黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（二）

数学试卷（二） （本试卷满分150分，考试时间120分钟) 学 校 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写 在试卷和答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需 考 号 装 改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签 字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数x满足，二；=-2+i,则复数x的共轭复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={-1,1,2,3},集合B=xnx<1},则A∩B= A.{1} B.{-1,18 C.{1,2} D.{-1,1,2} 3.已知向量a=(1,2),b=(m,3),且a∥(a+2b),则m= A方 B.1 c D.2 可 4.已知圆E:x2+y2-6x-8y=0,圆F:x2+y2-2x-4y+4=0,则这两圆的位置关系为 A.内含 B.相切 C.相交 D.外离 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f八2-x),且Hx1,x2∈（-∞，2](x1≠x2),都有 (x1-x2)[f(x)-f八x2)]<0,则f0),f3),π)的大小关系是 A.f0)<f(3)<fπ) B.f(3)<f(π)<f(0) C.f(0)<f(π)<f3) D.f(π)<f(3)<f(0) 6.已知函数八x)=5sin2x+2osx-1,将函数f(a)的图象向右平移石个单位长度可得到函 数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A函数人)的最小正周期为罗 B.函数f(x)的最大值为√3 线 C.函数g(x)是奇函数 D.函数g(x)在区间[0，]上单调递增 7.在正方体ABCD-AB,C,D1中，若DD1的中点为Q,则过点Q,A,B,三点的截面是 A.三角形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 8已知椭圆C:号+若=1(a>6>0)的左、右焦点分别为R1,F,左右顶点分别为M,N,过F 的直线I交C于A,B两点（异于点M,N),△AFB的周长为43，且直线AM与AN的斜率 之积为-子，则椭圆C的标准方程为 数学试卷（二）第1页 （共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,且S5=4a4-1,{ 是以1为公 差的等差数列，则下列结论正确的是 A.d=1 B.S5=15 C.a=n D.S=n(n-1) 2 10.某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣， 特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩X~N(70,σ2)，其中不低 于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机 选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为Y,则 A.该知识竞赛的及格率为60% R.PY=2)- 32 C.E(Y)=3 D.D(Y)=0.8 2-（2) ,x<0 11.已知函数f(x)= ,则下列说法正确的是 e-1,x≥0 A.f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(0,1) B.f(x)有3个零点 C.若关于x的方程[f(x)]2+(1-a)f(x)-a=0有四个不同实根，则a∈(0,1) D若x≥0，八)≤m+2m恒成立，则m∈[分e,+∞ 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.二项式(2-2)x+)'的展开式中的常数项为 (用数字作答) 1 13.在数列a.中，a,+a1=2n+1(neN),数列a.的前n项和为S,若6，-5-，则 数列{bn}的前n项和为 14.已知函数f(x)=4-m·2+'+m2-3,若f(x)的图象上存在不同的两个点关于原点对称， 则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=lnx,g(x)=1-4(x>0,aeR). (1)若曲线y=f八x)在点P(1,0)处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a的值； (2)若f(x)≥g(x),求a的最小值. 数学试卷（二）第2页（共4页） 16.(15分) 在2025年春晚《秧B0T》节目中，宇树科技的Unitree H1“福兮”机器人采用人工智能(AI) 驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿·米， 节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情.为了了解不同性别的学生对A虹的关注 情况，某校随机抽取了90名学生，调查结果如表： 性别 关注 不关注 合计 男 55 60 女 合计 75 (1)完成上述列联表，根据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与 性别有关？ (2)在这90名学生中随机抽取一位，若事件A表示“该生关注A”,事件B表示“该生为女 生”，求P(A),P(B),P(AUB)及P(BIA)的值 n(ad -be)2 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d ,其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.7063.841 5.024 6.63510.828 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD上，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥平面 ABCD,Q为AD的中点，M是棱PC上的点（不含端点），PA=PD=2,BC=AD=1,CD=5, (1)求证：平面MQB⊥平面PAD; (2)若二面角MB0C大小为0，求兴的值 数学试卷（二）第3页（共4页） 18.(17分) 已知双曲线C:号-1(@>0.6>0)的离心率为2，点0为坐标原点，过C的右焦点的直 线1交C的右支于P,Q两点，当1⊥x轴时，1PQ1=22. (1)求C的方程； (2)过点P作直线x=1的垂线，垂足为N. ①证明：直线QN过定点； ②求△OQN面积的最小值， 装 19.(17分) 在△ABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c,bsin A+atan Acos B=2 asin C. (1)求角A的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多 订 数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西 不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： (x11+x22+x3y3)2≤(x12+x22+x32)(y2+y22+y32) 其中1，x1,2,为∈R,当且仅当=点=时等号成立.在(1)的条件下，若a=3. y1 y2 y3 2 1 ①求(a2+b2+c2) 的最小值： ②若P是△ABC内一点，过点P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F,设△ABC 线 的面积为S求T品++的最小值 数学试卷（二）第4页（共4页） 数学练习卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C A B D B A 【解析】 1.复数：满足，产；=-2+i,则：=(1-i)(-2+i)=-1+3i,故=-1-31，故复数：的共轭复 数在复平面内对应的点(-1，-3)位于第三象限，故选C. 2.集合A={-1,1,2,3},集合B=xlInx<1}=xl0<x<e},所以A∩B={1,2},故选C. 3.由已知，向量a+2b=(1,2)+2(m,3)=(1+2m,8),因为a∥(a+2b),所以1×8=2×(1+ 2m),解得m=号，故选C 4.根据题意，化简得圆E:(x-3)2+(y-4)2=25,圆心为E(3,4),半径r1=5,圆F:(x-1)2+ (y-2)2=1,圆心为F(1,2),半径r2=1,圆心距1EF1=√(3-1)+(4-2)2=22<r1-r2 =4,所以两圆内含，故选A. 5.因为函数f(x)满足f八x+2)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于x=2对称，因为Hx,x2∈ (-∞，2](x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x)-f八x2)]<0,所以函数f(x)在(-，2]上单调递 减，结合对称性可知函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，因为3<π<4，所以f(3)<(π)< f(4)=f(0),故选B. 6由题意得/x)=5sm2x+2csx-1=2sm2x+）,则)的最小正周期T-2=m,最大 值为2，选项A,B错误；将函数(x)的图象向右平移石个单位长度可得到函数g(x)的图象， 所以g(x)=2sim[2(x-石）+]=2sim(2x-）,g(0)≠0，所以选项C错误；令-受+26m ≤2x-石≤牙+2km,keZ,得-石+km≤x≤写+km,keZ,因为[0，][-石，]，所以 函数g(x)在区间[0，]上单调递增，故选项D正确，故选D, 7.如图所示，取CD1的中点P,连接PQ,PB1,AB,AQ和DC1,因为P,Q分别 是C,D,DD的中点，所以PQL2CD,又AB,∥CD,故PQL2AB,故 A,B1,P,Q四点共面，且四边形ABPQ是过Q,A,B,三点的截面，又因为 四边形ABPQ是梯形，故选B. 参考答案第10页（共17页) 8.△AF,B的周长为45，由椭圆定义得4a=45,解得a=5,所以M(-√5,0)，N(5,0), 段哈答1可=湖5产后 - x12-3 :-号：子，解得8=2.所以椭圆C的方程为号 3 +行=1，故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC BD ACD 【解析】 9由=4a,-1得5+10u=4a+12d-1,所以4=2d-10,因为数列}是以1为公差 的等差数列，所以2_2S-1,化简得2S,=3a2,所以4a,+2d=301+3d,即4，=4d2,由①2 a al 解得a,=d=1,所以S,=5a+101=15,a=,S,=nn,D,故ABC正确，D错误，故选ABC 2 10.学生成绩X~N(70,σ2)，由题意可得P(X≥80)=P(X≤60)=0.2，所以P(X≥60)=1- P(X≤60)=0.8，即该知识竞赛的及格率为80%，故A错误；由题意可得Y~B5,号)，所以 Py=2)=Gx(2×（兮P-器B(=5×号=4，D()=5x×写=08故BD正 4 确，C错误，故选BD 山.当<0时，)=2-（分）此时x)在(-x,0)上单调递增，当≥0时，x)=点，则 f()=二，当0<x<1时，(x)>0,)在(0,1)上单调递增，当x>1时，了"()<0， f(x)在(1，+∞)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(0,1)，故A正确；当 x<0时，令2-(2)=0，得x=-1,当x≥0时，令。六=0，得x=0,所以函数x)有2个零 点，故B错误；因为[f(x)]2+(1-a)f(x)-a=0,即[fx)+1][f(x)-a]=0,所以f(x) =-1或f(x)=a,因为f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以当x=1时， 函数(x)有最大值(1)=1，当x≥0时，≥0，所以八x)的图象如图所示， 参考答案第11页（共17页) f(x) 由图可知f八x)=-1有一个根，若满足关于x的方程[f(x)]2+(1-a)f(x)-a=0有四个 不同实根，则f(x)=a有三个不同实根，所以a∈(0,1)，故C正确；若Hx≥0，f(x)≤mx+ xe 2m恒成立，则m≥ ≥0，所以).位 ,令g(x)=e ,由 x+ x+ (e+2 g(x)=0,得x=-1(舍)或x=2,当0≤x<2时，8'(x)>0,所以g(x)在[0，)上单调递 增，当x>时，g'(x)<0,所以g(x)在（分，+）上单调递减，所以当x=时，g(x)有最 大值为g(分）)=2c,所以m≥2c÷,所以m∈[2c,+小，故D正确，故选ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.-815.n+14.[1-5,2] 【解析】 12.因为x+展开式的通项为T1=CG(日)=C之，令4-2r=-2,得r=3,令4 2r=0,得r=2,故二项武(-2)(x+) 的展开式中的常数项为C-2C=-8. 13.因为S=(a1+a)+(a,+a4)+…+(a-1+a2)=3+7+…+4n-1=n(3+4n-= 2 2所以。。片女所以数列防前项和1-号+片号 1-1=n nn+l n+l 14.由题意可得-f(x)=f(-x)在R上有解，即-(4-m·2x+1+m2-3)=4-x-m·2-x+1+ m2-3在R上有解，即(2+2-)2-2m(2+2x)+2m2-8=0在R上有解，令t=2+2- (t≥2)，则2-2mt+2m2-8=0在t∈[2，+∞)时有解，令g(t)=2-2mt+2m2-8,其对称 轴为t=m,①当m>2时，g(t)在[2，m]上单调递减，在[m,+∞)上单调递增，g(t)mim= g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0，解得2<m≤22；②当m≤2时，g(t)在[2，+∞)上单调递 增，g(t)mm=g(2)=4-4m+2m2-8≤0，解得1-5≤m≤2.综上，me[1-5,22]. 参考答案第12页（共17页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 解：(1)因为f'(x)=(x>0), (1分) 所以k=∫'(1)=1， (2分) 所以函数f(x)在点P(1,0)处的切线方程为y-0=1(x-1),即x-y-1=0, (3分) 因为f(x)在点P(1,0)处的切线与曲线y=g(x)也相切， 设切线x-y-1=0与曲线y=8(x)的切点为，），(>0，aeR), 所以。-(2）-1=0，① (4分)》 因为g'(x)=(x>0,aeR) (5分) 所以=g)导1,2 (6分)》 联立①②解得a=1; (7分) (2)因为f(x)≥g(x),所以lnx-1+4≥0恒成立， 即a≥x-xnx在(0，+∞)上恒成立，所以a≥(x-xnx)mx, (8分) 令h(x)=x-lnx,则h'(x)=-nx, (9分) 当0<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， (10分) 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减， (11分) 所以h(x)mmx=h(1)=1,故a≥1， (12分) 故a的最小值为1. (13分) 16.(本小题满分15分)》 解：(1)根据题意，完成列联表如下： 性别 关注 不关注 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (3分) 零假设H。:学生对AI的关注与性别无关， (4分) 则x-90X65x1020X5=9>6.65, 75×15×60×30 (5分) 根据小概率值=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立， (6分) 所以能认为学生对AI的关注与性别有关； (7分) 参考答案第13页（共17页) 2P-宽-名 (9分) P(B)=30=1 90-3’ (11分) P(AB)=0=2 90-9， P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 18 (13分) 川a设-子名-吉 (15分) 17.(本小题满分15分)》 (1证明：AD∥BC,BC=24D,Q为AD的中点， ∴.四边形BCDQ为平行四边形，.CD∥BQ, 又：∠ADC=90°，.∠AQB=90°，即BQ⊥AD, (3分) 又：平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BQC平面ABCD, (4分) .BQ⊥平面PAD, (5分) BQC平面PQB,∴.平面PQB⊥平面PAD; (6分) (2)解：PA=PD,Q为AD的中点，.PQ1AD, ,'平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQC平面PAD, .PQ⊥平面ABCD, (8分) 以Q为原点建立如图所示的空间直角坐标系， (9分) 易知平面BQC的法向量为n=(0,0,1), (10分) 又PQ=5,…P(0,0,5),C(-1,5,0),P元=(-1,3，-5)，Q=(0,0,5), 设Pi=入P元=(-入，3入，-5入)，入∈(0,1)， .Qi=Qp+P7=(-入，5x,5-5A),又QB=(0,5,0), (12分) Qi·m=0 设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),则 0B.m=0' 令x=5,得m=(5,0亡入 (13分) 参考答案第14页（共17页) .二面角M-BQ-C为30°， cos30°=1m·nl-3 :份=号解得A=子 (14分) 即网-元兴是 (15分) 18.(本小题满分17分) (1)解：由题可知C=√2，a2+b2=c2, 则a=b,c=√2a, (2分) 由1⊥x轴时，IPQ1=22,可令P(2a,2), 代人双周线得昭-是1 解得a2=b2=2, (4分) 则所求方程为号-号=1： (5分) (2)①证明：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则N(1,y), 由l斜率不为0，可设1：x=my+2, 联立双曲线并整理得(m2-1)y2+4my+2=0, (7分) 则m2-1≠0,4=8m2+8>0, (8分) 所以y1+2=-4m 2 m2一12m2i (9分) 由与1，直线0：y编-+ 根据双曲线的对称性，直线Q所过定点必在x轴上， 令y=0,则空升(-1)+=0，解得x= (10分) y2-y 因为x2=m2+2,所以x=2-my2-2y (11分) y2-y1 而2=-2m,因此”=-m则x= 为++y2-2y13 2 (12分) yiy2 y2-Y1 2 所以Q过定点M(2,0: (13分) 32. ②50w=号0wI-为1=子+a广-4-32 m+1 (14分) m2-1≠0 由①得 8(m2+1)>0 ,解得0≤m2<1, (15分) (in=2 1c0 参考答案第15页（共17页) 令t=m2-1∈[-1,0)， 则sm婴平9层竖+ (16分) 因为te[-1,0),所以∈(-0，-1]， 所以当！=-1时，S取得最小值号 (17分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)在△ABC中，.bsin A+atan Acos B=2 asin C, ∴.由正弦定理得sin Bsin A+sin Atan Acos B=2 sin Asin C, (1分) 又sinA≠0，sinB+08A·cosB=2sinC (2分) 整理得sin Bcos A+sin Acos B=2 sin Ccos A, sin(B+A)=2sin Ccos A, (3分) 又A+B=T-C,所以sin(B+A)=sinC, (4分) 六sinC=2 sin Ceos A,sinC≠0，cosA= 2, (5分) 又Ae(0,m)A=; (6分) (2)①由题，(a2++c2) 1-2i s(5-B sin2(π+C =(a2+b2+c) 1一+ (7分) (8分) 3×3 sin T =108,(当且仅当asin A=bsin B=csin C,即△ABC为正三角形时取等号)， 2 1 1 所以(a2+b2+c2) 1 cos2A cos(B) sin2(π+C) 的最小值为108； (9分) 91BCI IACI C 9a b c2 9a2 62 2T=IPD1+PET+PFIIPDI+PE+PFI-cIPDIaIPEI Pr (10分) 又Sapm=cl1PDI,Sam=al1PEI,5e=1PF, 'S△Pan+S△Pac+S△Pmc=S△ABc,∴.clPD1+aPE1+bIPFI=2S, (11分) 2s7-aP0+aiE1+6lp)(n+ 参考答案第16页（共17页） ≥(c+3a+)3,当且仅当1Pm1==PF1时等号成立， (12分) 所以T≥c+30+b)2=(c+9+b)2=2(b+c+9)2 2S (13分) 2x2 csn号 √3bc 由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,得9=b2+c2-bc, (6+-9=3张，即-6+9-9，则72调t9（) 3 (14分) 令t=b+c+9,则T≥，252 25 25 u99容-817什-日 (15分) c=6+g°-9≤生)，且6+e>a=3, 3 ∴.3<b+c≤6，当且仅当b=c时等号成立， 12<≤55< (16分) 当}=时，72(}-名)°-日取得最大值，T取得最小值日此时b=c=3, 将6=c=3代入(*），得T的最小值为50 3 (17分) 参考答案第17页（共17页）