第4讲 平面向量的线性运算及基本定理-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

第一部分一轮单元复习 第二单元 第二单元 平面向量 第4讲 平面向量的线性运算及基本定理 自主预习● 知识梳理 夯实基础 1.平面向量的有关概念 laal=lallal, )a: 名称 定义 备注 求实数入与 当λ>0时，a与a的 既有大小又有方向的量 (入十4)a 平面向量是自由向 数乘 向量a的积 方向相同：当入<0时， Aa+ga; 向量 叫做向量：向量的大小叫 量，平面向量可自由 的运算 a与a的方向相反：当 做向量的长度（或称模） λ(a+b)= 平移 A=0时，a=0 a +ab 长度为0的向量；其方向 零向量 记作0 是任意的 3.平面向量共线定理 单位 非零向量a的单位向 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只 长度等于1个单位的 向量 向量 量为士品 有一个实数入，使得b=a. 4.平面向量基本定理 平行 方向相同或相反的非零 0与任一向量平行或 向量 向量，又叫做共线向量 共线 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量， 相等 长度相等且方向相同的 两向量只有相等或不 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 向量 向量 等，不能比较大小 有一对实数入1，入2，使a=入1e1十入2e2. 相反 长度相等且方向相反的 0的相反向量为0 其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面 向量 向量 内所有向量的一组基底： 2.向量的线性运算 5.向量的夹角 向量 定义 法则（或几何意义） 运算律 (1)定义：已知两个非零向量a和b,作OA 运算 交换律： e,O=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角. a+b=b (2)范围：设0是向量a与b的夹角，则0°≤0 +a; 求两个向量和 ≤180°. 加法 结合律： 的运算 三角形法则 平行四边形法则 (a+b)+c (3)共线与垂直：若0=0°，则a与b同向；若0 =a+(b+ =180°，则a与b反向；若0=90°，则a与b垂 c) 直 求a与b的相 -b=a+ 减法反向量一b的 (-b) 和的运算 三角形法则 ·17· 艺考一本通数学 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 向量的线性运算 【规律方法】平面向量线性运算问题的常见类型 【例1】 已知D为△ABC所在平面内一点，且 及解题策略 满足C⑦-}D成，则 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减 法均适合三角形法则 A.AD=多A$-2AC (2)求已知向量的和，一般共起点的向量求和用 平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相 BA市-号A+}AC 连向量的和用三角形法则 C.AB-4AD-3AC (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通 D.AB-3 AD-4AC 过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参 数的值， (2)(2022·新课标I卷)在△ABC中，点D 【注意】应用初中平面几何的知识如平行线分线 在边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n, 段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化 则c第= ( 运算。 A.3m-2n B.-2m+3n 变式训练一 C.3m+2n D.2m+3n 1.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD, 【解析】(1)如图因为C市=号D应，所以D 则 () 是线段BC的四等分，点，且BD=3DC,所以 A.AD=-}AB+号AC AD=A店+BD=A亦+圣C=A馆+ BA币-}市-号AC (AC-AB=A访+是AC,故A,B错误； C.AD-号AB+号AC 由AD-A成+A心，可得A花-4AD-3 D.AD=号AB-号AC AC,故C正确，D错误，故选C, 2.已知△ABC的边BC的中点为D,点E在 △ABC所在平面内，且C市=3C克-2CA,若 AC=xA官+yBE,则x十y= () A.5 B.7 C.9 D.11 3.点G为△ABC的重心（三角形三边中线的 (2)因为，点D在边AB上，BD=2DA,所以 交点)，设B心=a,G式=b,则A它=() BD=2DA,即C方-C第=2(CA-C方)， A.多ab Ba+号b 所以C克=3C)-2CA=3n-2m=-2m+ C.2a-b D.b-2a 3n.故选B. 题型二向量基本定理 【答案】(1)C(2)B 【例2】(1)（多选）在△ABC中，D为BC的中 ·18· 第一部分一轮单元复习第二单元 点，且A龙=2E市，则 2 2a-6b. A.ci-Ci+C市 【规律方法】平面向量基本定理应用的实质和一 B.CE-3CA+3CB 般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是 C.CE∥(CA+C) 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 D.CE⊥(CA-C第) 加、减或数乘运算. (2)如图，以向量OA=a,O谚=b为邻边作 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先 □OADB,Bi=}BC,C=Ci,用a,b 选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表 表示OM,ON,M. 示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 【注意】在基底未给出的情况下，合理地选取基 底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几 何的一些性质定理 【解析】(1)因为AE=2ED,则A,E,D三点 变式训练二 共线，且A=2ED1, 1.如图，已知A=号成，用OA.0B表示O2,则 又因为AD为中线，所以 O市 () ,点E为△ABC的重心， 连接CE并延长交AB 于F,则F为AB的 中点， A.A-OB B.O+O丽 所以Ci-号CF-号×(C+C)=C C.-3oi+40市 D.-30A-40B +C3,所以CE∥(CA+C3).故选BC. 2.已知A、B、P是直线1上三个相异的点，平面 (2)因为BA=OA-Oi=a-b, 内的点O庄1，若正实数x、y满足4O户=2x Bi-若-石a名，所以Oi-O砣 O耐+yO应，则上+的最小值为 3.(多选)下列有关四边形ABCD的形状，判断 Bi-a+. 正确的有 因为O币=a+b,所以ON-O元+号市 A.若AD=BC,则四边形ABCD为平行四 边形 oi+6oi-号0i-号a+号b, B.若A市=EC,则四边形ABCD为梯形 所以Mm-0N-0m=号a+号6石a-b C.若|A+AD1=A-AD1,则四边形 ABCD为菱形 =7a-b D.若AB=D心，且AC⊥B立，则四边形ABCD 为正方形 【答案】1D(2)0i=君a+号b,0N 19 艺考一本通数学 随堂检测 基础训练 温故知新 1.以下关于平面向量的说法正确的是( )5.P是△ABC所在平面内一点，若CB=3PA A.若a=b,则a=|b 十P克，则SAABP:S△ABC= B.若a∥b,b∥c,则a∥c A.1:4B.1:3C.2:3 D.2:1 C.若a,b是共线的单位向量.同a=b 6.在△ABC中，D为AB边上一点，AD= D.若a=b,则a,b不是共线向量 2D丽，C⑦=号C+aC第，则入= 2.如图所示，设A第=mAM,AC=nAN,线段 MN与BC交于点O,且B0=O心，则2m+ A.√5-1 及司 n= C.2√3-1 D.2 7.△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC 边的中点，BF交CE于点G,若AG=xAE+ yA庐，则x十y= () A号 R C.1 n号 A B.2 c. D.3 8.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA十 O求+C方=0，则△ABC的内角A等于 3.在△AC中，破-号C,A-号A花则B成 () ( A.30 B.60° C.90° D.120° A.-号Ai+ACBB-号AB-子AC 9.已知平面向量a=(1,2),b=(一2，m),且 C-马A+号AC D㎡-号a-AC a∥b,则2a十3b= 10.设D是△ABC所在平面内一点，且BC= 4.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上 3C市，设AD=xAB十yAC,则x十y= 有一点C,满足2AC+C第=0，则O心= A.2OA-OB B.-OA+2 0B c号o-oi D.0A+0B ·20·)=是-，求a<x)的最大值，因为x)在区间 [1,4]为减函数，所以f(x)的最大值为1，所以a<1. 13.A【解析】当a=0时，1>0，显然成立；当a≠0时， {△=4a2-4a<0,故ax+2ax十1>0的解集是实数集K 1a>0, 等价于0≤a≤1.因此，“0<a<1”是“ax2+2ax十1>0的解 集是实数集R”的充分而不必要条件. 14.[专，2)U(2,3]【解析】不等式(x-a)(x-4)<0,当 1a<2时，a<是，不等式的解集为(a,告），若不等式解 集中有且仅有一个整数，则这四个整数为2，则2<<3， 2<0,解得5<a<2即uE[告2.当a=2时，a 4,不等式的解集为②，不符合题意：当a>2时，a>2> 兰不等式的解条为（任），若不等式解条中有且仅有一 (2a3 个整数，则这整数可为2，则1<4<2解得，2<a≤3，即a ∈(2,3]，踪上可知，实数a的取值花国是[号，2)U (231.故答案为[号2)U2,3]. 第二单元平面向量 第4讲平面向量的线性运算及 基本定理与投影向量 【典例变式】 变式训练一 1.A【解析】因为心=3C市，所以C市=号武，所以d=心 +C市=A心+号BC=C+号(A心-AB)=-3AB+号 AC.故选A. 2.D【解析】因为C市=3CE-2CA,边BC的中点为D,所以 2C市=3（成-武）+2花.因为C市=3成-3武+2 AC,所以号BC=3配+2AC,所以号C=号 (AC-AB)=3Bi+2AC,所以5AC-5AB=6BE+4 AC,即5AB+6BE=AC,因为AC=xAB+yBE,所以x= 5,y=6,故x+y=11.故选D. 3.D【解析】如图，E克+B武=E亦， 即号A市+庇=G式，故A市=G式 2B武=b-2a.故选D. 变式训练二 1.C【解析】O-Oi+=Oi+号 迹=-i+号o成-=-i+号诚 2.子+受【解析】因为A、B、P是直线1上三个相异的点，且 参考答案·数学 4O=2xO+yO市，即O市=0i+￥O市，且xy为正实 数，所以受十￥=1，所以子十} (+)受+)-号++家≥+2会·家 是十号，当且仅当若=云即1=4一2y=4万-4时： 取等号，所以+的最小值为是十竖故答案为+号 3.AB【解析】选项A:若Ad=武，则AD∥BC,AD=BC,则 四边形ABCD为平行四边形.判断A正确；选项B:若AD= 号B武，则AD/BC,AD≠BC,则四边形ABCD为梯形.判断 B正确；选项C:若|A市+Ad1=|AB-AD1,则 |AB+AD12-|AB-AD1?=4AB·AD=0,则AB⊥AD, 即∠BAD=90°.仅由∠BAD=90°不能判定四边形ABCD 为菱形.判断C错误；选项D:若AB=D心，则AB∥DC,AB =DC,则四边形ABCD为平行四边形，又由AC⊥Bd,可得 对角线AC⊥BD,则平行四边形ABCD为菱形.判断D错 误.故选AB. 【基础训练】 1.A【解析】对于A,若a=b,则a=b,故A正确；对于 B,若b=0,则a∥c不一定成立，故B错误；对于C,若a,b是 共线的单位向量，则a=b或a=一b,故C错误；对于D,若a =b,则a,b是共线向量，故D错误.故选A 2D【解析】由题意知A0=号恋+子A心=号mA访+子n N,又MN,0三点共线，故号m+子1=1，所以2m十n 3.故选D. 3.C【解析】△ABC中，=号BC, 市=号花，如图所示，肺-Bi十 本=一市+号A花=一成+号 B (迹+成)=-市+号（市+号武）=一站+号 [A市+号(A心-A市)]=子A+号AC故选C 4.A【解析】因为O心=Oi+B武-O市+2AC=Oi+2(元 OA),所以OC=2OA-OB. 5.A 【解析】由题设，3PA=C克+ BP=C,故C,P,A共线且CP= 3PA,如右图示：所以S△B即： S△=1：4.故选A 6B【解析】由已知得，A心=了A恋， 故CD=C+办-CA+号A市=+号C市-CA=号C耐 +成故=子 7.B【解析】因为B,G,F三点共线，所以AG=入AB十(1-) A市=2λAE+(1-λ)AF;同理由C,G,E三点共线得AG=H 花+0=+2-pt,所以2- 1 入=3 解得 5 艺考一本通数学 故恋=号证+号证，所以x=y=号，所以x十y=青，故 选B. 8.A【解析】由Oi+Oi+Cd=0得Oi+O范=O心，由O为 △ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形 OACB为菱形，且∠CAO=60°，故A=30°. 9.(一4，一8)【解析】由a∥b,然后根据平面向量共线（平 行)的坐标表示建立等式即1×m=2X(一2)，求出m=一4， 然后根据平面向量的坐标运算得2a十3b=2(1,2)十 3(-2,-4)=(-4,-8). 10.1【解析】画出图形，如图所示： 因为BC=3C市，所以Bd=B武+CD=专BC: 所以A市=A+励=A花+4成=A范+专(A花-A)= 专恋+号d.所以=子0=专：所以十=1 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 【典例变式】 变式训练 1.2【解析】a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a· (a-b)=0,则x十1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则a =√2.故答案为√2. 2.B【解析】2a十b=(-1,2m+1),由题意知-3(2m十1)= -1,解得m=一子，故选B 3.√5-1【解析】因为1心1=2，所以O心1=1+c2=4,因为 c>0,所以c=√3.因为O元=入O才十4O范，所以(-1,3)= A(1,0)十(0,1)，所以1=-1，=3，所以A十4=3-1. 变式训练二 1.C【解析】由题意可得a·b=|a·|b1·cos(a,b)=2× √3×cos30°=3，故选C 2.AC【解析】对于A,若入=，则G为AB的中点，心-E成 +i+AG=第+萨-市+号A范=2耐+萨-范 A亦+AB=一2AB-2A市，A正确：对于B,由正六边形 的性质知向量CD与A市的夹角为？，则向量Cd在A市上的投 d至速所以=专B雄 影向量为AB机 误：对于C,以A为坐标原点，AB,AE正方向为x,y轴，可建 立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0), 设P(m,n)(-1≤m≤3)，所以AP=(m,n),AB=(2,0), 所以AP·AB=2m∈[-2,6]，C正确；对于D,由题意知： E(0,23),C(3,W5),AB=(2,0),设G(t,0)(0≤≤2)， 所以CE=(-3,W5),花=(1-3，-3)，所以花·CE= 3(1-3)-3=1,解得：1=号，所以G=(号，0），恋- 6 (2,0),所以AG=号AB,即入=吾，D错误.故选AC 变式训练三 1.C【解析】依题意得a·b=分，a十3b= √a+9b+6a·b=13,故选C. 2.D【解法一】设a与b-a的夹角为0.因为|a+b= a-b1,所以a+b12=a-b2,即|a2+2a·b+|b2= a2-2a·b十|b2,所以a·b=0.因为a,b为非零单位向 量，所以(b-a)2=2,即|b-a=√2.因为a·(b-a)=a·b a·a=1=ab-ao0,所以co0=15号，因 为0E[0,],所以0=3x. 4 b-a a+b 【解法二】（几何法）如上图，a十b与a一b分别表示以a,b 为邻边（共起，点）的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱 形为正方形，再作出b-a知a与b-a的夹角为买. 【解法三】（坐标法）由a十b=a一b得a⊥b,又a,b为单位 向量，则在平面直角坐标系中取a=(1,0),b=(0,1),则b-a =(-1,l),由向量夹角的坐标运算知a与bQ的夹角为还。 3.BCD【解析h·b=3os0+sim0=2sin(叶号)，若ab, 则2sim(叶否)=0，因为9E(0,受)，此时0无解，故A错 误：若a/∥b,则3sin0-c0s0=0,因为0e(0,受)，所以0= 若，故B正确：a…b=2sin(0叶号)，因为0e(0,受)，所以0 +吾∈（号号x),则sm(叶吾）（分，1]，所以a:b 2in(什5）∈(1,2]，故C正确：a-h1 √W3-os02+(1-sn0)=√/5-4os(0-),因为0e (0,受)，则0-吾∈（-否，号)，所以s(0-晋)∈ (受，1]，则a-1∈[1w),故D正确.故选BCD 42【解析】由巴知可得a·b=1X反×号-=1.因为b-a 与a垂直，所以(tb一a)·a=0,得a·b-a2=0,即t-2= 0,故t=2. 5.C【解析】由题意知，a,b为单位向量，所以|a=1,|b|= 1,又由|b-2a=√/(b-2a)7=√6-4a·b+4a=