精品解析：第十二届海峡两岸青少年(数学)文化交流活动 (地方选拔) (2023 年 5 月)

第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动 （地方选拔） （2023年5月） 温馨提示： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计60分；第二部分：计算题，共计24分；第三部分：解答题，共计66分． 2、答题前请将自己的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置． 3、选拔考试时不能使用计算工具． 4、选拔考试结束时试卷和草稿纸将被收回． 八年级试题 （本试卷满分150分，考试时间90分钟） 一、填空题．（每题6分，共计60分） 1. 第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图①是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．为了确保参赛马匹拥有舒适的居住环境，每匹马都有自己的“单人间”，即高标准马厩（如图②），中心设置了约240个高标准马厩．其中主赛场和马厩总共占16320平方米，主赛场面积是马厩的2倍还多3360平方米．每个“单人间”马厩的面积_______平方米． 【答案】18 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． 设主赛场面积为x平方米，马厩面积为y平方米，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设主赛场面积为x平方米，马厩面积为y平方米． 根据题意，得 解得 （平方米） 答： “单人间”的面积为18平方米． 故答案为：18． 2. 对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的含义可得，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且a和b为两个连续正整数，， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、立方根、实数的运算等知识点，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 3. 受疫情影响，我区居民投资房产热情有所降低，据调查，今年1月份我区一房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为64套，若该公司这两个月住房销售量的平均下降率相同，则该公司这两个月住房销售量的平均下降率为__． 【答案】 【解析】 【分析】设该公司这两个月住房销售量的平均下降率为x，根据今年1月份及3月份的住房销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设该公司这两个月住房销售量的平均下降率为x， 依题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值，关键是把得到的等式进行变形． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，从而可得关于a的等式，把此等式变形后整体代入即可求得代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且, ∴， 则，， ∴， 故答案为：． 5. 如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________． 【答案】84 【解析】 【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答． 【详解】解：为的中线， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， ， 根据，列方程， 解得， ． 故答案为：84． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键． 6. 若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得的取值范围以及解分式方程是解本题的关键．根据已知不等式的解集确定出的范围，再由分式方程有整数解，确定出的值，即可得到答案． 【详解】解：对于不等式组，整理可得， ∵不等式组的解集为， ∴， 分式方程去分母，得， 则， ∵分式方程有整数解， ∴，即， 解得， ∵分式方程有整数解，且，即， ∴或或， 解得或或或或， ∵且， ∴符合条件的整数的值有、3、0、2四个， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：2． 7. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形①的边在边上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出，的长是解题的关键． 设七巧板正方形的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，的长，即可求解． 【详解】解：设七巧板正方形的边长为， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，交于，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作交于，交于，过点作于， ，，， ， ，则 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 9. 如图，点A的坐标为，点C的坐标为，点B在反比例函数的图象上，点D是线段与的交点，，的面积和的面积相等，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴于E，连接，延长交x轴于F，证明，得到，求出直线的解析式为，则直线的解析式为；再证明，进一步证明，推出，证明，得到，则，同理可求得直线的解析式为，联立，求得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于E，连接，交y轴于点G，延长交x轴于F， ∵的面积和的面积相等， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可求得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，求出点F的坐标是解题的关键． 10. 如图，直线与直线所成的角，过点作交直线于点，，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30°的直角三角形可得，，由等边三角形的性质可得出的长度，进而得出的长度，同理可求出的长度，再根据等边三角形的周长公式即可求出第n个等边三角形的周长，代入化简即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在中，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，，， 同理可得：， ∴第20223个等边三角形的周长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了含的直角三角形、等边三角形的性质、规律探究，解题的关键是通过含的直角三角形和等边三角形的性质找出规律． 二、计算题．（每题12分，共计24分） 11. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的加减运算，正确分母有理化是解题的关键． 运用分母有理化把二次根式化简，再进一步运算即可得解． 【详解】解：， ． 12. 解方程： 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想． 令，原方程可化为，利用因式分解法解得，，再分别解以及即可． 【详解】解：令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ∴原方程的根为，，，． 三、解答题．（第13题~第16题每题10分，第17题12分，第18题14分，共计66分） 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求实数m的取值范围； （2）若，满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据原方程有两个实数根，，可得，从而可得答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再分两种情况讨论即可. 【小问1详解】 解： ， ∵原方程有两个实数根，∴ ， 解得：； 故原方程有两个实数根时，. 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 当时，据题意可得， 解得 则，∴， 当时，据题意可得， 解得，∵，∴应舍去， 综上可知：m的值为. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记概念并灵活运用是解本题的关键. 14. 我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若十字分式方程的两个解分别为，求的值． （2）若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】（1） （2）2022 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； 【小问2详解】 解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 15. 如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，，， 四边形和四边形为矩形， 又，， ，， 是的中点， ， 又， ， 又， ， ， 垂直平分， ， 令，则， 又， ， ，， 在中，， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 16. “中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 【答案】（1），； （2）这28天中第15天销售利润最大，最大利润为元； （3）第20天时，利润最大值为元时，． 【解析】 【分析】（1）由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，而销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由总利润等于销售量乘以每件产品的利润建立二次函数的关系式，再利用二次函数的性质解得即可； （3）由题意可得：第10天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，设此时利润为：元，再建立二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案，当最大值为时，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数， 设，把，，，代入可得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； 设，当时，，当时，， ∴，解得：， ∴z与x之间的函数关系式为：， 【小问2详解】 设总利润为元，则 ； 当时，取得最大值， 所以，第15天利润最大，最大值为：（元）． 【小问3详解】 由题意可得：第10天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元， 设此时利润为：元，则 当 又∵且， ∴随x的增大而减小， 当时，当最大值为时， ∴， 解得：， 综上：第20天时，利润最大值为元时，． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意，建立函数关系式是解本题的关键． 17. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段上，且，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），， （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据点和点在一次函数上可算出和的值，根据点和点也在反比例函数上即可算出的值． （2）连接、，作，垂足为，，垂足为，设，用含的式子可表示出和的面积，根据面积相等列出等式，可算出的值 ，即可得到点的坐标． （3）设点，则，，，若使得等腰三角形，则或或，求解出即可得点的坐标，注意． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交，两点， ∴， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 连接、，作，垂足为，，垂足为， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴或， ∴或 【小问3详解】 设， ∵，， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴①当时，， ∴（舍） ②当时，， ∴或（舍）， ∴ ③当时，， ∴或（舍）， ∴ 即：满足条件的或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质，主要利用待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 18. 如图1，平面直角坐标中，为坐标原点，点、都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是60． （1）求点坐标； （2）如图2，点、分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接、、，点在上，连接，，连接并延长交轴于点，连接，当时，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，由矩形面积公式求出，进而可求出点坐标； （2）设，则，表示出，，根据列方程求出t的值即可求解； （3）延长交于，证明得，连接，可证．取中点，连接，可证，由三角形中位线的性质可证，，进而证明，连接，为斜边中线，可证，在轴负半轴上取，连接，得出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴轴，轴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴设，则， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 延长交于， ∵，， 又∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴ 取中点，连接， ∴且， ∴， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵是中点，是的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴是中位线， ∴轴 ∴， ∴ 连接，为斜边中线， ∴， ∴ 又∵是中点， ∴ 在轴负半轴上取，连接， ∴， ∴． 在和中，，， ∴ 设，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线等知识，难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动 （地方选拔） （2023年5月） 温馨提示： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计60分；第二部分：计算题，共计24分；第三部分：解答题，共计66分． 2、答题前请将自己的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置． 3、选拔考试时不能使用计算工具． 4、选拔考试结束时试卷和草稿纸将被收回． 八年级试题 （本试卷满分150分，考试时间90分钟） 一、填空题．（每题6分，共计60分） 1. 第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图①是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．为了确保参赛马匹拥有舒适的居住环境，每匹马都有自己的“单人间”，即高标准马厩（如图②），中心设置了约240个高标准马厩．其中主赛场和马厩总共占16320平方米，主赛场面积是马厩的2倍还多3360平方米．每个“单人间”马厩的面积_______平方米． 2. 对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为________． 3. 受疫情影响，我区居民投资房产热情有所降低，据调查，今年1月份我区一房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为64套，若该公司这两个月住房销售量的平均下降率相同，则该公司这两个月住房销售量的平均下降率为__． 4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为_______． 5. 如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________． 6. 若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 7. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形①的边在边上，则的值为_______． 8. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______． 9. 如图，点A的坐标为，点C的坐标为，点B在反比例函数的图象上，点D是线段与的交点，，的面积和的面积相等，则k的值为______． 10. 如图，直线与直线所成的角，过点作交直线于点，，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形的周长为___________． 二、计算题．（每题12分，共计24分） 11. 计算： 12. 解方程： 三、解答题．（第13题~第16题每题10分，第17题12分，第18题14分，共计66分） 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求实数m的取值范围； （2）若，满足，求m的值． 14. 我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若十字分式方程的两个解分别为，求的值． （2）若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 15. 如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，求的长． 16. “中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 17. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段上，且，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 18. 如图1，平面直角坐标中，为坐标原点，点、都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是60． （1）求点坐标； （2）如图2，点、分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接、、，点在上，连接，，连接并延长交轴于点，连接，当时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $