第5讲 平面向量的坐标表示及数量积-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

第一部分一轮单元复习 第二单元 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 自主预习 知识梳理 道夯实基础 1.平面向量的坐标运算 终点B,分别作C)所在直线的垂线，垂足分 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量 别为A1,B1,得到AB,则称上述变换为向量 的模 a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b 设a=(x1,),b=(x2,y2),则： 上的投影向量， a+b=(x1+x2,M+2),a-b=(0-x2,yM ②计算：设与b方向相同的单位向量为e,a 2),a=(0,M),a=√x+y. 与b的夹角为0，则向量a在向量b上的投影 (2)向量坐标的求法 向量是|a cos be. 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为 注：acos0叫做向量a在b方向上的投影 向量的坐标.一般地，设A(x1,y1),B(2, 数量，当0为锐角时，它是正数；当0为钝角 y2),则AB=(x2一x1,y2一y). 时，它是负数；当日为直角时，它是0. 2.平面向量共线的坐标表示 (3)坐标表示：若a=(x1,y),b=(x2,y2),则 设a=(xy),b=(x2,y2),其中b≠0，则a∥b a·b=x1x2十y1y2 台9T1h一x2M=0. 4.平面向量数量积的运算律 3.平面向量的数量积 (1)a·b=b·a(交换律). (1)定义：已知两个非零向量a与b,它们的 (2)a·b=入(a·b)=a·(b)(结合律). 夹角为0，则|a|bcos0叫做a与b的数量 (3)(a十b)·c=a·c十b·c(分配律). 积（或内积），记作a·b,即a·b=|a|bcos0, 5.平面向量数量积的性质及其坐标表示 规定零向量与任一向量的数量积为0，即 设非零向量a=(x1M),b=(22),0=〈a,b). 0·a=0. 几何表示 坐标表示 模 (2)向量的投影 |a=√aa a=√+好 cos -a a·b 022十M边 夹角 cos 0= √+·√+ a⊥b a·b=0 x2十My=0 |a·b与 xx2+hh≤√/+ C A a·b≤ab B D ab的关系 ·√场十3 ①定义：如图，设a,b是两个非零向量，AB a,C方=b,作如下的变换：过AB的起点A和 ·21 艺考一本通数学 典例剖析 典例变式 明 变式训练 题型一平面向量的坐标表示 入十t=一6，所以B正确.对于C,因为a十b 【例1】(1)（多选）已知向量a=(一3,2)，b=(2, =(-3,2)十(2,1)=(2μ-3，u十2)，所以 1),c=(入，一1)，λ∈R,则 |a十b|= √(2μ-3)2+(+2) A.若(a+2b)⊥c,则入=4 B.若a=b十c,则入十t=一6 Ca+bl的最小值为2 =号时，a+d取得最小值，为75，所以C 5 D.若向量a十b与向量2b+c的夹角为锐 正确.对于D,因为a十b=(一1,3)，2b十c= 角，则入的取值范围是（一∞，一1） (4+入，1)，向量a+b与向量2b+c的夹角 (2)(2025·新课标I卷)帆船比赛中，运动 为锐角，所以(a十b)·(2b十c)=一1×(4十 员可借助风力计测定风速的大小和方向，测 λ)+3×1>0，解得A<-1;当向量a十b与 出的结果在航海学中称为视风风速，视风风 向量2b+c共线时，-1×1-3×(4十λ)= 速对应的向量，是真风风速对应的向量与船 0,解得入=一 行风速对应的向量之和，其中船行风速对应 所以入的取位范周是 的向量与船速对应的向量大小相等，方向相 (-0,-U(-号-1，所以D不正 反.图1给出了部分风力等级、名称与风速 确.故选ABC. 大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时 (2)由题意及图得，视风风速对应的向量为： 刻测得的视风风速对应的向量与船速对应 n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),视风风速 的向量如图2（风速的大小和向量的大小相 对应的向量，是真风风速对应的向量与船行 同)，单位(m/s),则真风为 风速对应的向量之和，船速方向和船行风速 等级 风速大小m/s 名称 的向量方向相反，设真风风速对应的向量为 视风风速 2 1.13.3 轻风 n1,船行风速对应的向量为n2,所以n=n1 3 3.4～5.4 微风 船速 十2，船行风速：2=-[(3,3)-(2,0)门= 4 5.5~7.9 和风 (-1,-3),所以n1=n-n2=(-3,-1) 5 8.010.1 劲风 3 (-1,-3)=(-2,2),n1|=√(-2)2+22 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 (3)(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5), =2√2≈2.828，所以由表得，真风风速为轻 b=(入，4)，若a∥b,则入= 风，故选A 【解析】(1)对于A,因为a十2b=(1,4),c= (3)由题意结合向量平行的充分必要条件可 (,-1),(a+2b)⊥c,所以1×λ+4×(-1) 得2×4一λ×5=0， =0,解得入=4，所以A正确.对于B,由a 解方程可得X故答案为 b十c,得(-3,2)=t(2,1)+(入，-1)=(2t 【答案】(1)ABC 十 (2)A(3) 十λ一1)，则2=1-1， ·22· 第一部分一轮单元复习第二单元 【规律方法】平面向量共线的坐标表示问题的常 +4b2,又因为a=1,b|=3,a-2b 见类型及解题策略 =3,所以9=1一4a·b+4×3=13-4a· (1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般 b.所以a·b=1. 地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设 (2)以B为坐标原点 所求向量为λa(入∈R),然后结合其他条件列出 建立平面直角坐标 关于λ的方程，求出入的值后代入λa即可得到 系，如图所示，则A 所求的向量. (-1,0),B(0,0),C (2)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共 (0,1),D(-1,1),E 线，求某些参数的取值时，利用“若a=(,M), b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是2=2y” (名，可得耐- 解题比较方便 (-1.0),BC-=0,1).B驼-(-31小，国为 变式训练一 B配=入BA十4BC=(-入，)，则 1.(2025·新课标Ⅱ卷)已知平面向量a=(x, 1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则a= -入一3，所以入十4=青：国为点下在线 =1 2.已知平面向量a=（1,m),b=(-3,1)且 (2a+b)∥b,则实数m的值为 段BE:y=-3x,x∈[-30]上，设T ( A. B-号C号 a,-3a)a∈[-0，且G为Ap中点， 3.平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0),B(0, 则 G 2,-,可程 1),C(-1,c)(c>0),且|O心1=2，若O心= λO月十uO,则实数入十u的值为 a+1,-a,DG=(,-昌a-1,则 题型二平面向量的数量积 Ai.G-a1D2+(-3a(-3a-1 2 【例2】(1)(2022·全国乙卷)已知向量a,b满 足|a=1,b=√3，a-2b=3,则a·b= 5(a+号}-品且ac[-子，0小，所以当a ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 3时，市·心取到最小值为一：故 (2)(2024·天津卷)在 答案为青：一 5 边长为1的正方形 【答案】(1)C(2)4 5 ABCD中，点E为线 18 段CD的三等分点， 【规律方法】平面向量数量积的三种运算方法 CE=)DE,庞=入 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求 解，即a·b=a|bcos(a,b). BA+uBC=(-入，)，则入十u (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 若F为线段BE上的动点，G为AF中点， 即若a=(x1,y),b=(x2,y2),则a·b=x1x2 则A产·DG的最小值为 +y1y2 【解析】(1)因为|a一2b2=a2一4a·b(3)利用数量积的几何意义求解. ·23· 艺考一本通数学 【注意】解决涉及几何图形的向量的数量积运算 问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的 公=，从61-= ,故选B. 运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹 (2)由a-b=√5，得a2-2a·b+b=3,即 角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还 2a·b=a2+b2-3①. 是互补 又由a+b=2a-bl,得a2+2a·b+b= 变式训练二 4a2-4a·b+b,即3a2-6a·b=0,代入 1.已知向量a和b的夹角为30°，a=2,b=√3， ①，得3a2-3(a2+b-3)=0,整理，得b= 则向量a和向量b的数量积a·b= ( 3,所以b=5. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】(1)B(2)W3 2.(多选)在边长为2的正六边形ABCDEF中， 考法二求向量的夹角 G是线段AB上一点，A亡=λA官，则下列说 【例3-2】(1)(2023·全国甲卷)已知向量a= 法正确的有 (3,1),b=(2,2),则cos(a+b,a-b=() A若A-司则心-一2A成-2 A.7 R罗 c D2⑤ 5 B.若向量CD在向量AB上的投影向量是 (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a= A店，则-司 (3,4),b=(1,0),c=a+b,若(a,c〉= C.若P为正六边形ABCDEF内一点（包含 (b,c),则t= () 端点)，则A户.A的取值范围是[-2,6] A.-6 B.-5 C.5 D.6 D若花.C花-1，则入的值为号 【解析】(1)因为a=(3,1),b=(2,2),所以 a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 题型三平面向量的数量积的应用（高频考点）】 则a+b|=√52+32=√34，|a-b= 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常 √1+1=√2，(a+b)·(a-b)=5×1+3× 考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中， (-1)）=2, 属中档题.主要命题角度有：①平面向量的模； ②平面向量的夹角；③平面向量的垂直. 所以cos(a十b,a-b)=a+b):(a-b) a+b a-b 考法一求向量的模 √17 【例3-1】(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量 17 故选B. √34X√2 a,b满足a=1,a十2b=2,且(b-2a)⊥ (2)c=(3+t,4),cos(a,c〉=cosb,c〉，即 b,则b= 十1岩解得5，故选C A司 B号 ca 5c D.1 【答案】(1)B(2)C (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 考法三平面向量的垂直问题 |a-b=√5，a+b=|2a-b,则|b= 【例3-3】(1)(2024·新课标I卷)已知向量a =(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= 【解析】(1)因为(b一2a)⊥b,所以 () (b-2a)·b=0,即b=2a·b,又因为a= A.-2B.-1 C.1 D.2 1,a+2b=2,所以1+4a·b+4b=1+6 (2)(2025·北京卷)已知平面直角坐标系 ·24· 第一部分一轮单元复习第二单元 xOy中，|OA=|Oi=√2，|Ai=2,设C②a±b=√/a±b)2=√a±2ab+b; (3,4),则2CA+AB1的取值范围是( ) ③若a=(x,y),则a=√x2十y2. A.[6,14 B.[6,12] 变式训练三 C.[8,14] D.[8,12 1.已知向量a,b均为单位向量，若它们的夹角 【解析】(1)因为b⊥(b-4a),所以b· 为60°，则a+3b= (b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2 A.√7 B.√10 C.√13 D.4 4x=0,故x=2,故选D. 2.若非零单位向量a,b满足|a十b|=a一b, (2)因为OA=|OB=√2，|AB=2,由 则a与b一a的夹角为 () AB=O-OA平方可得，OA·O=0,所以 A晋 B c.开 D. KOA.0B)=3.2 CA+AB-2(OA-OC)+ 3.(多选)若向量a=(√3,1)，b=(cos0,sin0), O谚-OA=OA+Oi-2O心，1O心= 则下列说法正确的是 () √32+4=5，所以，|2CA+A2=O2十 O+40心-4(OA+Oi)·O0=2+2+4 A.存在∈(0，)，使得aLb ×25-4(OA+Oi)·O元=104-4 B存在0E(0,),使得a∥b (OA+O)·O心，又|(OA+Oi)·O心1≤ 1OA+O1OC=5×√2+2=10，即-10 C.对于任意e(0,)a·b∈(1,2] ≤(OA+O)·O元≤10，所以 D.对于任意0∈(0，a-b∈[1W3) |2CA+A2∈ [64,144], 即 |2CA+AB∈[8,12]，故选D. 4.已知a=√2，b=1,a与b的夹角为45°， 【答案】(1)D(2)D 若tb一a与a垂直，则实数t 【规律方法】平面向量数量积求解问题的策略 5.已知单位向量a,b满足|b-2a=√3，则a·b () 1)求两向量的夫角：609日治要注营9E B.-2 c D.2 [0,π]. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要 6.已知向量a与b,a=3,b=2,a+b= 条件是a⊥b台→a·b=0台a-b=|a+b. √19，则已知向量a与b的夹角为 () (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处 A.6 B晋 c 理方法有： ①a2=a·a=a2或a=√a·a; 随堂检测 基础训练 温故知新 1.已知向量a=(-1,2),b=(m,一2m-1),2.已知a=1,b=√2，且a⊥(a-b),则向量 a·b=8,则m= ( a与向量b的夹角为 A.-2B.-1C.1 D.2 A否 B.4 c.5 n号 ·25· 艺考一本通数学 3.已知平面向量a,b的夹角为，且a·(a-b) 12.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1, ),若(2a一b)∥c,则实数入的值为() =8,a=2,则b= ( B.-3 c D.3 A.√3 B.2√3 C.3 D.4 13.(多选)点O,H分别是△ABC的外心、垂 4.已知a-b1,a与b的夹角为等，则a一b在 心，则下列选项正确的是 () a上的投影向量为 A.若励=入BA+C BA BC 且BD=uBA A B.-za C.za D.-a +(1-)BC,则AD=DC 5.设向量a,b满足a-b-1,a…b-2,则 B.若2BO=BA+BC,且AB=2,则AC· AB-4 a+2b= ( ) A.√2 B.√3 C.√5 D.√7 C.若∠B=5,Oi=mOA+n0心，则m十n 6.已知向量a=(2,一3)，b=(4,m),若 的取值范围为（一2,1] a+2b=a-2b,则m= D.若2HA+3HB+4H心=0，则 7.（多选)四边形ABCD为边长为1的正方形， M为边CD的中点，则 cos∠BHC=-V 5 A.AB-2 MD B.DM-CB-AM 14.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=√5， C.AD+M心=MAD.AM·BC=1 点F为边CD的中点，若A庐·D庐=0，则 8.已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A B市.AC= () (2,2),C(1,-2),则Oi·AC= ( A.4 B.3 C.2 D.1 A.-6 B.-3C.3 D.6 15.(多选)若向量a=(1,k),b=(2-k,一3)， 9.在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD 则下列说法正确的是 () 的中点，DE交AF于H,记AB,BC分别为a, A.若k≠3，则向量a,b可以表示平面内任 b,则Ai 一向量 B若a-b=a+b,则k=司 C.若(a)2>(b)2,则>3 A.a 5a+ B. D,若<7，则a与b的夹角是锐角 ca+b Dab 16.（多选)已知向量a=(2-m,3),b=(m,1), 则下列说法正确的是 () 10.已知向量a=2,|b=1,且|a-2b1=√10， 则b在a方向上的投影向量为 ( A.若a/b,则m= A.ja B.-ja C.ga D.- 1 8a B.若a⊥b,则m=3 C.2a+b的最小值为7 11.已知向量a=（-5,t),b=(1,3),(2a+b)⊥ D.若一1<m<3,则a与b的夹角为钝角 b,则t的值为 A.-2B.2 C.-1 D.0 ·26·艺考一本通数学 故C=号证+号证，所以=y=号，所以x十y=号故 选B. 8.A【解析】由OA+O市+C0=0得Oi+O=O心，由0为 △ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形 OACB为菱形，且∠CAO=60°，故A=30°. 9.(一4，一8)【解析】由a∥b,然后根据平面向量共线（平 行)的坐标表示建立等式即1Xm=2×(一2)，求出m=一4， 然后根据平面向量的坐标运算得2a+3b=2(1,2)+ 3(-2,-4)=(-4,-8). 10.1【解析】画出图形，如图所示： 因为武=3C市，所以B励=BC+CD=专成， 所以A市=范+励=A范+专元-A市+青（花-） }迹+号所以=一号号：所以十=1. 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 【典例变式】 变式训练一 1.√2【解析】a一b=(1,1一2.x),因为a⊥(a一b),则a· (a-b)=0,则x十1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则a =√2.故答案为2. 2.B【解析】2a十b=(-1,2m十1)，由题意知-3(2m十1)= -1,解得m=一弓，故选B 3.5-1【解析】因为1心式1=2，所以O心12=1+c2=4,因为 c>0,所以c=√/3.因为O心=λO才+uO市，所以(-1，W3)= A(1,0)+(0,1),所以A=-1,=3,所以入十=5-1. 变式训练二 1.C【解析】由题意可得a·b=a·|b·cos(a,b)=2× 5×c0s30°=3，故选C. 2.AC【解析】对于A,若入=，则G为AB的中点，武=成 +Fi+AG=E成+萨-A萨+号AB=2Fi+A-AB 亦+市=一号市-2亦，A正确：对于B,由正六边形 的性质知向量CD与A市的夹角为，则向量CD在A市上的投 ICDI cos 影向量为AB 宝·恋=合破，所以以=一子B错 误：对于C,以A为坐标原点，AB,A正正方向为x,y轴，可建 立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0), 设P(m,n)(-1≤m≤3)，所以AP=(m,n),AB=(2,0), 所以AP·AB=2m∈[-2,6]，C正确；对于D,由题意知： E(0,23),C(3,5),AB=(2,0),设G(t,0)(0≤≤2)， 所以CE=(-3,5),心=(1-3，-5)，所以武.CE= 34-3)-3=1,解得：1=号，所以G=(（号，0)，恋= 6 (2,0),所以AG=AB,即入=，D错误.故选AC G 变式训练三 1.C【解析】依题意得a·b=分，a十3b= √a+96+6a·b=√3，故选C. 2.D【解法-】设a与b-a的夹角为0.因为|a十b|= |a-b1,所以a+b12=|a-b12,即a2+2a·b+|b12= 1a2-2a·b十|b2,所以a·b=0.因为a,b为非零单位向 量，所以(b-a)2=2,即b-a=√2.因为a·(b-a)=a·b -a·a=-1=ab-aco0,所以cos0=,二 为0∈[0，π]，所以0=3四 4 -a a+b b 【解法二】（几何法）如上图，a十b与a一b分别表示以a,b 为邻边（共起点）的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱 形为正方形，再作出b一a知a与b一a的夹角为还 【解法三】（坐标法）由a十b=a一b得a⊥b,又a,b为单位 向量，则在平面直角坐标系中取a=(1,0),b=(0,1),则b一a =(-1,1D,由向量夹角的坐标运算知a与b-a的夹角为3买 3.BCD【解析a·b=/3cos0+sin0=2sin(0什号)，若a⊥b, 则2sin(0叶)=0，因为0E(0,受)，此时0无解，故A错 误；若a∥b,则，/5sin0-cos0=0,因为0e(0,5）,所以0= 吾，故B正确：a·b=2sin(0+号)，因为0E(0,受)，所以0 +吾∈（号，君x),则sm(计号）∈（分，1]，所以a…b 2sn(叶号)∈(1,2]，故C正确：a-b √3-os02+(1-n)=√5-4os(0答)，因为0e (0,受)，则0-若∈（-，ξ)，所以os(0-若)∈ (分，1]，则a-b∈[1W),故D正确.故选BCD 42【解标】由已知可得a·b=1X,2×号=-1.因为历-。 与a垂直，所以(tb-a)·a=0,得a·b-a2=0,即t-2= 0,故1=2. 5.C【解析】由题意知，a,b为单位向量，所以a=1,|b|= 1,又由b-2a=/(b-2a)2=/b2-4a·b+4a2= V5-4a·b=B,解得a…b=号.故选C 6.B【解析】设向量a与b的夹角为a,因为|a=3,|b=2, |a+b|2=(√9)2，所以9+2×3×2cosa十4=19， 所以cosa=号，因为a∈[0，m],所以a=于.故选B 【基础训练】 1.A【解析】由题意，向量a=(一1,2)，b=(m,一2一1)， 可得a·b=一m+2(一2m-1)=一5m-2,由a·b=8,可 得-5m-2=8,解得m=-2.故选A. 2.B【解析】因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=a2-a·b=1 一厄sab=0,所以msab=号，所以a,b}=系 3.D【解析】因为a·(a一b)=8,所以a·a一a·b=8,即a2 -ab1cos(a,b)=8,所以4+2bX号=8，解得bl=4. 4.C【解析】川a=|b,a与b的夹角为，则a-b在a上的 投影有量为1a-blus(a-ba)日-0a= a-lal1os登，lal: Tara=2a.故选C -a= 5.D【解析】因为a=b1=1,ab=合，所以a+26 =(a+2b)2=a2+4a·b+4b=a2+4a·b+4|b2=1 十4×2十4=7，a+2b=万.故选D 6.令【解析】因为1a十2bl=1a-2b1,所以a+2b2= |a-2b|2,所以(a+2b)2=(a-2b)2,所以a2+4a·b+ 4b2=a2一4a·b+4b,所以a·b=0,所以(2，一3)· (4,m)=8-3m=0,解得m=号，故答案为号. 7.BD【解析】如图，因为A范=2D应= 一2Md,故A错误；AM=AD+DM= BC+DM=Di-CB,故B正确；MA= MD+DA--DM-AD-CM-AD,* C错误：AM·BC=(AD+D0·BC= AD·BC+DM·BC,由BC⊥DM,得 DM·B武=0，所以A应.B武=AD.B武+0=|B武2=1，故 D正确.故选BD. 8.B【解析】OA=(2,2),心=(1，-2)，则O=Oi+O元= (3,0),又AC=(-1,-4),所以O克·AC=3×(-1)+0× (一4)=一3.故选B. 9.B【解析】如图，过点F作BC的平 行线交DE于G,则G是DE的中 点，且G=号武=子BC,所以G B EC =Ad,由△AHD∽△FHG,从而 亦=Ai,所以Ai=告A泸，A市=市+D萨=b十2a, 所以A府=号(b+子a)=号a+b 10.D【解析】因为a=2,b1=1,且|a-2b1=√0，因为a -2b2=a2-4a·b+4b=10,所以4-4a·b+4=10,a· b=-是，所以b在a方向上的投影向量为bc0s<a,b> 日=b8治·日-aa=言a,故选D 11.D【解析】依题意，2a+b=2(一5，t)+(1,3)=(一9,21+3)， 又(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=(-9,21+3)·(1,3)= 参考答案·数学 -9+3(2t+3)=0, 解得t=0.故选D. 12.B【解析】由题意，得2a=(2,4),2a一b=(2,6),又 (2a一b)∥c,c=(一1，入)，则2十6=0，解得A=一3.故 选B. 13.BD【解析】对于A:由Bd= 以BA+(1-u)BC可知，点 A,D,C共线，由BD=A BA BC (TT十武)可知，点D 在∠CBA的平分线上，所以 BD为△ABC的角平分线，所 以AD与DC不一定相等，故 A错误；对于B:若2BO=BA +BC,则O为AC的中点，又O为△ABC的外心，所以 ∠ABC=90,所以AC·AB=|AC||AB|cosA= 1花X2X=4,故B正确：对于C:因为∠B=青， 2 所以∠A0C-受，知因，建立平面直角坐标系，设C(r,0), A(-子r,停r):in0.0(停x,周为0亦 ms0=方m+w mOA+n0心，所以 tin ,得m= =0s0+方m0.所以m十u=os0+5如0=2sn (+吾)，0e(,x),0+晋∈(，)，sim(0叶吾)e [-1,),所以m十n∈[-2,1)，故C错误：对于D:因为 A直⊥B武，所以A方.武=0，即A方.(H心-市)=A方 ·H心-A方·H范=0，则A·心=A·B,同理可得 HA·心=-H范·心，所以A·心=HA·H市=H范· H心，设HA·式=A·H范=H市·心=x,因为2A +3Hi+4心=0，所以3HB=-2HA-4心，即3 H=-2A·HB-4H式·范=-6x,则|范引= √一2x,4H心=-2HA-3市，即4H心=-2HA·H心 -3市.=-5，则=√厂，所以os ∠BHC=-cos HB,d= i.心 川 因为x √停 <0,所以cos∠BHC= 0,故D 正确.故选BD】 14C【解析】因为A.D=0,所以AF⊥AB,如图，建立平 面直角坐标系，F(0,2),C(1,2),B(2,0),所以AC= (1,2),BF=(-2,2),所以B驴·AC=-2+4=2,故 选C. 4 R 15.BC【解析】当a与b不共线，a,b可以表示平面内任一向量， 所以一3X1一k(2一k)≠0，解得k≠3且k≠一1，A错误： 若a-b=a+b,则a⊥b,所以1·(2一k)+(一3)·k 7 艺考一本通数学 =0,得k=7,B正确；若(a)2>(b)2,有1十>(2-k)2+ 9,解得>3，C正确；当k=一1时，Q与b平行，夹角不是锐 角，D错误.故选BC. 16.AC【解析】若a∥b,则2-m=3m,解得m=,故选项A 正确；若a⊥b,则m(2-m)十3=0，解得m=-1或m=3, 故选项B错误；由题得2a十b=(4-m,7),故|2a十b|= √72十(4一m)2≥7，当且仅当m=4时取得最小值，故选 项C正确：当m=0时，a·b>0,a与b的夹角不为纯角，故 选项D错误.故选AC. 第三单元三角函数与解三角形 第6讲任意角、弧度制与任意角的三角函数 【典例变式】 变式训练一 l.B【解析】因为点P(tana,cosa)在第三象限，所以tana<0, cosa<0,所以a为第二象限角，故选B. 2.A【解析】因为sin2>0,cos3<0,tan4>0, 所以sin2·cos3·tan4<0. 变式训练二 1.B【解析】由题意得，点P到原点的距离r=√64m+9, 所以C0sa= -8m √64m2+9 -青所以m>0,所以 2万，即m=2,故选B 2.aa=2x吾或a=2+答，k∈或aa=6r晋，k∈刀 【解析】因为直线y=一Bx的领斜角是号，所以终边落在 直线y=一√3x上的角的取值集合为{aa=2kr-号或a= 2kx十2经，k∈Z或{ala=x-受，k∈Z. 3.A【解析】根据角α的终边过P(3,4),利用三角函数的定 4+210 3 义，得aw所以有-0主一3 1 =10.故选A. 变式训练三 B【解析】如图，连接OC,因为C是AB的中点，所以OC ⊥AB,又CD⊥AB,所以O,C,D三 点共线，即OD=OA=OB=2,又 ∠AOB=60°，所以AB=OA=OB= 2,则OC=√3，故CD=2一√3，所以s =AB+贯=2+2 2 11一4VB故选B. 2 变式训练四 1.B【解析】因为x∈（-受，0)，所以sinx=-√-cos元 =一子所以=是选B 2.D【解析】由m0+品)=3可得0+}=3，即 血0+9=3，所以=3，可得m29=号.所以 cos Osin 0 2sin 20 2 cos2(0+平） 1+cos(20+登）1-s血20_1 2 2 2 8 言故选D 3.【解析】(1)sin0、cos0是关于x的方程x2一ax+a=0 (a∈R)的两个根，△=a2一4a≥0，解得a≥4或a0,则sin 0+cos 0=a,sin Ocos 0=a,sin20+cos0=(sin 0+cos 0)2- 2sin0cos0=a2-2a=1,解得a=1一√J2或a=1+√/2（舍），故 a=1-√/2. (2) 1-c0s20 sin 0 sin 0-cos sin gtcos 0 1-tan0 sin 0-cos 0 (sin 0+-cos 0)cos0 sin20 c0s20 sin 0-cos20 sin -cos0 sin o-cos 0 <sin 0-cos 0(sin 0+-cos -sin 0+cos 0-a-1-/Z. sin 0-cos 0 变式训练五 1.C【解析】tan390°=tan(360+30)=tan30°= 3 2.B【解析】角α的终边经过点P(3,4),根据三角函数的定 义得到s=青com=号，所以sm(。20）= -sn(。2025+20l4）=-sm(a+吾）=-c0w 2 子故选B 3.-2生【解析】s(+)-sm(。吾)= 3 cos[x-(g-a）]-sim(答-a)=-cos(5-a）- sim(若-a）=cos2(5-a）-cos（答-a）-1= 2+√3 3 【基础训练】 l.C【解析】由sin atan a<0可知sina,tana异号，从而可判 断角a为第二或第三象限角，由<0可知c0sa,mg异 号，从而可判断角α为第三或第四象限角.综上可知，角a为 第三象限角.故选C 2B【解析】已知扇形国心角为30，即0=若，扇形半径为1， 所以扇形的面积S=号r=号r=号×吾×1=否故 选B. 3.B【解析】角a的终边过点（一2,4），r=√20=25，所以 osa=7-255 4.一号【解析】图为osa-sna=子，所以4(1一na） 4sina-1=0即4sim2a十4sina-3=0,所以解得sina=2 或ina=一是（含去.因为a∈（受x),所以。=要，因此 m8=m晋=号故答案为一号 5.C【解析】因为0°<a<90,0s(37”+a)=3>0,故37”< 37°十a<90,令37+a=m,则m为锐角，因为cosm=子 所以sinm= ,且a=m-37,所以am(37°+a) 2√2 sin2(53°-a)-cos(143°-a)=tan m sin2(90°-m) cos(180-m)=tan m cos2m+cos m=sin mcos m+cos m =3+2厘故选C. 9