第21章 二次函数与反比例函数（单元测试·提升卷）数学沪科版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 3．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 4．在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知点在抛物线（为常数）上，则点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．5和 B．5和 C．4和 D．1和 7．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 8．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 9．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 10．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（2025九年级上·北京·专题练习）双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 12．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 13．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为 ． 14．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．已知抛物线过点和，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点的坐标． 16．已知抛物线． (1)若抛物线与轴交点的坐标为，求抛物线与轴交点的坐标； (2)证明：无论为何值，抛物线与轴必有交点． 17．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 18．如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点． (1)求b，的值． (2)过点C作 y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 20．已知二次函数的表达式为． (1)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)若该二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，求b的取值范围． (3)当时，y的最大值与最小值的差是25，求出m的值． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．已知一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当点P位于直线上方的抛物线上时，求面积的最大值； (3)当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 3．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 4．在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知点在抛物线（为常数）上，则点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．5和 B．5和 C．4和 D．1和 7．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 8．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 9．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 10．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（2025九年级上·北京·专题练习）双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 12．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 13．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为 ． 14．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．已知抛物线过点和，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点的坐标． 16．已知抛物线． (1)若抛物线与轴交点的坐标为，求抛物线与轴交点的坐标； (2)证明：无论为何值，抛物线与轴必有交点． 17．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 18．如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点． (1)求b，的值． (2)过点C作 y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 20．已知二次函数的表达式为． (1)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)若该二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，求b的取值范围． (3)当时，y的最大值与最小值的差是25，求出m的值． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．已知一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当点P位于直线上方的抛物线上时，求面积的最大值； (3)当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解： 是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 3．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 4．在函数（为常数）的图象上有三点，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质与图象，掌握相关知识是解决问题的关键．因为， 所以图象过一、三象限，画出函数图象，利用图象数形结合的解决问题． 【详解】解：， ∴图象过一、三象限，如图， 由图象可知， 故选：C． 5．已知点在抛物线（为常数）上，则点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式可以求出抛物线的对称轴是，点到对称轴的距离是，所以点的对称点到对称轴的距离也是，从而求出点的对称点的横坐标是，利用关于对称轴对称的两个点的纵坐标相等求出点关于对称轴对称的点的坐标即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 点到对称轴的距离是， 点的对称点到对称轴的距离也是， 点的对称点的横坐标是， 点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是． 故选：D． 6．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．5和 B．5和 C．4和 D．1和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：A． 7．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数图象确定的正负，再结合二次函数图象的开口方向、对称轴位置等确定、的正负，最后依据一次函数的性质判断其图象是否符合．本题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质，熟练掌握三种函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴． ∵二次函数的图象开口向下， ∴． ∵二次函数对称轴， ∴，矛盾，不符合题意．故A项错误． ∵二次函数的图象开口向下， ∴． ∵二次函数对称轴， ， ∴，矛盾，不符合题意．故B项错误． ∵二次函数的图象开口向上， ∴． ∵二次函数对称轴，， ∴，符合， ∵二次函数图象与轴交点在负半轴， ∴． 对于一次函数，，， ∴一次函数图象经过二、三、四象限，不符合，故C项错误． ∵二次函数的图象开口向上， ∴． ∵二次函数对称轴，， ∴，符合． ∵二次函数图象与轴交点在负半轴， ∴． 对于一次函数，，， ∴一次函数图象经过二、三、四象限，符合，故D项正确． 故选：D． 8．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选B． 10．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断a、b、c的关系，然后综合分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（2025九年级上·北京·专题练习）双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据k的几何意义得出的面积为2，进而得出面积为5，即可得出的解析式． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为：． 故答案为：． 12．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6. 13．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为 ． 【答案】3． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．已知抛物线过点和，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到，从而得到，再把代入抛物线可得，即可得到答案； （2）把函数解析式化成顶点式，再得出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过点和， 对称轴是直线，即， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 顶点坐标． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，把二次函数解析式化成顶点式，根据题意求出的值是解题的关键． 16．已知抛物线． (1)若抛物线与轴交点的坐标为，求抛物线与轴交点的坐标； (2)证明：无论为何值，抛物线与轴必有交点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据抛物线与轴交点的坐标为，得，求得，转化为解一元二次方程解答即可； （2）转化为一元二次方程，根据根的判别式判断解答即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据抛物线与轴交点的坐标为，得， 解得， 故抛物线为， 令，则， 解得， 故抛物线与轴交点的坐标为 （2）证明：令，则， 故，，， ∴. ∴该一元二次方程总有实数根. ∴该抛物线与轴必有交点． 17．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的求法，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意得到，把代入即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）由题意知， 把代入，得， （2）由（1）知， 当时，， ， 作于D，则， ． 18．如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点． (1)求b，的值． (2)过点C作 y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积 【答案】(1)． (2)2 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）把点A代入正比例函数、反比例函数关系式可求出b，的值； （2）先求出点坐标为，把代入， 求出反比例函数．继而求出D点坐标为，再求出，点到的距离，即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， ∴， 把代入，得， 解得． （2）∵是的中点，，， ∴点坐标为，即． 把代入，得， 解得， ∴反比例函数． ∵轴，， 把代入，得， ∴． ∴， 点到的距离为， ∴． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 20．已知二次函数的表达式为． (1)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)若该二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，求b的取值范围． (3)当时，y的最大值与最小值的差是25，求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为7 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给的范围分类讨论是解题的关键． （1）将代入，确定函数的解析式，再求函数图象与x轴的交点即可； （2）先求出抛物线的顶点为，再由题意得到，即可求； （3）分三种情况讨论：当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0，此时m无解；当时，时，函数有最大值，当时，函数有最小值，此时不符合题意；当时，时，函数有最大值0，当时，函数有最小值，根据已知列方程求解m值即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 抛物线与x轴的交点为； （2）解：， 抛物线的顶点为 顶点在一次函数的图象上， ， ， ； （3）解：由知， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0， ，此时m无解； 当时，时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，不符合题意； 当时，时，函数有最大值0，当时，函数有最小值， ， 解得或舍； 综上所述：m的值为7． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．已知一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当点P位于直线上方的抛物线上时，求面积的最大值； (3)当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，利用割补法求面积是解题的关键． （1）先把A点坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出B点坐标，把A、B两点坐标代入抛物线解析式即可求解； （2）过作轴交于点，设点坐标为，则，表示出，根据求解，配方即可求得最大值； （3）先分析出P点在对称轴的右侧，则其最高点为顶点，其纵坐标为4，根据最高点与最低点的纵坐标之差为9，求出P点的纵坐标，代入函数解析式即可求出横坐标，过P点作平行于y轴，交于D点，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为， 当 ∴ 又∵、都在二次函数的图像上， ∴ ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过作轴交于点，设点坐标为 则， ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值 （3）解：∵二次函数的解析式为 ∴抛物线的最高点的纵坐标为4 ∵，点为轴右侧，在点与点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为9 ∴P点在对称轴的右侧，其纵坐标为 把代入得：， 解得：或（舍） ∴点的坐标为 过P点作平行于y轴，交于D点， 当， 则D的坐标为 ∴ ∴=． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·能力提升 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C C D A D B A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．． 12．2或6. 13．3 14． ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到，从而得到，再把代入抛物线可得，即可得到答案； （2）把函数解析式化成顶点式，再得出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过点和， 对称轴是直线，即， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 顶点坐标． 16．（8分） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据抛物线与轴交点的坐标为，得，求得，转化为解一元二次方程解答即可； （2）转化为一元二次方程，根据根的判别式判断解答即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据抛物线与轴交点的坐标为，得， 解得， 故抛物线为， 令，则， 解得， 故抛物线与轴交点的坐标为 （2）证明：令，则， 故，，， ∴. ∴该一元二次方程总有实数根. ∴该抛物线与轴必有交点． 17．（8分） 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的求法，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意得到，把代入即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）由题意知， 把代入，得， （2）由（1）知， 当时，， ， 作于D，则， ． 18．（8分） 【答案】(1)． (2)2 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）把点A代入正比例函数、反比例函数关系式可求出b，的值； （2）先求出点坐标为，把代入， 求出反比例函数．继而求出D点坐标为，再求出，点到的距离，即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， ∴， 把代入，得， 解得． （2）∵是的中点，，， ∴点坐标为，即． 把代入，得， 解得， ∴反比例函数． ∵轴，， 把代入，得， ∴． ∴， 点到的距离为， ∴． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．（10分） 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 20．（10分） 【答案】(1) (2) (3)m的值为7 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给的范围分类讨论是解题的关键． （1）将代入，确定函数的解析式，再求函数图象与x轴的交点即可； （2）先求出抛物线的顶点为，再由题意得到，即可求； （3）分三种情况讨论：当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0，此时m无解；当时，时，函数有最大值，当时，函数有最小值，此时不符合题意；当时，时，函数有最大值0，当时，函数有最小值，根据已知列方程求解m值即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 抛物线与x轴的交点为； （2）解：， 抛物线的顶点为 顶点在一次函数的图象上， ， ， ； （3）解：由知， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0， ，此时m无解； 当时，时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，不符合题意； 当时，时，函数有最大值0，当时，函数有最小值， ， 解得或舍； 综上所述：m的值为7． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．（12分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 22．（12分） 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（14分） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，利用割补法求面积是解题的关键． （1）先把A点坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出B点坐标，把A、B两点坐标代入抛物线解析式即可求解； （2）过作轴交于点，设点坐标为，则，表示出，根据求解，配方即可求得最大值； （3）先分析出P点在对称轴的右侧，则其最高点为顶点，其纵坐标为4，根据最高点与最低点的纵坐标之差为9，求出P点的纵坐标，代入函数解析式即可求出横坐标，过P点作平行于y轴，交于D点，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为， 当 ∴ 又∵、都在二次函数的图像上， ∴ ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：过作轴交于点，设点坐标为 则， ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值 （3）解：∵二次函数的解析式为 ∴抛物线的最高点的纵坐标为4 ∵，点为轴右侧，在点与点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为9 ∴P点在对称轴的右侧，其纵坐标为 把代入得：， 解得：或（舍） ∴点的坐标为 过P点作平行于y轴，交于D点， 当， 则D的坐标为 ∴ ∴=． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $