专题01 一元二次方程（5知识&15题型&5易错&9方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程（5知识&15题型&5易错&9方法清单） 【清单01】一元二次方程的概念 一元二次方程 【清单02】一元二次方程的解法 解法 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【题型一】一元二次方程的定义 【典例1】（24-25八年级下·吉林·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 【题型二】一元二次方程的一般形式 【典例2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 【题型三】一元二次方程的解 【典例3】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【题型四】解一元二次方程-配方法 【典例4】（24-25八年级下·福建福州·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）将方程配方后所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【题型五】解一元二次方程-公式法 【典例5】（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：（公式法） 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西长治·期中）解方程：． 【题型六】解一元二次方程-因式分解法 【典例6】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【题型七】用适当的方法解方程 【典例7】（23-24九年级上·青海西宁·期中）用合适的方法解方程 (1) (2) 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程． (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例8】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一元二次方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【变式1】（24-25九年级下·四川广安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例9】（24-25九年级上·广东江门·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于的一元二次方程方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型十】一元二次方程根与系数的关系 【典例10】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 【题型十一】一元二次方程应用-与几何图形的综合应用 【典例11】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·山西长治·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【题型十二】一元二次方程应用-增长率问题 【典例12】（24-25九年级上·重庆合川·期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 . 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同． (1)求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率； (2)若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量． 【题型十三】一元二次方程应用-传染问题 【典例13】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程 ．（不必解方程） 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【变式3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【题型十四】一元二次方程应用-经济问题 【典例14】（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【变式1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【变式2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【题型十五】一元二次方程应用-动态几何问题 【典例15】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 【题型一】根据一元二次方程根的根的情况求参数 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二】一元二次方程应用-增长率问题 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为 ． 【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【题型四】一元二次方程应用-经济问题 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． (1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； (2)如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 6．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法 ·适用方程形式：当方程可化为或（）的形式时，可直接通过开平方求解. ·求解方法： （1）若，则（时无实数根）； （2）若，则，再解一元一次方程. 【题型二】一元二次方程的解法——配方法 在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法 把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【题型四】一元二次方程的解法——公式法 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 【题型五】一元二次方程根的判断 ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【题型六】一元二次方程的根与系数关系 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型九】一元二次方程的应用-每每问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（5知识&15题型&5易错&9方法清单） 【清单01】一元二次方程的概念 一元二次方程 【清单02】一元二次方程的解法 解法 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【题型一】一元二次方程的定义 【典例1】（24-25八年级下·吉林·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】依据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义，对每个选项逐一分析判断，看是否符合该定义 ．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义是解题的关键． 【详解】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程退化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，根据定义判断． 【详解】解：A. ，不是等式，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；     C. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；      D.  ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定式是解题的关键； 一般地形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 【题型二】一元二次方程的一般形式 【典例2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 【题型三】一元二次方程的解 【典例3】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查一元二次方程的根及求代数的值，根据a是方程的解可求出，将化为即可代值计算出答案． 【详解】若a是方程的解， 则， ∴， ∴， 故答案为：2023． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：． 【题型四】解一元二次方程-配方法 【典例4】（24-25八年级下·福建福州·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）将方程配方后所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需通过配方将原方程转化为完全平方形式． 【详解】解：原方程为 ， 移项：将常数项移到等式右边，得， 配方：等式两边加上一次项系数一半的平方（即 ，平方为 ），得 ， ∴方程配方后所得的方程：， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤．原方程变形为，利用开平方即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得，． 【题型五】解一元二次方程-公式法 【典例5】（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴方程的解为：，． 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山西长治·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程，即可得到答案． 【详解】移项：． ∴，， ∴， ∴ ∴，． 【题型六】解一元二次方程-因式分解法 【典例6】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程可分解为， 解得或， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解法可直接进行求解．本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 【详解】解：A、由方程解得，故不符合题意； B、由方程解得，故符合题意； C、由方程解得，故不符合题意； D、由方程解得，故不符合题意； 故选B． 【题型七】用适当的方法解方程 【典例7】（23-24九年级上·青海西宁·期中）用合适的方法解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 即， 解得：； （2）解： ， ， 即， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解． （1）将方程化为，然后配方为，再用直接开平方法求解； （2）将方程化为，然后将方程左边进行因式分解，最后将原方程化为两个一元一次方程，求解即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：，即， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， ，即， ， ， ∴或， 解得：，． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解方程即可； （）利用配方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）（）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据求根公式法即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例8】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一元二次方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据题意，求得判别式的值，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：， 一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 故选B． 【变式1】（24-25九年级下·四川广安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 先求出，再根据结果判断即可. 【详解】解：一元二次方程中，， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根. 故选：C. 【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例9】（24-25九年级上·广东江门·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意可得，，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于的一元二次方程方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合根的判别式确定的取值范围． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负，联立解不等式组即可． 【详解】由题意得：， ∴ 由得：， 解得： 由得：， ∴的求值范围为：且， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选C． 【题型十】一元二次方程根与系数的关系 【典例10】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．先根据，是一元二次方程的两个实数根，得出，，整体代入求出结果即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，， ， 故选：D． 【题型十一】一元二次方程应用-与几何图形的综合应用 【典例11】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级下·山西长治·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据装裱后整幅画的面积为列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】(1)鸡场的长为米，宽为米 (2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析 (3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 【题型十二】一元二次方程应用-增长率问题 【典例12】（24-25九年级上·重庆合川·期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．掌握“设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为”是解决本题的关键．设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，根据三月份的营业额为288万元，列方程即可． 【详解】解：设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额在二月份基础上再增长，即万元， 根据题意：， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 . 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第一天票房约200万元，根据增长率为x得出第二天为万元，第三天为元，根据三天后累计票房收入共728万元，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：将增长率记作x， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同． (1)求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率； (2)若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量． 【答案】(1)该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为 (2)预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量为103.68吨 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为，根据2024年的产量年的产量年平均增长率，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由（1）中计算的平均增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， 答：该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为； （2）解：由（1）得到的年平均增长率为， 根据题意得，（吨）， 答：预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量为103.68吨． 【题型十三】一元二次方程应用-传染问题 【典例13】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系(经过两天感染患病的兔一定)列出方程求解．设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，所以经过两天的传染后感染患病的兔共有：只，根据经过两天的传染后使兔场感染患病的兔，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染， 根据题意：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 故答案为：12． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程 ．（不必解方程） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由每个支干长出个小分支，可得出该种植物共有个支干，个小分支，结合主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支， 该种植物共有个支干，个小分支， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可； （2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）人， ， ∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 【变式3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 【题型十四】一元二次方程应用-经济问题 【典例14】（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 【变式1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 【变式2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】(1)300元，240元 (2)40元 【分析】（1）设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）设每台A款电器应降价a元，根据商场想要每月销售A款电器的利润为10800元列一元二次方程求解即可． 本题主要考查了运用二元一次方程组解应用题和列一元二次方程解决利润问题，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每台A款电器售价x元，每台B款电器售价y元，根据题意得 ， 解得． 答：每台A款电器售价300元，每台B款电器售价240元． （2）解：设每台A款电器应降价a元，根据题意得 ， ， ， ，， 由于要尽可能减少库存，故取； 答：每台A款电器应降价40元． 【题型十五】一元二次方程应用-动态几何问题 【典例15】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)，； (2)为或时，的面积等于． 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据，然后解一元二次方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意可知：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，，，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：为或时，的面积等于． 【题型一】根据一元二次方程根的根的情况求参数 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程是形如的方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据题意可知且，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得． 故选：A． 【题型二】一元二次方程应用-增长率问题 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，设月平均增长率为，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即可得到方程．掌握增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为， 第二个月进馆人次；第三个月进馆人次； 由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程， 故答案为：． 【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 【题型四】一元二次方程应用-经济问题 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． (1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； (2)如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 【答案】(1)9600元 (2)520元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际运用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． （1）每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有12间，根据每个房间的定价乘以出租的房间数即可求出总收入； （2）设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间，根据客房收入9360元，可得方程，求解后根据入住率超过进行取舍，进而得到出租的房间数，即可解答． 【详解】（1）解：若每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有（间）， ∴总收入为（元） 答：这天客房的总收入为9600元． （2）解：设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间， ∵客房收入9360元， ∴ 解得，， ∵入住率超过可以获得每间10元的政府补贴， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴这天农家乐可获得政府补贴为：（元）． 【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 6．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)当时，P，N两点重合 (2)不存在，见解析 (3)当或时，四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查一元二次方程与平行四边形的性质综合，根据等量关系，列出方程，时是解题的关键． （1）当P，N两点重合时，即，建立方程，解方程即可； （2）根据四边形的面积是矩形面积的一半建立方程，解方程，再求出此时值进行判断即可； （3）分别根据P，N两点重合前和重合后两种情况进行讨论，根据平行四边形对边相等建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当P，N两点重合时，即， ∵，，， ∴， 解得，（舍去） ∴，当时，P，N两点重合． （2）解：不存在． ∵，， ∴， ∵， ∴ 整理得： 解得， 当时，，即各点停止运动． ∴四个点运动过程中不存在四边形的面积是矩形的面积的一半． （3）解：①P，N两点重合前，四边形是平行四边形，即， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ②P，N两点重合后，四边形是平行四边形，即， ∴ 整理得： 解得，（舍去） 综上所述：当或时，四边形是平行四边形． 【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法 ·适用方程形式：当方程可化为或（）的形式时，可直接通过开平方求解. ·求解方法： （1）若，则（时无实数根）； （2）若，则，再解一元一次方程. 【题型二】一元二次方程的解法——配方法 在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法 把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【题型四】一元二次方程的解法——公式法 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 【题型五】一元二次方程根的判断 ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【题型六】一元二次方程的根与系数关系 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型九】一元二次方程的应用-每每问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $