专题03 轴对称（期中真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期人教版2024

专题03 轴对称（期中真题汇编，安徽专用人教版2024） 4大高频考点概览 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 考点03 等腰三角形中的分类讨论 考点04 构造等腰三角形的方法 地 城 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列图形是化学中常用实验仪器的平面示意图，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 二、填空题 5．（22-23八年级上·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． ①若是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ； ②若是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 6．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ．    7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，，点、分别在射线、，，的面积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 三、解答题 8．（22-23八年级上·安徽淮南·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）和直线l． (1)在直线l上找一点P，使点P到边，的距离相等； (2)画出关于直线l对称的图形；再将向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形； (3)结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形和的对应点所具有的性质是 　 　． A．对应点连线互相平行 B．对应点连线被直线l垂直平分 C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合 地 城 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，为上的一点，在的右侧作，使得交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线，是等边三角形．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，满足． （1）若，则的度数等于 ． （2）若，，则线段的长为 ． 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论： ①；②；③；④连接，平分；⑤． 成立的结论有 （填写所有正确结论的序号） 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰中，，点D是线段AC上一点，过点D作交BC于点E，且，，求的度数． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．    (1)求证：； (2)求证：且； (3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 地 城 考点03 等腰三角形中的分类讨论 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 3．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）若等腰三角形的一个内角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰三角形周长为，其中一边长为，则底边长为 ． 5．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）若一个等腰三角形有两条边长分别为1和3，则这个等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在等腰中，，边上的中线把的周长分为15和17两部分． (1)求和的长； (2)若，且点到边的距离为4，求点到边的距离． 8．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若其周长为，一边长是另一条边的倍，求三角形的三条边长． 地 城 考点04 构造等腰三角形的方法 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，点在内部，平分，，连接若的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图、在等腰三角形中，，，是底边上的中线．若，分别是和上（不与端点重合）的动点，若，则的最小值是（    ） A．8 B． C．6 D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，锐角和中，平分，连接． （1）判断： （填“”“”或“”）； （2）作中线，交于点F，若，则 ． 三、解答题 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）以的边，为边作和，且，，与相交于点，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，直接写出________；（用含的式子表示） (3)如图2，若，，分别是，的中点，求的度数． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______． (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：． 6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，中，，以为底边作等腰三角形，，过点D作，垂足为F，与交于点E，连接．    (1)求证：． (2)若，，点P是射线上的一点，则当点P为何处时，的周长最小，并求出此时周长． 7．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，在四边形中，E是上一点，，，．    (1)求证：． (2)在图2中，为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写出证明过程． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（期中真题汇编，安徽专用人教版2024） 4大高频考点概览 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 考点03 等腰三角形中的分类讨论 考点04 构造等腰三角形的方法 地 城 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列图形是化学中常用实验仪器的平面示意图，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线性质，三角形内角和定理等知识，由等腰三角形的性质得出，再根据折叠的性质可得，，由，得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 二、填空题 5．（22-23八年级上·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． ①若是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ； ②若是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 【答案】 / 【分析】根据轴对称的性质，可得对称点的连线被对称轴垂直平分，即可得到两点到对称轴的距离相等．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， ∴它们到的距离相等，是个单位长度，轴， ∴点的坐标是． 若是关于直线的轴对称图形，则点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 6．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ．    【答案】/72度 【分析】由折叠可得，，，利用外角可得，则可得到答案. 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应角相等是解题的关键. 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，，点、分别在射线、，，的面积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题 8．（22-23八年级上·安徽淮南·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）和直线l． (1)在直线l上找一点P，使点P到边，的距离相等； (2)画出关于直线l对称的图形；再将向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形； (3)结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形和的对应点所具有的性质是 　 　． A．对应点连线互相平行 B．对应点连线被直线l垂直平分 C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)C 【分析】（1）作的平分线交l于点P； （2）利用对称的性质和平移的性质画出和； （3）利用和被l平分，在直线l上可对各选项进行判断． 【详解】（1）解∶ 如图，点P为所作， （2）解∶ 如图，和为所作， （3）解：对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 地 城 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，为上的一点，在的右侧作，使得交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 由，得，由，可推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，由，得，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线，是等边三角形．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，再由平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明，，从而证明，从而求出的周长即可． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为，能构成三角形， 综上，， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，满足． （1）若，则的度数等于 ． （2）若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）由角平分线得到，再由得到，即可得到； （2）作于点H，先证明，得到．再由，得到，结合，得到，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）如图，作于点H． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论： ①；②；③；④连接，平分；⑤． 成立的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④⑤ 【分析】①证，得，故①正确；②证，得，则，得，即可得出，故②正确；③由全等三角形的性质得，再①可知，，则，故③正确； ④过点C作于点M，于点N，由全等三角形的性质得，，再由三角形面积得，即可得出平分，故④正确； ⑤由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，故⑤正确；即可得出结论． 【详解】解：①∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③由②可知，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴，故③正确； ④如图，过点C作于点M，于点N， 由①可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分，故④正确； ⑤由①可知，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，恒成立的结论有​：①②③④⑤． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题是考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的判定、三角形面积以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰中，，点D是线段AC上一点，过点D作交BC于点E，且，，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，根据等腰三角形性质，由三角形内角和定理得，则，再根据平行线性质得，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用三角形内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∵， ，， ， ， 是的外角， ， ， ， 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．    (1)求证：； (2)求证：且； (3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（2）中结论成立，理由见解析 【分析】（1）用证明，可得，，利用线段的和差关系即可完成； （2）延长交于点，利用证明，得，,进而得，由（1）的结论即得，最后可得结论成立； （3）延长交于点，用证明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性质即得结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ，， ，， ． 在与中， ， ，， ， 即． （2）证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ，． 而由（1）， ， 又， ．    （3）证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ， 由（1）， ，， ∴， 又， ．    【点睛】本题是全等三角形的综合；考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；构造全等三角形是本题的关键与难点． 地 城 考点03 等腰三角形中的分类讨论 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 2．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，通过讨论当腰长为时，当底边长为时，根据三角形的周长，求出对应的底边长或腰长，再根据构成三角形的条件进行判断即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，则此时底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，则此时腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该三角形底边的长是或， 故选D． 二、填空题 3．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）若等腰三角形的一个内角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为，等腰三角形等边对等角，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 【详解】解：当为顶角时，该等腰三角形的顶角的度数为， 当为底角时，该等腰三角形的顶角的度数为， 综上所述，该等腰三角形的顶角的度数为或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰三角形周长为，其中一边长为，则底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质和三角形的三边关系定理的应用，已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．利用分类讨论的思想方法解决问题是解题的关键． 【详解】解：当腰是时，则另两边是，，而，不满足三边关系定理，因而应舍去； 当底边是时，另两边长是，； ∴该等腰三角形的底边为． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）若一个等腰三角形有两条边长分别为1和3，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当该等腰三角形的腰长为1，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为1时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可． 【详解】解：当腰长为1，底边长为3时， ∵， ∴1，1，3不构成三角形，不成立； 当腰长为3，底边长为1时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为． 综上可知这个等腰三角形的周长为7． 故答案为：7． 三、解答题 6．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解． 【详解】解：、、为等腰三角形的三边长，且周长为，， 分两种情况： 当为腰长时，底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时，腰长， 为底边，6为腰长符合三角形的三边关系， ， 综上所述，． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在等腰中，，边上的中线把的周长分为15和17两部分． (1)求和的长； (2)若，且点到边的距离为4，求点到边的距离． 【答案】(1)的长为10，的长为12，或者的长为，的长为 (2)点到边的距离是 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的中线；题干没有明确给出哪一部分长，则要考虑到两种情况，此题要采用分类讨论思想；另外还应验证各种情况是否符合三角形三边关系，此部分也是解题的关键． （1）分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质列出方程即可解决问题． （2）由（1）及，可确定的值，根据是边上的中线，得到，再根据点到边的距离为4，从而得出点到边的距离． 【详解】（1）解：是边上的中线，， ， ①当时， ， 解得， 底边， ，10，10能构成三角形， 的长为10，的长为 ②当， ， 解得， 底边， ，，能构成三角形， 的长为，的长为 即的长为10，的长为12；或者的长为，的长为； （2）解：， ，， 是边上的中线， ， 设点到边的距离为， 点到边的距离为4， ， 即， 解得， 点到边的距离是． 8．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若其周长为，一边长是另一条边的倍，求三角形的三条边长． 【答案】(1)或； (2)三角形的三边长分别是． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识；（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 【详解】（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形另外两个角的度数为或； （2）解：设一边长为，则另一边为； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 地 城 考点04 构造等腰三角形的方法 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，点在内部，平分，，连接若的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于D，由角平分线的定义得到，由余角的性质推出是等腰三角形，由等腰三角形的性质得到，即可得到的面积的面积． 【详解】解：延长交于，   平分， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分的定义，等腰三角形的性质，关键是通过作辅助线证明是等腰三角形． 2．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图、在等腰三角形中，，，是底边上的中线．若，分别是和上（不与端点重合）的动点，若，则的最小值是（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，此时取最小值，最小值为的长，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵，是底边上的中线， ∴垂直平分． ∴，可得 ∴此时取最小值，最小值为的长． ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，锐角和中，平分，连接． （1）判断： （填“”“”或“”）； （2）作中线，交于点F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形中线的运用，掌握三角形中线，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）延长交于点，可证，得到，进而得到，再证明，由此即可求解； （2）根据题意可得，，，是的中线，，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 故答案为：；． 三、解答题 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）以的边，为边作和，且，，与相交于点，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，直接写出________；（用含的式子表示） (3)如图2，若，，分别是，的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的度数是 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）由，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案； （3）如图，连接．证明，可得，，再求解．由，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． 在和中，， ∴． （2）设交于点． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接． ∵，分别是，的中点，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 即的度数是． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的确定需要的全等三角形是解本题的关键． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______． (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)证明过见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）根据题意可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解； （3）如图所述，以为边作等腰直角三角形，，，可证点三点共线，再根据等腰三角形，全等三角形的判定即可求证． 【详解】（1）解：已知与都是等腰三角形，，，且， ∴，即， 在与中， ， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴． （3）解：如图所述，以为边作等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，中，，以为底边作等腰三角形，，过点D作，垂足为F，与交于点E，连接．    (1)求证：． (2)若，，点P是射线上的一点，则当点P为何处时，的周长最小，并求出此时周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可证垂直平分，从而可得，再证，即可求证； （2）连接、、，，最小时，的周长最小，当、、三点共线时，最小，与重合时，最小，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接、、，    ， ， 最小时，的周长最小， 当、、三点共线时，最小， 与重合时，最小， 时，最小， 此时的周长最小， ， 的周长最小值为． 【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线判定及性质，掌握性质及找到取最小值的条件是解题的关键． 7．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，在四边形中，E是上一点，，，．    (1)求证：． (2)在图2中，为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写出证明过程． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要三角形内角和，外角的性质的运用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析是解题的关键． （1）根据题意可得是等腰三角形，可得，根据题意可得，再根据三角形的外角的性质即可求解； （2）根据题意可证，再证明是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． （2）解：如图所示，在上取，连接，    由（1）可知，， 在中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线上截取，利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线上截取，用同样的方法证明，再根据，证出为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴与之间的数量关系是． （3）如图，在射线上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $