安徽省六校教育研究会2026届高三上学期入学素质测试数学试题

安徽六校教育研究会2026届高三年级入学素质测试 数学试题 2025.9 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A=|xx3=4x,B={x11x-21<3},则A∩B= A.(-1,2) B.{-2,0} C.{0,21 D.{-2,0,2} 2已知复数：=(1-)（其中i为嘘数单位），则售- A.5 B.6 C.22 D.√1o 3.已知平面向量a,石满足=2,6-(3，且(a-)1不，则8与3夹角的大小为 A君 B号 c呀 4.已知函数y=(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为 L 0 T2 Af(x)=e·cosx B.f(x)=-1 ·c03x e+1 c划 ,·sinx D倒塔sx 5.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面，B,于是可得到 A若a⊥b,a∥a,则b⊥心 B.若a∥B,a∥a,b∥B,则a∥b C.若a⊥B,anB=a,anb=P,b⊥a,则b⊥LB. D.若a,b是一对异面直线，且a∥a,a∥B,b∥a,b∥B,则a∥B. 数学试题第1页（共4页） 6.已知当x=xo（x0e(0,π))时，函数f八x)=sinx-2cosx取到最大值，且x是等差数列|an}的第5项， 则tan(a2+ag)= 4号 c号 n 7.已知a>1,b>1且ab=8,则log.4+log2的最小值为 A.5+2√6 B.7+2√6 c号5+26) D.3(7+26) ← 8双曲线C:号-卡=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为R、,以为焦点的抛物线了=2p(p>0)与 双曲线C在第一象限的交点为P,若IPF,I+IPF2I=21F,F2I,则双曲线C的离心率大小为 A.3 B.2 C.1+⑤ D.6 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选 对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中，正确的是 A.一组数据：2,3,4,7,8,10,12的第70百分位数是7.5 B若随机变量X~4,子)，则D()=子 C若随机变量X~M2,o2),且P(X<1)=分，则P(2≤X≤3)=行 D.若三个随机事件A,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D,中，点E在正方形A1B,CD1内运动（含边界）且AE∥平面BCD,则 A.点E的轨迹长度大小为22 B.三棱锥B-C,DE的体积始终不变 C异面直线AE与BC,所成角的大小可能为受 D.当异面直线AE与BC1所成角最大时，四面体ABC,E的外接球的表面积为12m 11.已知aeR,圆C:(x-a)2+(y-e)2=4,则 A.存在两个不同的实数a,使圆C过原点 B.存在正实数α，使圆C在x轴上和在y轴上截得的线段相等 C.存在三个不同的实数a,使圆C与x轴或y轴相切 D.存在唯一的实数a,使圆C的周长被直线x-y=0平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设x=35-2,则x5+10x+40x3+80x2+80x= 13.已知数列|a,满足a1=2,na1-(n+1)a,=2+n,则数列已}的前n项的和等于 a. 14.一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球从袋中有放回地取球，每次随机取 1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记X为4次之内（含4次）取到红球的次数，则X的数学 期望E(X)=■ 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解菩应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分) 已知数列ia,}的前n项和为Sn,且3a.-4Sn=3 (1)求数列{a,}的通项公式； (2)设6.=，求数列16，！的最大项与最小项 a 16.（本题满分15分) 如图1，在边长为4的等边△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，且AD=2,AE=1,连DE,沿DE将 △ADE折起得到四楼锥A-BCDE(图2)，使AC=√I4、 (1)求证：平面ACE⊥平面BCDE; (2)求平面ACE与平面ACD夹角的余弦值， D E 图1 图2 数学试题第3页（共4页） 17.（本题满分15分)》 已知△ABC的内角A,BC满足n2B+sn(A+B-C)=7+in(A-B-C),且△ABC的面积大小为4 (1)求边BC长的最大值； (2)当边BC长取到最大值时，求△ABC的周长. 18.（本题满分17分) 已知函数f(x)=e-ax(aeR) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f八x)有两个正零点x1,x2且名1<x2, (i)求证：x1+x2>2; (i)当x>0时，不等式(2ea-be+c)·f(x)≥0恒成立，求证：b>4a. 19.（本题满分17分) 已蜘知离心率为号的椭圆C:后+芹=1(a>6>0)过点P2,1). (1)求椭圆C的方程； (2)不过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点，且PA·PB=0,求证：直线1过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下，是否存在直线L,使得△PAB是等腰三角形？若存在，请问这样的直线1有几条？ 若不存在，请说明理由. 数学试题第4页（共4页）安徽六校教育研究会2026届高三年级入学素质测试 数学试题参考答案 题号12345 6 9 10 11 选项G:DBDD BC ABD ACD 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C【解析】由题意知A=-2,0,2:,=(-1,5),则4∩B=10,2,选C 2D《解标剂t条件知=1+i,所以号1-3i所以品=2+(-3=而散选以 -1-i -1 老-3=-而) 3.B【解析】由已知得|a=2,|石|=1，因(a-)1,则(4-)·=0，则a·言==1，丁是c0s(a,)= :片=)s为水a,6的c0,,所以A与6夹分的大小为要放迹 4.D【解析]观察图象，发现其关于原点对称，函数y=f代x)是奇函数，而山当∈(0，}时，f代x)<0.对比 各选页，发现只有隔数x)十2·s符合，放适D 5.D【解析】结合各选项，逐个进行判断，发现答案D足真命题，其余均为假命题.放选D. 6.A【解析】t条4知f(x)=sm米-2ase=5sm(x-e)(其中角p巾imp-2,5,cd 5,os05 确定). 所以0-9=2m+(eZ,于是0=2+7+g(eZ),又∈(0，π)，所以。受+4，于是 an名=tan(Σ+= 氵+9丝根据等美数列的性质知un(a,+a,)=m2, os(+pj -sin 2号，故选 tan 2xo=I tan'xo 4 7.C【解析】t已知得log2a+31og2b=3.令m=log2a,=log2b,则m+3n=3,m>0,>0,log4+log2= 。。日+m品+)+=5四丽5+26) 当日仅当m-36-6,n-3-6时，lg4+log2的最小值为3(5+26)，故选C. 8.A【解析]由条件如c=号.1PF1+PF,=4,PF1-PF,=2a,丁是PF=2e+a,1PF,=2e-a, 义5+号=+6所以0-a,代人)==，丁是符到=4e-o代人号若1， 可科e2-0=1,nc0_-1,寸(---1，整理得d--6e=0, 红2 2 ac2-a 于是e(e+2)(e-3)=0,又e>1,解得e=3,枚选A. 数学试题参考答案第1页（共6页） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC【附析】对丁选项4,7×70%=4.9，所以这红数据的第70百分位数是8，A选项借误；对丁选项B, D0=4×子×1-》=异库项E止确：对于速项C2≤≤)=PX=2)-X>动=片片石， 选项C止确；对于选项D,比如：设样本空问D={a,b,c,d:含有等川能的样本点，且A={a,b:, B=a,c,C={a,d引，可以验A,B,C两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),选项)错误， 故逝Dc. 10.AB【解析】根据题意可知点F的轨迹为线段乃，其长度人小为22，正确；因乃D∥平面BCD, 义△BC,D的面积不变，VgC,s=V。C山，所以二棱锥B-CDR的体积始终不变，阝正确；当点E 位寸点B,时，异面直线AE与BC,所成行最大，最大竹为？，C错误，此时四面休ABC,E的外接球 即为正方体ABCD-AB,CD,的外接球，其表面积人小为12π，D正确，战选AB1. 11.A(cD【解析】对于A,若圆G过原，点，则2+2“=4，在同一处标系分划作出函数y=e2与函数y=4-x2 的图象，发现两函数图象有两个交点，所以方和a2+2“=4有两个不同实根，所以A正确； 对丁B,若圆G在x轴上在y轴上截得的线段相等，则Ial=e“,因a>0,所以红=e,此方程无实根， 因为对仟意的x>0,有≥x+1>x,所以D借误； 对于C,若圆G与x轴相切，则e=2,獬得a=ln2;若圆C与y轴相切，则la|=2,解得a=±2， 所以存在三个不同的实数，使圆G与x轴或y轴相切，G正确； 对于D,若圆G的周长被直线ex-y=0平分，则直线x-y=0过圆心(a,e),所以e-e“=0, 囚为直线y=t与函数y=e的图象州切于点(1，e)而月只行一个公共点，所以D正硫.故选A(cD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.3 【解析】条件知(x+2)5=35,展开得C+Cx4×2+Cx3×22+Cx2×23+Cx×24+C·2=35, 所以x3+10x4+40x3+80x2+80x=35-32=3,故填3. 13.0 2+1 【解析】根据条件得-g:=1,所以数列}是首项为号=2，公差为1的等差数列，所以=2+(n-1) ntl n In 1,于《=(a+所以--中1医成数列侣约别a项的有等于印-方引 +（份414灯 14. 【解析】由题意可知x=0,1,2,3, 则X-0)-(号}X=1-宁·（骨） p-2-·(分(}-1p-3】-116++21-g 81 Γ 所以以0=0×对1×号23x号-7.放填 24 数学试题参考答案第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.解：(1)当n=1时，3B1-4S1=31-41=-B1=3,所以1=-3，…1分 当≥2时，3an-4S.=3,3a-1-4S8-1=3,…2分 两式柑减得3a。-3。-1-4an=0,整理得a。=-3ak-1,… 3分 因a,三-3≠0.所以处三3…4分 2-1 于是数列n}是首项为一3，公比为-3的等比数列，…5分 听以霸=（一3）8。…6分 (2）h(1)知3。=-3[1-（-3)0]三-31-(-3)]，……7分 1-(-3) 所以6=。1 3 024×{-3)t4 …8分 1 3 当为奇数时，6。-。4×3+4蹈若n的增大，其值减小， 所以当a-1时4，=1，此时元子小 10分 1 当为仙数时，b。= 一+随春的增大， n 所以当a=2时岛=子，此时6，=[子}， ，…]2 因此效列6，的最大项为&-1，民小项为6-子15分 16,附：(1)在△ADR中，由余弦定理得 D2形=AD+AE2AD·AB·c LBAD=4+1-2X2X1X7=3,…1分 所以DE2+AE2=D,于是DE上AE,…2分 如图1，在△AC中，由余弦定型得 C=AC+-2AC.cs∠1C=42+1-2×4×1×2=13,…3分 所以在图2屮，CE2+AE2=14=AC,于是EG⊥AE,…4分 义因DE∩FC=E,.凡DEC平而BCDR,FCC平而BCDE, 所以AE⊥Ψ而B(CDE，… ……6分 父AEc平而ACE, 所以平面ACE⊥平面BCDE.. …7分 (2)如图，以点E为原点，分别以EB,ED,EA所在的直线为x轴，y轴，之轴建立空问直角坐标系， 数学试题参考答案第3页（共6页）】 圳D(0,3,0),A(0,0,1),C(1,23,0),…8分 所以色C=(1,23,0),E阴=(0,0,1)，…9分 设平面AC的法问其为=(x,3,), 则·C=x+25,=0 ,收Ψ面(E的一个法向量=(-23,1,0)，…11分 m.EA=z=0 同理可得平面ACD的个法向址n=(一√3,1,3)，…13分 所以0（成，=，成·庄=-23，l,0）(-3,l2= …14分 lml·l元l √13×7 13 因为平血ACE与平血ACD火角不超过牙， 所以平面4CE与平面ACD夹角的余弦值为Y91. 13 …15分 17.解：(1)由条件知sin2B+sin(1+B-C)-sin(4-B-C)=2, sin 2B+sin(A+B-C)sin(B-A+C)=2, 1 …1分 展开行2sin58+2s血os(4-0)=号 …3分 于是siB[-s(4++os(A-C)]=4, …4分 展开得sin Asin Bsin C三及， …5外 设△ABC的外接圆半径人小为R, 则根据工弦定理得5c=c6sinG=2 ninBsir加C==4, 1 獬得R=4,…6分 所以BC=2R8inA=8sinA≤8， 于是当A=罗时，边BC长最大，最大值为8。…7分 (2)由(1)知4=，hC=8.此时H+0=,于是sinC=im受-B）=c0s,…8分 sin Asin Bsin (=sin Bsin =sin Boos B=1 8, …]0分 所以(sinB+cosB)2=1+2 sin Bcos B=1+2× 1 5 8-4 所以nB+6asB-与，即B+如C 2 12分 于是AC+AB=2sinB+2sinC=8x5 2 =45,… …14分 所以△ABC的周长为8+45. …15分 数学试题参考答案第4页（共6页） 18.解：(1)巾条件知函数fx)的定义域为R, 对代x)求导得f(x)=-a,…1分 当a≤0时，f'(x)>0,所以函数f代)在R上单调递增； …2分 当a>0时，令f”(x)=0,解得x=lna, 当x∈(-，lna)时，f'(x)<0,函数f代x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，f'(x)>0,函数fx)单调递增， …4分 综听述，当4≤0时，函数代x)在R上单调递增； 当a>0时，函数f代x)在(-∞，lna)上单调递减，在(lna,+x)上单调递增.…5分 (2)由题意知方程e-=0有两个不同的正实根x1,x2, H(1)知在>0且a一ana<0,解得a>e,…6分 所以e1=ax1,e2=x2, 两边同时取白然对数，得x,=ln+lnx1,2=ln+nx2, 式相减得，-，=n-n1,即，二。=1， …7分 In x2-In *1 (i)医证+女>2只对欧导品5。 令：会>1.只搭证期h:2:.() 8分 构浩丽微小=n26(>1),求于得g（）=（+1)疗=：+1)2>0，…9分 所以函数g(t)在(1，+的)上单调递增，丁是g(t)>g(1)=0,所以不等式(*)成立， 于足原不等式1十2>2成立、… …11分 (ⅱ)结合以分当x∈(0，，)时，(x)>0;当x∈(12)时，代x)<0;当x∈(x2,+0)时，x)>0 所以要满足题意，则关于x的方程2ε2-be+c=0的两根也足x1,x2, 于是2e2-e+e=2(e-e1)(e*-e)=2e2-2(e1+e)e+2e+2, …]4分 对比系数得韦=2(e1+)=2(x1+x2)=2(x1+x2)>4u, 所听以名>4a,…17分 e=￡-3 a 2 19.解：(1)根抑条件可知{41 a221' …2分 0a2=b2+c2 解得2=8，b2=2,C2=6,…3分 所以同C花方骨为后+号-16分 (2)当直线飞的斜率存在时，设直线1的方为y=+m,设4(%1y1),B(x22), ry hac +m 联立 货+号-1消去x得(4+1)2+8mx+4m2-8=0, 8+2 8hm 很据韦达定理得，+修十狐士，本）一 …5分 数学试题参考答案第5页（共6页） 因PA·PB=0,所以(x1-2)(x2-2)+(5-1)(y1-1）=0, 即(x1-2)(x2-2)+(x1+m-1)(2+队-1)=0 展川整迎得(2+1)x1x2+(m-是-2)(1+x2）+m2-2m+5=0. 将(*)代入上式，化简整理得122+16m+5m2-2m-3=0,.… …6分 对其因式分解得(2k+m-1)(6+5m+3)=0, 因为直线{不过点P(2,1),所以2左+m-1≠0 于是6+5m+3=0,即+m=-写.所以宜线1过定点，-} …7分 当点线1的斜不存在时，设线1的方程为x=n,设A(,yn),(,-n) 十是管+号1 因PH·PB=0,所以(。-2)2+1-y=0, 消去元背5对-16+12=0，解得=号或七=2（舍去）， 所以此时直线：也经过定点（台、引 …8分 综上所述，直线1过定点（号-） …9分 (3)假设存在线1符合条件，因为∠APB=0°，所以|PA|=1PB1 小10分 当直线{的斜率不存在时，显然不符合； 当直线1的斜*存在时，巾(2)可知(x,-2)2+(y1-1)2=(2-2)2+(y2-1)2 又片=，+m,%=,+m,代人展川整绵得无，+，=2m2张-4 k2+1 …11分 2知+2三4n1所以224-48险 42+1 …12分 2+1 于是3m+4k3+8k2+允+2=0， 又6+5m+3=0,消m得10k3+112-2张+5=0，… …13分 构造函数代x)=10x3+11x2-2x+5(xeR), 求导得f(）=30x2+22x-2, …14分 令f()=0,得，=-l8T(-1,0),=-118Te0,1), 30 30 于足当x∈(-0，，)时，”(x)>0,数fx)端递增； 当xE(x1x)时，f'(x)<0,函数代x)单调递减； 当xE(x2,+∞)时，f'(x)>0,函数f代x）单调递增。…15分 所以f代x1)>代x2)=10x+11x2-2x2+5=10x+11x2+(-2x2+5)>0. 义f-2)=-80+44+4+5=-27<0,f-1)=-10+11+2+5=8>0, 根据零点存定理可1数(x)在(-2，-1)内有唯一零点，于是数代x)在R上只有一个零点，即方 ]0+112-2系+5=0行唯-的实数根，…16分 所以存在直线，使得△PAB足等腰一角形，这样的直线贝有1条。…17分 数学试题参考答案第6页（共6页】