第2讲 复数-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 7.AB【解析】若a十b>2,则a3+6=(a+b)(a2-ab+)= (a+b0[(a+b)2-3ab]>(a+b).[(a+b)2-3a+b>]> 4 2成立；若a+b>2,则d+2>ab)>2成立：ab< 2 碧无法荆南出b1: (日+右)a+b>4,因为a+6>2,所以不能得出日+方 与2的大小关系.故选AB. 8.B【解析】因为集合A={一2，一1,0,1}，B={xx>一1}， 所以A∩B={0,1}.故选B. 9.B【解析】因为A={xx2>1}={x|x<-1或x>1冫， 所以CRA={x|一1≤x≤1》=[-1,1].故选B. 10.D【解析】解不等式2x2-7x-4<0得-号<x<4,则 A=(-,4):解不等式n(x-1)≥0得x≥2，则B= [2,+∞).所以AnB=(-号，4)n[2,+∞)=[24). 故选D. 11.B【解析】由x2-4>0,得x<-2或x>2,所以M= {x|x<-2或x>2},所以CRM={x-2≤x≤2}，因为 N={x0<x4},所以(CRM)∩N={x0x2}, 故选B. 12.C【解析】因为集合A={x∈Z-3≤x≤1〉= {-3,-2,-1,0,1〉，集合B={x|0≤x≤2}，所以A∩B ={0,1},所以A∩B的真子集个数为22-1=3，故选C. 13.BCD【解析】x<y台x<y,故“x<y”是“x3y”的充要 条件，故A错误；由lg(y一x)>0得y>x十1>x能推出x <y,反之不成立，所以“1g(y-x)>0”是“x<y”的充分 不必要条件，故B正确：由>}0可得0<<，故 <y,反之不成立，故“上>1>0”是“x<y”的充分不必 x y 要条件，故C正确；易知“x<y”是“x3<y”的充分不必 要条件，故D正确.故选BCD. 14.8【解析】因为a∈P,b∈Q,所以对a,b分别取P,Q中的 元素，一一列出集合P十Q中的元素，于是，依次分别取@ =0,2,5,b=1,2,6,并分别求和，注意到集合中元素的互异 性，则P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11},故共有8个元素. 15.C【解析】对于(1)，易知2,3∈T,所以应有是∈S,矛盾， 即1错误：对于(2，易知2,48∈T且号=号=2ES,号 =4∈S,则可取T={2,4,8}满足题意，即(2)正确；对于 (③)，易知2,32∈T,所以应有号=16∈S,矛盾，即(3)错 :时千40，易知8,163264,128∈不且紧-影-器 9=2s,器酷-号=4cs紧-号-8csg 16∈S,则可取T={8,16,32,64,128}满足题意，即(4)正 确；故选C 第2讲复数 【典例变式】 变式训练一 1.A【解析】由题意得m10解得m=1,故选A 1m+1≠0， 2D【解折】由于号》·一=2，可得：=2士+2型 2-3i 2 ==锡=i2+30=-3+2红所以的实 部为一3，虚部为2，所以=一3一2i,|x=√(-3)2+2= /13.故选BD. 3A【解折扪导i得1一=i计 即1十D=1-i则=号-i,因此=i,故选A 4书【解折】因为-法昌-音十所以实部 为号，虚部为受，实部与虚部之积为子故选B 5 5.A【解析】由已知得x(2+i)=5,故=2升=2-i,所以复 数之的虚部为一1，故选A 6D【解析】由复数的运算法则，可得=岩 D=是+部所以=音一》故选D 17 变式训练二 1C【解折1=5D=1-i#选C 5 2B【解折1向1-0=2，可得=名-20-1+i, 2 故选B. 3.5二1十5i【解析】因为=2十i,所以=√/公+平= 13 2i 2i 2i2i(5+i) 5:2·2==2+i)2-iD==号马=(6-(6+D= 结0=洁，故答案为，洁 26 13 4C【解标】因为产=牛=1十=1十i所以=1 十}=1-i故选C C【解折1=1=2=()°=1.故选C _3-i3-D(2-iD=5-5i=1-i, 6.B【解析】依题意2年-名弄22号-5 则2千=1-i=2.故选B 5 5(2+i) 7.C【解析】由=22-(22+5=2+i,所以x·= (2+i)(2-i)=5.故选C. 8C【解标】由i=-2+得=半=-i(-2+》 1+2i,故|z=1+2i=√+2=√5.故选C. 久B【解析1因为=升=22 5i(2+i)=5i(2+i2=i(2 5 +i)=-1+2i,则之-4i=-1+2i-4i=-1-2i,所以 |z-4i=√/(-1)+(-2)7=√5.故选B. 变式训练三 1.B【解析】复数i(i十2)=+2i=一1十2i对应的点为 （一1,2)，故选B. 2.A【解折周为=1+i,所以2+2=吊十1+i2 +1计2计f=21+2=1+i.所以该复数 2 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故 选A. 3.A【解析】由题意知之=1一i,所以·(x十1)=(1一i)· (2-i)=1-3i.故选A 【基础训练】 1.B【解析】因为1=m十2i,2=3一4i,所以1·2=(m十 2i)(3-4i)=3m十8+(6-4m)i,因为·2为实数，所以6 一4m=0,则m=号.故选B 2B【解标】由题走释=吕=得牛书=生兰- 2十i,所以之的虚部为1.故选B. 3.C【解析】因为十i十2=0，所以-之十i+2=0,即= 1十i,所以=厄.故选C 2 .A【解桥】由题意正x一)=1一i,解得x y=1.故x-y=1. 221-D=2-2=1-i, 5.A【解析】由题意得x=千一1十D(1一D2 所以之的虚部为一1，故选A. 6.A【解析】由之=2十刘=2+i+1一2i=3-i,则=3+i对 应的点为(3,1)位于第一象限，所以A正确，故选A 7,A【锦桥1-得30翠=1- 8.BCD【解析】设=a+bi,2=c+di(a,b,c,d∈R),对于 A,若2一=c十di一a一bi>1,则ca>1,d=b,2=c十 di,1十1=1一a一bi因为虚数不能比较大小，故A错误：对 于B,若2=1，即c十di=a一bi,可得a=c,d=一b,则名一 2=a十bi-c一i=一2di为纯虚数，故B正确；对于C,若号 十号=0，则好=一号=号护，可得=2i,或1=一21，即 兰=i,或三=一i,故C正确：对于D,若=6十8i,则 Z? (a十bi)2=a2-b2+2abi=6+8i,即a2-=6,2ab=8,解 得a=2,成a=-2 ,可得1=2√2+√2i,或1=-2 b=2 b=一√2 √2-2i,所以≈|=0，故D正确.故选BCD. 9.5巨【解析】由产=2i+3,得x=(2i计3)1-)=5-i, 则+4i=5+5i,故z+4i=5√2. 10.AD【解折1由i=2-i可得=2-2出=-1-2i, 1 |z=√5，故A正确；之=一1十2i,故B错误；之在复平面内 对应的点（一1，一2）位于第三象限，故C错误；2十22十5 一4十4i一2一4i十5=0，故D正确.故选AD. 11.A【解析】由条件等式知之=5+i3-2=8 2+i 2+i (8-iD(2-D=3-2i,所以=3+2i.故选A 12.A【解析】k=1+2)2=一3+4)(2+D=-10+5i -i十2 (2-i)(2+i) 5 一2十i,其虚部为1，故选A 13.C【解折1：(1-)=2.所以=产= 2i(1+i) 一2十2=一1十i,之的虚部为1，选项A错；之是虚数，选项 2 B错；z=√/(-1)2十1严=√2，选项C正确；之十=(-1十 i)十（一1-i)=一2，选项D错.故选C. 1D【解折1由=供=产。=受+受得1= √学P+(受严-号m=厄.所以m=士2故选D 15.C【解析】时于A中，例知：复数=2+.可得： 1,所以A不正确；对于B中，由复数的几何意义，可得1 参考答案·数学 之≤≤√2是以半径为1和半径为√2的圆构成的圆环，其中 圆环的面积为S=πX(/2)一πX12=π，所以B正确：对于 C中，由虚数的运算性质：in十+1十i+2十+3=0，可得i +￥+的+…十2025=506X0十2025=06×4+1=i,所以C正 确；对于D中，由复数一1十i是实系数方程x十px十q=0 的一个根，可得复数一1一i是实系数方程x2十px十q=0 的另一个根，则一=一1+i+(-1一i)=一2且q=(一1+ i)(一1一i)=2,即p=2,q=2,所以p十q=4,所以D不正 确.故选BC 第3讲不等式 【典例变式】 变式训练一 1.(1)【解析】(1)原不等式可化为3x2+2x一80，即(3x一4) x十2)≤0.解得-2<x<导，所以原不等式的解集 为a-2<≤号} 8)【解析】2)原不等天华价子任 |x2-x-2>0, 1(x-2)(x+1)>0, 1x2-x-6≤0， 台 1(x-3)(x+2)≤0 |x>2或x一-1，借助于数轴，如图所示， 1-2x3. -2-10123x 所以原不等式组的解集为{x一2≤x<-1或2<x≤3} 2.(-2,3) 【解析】依题意知， a 所以解得a=一12，c=2,所以不等式一cx2+2x一a>0, 即为-2x2+2x+12>0,即x2-x-6<0,解得-2<x<3. 所以不等式的解集为（一2,3）. 变式训练二 1.(1)(1,3)【解析】原不等式转化为(x一1)(x一3)0，解得 1<x3,则其解集为(1,3).故答案为(1,3). (2){x-1<x<1} 【解标】（②）不等式吉<3可以化为 5士-3<0，即2卫<0，故原不等式的解集 x+1 x+1 为{x-1<1}. 变式训练三 1.C【解析】（特殊值法）取a=一2，b=一1，逐个检验，可知 A.B,D项均不正确：C项，合<怡号=6a十1 |a(bl+1)台al|bl+|b|<|al|bl+|a台|bl<al, 因为a<b0,所以b<a成立. 2.D【解析】当a=1,b=-2时，A不正确；当a=1,b=-2 时，B不正确；当a=1,b=-2时，C不正确；对于D,a>b ≥0，则a2>b,故选D. 3.B【解析】由c<ba→3c<a+b+c<3a,因为a十b+c 0,所以{0，对于6的值可正可负也可为0，所以①错误 因为ac<0,而a一c>0,所以ac(a一c)<0;②错误，因为 c<0,b-a<0,从而c(b-a)>0;③正确，因为形≥0，当b= 0时，c?=ab=0,当b>0时，由c<a→cb<a;④正确， 因为a>0,b>c→ab>ac;综上可知，选B. 4D【解析】由a∈(0，受)得0<2a<x,由8∈[0，受]得 吾<-号<0，所以-吾<2a一号<，故选D 3艺考一本通数学 第2讲 复数 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 内容 意义 备注 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 形如a+bi(a∈R,b∈ 若b=0,则a十bi为实 对应的，复数集C与复平面内所有以原 复数的 R)的数叫复数，其中实 数：若a=0且b≠0，则 概念 点O为起，点的向量组成的集合也是一一对 部为a,虚部为b a十bi为纯虚数 应的，即 a+bi=c+di台a=c且 复数相等 ①)复数之=a十i一对应复平面内的点 b=d(a,b,c,d∈R) Z(a,b)(a,b∈R). a十i与c十di共轭台 (2复数=4十i(a,b∈R)一对应平面向 共轭复数 a=c且b=-d(a,b,c, d∈R) 量O立. 实轴上的点都表示实 3.复数的运算 建立平面直角坐标系 数；除了原点外，虚轴 设=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R),则 来表示复数的平面叫 复平面 上的点都表示纯虚数， (1)加法：刘1+2=(a+bi)+(c+di)=(a+ 做复平面，x轴叫实轴， 各象限内的点都表示 y轴叫虚轴 c)+(b+d)i; 虚数 (2)减法：x1-2=(a十bi)-(c十di)=(a一 设O立对应的复数为之 c)+(b-d)i; =a十bi,则向量O立的 |之|=a+bi (3)乘法：·2=(a十bi)·(c+di)=(ac 复数的模 长度叫做复数之=a十 =a2+b bd)(ad-bc)i; bi的模 (0除法品牛”+出 ac+bd+(bc-ad)i(c十di≠0). c2+d2 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 复数的概念 (2)(2025·新课标I卷)(1+5i)i的虚部为 【例1】(1)(2022·全国乙卷)已知x=1-2i, () 且之十az十b=0,其中a,b为实数，则 A.-1 B.0 C.1 D.6 【解析】(1)z=1十2i,x十a2十b=1-2i十 A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 由之十a2十b=0,得 1十a+b=0,即 2a-2=0, ·6 第一部分一轮单元复习 第一单元 故选A 题型二 复数的运算 lb=-2. 【例2】(1)(2024·天津卷)已知i是虚数单 (2)因为(1+5i)i=i+5=一5+i,所以其 位，复数（√5+i)·(√5-2i)= 虚部为1，故选C. (2)(2025·新课标Ⅱ卷)已知之=1十i,则 【答案】(1)A(2)C 1 () 【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意 事项 A.-i B.i C.-1 D.1 (1)复数的分类及对应，点的位置问题都可以转 (3)(2025·北京卷)已知复数之满足i·之+ 化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题， 2=2i,则|x= () 只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满 A√2 B.2√2 C.4 D.8 足的方程（不等式）组即可. 【解析】(1)(W5+i)·(√5-2i)=5+√5i- (2)解题时一定要先看复数是否为a十bi(a,b∈ 2√5i+2=7一√5i.故答案为7-√5i. R)的形式，以确定实部和虚部. (2②)因为=1+i,所以马十白=月 1 1 变式训练一 1.设m∈R,复数之=m2-1十(m+1)i表示纯 =一i.故选A. 虚数，则m的值为 ( A.1 B.-1 C.±1 D.0 (3)由i·+2=2i可得，之=一2+21-2十 2(多造)复数：清起 ·之一3i=2,则下列 2i,所以z=√22十22=2√2，故选B. 说法正确的是 ( 【答案】(1)7-√5i(2)A(3)B A.x的实部为3 B.之的虚部为2 【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型 C.x=-3+2i D.|z=13 及解题策略 3.设复数：满足卡三-i,则：的共轭复数为 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四 则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类 项，不含1的看作另一类同类项，分别合并 A.i B.-i C.2i D.-2i 是虚数年位则复数 即可 的实部与虚部之积 (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以 为 分母的共轭复数，解题时要注意把ⅰ的幂写成 A.- D.- 最简形式： (3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复 5.已知复数之满足之(2+i)=|3一4i(其中i为 数的运算法则化简，一般化为a十bi(a,b∈R)的 虚数单位)，则复数之的虚部为 形式，再结合相关定义解答， A.-1 B.-i C.1 D.i (4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利 6,若复数：满足之士，则：的共轭复数为 用复数的运算法则化简，一般化为a十bi(a,b∈ R)的形式，再结合复数的几何意义解答， ( (5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除 A-6+话 R古器 法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘 c-品+ D青清 除，后算加减，有括号要先算括号里面的. ·7 艺考一本通数学 应的点在第二象限，则实数α的取值范围是 变式训练二 () 5(1+3) B.（-o∞，-1) 1.2+(2-i A.（-∞，1) C.(1,+∞) D.(-1,+o∞) A.-1 B.1 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内， C.1-i D.1+i (1+3i)(3一i)对应的点位于 () 2.已知复数之满足(1一i)之=2i,i为虚数单 A.第一象限 B.第二象限 位，则之= ) C.第三象限 D.第四象限 A.1-i B.1+i 【解析】(1)复数(1-i)(a十i)=a+1十(1 c日 .i a)i,其在复平面内对应的，点(a+1,1一a)在 2i a+1<0, 3.若之=2十i,则x 第二象限，故 解得a<一1，故选B 之·21 1-a>0, (2)(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,复 4.(2024·新课标I卷)若产1中i,则 数对应的，点位于复平面内第一象限，故 选A ( 【答案】(1)B(2)A A.-1-i B.-1+i 【规律方法】复数的几何意义及应用 C.1-i D.1+i (1)复数之、复平面上的，点Z及向量OZ相互联系， 5.已知复数：告则 即x=a+bi(a,b∈R)台Za,b)=O2. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的 A.√2 B.2 C.1 D.√3 关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一 6若=3-i,则2 起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解 决更加直观. A.1 B.√2 C.√3 D.2 变式训练三 7.复数-25（其中为虚数单位），则· 1.在复平面内，复数i(i十2)对应的点的坐标为 ( ) () A.1 B.3 C.5 D.6 A.(1,2)B.(-1,2)C.(2,1)D.(2,-1) 8.设i为虚数单位，若i=一2十i,则z= 2.设=1十i(1为虚数单位)，则复数2+×在 ( 复平面内对应的点位于 () A.3 B.2 C.√5 D.3 A.第一象限 B.第二象限 9.复数x= 51(其中i为虚数单位)，则 2-1 C.第三象限 D.第四象限 |z-4i= ( 3.已知义在复平面内对应的点的坐标为 (1,-1),则x·(x十1) () A.5 B.√5 C.2 D.√2 A.1-3i B.1+3i 题型三复数的几何意义 C.-1-i D.1+i 【例3】(1)若复数(1一i)(a+i)在复平面内对 ·8… 第一部分一轮单元复习第一单元 随堂检测 湖 基础训练 温故知新 1.已知复数1=十2i,2=3一4i,若x1·2是 10.(多选)复数之满足i=2一i,则下列结论正 实数，则实数m ( 确的是 () A.- B c D.8 A.|z=√5 B.z=1+2i 2.已知x-其巾为虚数单位)则之的虚 C.之在复平面内对应的点位于第四象限 部为 ( D.x2+2x+5=0 A.2 B.1 C.2i D,i 11.已知i是虚数单位，(2+i)之一3+2i=5+i, 3.复数之满足十i十2=0，则z=( 则复数之的共轭复数等于 () A.1 B.√ C.√2 A.3+2i B.3-2i D.2 C.-3+2i D.-3-2i 4.已知千：-1一i,其中xy是实数i是虚数 12.复数= (1+2i)2 () 单位，则x一y= -i+2 ,则x的虚部是 ( A.1 B.i A.1 B.2 C.3 D.4 C.-2 D.-1 5.在复平面内，复数= 2 中，则之的虚部是 13.若复数之满足之(1一)=2i,则下列说法正 ( 确的是 () A.-1 B.1 C.2 D.-2 A.之的虚部为2 B.之为实数 6.已知复数1=2十i,2=1一2i,复数x=2十 C.x=√2 D.x十x=2i ,则之的共轭复数之对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 14.若复数之=m∈R),且=，则m mi C.第三象限 D.第四象限 () 7.1是虚数单位，复数中 A.±1 B.±√3 C.士2 D.士2 A.1-i B.-1+i 15.(多选)设复数之在复平面内对应的点为Z,i c是 n号+ 为虚数单位，则下列说法正确的是() 8.（多选)已知虚数，，则下列结论正确的 A.若|x=1,则x=士1或x=士i 是 B.若1≤x≤√2，则点Z的集合所构成的 A.若2一>1，则2>1十刘 图形的面积为π B.若2=，则一为纯虚数 C.i+i+i3+…+i2025=i D.若一1+i是实系数方程x2十px十q=0 C.若十号=0，则=i或=-i 2 的一个根，则十g=0 D.若=6+8i,则||=√10 9.若产=2i十3i为虚数单位)，则+4i= ·9·