2025-2026学年浙教版八年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年八上数学第一次月考卷 考试范围：浙教版2024新教材第1-2章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．中国的博览会是指规模庞大、内容广泛、展出者和参观者众多的展览会．下面各博览会徽标中，是轴对称图形的是（   ） A． B．  C．   D．   2．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 3．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．下列叙述中正确的是（    ） A．等腰三角形的高线、角平分线、中线互相重合； B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形； C．等腰三角形一边的中点到两腰的距离相等； D．等腰三角形的两个内角相等． 6．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，平分，交于点，为上一点，交的延长线于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在中，，，则 ． 12．已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是 ． 13．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 14．如图，，是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ． 15．如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 16．如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．如图，交于点E，，．求证：． 18．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 19．如图，在的正方形网格中，其中点都在格点上，请按下面要求完成画图． (1)请在图①中画，使点在格点上，为轴对称图形，且为的对称点； (2)请在图②中画，使点在格点上，为轴对称图形，且为的对称点． 20．如图所示，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形． 21．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)__________． (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由． (3)求四边形的面积． 22．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 23．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 24．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八上数学第一次月考卷 考试范围：浙教版2024新教材第1-2章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．中国的博览会是指规模庞大、内容广泛、展出者和参观者众多的展览会．下面各博览会徽标中，是轴对称图形的是（   ） A． B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故B 选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 2．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 3．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三角形是否为直角三角形），解题的关键是对于每组边长，找出最长边，验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，若满足则为直角三角形． 先确定每组选项中的最长边（直角三角形中最长边为斜边）；再分别计算最长边的平方，以及另外两边的平方和；比较两者是否相等，相等则该组边长能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、选项中三边长为1，2，2，最长边为2计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、选项中三边长为2，3，4，最长边为4计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、选项中三边长为3，4，5，最长边为5计算：， ∵， ∴能组成直角三角形，此选项符合题意； D、选项中三边长为4，5，6，最长边为6计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 5．下列叙述中正确的是（    ） A．等腰三角形的高线、角平分线、中线互相重合； B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形； C．等腰三角形一边的中点到两腰的距离相等； D．等腰三角形的两个内角相等． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合，故选项错误，不符合题意； B、有一内角为的等腰三角形是等边三角形，故选项正确，符合题意； C、等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的两个底角相等，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 6．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角板的知识，是基础题，熟记定理是解题的关键．由题可得，，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ． ，， ． ， ． 故选：C． 7．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线， 根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴. 同理，. 故选：A. 8．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 9．如图，在中，平分，交于点，为上一点，交的延长线于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质．根据角平分线的定义得出，根据三角形内角之和为得出，求出，结合题意求出，，结合三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，，， ∴． 故选：A． 10．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等知识，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴，，，，…， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12．已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此回答即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴， 即． 故答案为： ． 13．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 14．如图，，是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ，是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ 故答案为： 15．如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】138 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理有， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米， ∴厘米， ∴ （平方厘米）． 故答案为：138 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．如图，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 18．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明过程见详解． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ． 19．如图，在的正方形网格中，其中点都在格点上，请按下面要求完成画图． (1)请在图①中画，使点在格点上，为轴对称图形，且为的对称点； (2)请在图②中画，使点在格点上，为轴对称图形，且为的对称点． 【答案】(1)画图见解析（答案不唯一） (2)画图见解析（答案不唯一） 【分析】（）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据轴对称图形的性质画图即可； 本题考查了画轴对称图形，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 20．如图所示，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图－垂直平分线，等边三角形的判定，等边对等角等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）作边的垂直平分线，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得的度数，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 21．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)__________． (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由． (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论； （3）根据勾股定理可求出的长，则可证明，得是直角三角形，结合（2）结果，可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 如图，由勾股定理得：， ∵， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，由勾股定理得：，， ∵， ， ， ， ， ． 22．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再证明，可得； （2）由（1）知，，，可得，由，，推出． 【详解】（1）平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． （2）由（1）知，，， 由得，， ，， 两式相减，可求得 ． 故答案为：4． 23．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 24．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $