精品解析：安徽省池州市2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试题

八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 甲骨文和小篆是我国的一种古代文字，下列文字中，能近似看作其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根：③的相反数是；④16的算术平方根是4：⑤的立方根是0.2，其中正确的有（ ） A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ①③ D. ①②③④⑤ 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，则等于（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不正确 7. 如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（  ） A. 14° B. 15° C. 16° D. 17° 8. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） A. B. C. D. 9. 下列语句：①在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平移过程中，各组对应点连成两条线段平行且相等；④两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则同旁内角互补．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知实数满足，则下列结论错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为0.000000456毫米的病毒，把0.000000456用科学记数法表示为_____． 12. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 13. 已知关于的不等式组的整数解有5个，则的取值范围是______． 14. 在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则_________°． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则______°． 三、计算题：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 15. 计算：． 16. 解不等式组 17. 先化简，再求值：，其中，且是整数． 四、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）图中能使的格点P的个数是 ．(点P异于点A)． 19. 有下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请你按照上面的规律解答下列问题： （1）第4个等式是 ； （2）用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性． 20. 阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（______）， ∴（______）， 又∵（______）， ∴______（等量代换）， ∴（______）， ∴（______）， 又∵（______）， ∴（______）， ∴（______） 21. “钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 22. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 23. 阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，. 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则_________，_________； (2)方程的两个解分别为，，求的值； (3)关于的方程的两个解分别为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 2. 甲骨文和小篆是我国的一种古代文字，下列文字中，能近似看作其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、 ，该选项错误，不符合题意； D、 ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根：③的相反数是；④16的算术平方根是4：⑤的立方根是0.2，其中正确的有（ ） A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ①③ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可． 【详解】解：①10的平方根是，正确； ②负数和零有立方根，原说法错误： ③的相反数是，正确； ④16的算术平方根是4，正确； ⑤的立方根是0.2，正确； 综上，正确的有①③④⑤， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．（2）一个正数或0只有一个算术平方根．（3）一个数的立方根只有一个． 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 6. 已知，则等于（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以25．因为，所以．因为，所以，所以． 7. 如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（  ） A. 14° B. 15° C. 16° D. 17° 【答案】C 【解析】 【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°． 【详解】如图， ∵∠ABC=60°，∠2=44°， ∴∠EBC=16°， ∵BE∥CD， ∴∠1=∠EBC=16°， 故选C． 【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 8. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点． 第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可． 【详解】解：设规则瓶体部分的底面积为．倒立放置时，空余部分的体积为，正立放置时，有墨水部分的体积是因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的， 故选B． 9. 下列语句：①在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平移过程中，各组对应点连成两条线段平行且相等；④两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则同旁内角互补．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理和平移的性质，掌握“两直线平行，内错角相等，且同旁内角互补”、“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”、“平移过程中，各组对应点连成的两条线段平行或在同一条直线上且相等”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】① 在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，符合题意； ② 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ② 表述有误，不符合题意； ③ 平移过程中，各组对应点连成的两条线段平行或在同一条直线上且相等，③ 表述有误，不符合题意； ④ 两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则两条直线平行，同旁内角互补，④ 符合题意； 所以正确的有2个， 故选：． 10. 已知实数满足，则下列结论错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代入求值．根据条件，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：当时，由得，解得，则，故，正确； 选项B：若，则，解得．此时，正确； 选项C：当时，且，则，但选项C中结果为6，错误； 选项D：当时，展开左边，右边，等式成立，正确； 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为0.000000456毫米的病毒，把0.000000456用科学记数法表示为_____． 【答案】4.56×10-7 【解析】 【分析】用a×10n或a×10-n的形式（其中1≤| a|＜10，ｎ是正整数）来表示一个大于10或小于１的正数的方法叫科学记数法． 【详解】0.000000456=4.56×10-7 【点睛】本题考核知识点：科学记数法.解题关键点：熟记科学记数法的意义． 12. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 【答案】3x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】3x3﹣12x =3x（x2﹣4） =3x（x+2）（x﹣2）， 故答案为3x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13. 已知关于的不等式组的整数解有5个，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据解集的情况，确定关于的不等式组．先求出一元一次不等式组的解集为，再根据不等式组有5个整数解，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有5个整数解， 该不等式组的解集为，这5个整数为、、、、， 的取值范围是， 故答案为：． 14. 在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则_________°． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则______°． 【答案】 ①. ②. 45 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 三、计算题：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据绝对值的意义、算术平方根、乘方、零指数幂、负整数指数幂计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记运算法则是关键． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解不等式组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中，且是整数． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】先将括号外的分式的分子分母进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算． 【详解】解： ， 已知，且是整数， ∴或或0或1或2， ∵，，， 即，，， ∴或， ∴当时，原式， 当时，原式． 四、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）图中能使的格点P的个数是 ．(点P异于点A)． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，依次连接即可； （2）利用等高模型作出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点P异于点A，则满足条件的点的个数为， 故答案为：． 19. 有下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请你按照上面的规律解答下列问题： （1）第4个等式是 ； （2）用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性． 【答案】（1） （2） 由以上规律可知：， 证明：左边． 右边． ∵左边右边． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查分式等式的规律，分式的加减混合运算，通过前3个等式找出等式分母的变化规律，是解题的关键． （1）根据规律直接得出 第④个等式； （2）根据规律可以得出第n个等式，然后利用分式的加减混合运算法则计算得出结果． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 20. 阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（______）， ∴（______）， 又∵（______）， ∴______（等量代换）， ∴（______）， ∴（______）， 又∵（______）， ∴（______）， ∴（______） 【答案】已知；两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：如图，延长交于点P． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（同角的补角相等）． 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 21. “钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：红粉西红柿进价为每千克5元，有机西红柿进价为每千克7.5元；任务2：每千克10元；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元，根据同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多建立方程求解即可； 任务2；设标价（白天的售价）为每千克元，分别求出白天和晚上的销售额，再根据利润不低于建立不等式求解即可； 任务3：可计算得到九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱，那么在八折时刚好卖完即可或者最大利润，据此求解即可． 【详解】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元 由题意可得：， 解得： 经检验，是方程的根，且符合题意 答：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元 任务2：设标价（白天的售价）为每千克元， 由题意可得：， 解得：， 标价（白天的售价）最低价为每千克10元； 任务3： 九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱 ， 每天进货时利润最大． 22. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，. 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则_________，_________； (2)方程的两个解分别为，，求的值； (3)关于的方程的两个解分别为，求的值. 【答案】（1）−6，1；（2）161；（3）1. 【解析】 【分析】（1）根据材料可得：p＝−2×3＝−6，q＝−2＋3＝1，计算出结果； （2）根据材料得到ab＝-2，a＋b＝3，再把变形求解代入求解； （3）将原方程变形后变为：2x＋1＋＝2n＋1，未知数变为整体2x＋1，根据材料中的结论可得：x1＝，x2＝，代入所求式子可得结论． 【详解】（1）∵方程的两个解分别为，， ∴p＝−2×3＝−6，q＝−2＋3＝1， 故答案为−6，1； （2）∵方程的两个解分别为，， ∴ ab＝-2，a＋b＝3， ∴（a＋b）2= a2＋b2+2ab=9 故a2＋b2=9-2ab=13 ∴（a2＋b2）2= a4＋b4+2a2b2=169 ∴a4＋b4=169-2a2b2=169-2×（ab）2=169-8=161； （3）∵ ∴2x＋1＋＝2n＋1， 2x＋1＋＝（n＋2）＋（n−1）， ∴2x＋1＝n＋2或2x＋1＝n−1， x＝或， ∵x1＜x2， ∴x1＝，x2＝， ∴＝＝=1. 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $