第1章推理与证明复习 课件2025--2026学年青岛版数学八年级上册

第1章 推理与证明 命题 基本事实 定义 数与式 代数推理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 定义、命题 基本事实、定理及推论 代数推理 几何证明 推理与证明 几何证明 图形与几何 青岛版数学八年级上册 第1章 推理与证明复习课 定义 命题 1.重点内容总结 知识点一 定义与命题 能够说明一个概念含义的语句 定义 叙述形式 “……叫作……” 其中“叫作”前面的部分是被定义项，叙述后面的部分是定义项 作用 帮助我们理解并记忆这个概念区别于其他概念的本质特征 定义 对某件事情作出判断的语句 组成 分类 一般形式 反例 条件 结论 如果(若)……， 那么(则)…… 真命题 假命题 当条件成立时， 结论一定成立的命题 当条件成立时，结论 不一定成立的命题 反例满足命题条件,而结论却 与命题结论不同的例子 例1、判断下列语句是不是命题,如果不是,说明理由;如果是，改写成“如果……,那么……”的形式,并分别指出它们的条件和结论。 (1)作∠A=∠B。 (2)线段AB上的点C是线段AB的中点。 (3)整数一定是有理数。 (4)同角的补角相等。 (5)两个锐角互余。 例题讲析 解:(1)不是命题。理由:没有对事情作出判断。 (2)是命题。 如果点C在线段 AB 上,那么点C是线段 AB的中点。 条件:点C在线段 AB上。结论:点C是线段 AB的中点。 (3)是命题。 如果一个数是整数,那么它一定是有理数。 条件:一个数是整数。结论:它一定是有理数。 (4)是命题。 如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等。 条件:两个角是同一个角的补角。结论:这两个角相等。 (5)是命题。 如果两个角是锐角,那么这两个角互为余角。 条件:两个角是锐角。结论:这两个角互为余角。 例2、判断下列命题的真假,如果是真命题,请说明理由;如果是假命题,请举出一个反例。 (1)两个锐角的和是钝角; (2)若a>b,则|a|>|b|。 例题讲析 解:(1)两个锐角的和是钝角,是假命题。 例如,一个角是30°,另一个是40°,则这两个角 的和是70°,70°的角不是钝角。所以两个锐角 的和是钝角,是假命题。 (2)若a>b,则|a|>|b,是假命题。 例如,a=-1,b=-2,则 a>b,但 |a|<|b|。所以若 a>b,则 |a|>|b|,是假命题。 1、（1）下列命题中,是假命题的是（ ） A.两点之间,线段最短 B.对顶角相等 C.直角的补角仍然是直角 D.同旁内角互补 巩固练习 （2）下列命题是真命题的是( ) A.两直线平行,同旁内角相等 B.相等的角是对顶角 C.三角形的外角大于任一内角 D.两锐角互余的三角形是直角三角形 （3）要说明命题“若 a>b，则a² >ab”是假命题,能举的一个反例是( ) A.a=1,b=-2 B.a=2,b=1 C.a=4,b = -1 D.a=-2,b=-3 证明 2.重点内容总结 知识点二 证明 证明的必要性 基本事实 定理 定义 基本事实及已知条件出发， 通过逻辑推理的方法证实 命题的过程 步骤 依据 基本事实、定理、定义，已知 能由观察、实验、类比、归纳等方法得出的命题未必都是正 证明的确的，命题的正确性需要经过严密的逻辑推理加以证实 人们在长期的实践中，经过分析总结后，那些公认的真命题 依据基本事实经过 推理证实的真命题 根据题意， 画出图形 结合图形，写出“已知”“求证” 写出“证明” 例3.已知整式A=6x+4y-5,A-B=3x十2y-2. (1)求整式B. (2)请问A-2B的值是否与x,y的取值有关?试说明理由. 例题讲析 解:(1)∵A-B=3x+2y-2,A=6x+4y-5, =6x-3x+4y-2y-5+2 ∴B=A-(3x+2y-2) =(6x+4y-5)-(3x+2y-2) =6x+4y-5-3x-2y+2 =3x+2y-3. ∴A-2B的值与x,y的取值无关. (2)A-2B的值与x,y的取值无关.理由如下： ∵A-2B=6x+4y-5-6x-4y+6 =(6x-6x)+(4y-4y)+(-5+6) =1, 2.已知x a=28,x b=2,x c=7. (1)试说明:a- c=2b. (2)求 x a-b-2c 的值. 巩固练习 例4、已知:如图所示,点D，E分别在AB,AC上, DE //BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点 G。 求证: (1) ∠EGH> ∠ADE; (2)∠EGH =∠ADE+ ∠A+ ∠AEF。 例题讲析 证明:(1)∵DE //BC ∴∠B=∠ADE ∵∠EGH是△FBG的外角, ∴∠EGH> ∠B ∴∠EGH>∠ADE 又∵DE∥ BC, ∴∠B=∠ADE(两直线平行,同位角相等), ∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF。 (2)∵∠BFE是△AFE的外角， ∴∠BFE =∠A+∠AEF。 ∵∠EGH是△BFG的外角, ∴∠EGH=∠B+∠BFE。 ∴∠EGH =∠B+∠A+∠AEF。 证明:因为EF⊥BC,AD⊥BC(已知)， 所以∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义)， 所以 EF//AD （ ). 所以∠2=∠3( ) 因为∠1=∠2(已知)， 所以 (等量代换). 所以 DG// AB( ) 3.补全下列推理过程:如图,EF⊥BC,AD⊥BC, ∠1= ∠2,求证: DG// BA. 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠1=∠3 内错角相等，两直线平行 巩固练习 平行线的性质和判定 逆命题与逆定理 两直线平行性质同位角相等 两直线平行性质内错角相等 两直线平行同旁内角互补 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题叫作互逆命题 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理 三角形内角和定理及推论 直角三角形 反证法 三角形三个内角的 和定理等于180° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 直角三角形的两 个锐角互余 有两个角互余的三 角形是直角三角形 先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方定义法叫作反证法 例5、如图所示,∠BAE+∠AED=180°,AM平分∠BAE,EN平分EC,求证:∠M=∠N。 证明:∵∠BAE+∠AED=180°(已知)， ∴AB//CD(同旁内角互补,两直线平行) ∴∠BAE=∠AEC(两直线平行，内错角相等)。 例题讲析 ∴AM∥EN(内错角相等,两直线平行), ∵AM平分∠BAE,EN平分∠AEC(已知)， ∴∠EAM=∠BAE,∠AEN=∠AEC(角平分线的定义), ∴∠EAM=∠AEN(等量代换)， ∴∠M=∠N(两直线平行,内错角相等)。 4.如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=68°,∠BAC =57°,AM与 CB平行,则∠MAC为( ) A.55° B.57° C.68° D.125° 巩固练习 5.如图所示,放置在水平操场上的篮球架的 横梁 EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=150°,主柱AD垂直于AB,通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度。当∠CDB=40°时,点H,D,B在同一直线上,则∠H的度数是( ) A.120° B.110° C.140° D.130° 巩固练习 6.如图所示，AB//DG，∠1+∠2=180°。 (1)求证:AD //EF; (2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=142°,求∠B的度数。 巩固练习 $