值集合为{aa=2kx-文或a= 2kx+牙，k∈Z或{aa=k如-号，k∈Z. 3.A【解析】根据角a的终边过P(3,4),利用三角函数的定 +29 义，得aw=专，所以有t十2c-a当-了 3 -1 sina cose tana =10.故选A 变式训练三 B【解析】如图，连接OC,因为C是AB的中点，所以OC ⊥AB,又CD⊥AB,所以O,C,D三 ,点共线，即OD=OA=OB=2,又 A ∠AOB=60°，所以AB=OA=OB= 2,则OC=5,故CD=2-5,所以s =AB+CD=2+2=B) OA 2 11一45.故选B. 变式训练四 1.B【解析】因为x∈（-受，0)，所以sinx=-√-os =一子，所以av-=-是故选B cosT 2.D【解析】由am0十品0=3可得08+号=3，即 血09-3，所以 cos asin 0 2sin 20 3,可得sn20=号所以 cos2(0+)= +s(2+）-12-1 2 2 8 合，故选D 3.【解析】(1)sin0、cos0是关于x的方程x2-a.x+a=0 (a∈R)的两个根，△=a2一4a≥0，解得a≥4或a0,则sin 0+cos 0=a,sin Ocos 0=a,sin20cos0=(sin 0cos 0)2- 2sin0cos0=a2-2a=1,解得a=1一√J2或a=1+/2(舍)，故 a=1-√/2. (2) 1-c0s20 sin 0+cos 0 sin0 sin 0-cos 0 1-tan0 sin 0-cos 0 (sin 0+cos 0)cos20 sin20 cos 0 sin 0-cos 0 sin 0-cos sin 0-cos 0 <sin 0-cos 0)(sin 0cos 0-sin 0+cos 0-a=1-/. sin -cos 变式训练五 1.C【解析】tan390°=tan(360°+30)=tan30°=5 3 2.B【解析】角a的终边经过点P(3,4),根据三角函数的定 义得到m=言，c0e=合所以血(。20） sn(。-2012+201）=-sm(a+受）=-cow= 2 是故选B 3.-2+⑤ 【解析】cos(+a)-sin2(。吾)= cos[x-(g-a]-sim(g-a）=-cos(5-a） sin(若-a）=cos2(若-a）-cos(-a）-1= 2+3 3 【基础训练】 l.C【解析】由sin atan a<0可知sina,tana异号，从而可判 断角a为第二或第三象限角.由0<0可知cos,tana异 tang 号，从而可判断角α为第三或第四象限角.综上可知，角a为 第三象限角.故选C 2.B【解析】已知扇形圆心角为30，即0=否，扇形半径为1， 所以扇形的面积S=子r=弓㎡=子×晋X1=叠故 选B. 3.B【解析】角a的终边过点(-2,4)，r=√20=2√5，所以 4一号【解析】因为sa一sma=子，所以4(1-na) 4sina-1=0即4sima十4sina-3=0,所以解得sina=2 1 或sn。=是（合去，因为a∈（受x,所以a=语，因此 ama=am要=一尽.故答案为-写 6 31 3 5C【解析】因为0°<a<90,0s(37+a)=号>0，故37< 37+a<90°，令37°+a=m,则m为锐角，因为c0sm=3, 1 所以如m=22,且。=m一3，所以am(37十。) sin2(53°-a)-cos(143°-a)=tan m sin2(90°-m) cos(180-m)=tan m cos2m+cos m=sin mcos m+cos m =3十2巨.故选C 9 6.D【解析】因为an0=-3,所以m02cs0=an-2 cos 0+sine 1+tan 0 号- 7.A【解析】因为0<x<乏，所以-否<-2<，因为 sin(停-z)=子，所以o(吾-)=√1-sim(号-】 =2源所以m(语+)-ms(管+） sim[登-（昏-）门-o[x-(经-x)门=os(3-) +s(停-)=2os(晋-)-.故选A &D【解析】因为ma=3"。所以黑8=3"品。即 cos a 3sina-sin2a=cos2a,所以3sina=sin2a十cos2a=1,即sina =弓，所以sin(2a+受）=c0s2a=1-2sim2a=号，故选D 9.AC【解析】对于A:versin乎=1-cos9=1 3 os(6m+青)=1十os音=1十号=号，故A正瑞：对于B, versin (x-0)-coversin (3-0)-1-cos (x-0)-1+ sin(-0）=c0s0-cos0=0,故B正确；对于C:由 =2二=2pm:=2,济以 versinx-l 。--品片- 1-sin z-1+cos x -号：故C正确：对于D:因为f(x)=versin(2024x-晋) +coversin(2024x+否）=1-cos(2024x-号）+1 sin(2024x+否）=2-sin(2024x-号+受) sim(224x+否)=2-2sin(2024x+晋).当sim(2024x+吾）= -1时，f(x)取得最大值4.故D错误.故选ABC 第7讲三角函数的图象与性质 【典例变式】 变式训练一 l.{x≠kx十受且x≠kx+于，k∈Z) 【解析】由已知得 x≠kx十受，k∈Z,所 tanx≠5， x≠km十受，k∈Z 以 x≠kx+号，k∈Z 所以所求函数定义域为{xx≠r十乏且x≠kx十号，k∈ Z. 足【解析】函数变为y=1-sim㎡x十sinx.设1= smx,(x<子)，所以[号，号]，函数支为0)= ++1=-(-合）广+，所以当1=合，即simx=7,2 =吾时子所以当1=号，即=一时=方 参考答案·数学 2 3.[-1,令+/E]【解析】设1=sinx+cos,则sinrcos= 2(-≤<≤②y=+2f-3=u+102-1,当1 =厄时y取最大值为厄+子，当1=-1时，y取最小值为 -1.所以函数值城为[-1，号十2] 变式训练二 1.BCD【解析】因为函数f(x)=cosx一sinx=√2cos(x十 平)在[0，a]上是减函数，x+平∈平，香十a,所以十a ≤，所以0<a<3红，故f)的最小值为-厄，a的最大值 是，f)的最小正周期为2x,故A错，CD正确：在 [-子+2kx,经+2x](k∈7)，t+至∈ [2kr,π十2kx](k∈Z),函数f(x)单调递减，所以B正确.故 选BCD. 2.19= ,(2)答案见解析【解析】(1)由题意f(0)= 0s9豆，(0≤9<x),所以9=子 (2)由1)可知f(x)=0s(2+苓)，所以g(x)=f(x)+ f(-吾）-os(2x+号)+os2x=7s2x-9n2z 十c0s2x=号ms2z-号n2x=cos(2x+吾)，所以画 数g(x)的值城为[-W],令2k≤2x十否≤元十2kx,k ∈Z,解得-音十kx≤x≤8+kx,k∈Z,令元十2km≤2x+ 吾≤2x十2，k∈.解得登+≤<晋+k,k∈Z.所以 函数g()的单调运减区间为[-音十x,登+x],A∈乙 画教g(r)的单羽递增区问[登十6x,竖+kx],kcZ 变式训练三 1.B【解析】由题意，得w=2,所以f(x)=Asin(2x十p).因 为函数f八)的图象关于直线x=否对称，所以2×答十9 kx+受(k∈)，即9=x-否(k∈Z),当k=0时，9取得 最小值石，故选B 2.B【解析】根据正切函数的性质，y=2tan(x-于)的对称 中心横坐标满足x吾-受，k∈Z即)y=2a(x一亭)的对 称中心是（弩+经，0），k∈z,即a=吾+经，k∈五，又a> 0,则k=0时a最小，最小值是号，即a=牙，故选B 3.一吾【解析】由题意可得sin(号x十)=士1，所以号x十9 =受+kx(k∈0,9=-吾+kx(k∈Z),因为-乏<<受， 所以k=0,9=一若 9第一部分一轮单元复习第三单元 第三单元 三角函数与解三角形 第6讲任意角、弧度制与任意角的三角函数 自主预习 知识梳理 调 夯实基础 1.任意角 3.任意角三角函数 (1)角度的定义：角可以看成平面内一条射线 三角函数 正弦 余弦 正切 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 成的图形. P(x,y),那么 定义 (2)角的分类 y叫做a的正 x叫做a的余 义叫做a的正 正角：按逆时针方向旋转形成的角 弦，记作sina 弦，记作cosa 按旋转方向 切，记作tana 负角：按顺时针方向旋转形成的角 不同分类 I + + 零角：射饯没有旋转 角的分类 各象限Ⅱ 象限角：角的终边在第几象限， 按终边位置 符号 Ⅲ + 这个角就是第几象限角 不同分类 IV 轴线角：角的终边落在坐标轴上 y↑ (3)终边相同的角 三角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可 函数线 构成一个集合：S={3l3=a+k·360°，k∈Z 有向线段MP 有向线段OM 有向线段AT 为正弦线 为余弦线 或{BB=a十2kπ，k∈Z, 为正切线 2.弧度与角度的互化 4.同角三角函数的基本关系 (1)弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所 (1)平方关系：sin2a十cos2a=1(a∈R), 对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)商数关系：ana-=0（(e≠kr十受，k∈Z. cosa (2)弧度制下的有关公式 5.三角函数的六组诱导公式 角α的弧度数公式 |a=(孤长用1表示) 组数 二 三 四 五 六 2kπ十a 角度与弧度的换算 1°-i0rad:②1ad= 角 元十a 元一a (k∈Z) + 正弦 sin a sin a sin c sin a cos a cos a 弧长公式 弧长l=at 余弦 cos cos a cos a cos a sin a sin a S-3Ir-7lalr 正切 tan tan a tan c 扇形面积公式 27· 典例剖析 典例变式 调 变式训练 题型一 象限角与三角函数的符号判断 2.sin2·cos3·tan4的值 【例1】(1)(2020·全国Ⅱ卷)若a为第四象限 A.小于0 B.大于0 角，则 ( C.等于0 D.不存在 A.cos 2a0 B.cos 2a<0 题型二三角函数的定义 C.sin 2a0 D.sin 2a<0 考法一 利用三角函数的定义求值 【例2-1】(1)(2021·北京卷)若点A(cos0, (2)若sina·tana<0,且osg<0,则角a tan a sin0)关于y轴对称点为B 是 ( (cos(+吾)，sin(+看)》，写出0的一个取 A.第一象限角 B.第二象限角 值为 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)(多选)如图，在平面直角坐标系中，以原 【解析】(1)【解法一】由α为第四象限角，可 点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A 得F+2r<a<2x十2kx,k∈，所以3x十 (1,0).已知点B(x1,y)在圆O上，点T的 坐标是(xo,sin xo),则下列说法中正确的是 4kπ<2a<4π十4kπ，k∈Z.此时2a的终边落 在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以 sin2a<0故选D. B(x-Y T(xo,sin xo) 【解法=】当a=-否时c0s2a=c0s(-) >0,选项B错误；当。=-号时，0s2a 2<0,选项A错误；由Q在第四象 A.若∠AOB=&,则ACB=a B.若y=sin zo,则x1=x0 限可得：sina<0,cosa>0,则sin2a=2sin C.若M=-sin zo,则ACB=x acos a<0,选项C错误，选项D正确；故 D.若ACB=xo,则y1=sinx 选D. 【解析】(1)因为A(cos0,sin0)与 (2)由sina·tana<0可知sina,tana异 B(cos(0+晋)，sim(0+)关于y轴对称， 号，从而a为第二或第三象限角，由cOsa tan a 0,可知cosa,tana异号，从而a为第三或第 即00+否关于y轴对称，0+晋+0=π十 四象限角.综上，a为第三象限角 2张m,k∈Z,则0=kx十登k∈乙，当及=0时， 【答案】(1)D(2)C 【规律方法】确定，名(k∈N)的终边位置的 可取0的一个值为登故答案为登（满足0 方法 =kx+8,k∈Z即可). 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写 (2)由于单位圆的半径为1，根据孤长公式 方法→出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确 有ACB=1·a=a,所以A正确.由于B是 定ka或是的终边所在位置 ∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应 变式训练一 ∠AOB的正弦值，即y=sin xo,所以x1是 1.已知点P(tana,cosa)在第三象限，则角a的 对应∠AOB的余弦值，即x1=cosx0,所以 终边在 ( B错误.当y=sin xo时，∠AOB=xo十 A.第一象限 B.第二象限 2kπ，k∈Z,所以C错误.反过来，当∠AOB C.第三象限 D.第四象限 =o,即ACB=x0时，yh=sinx0一定成立， 28· 第一部分 一轮单元复习第三单元 所以D正确.故选AD, sina+2cosa () 【答案】1)登（满足0-经+k,k∈Z即可） sina-cosa A.10 B.10 1 C.5 (2)AD n司 考法二三角函数值的符号判定 题型三扇形弧长、面积公式的应用 【例2-2】设0是第三象限角，且cos2 【例3】已知一扇形的圆心角为α(a>0),所在 圆的半径为R. -ams号，则号是 (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长及 ( 该弧所在的弓形的面积. A.第一象限角 B.第二象限角 (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当a C.第三象限角 D.第四象限角 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【解析】由于0是第三象限角，所以2kπ十π 【解析】(1)设孤长为1，弓形面积为S号，则 <0<2km+经(h∈Z,kr+5<号<km十 =60°-吾.R=10,1-号×10=19(cm. 3 平k∈Z》:所以号为第二或第四象限角，又 4 5,=Sa-Sa=2×197×10-3×102× =-0s号，所以c0s号≤0，所以号 sim吾-9r-i05-50s-(cm㎡ 3 2 32 是第二象限角.故选B. (2)扇形周长C=2R十l=2R+aR, 【答案】B 【规律方法】利用三角函数的定义求三角函数值 所以R= 千a,所以Sa-2a·R 1 2+a 2 的方法 2+a) 1=S.1 首先，确定角a终边上一点的坐标。如果已知 za·4十4十 2 4+a+4 角a终边上一，点的坐标，可以通过计算该，点到 原点的距离，然后利用三角函数的定义进行 ≤·综上所述，当且仅当=4，即&=2 求解。具体来说，正弦、余弦和正切等基本三角 rad时，扇形面积有最大值. 函数可以通过该点到原点的距离与三角形边长 【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题 的比值来计算。例如，正弦(sin)可以通过对边 的解题策略 长度除以斜边长度计算，余弦(cOs)通过邻边长 (1)明确孤度制下孤长公式l=|αr,扇形的面 度除以斜边长度计算，而正切(tan)则通过对边 长度除以邻边长度计算。 积公式是S=号-e户（其中1是扇形的孤 其次，如果已知角Q的终边所在的直线方程，可 长，a是扇形的圆心角) 以先设出终边上一点的坐标，然后计算出该，点 (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半 到原点的距离“。同样利用三角函数的定义进 径、孤长三个量中的任意两个量， 行求解。这种方法在几何和物理应用中特别有 【注意】运用孤度制下有关孤长、扇形面积公式 用，尤其是在需要计算三角形中未知边长或角 的前提是角的度量单位为孤度制 度的情况下。 变式训练三 变式训练二 (2022·全国甲卷)沈括的 1.已知角a的终边过点P(一8m,一6sin30°)， 《梦溪笔谈》是中国古代科 且cosa=- 则m的值为 技史上的杰作，其中收录 ( 了计算圆弧长度的“会圆 A.-2 B C.- 2 n号 术”，如图，AB是以O为圆 心，OA为半径的圆弧，C 2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非 是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆 负半轴上，终边在直线y=一√3x上，则角a 术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s 的取值集合是 =AB+ A当0A=2,∠A0B=60时，s= CD2 3.已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，顶 点与坐标原点重合，终边过点P(3,4),则 () ·29· 艺考一本通数学 A.11-33 B.11-43 变式训练四 2 2 C.9-35 D.9-43 1.已知x∈(-受，0小，cosx=号，则tanx的值为 2 2 题型四同角三角函数基本关系式及应用 c D.- 【例4】(1)(2023·全国乙卷)若0∈(0，}， tan0=2,则sin0-cos0= 2.已知an0叶l)3,则cos(9+） ( (2)已知tan0=2,则sin0+sin0cos0 2cos2 0= ( ) A c A-号 R C.-3 D. 3.已知sin0、cos0是关于x的方程x2一a.x十a =0(a∈R)的两个根， (3)(2021·全国甲卷)若a∈(0，受)，an2a (1)求实数a的值， cosa,则tana= 2-sin a (2)求 1-cos0+sin叶co、9的值. sin a-cos 0' 1-tan20 A晋B c D. 3 【解析】(1)【解法一】因为0e(0,受)，则sin D0,cos>0,又因为tan0=sin2-1」 cos0>,则 cos 0=2sin 0,cos20+sin20=4 sin20 sim0=5sin'0=1,解得sing-5或sin0 题型五利用诱导公式化简三角函数 5 【例5】(1)sin(-1200°)cos1290°+ cos(-1020)·sin(-1050)= (含去)，所以sin0-cos0=sn02S (2)设f(a)= 0=-sin0=-5 2sin(x+a)cos(π-a)-cos(π+a(1十 1+sin2 a+cos 【解法二】向am00》12-得 (+a)-sr(+a cos20 cos20 2sina≠0)，则f(-6） 23π cos0=号，因为0∈(0，受引.所以c0s0 【解析】(1)原式=-sin1200°cos1290° 5,s血9=-as75,片以n9 cos1020°·sin1050° =-sin(3×360°+120°)cos(3X360°+ COs 0=-15 210°)-cos(2×360°+300)sin(2×360° +330°) 【答案】()- (2)D(3)A =-sin120°cos210°-cos300°sin330° 5 =-sin(180°-60°)cos(180°+30°) 【规律方法】同角三角函数关系式及变形公式的 cos(360°-60°)·sin(360°-30°) 应用 (1)利用sina+cos2a=1可以实现角a的正弦、 -血6iw对+ms60r-号9×号+ 余弦的互化，利用na=tana可以实现角a的 cos a 弦切互化 ×-1 21 (2)因为f(a) (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin (-2 sina)(-cos a)+cos a a+cosa,sin acos a,sina-cosa这三个式子， 1+sin2a+sin a-cos a 利用(sina士cosa)2=1士2 sin acos a,可以知一 2sin acos a+cos a cos a(1+2sin a) 求二. 2sin2a-+sin a sin a(1+2sin a) ·30· 第一部分一轮单元复习第三单元 1一， tan g 所以f（ 23T (3)三角函数式化简的方向 6 tan 23r ①切化弦，统一名；②用诱导公式，统一角；③用 6 因式分解将式子变形，化为最简. 1 变式训练五 tan(-4+晋) tan( 1.tan390°= 【答案】(1)1(2)W3 A.-√3 B.√ c D.-/3 3 【规律方法】 2.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角：②角中含有加减罗的整数倍 点P(3,4),则sina 2017x ( 2 4 A.-5 B.-5 c. 时，用公式去掉受的整数倍。 D. (2)常见的互余和互补的角 8已知os(语-a)=9,则os(悟+a ①常见的互余的角：晋-a与晋十a:5十a与 sin(a)- 晋-a:晋十a与晋-a等，②常见的互补的角：昏 十9与-9：7+0与平-9降。 随堂检测国 基础训练 温故知新 1.若sin atan a<0,且oa<0,则角a是( 7.已知sin(5--3,且0<x<受，求 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 sim(悟+z-cos(+)的值为 () 2.已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形 的面积为 A.4② B.2② 3 C.0 D.-22 3 3 A.30 B C. D. 8.若tana= cosa。,则sim(2a十罗)=（） 3-sin a 3.角a的终边过点（一2,4），则c0sa= ( ) 2 A.25 A &号 c n哥 C.-2 5 B.-5 D. 5 5 9.(多选)在数学史上，为了三角计算的简便及 计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函 4.若a∈（受，x,且cosa-sina=4,则tana 数：定义1一cos0为角0的正矢，记作 versin0,定义1一sin0为角0的余矢，记作 5.已知c0s(37°+a)-3,且0<a<90,则1an coversin 0.下列说法正确的是 () 16π=3 (37°+a)sin2(53°-a)-cos(143°-a)= A.versin B.versin(π A.3+② B. 3-√2 3+2√2 -0-cverin(3-9）=0 9 9 9 C.若oversn-2,则 D3-22 versin-l 9 coversinx-versint 1 6已知a0一3侧的值为（ 2-(coversinx+versinx) 3 D.函数f(x)=versin(2o24x-F）十coversin A.-号 B c-号 （2024x+)的最大值为2+2 ·31