第3章 不等式（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第3章 不等式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设a，b，m都是正数，且，记，则（ ） A. B. C. D. 与的大小与的取值有关 2.不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 3.已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元，而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（　　） A. 2枝玫瑰的价格高 B. 3枝康乃馨的价格高 C. 价格相同 D. 不确定 4.给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知关于一元二次不等式的解集为，则有（　　） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 7.关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知实数满足，，则（ ） A． B． C． D． 10.下列命题正确的是（ ） A. 在上恒成立，则实数的取值范围是 B. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D. 若不等式的解集为或，则 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点为______. 13.已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 14.已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.，集合，设集合 （1）求； （2）当时，求函数的最小值. 16.已知正数，满足. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 17.某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 18.已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19.为了方便，我们可将函数的自变量x对应的函数值记为，从而函数可以写成，进而时对应函数值为.已知二次函数. （1）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围； （2）已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设a，b，m都是正数，且，记，则（ ） A. B. C. D. 与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【解析】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 2.不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】当时直接得解，当时原不等式等价于，再解分式不等式即可. 【解析】不等式， 当时，不等式显然成立； 当时，则原不等式等价于， 等价于，解得或， 综上可得原不等式的解集为. 故选：D 3.已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元，而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（　　） A. 2枝玫瑰的价格高 B. 3枝康乃馨的价格高 C. 价格相同 D. 不确定 【答案】A 【分析】根据已知条件列不等式，根据不等式的性质以及差比较法求得正确答案. 【解析】设枝玫瑰元，枝康乃馨元， 则， 设， 所以，解得， 所以， 所以，所以枝玫瑰的价格高. 故选：A 4.给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 5.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【解析】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 6.已知关于一元二次不等式的解集为，则有（　　） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解. 【解析】因为一元二次不等式的解集为， 所以当且仅当，即当且仅当， 所以 因为，所以上式， 当且仅当，即时取等. 所以有最大值. 故选：B. 7.关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分类讨论，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围． 【解析】由可得， 当时，，即原不等式无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此由数轴法可得，即； 综上：或，所以实数的取值范围为或． 故选：C． 8.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解. 【解析】因为不等式的解集为， 所以二次函数y的对称轴为直线， 且需满足，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知实数满足，，则（ ） A． A． A． A． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质即得. 【解析】因为，所以，A正确； 因为，所以，解得，B错误； 因为，，所以，C正确； ，，所以， D错误.故选：AC. 10.下列命题正确的是（ ） A. 在上恒成立，则实数的取值范围是 B. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】ABD 【分析】A：令，则即可求得的范围； B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集； C：令，则即可求得的范围； D：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断的符号. 【解析】A：在上恒成立，令， 则，即，解得，故A正确； B：关于的不等式的解集是， 则关于的不等式等价于，即， 解得或，故B正确； C：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有，即， 解得，故C错误； D：若不等式的解集为或， 则，且， 又，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【解析】因为，当且仅当时取等号， 结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确； ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值，C正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点为______. 【答案】2 【分析】有零点的定义即得 【解析】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 13.已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【解析】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 14.已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.，集合，设集合 （1）求； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解分式不等式求出集合，再进行集合补集、交集运算，即可得到答案； （2）利用基本不等式求函数的最小值即可； 【解析】（1）由，即，解得， 所以， 由，等价于，解得， 所以， 所以，则； （2）当时，即，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数的最小值为. 16.已知正数，满足. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）8；（2）. 【分析】（1），根据基本不等式，即可求得答案. （2）原式可化为，令，，条件可化为，代入所求，根据基本不等式，可求得最小值，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【解析】（1）， 解得， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为8； （2）原式可化为， 令，，条件可化为， 因为， 所以， 则 ， 当且仅当，即，时取等， 所以，解得. 17.某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 【答案】（1）0.6元/（kW·h） （2） 【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益 当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价. （2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可 【解析】（1）由题意知，下调电价后新增用电量为. 故电力部门的收益，. （1）当时，. 由题意知且. 化简得. 解得. 或 又 .· 所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% （2）当时，. 令，，.· ， 当且仅当时取等号. 故收益的最小值. 18.已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 19.为了方便，我们可将函数的自变量x对应的函数值记为，从而函数可以写成，进而时对应函数值为.已知二次函数. （1）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围； （2）已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）分离参数得对恒成立，只需，令得，利用均值不等式求最小值即可； （2）由，使不等式成立可得是一元二次函数，利用对称轴位置求最小值即可. 【解析】（1）由得， 当时，，所以对恒成立，只需即可，令，由得且， 则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即. （2）由，使不等式成立可得即可， 由在上，所以可得， 而的对称轴为， ①当即时，在上的图像逐渐上升， 则，解得，综上； ②当即时， ，解得或， 综上； ③当即时在上的图像逐渐下降， 则，解得 综合①②③可得的取值范围为或. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $