专题06 含参一元二次不等式问题（六类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题06 含参一元二次不等式问题 （六类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 类型二、二次项系数含参讨论问题 类型三、利用方程的根、的大小分类 类型四、利用判别式的符号分类 类型五、分类讨论综合问题 类型六、含参不等式中整数解问题 压轴专练 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 一元二次方程与相应的一元二次函数及一元二次不等式三者之间有什么关系? 以a>0为例 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 由此可见： 一元二次不等式与二次函数之间的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 类型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 1、一元二次方程求根公式： 的根为： 2、 韦达定理（根与系数的关系）： 的两根为，；则 【技巧方法】 利用根与系数的关系建立关于参数的方程（组）求解 例1．设，不等式的解集为或，则（    ） A. B. C. D. 变式1-1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 变式1-2．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 变式1-4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 类型二、二次项系数含参讨论问题 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0系数a系数正负不确定讨论如图： 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 例2．（多选）关于的不等式（）的解集可以是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）一元二次不等式的解集可以是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知二次函数，解关于x的不等式． 变式2-3．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 类型三、利用方程的根、的大小分类 以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤 ⑴计算判别式>0 ⑵根据方程的根、的大小分类讨论：即． 【技巧方法】 若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 例3．解下列不等式： (1)； (2)． 变式3-1．解关于的不等式． 变式3-2．解关于x的不等式，． 变式3-3．已知关于x的不等式，若求关于x的不等式的解集． 类型四、利用判别式的符号分类 以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤 ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 1 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 2 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 3 若方程无实根,不等式的解集为. 【技巧方法】 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论。 例4．解下列关于的不等式； 变式4-1．解下列关于的不等式：； 变式4-2．解下列关于的不等式：． 变式4-3．解关于的不等式：． 类型五、分类讨论综合问题 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例5．已知函数，解关于的不等式； 变式5-1．解关于x的不等式. 变式5-2．求解不等式 变式5-3．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 类型六、含参不等式中整数解问题 （1）根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出不等式的解集，利用解集中恰有几个整数，从而得到不等式（组），求出参数的取值范围； （2）将不等式进行变形为可因式分解，从而利用不等式解集中的整数个数，建立不等式（组），考查解集端点的范围，解出参数的取值范围． 例6．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式6-2．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 1.已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3.已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5.已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 7.（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 8.（多选） 已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 9.若关于的不等式的解集为，则___________ 10.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为___________- 11.已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 12.解下列关于的不等式 (1)； (3)； (4). 13.解决下列问题 （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 14.已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 含参一元二次不等式问题 （六类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 类型二、二次项系数含参讨论问题 类型三、利用方程的根、的大小分类 类型四、利用判别式的符号分类 类型五、分类讨论综合问题 类型六、含参不等式中整数解问题 压轴专练 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 一元二次方程与相应的一元二次函数及一元二次不等式三者之间有什么关系? 以a>0为例 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 由此可见： 一元二次不等式与二次函数之间的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 类型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 1、一元二次方程求根公式： 的根为： 2、 韦达定理（根与系数的关系）： 的两根为，；则 【技巧方法】 利用根与系数的关系建立关于参数的方程（组）求解 例1．设，不等式的解集为或，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理得出的关系，从而得出结果. 【解析】由题意可知是方程的两根， 则，∴ ∴ 故选：D 变式1-1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【解析】令， 则由韦达定理可得，故. 故选：B. 变式1-2．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解析】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 变式1-3．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 变式1-4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 类型二、二次项系数含参讨论问题 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0系数a系数正负不确定讨论如图： 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 例2．（多选）关于的不等式（）的解集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【解析】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 变式2-1．（多选）一元二次不等式的解集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【解析】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：BCD 变式2-2．已知二次函数，解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】对参量分类讨论即得。 【解析】由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 变式2-3．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 类型三、利用方程的根、的大小分类 以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤 ⑴计算判别式>0 ⑵根据方程的根、的大小分类讨论：即． 【技巧方法】 若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 例3．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）、（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【解析】（1）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. （2）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. 变式3-1．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【解析】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 变式3-2．解关于x的不等式，． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】将不等式化为，分，和，求出不等式的解集即可. 【解析】由得，． 因为， 所以①当，即时，不等式的解集为：； ②当，即时，，不等式无解； ③当时，即时，不等式的解集为：． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 变式3-3．已知关于x的不等式，若求关于x的不等式的解集． 【答案】答案见解析 【分析】按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【解析】因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 类型四、利用判别式的符号分类 以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤 ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 1 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 2 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 3 若方程无实根,不等式的解集为. 【技巧方法】 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论。 例4．解下列关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． 变式4-1．解下列关于的不等式：； 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 变式4-2．解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 变式4-3．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【解析】当时，不等式为，解得：，则不等式解集为； 当时，； ①当时，且； 令，解得：，； 若，则，的解为， 即不等式的解集为； 若，则，的解为或， 即不等式的解集为； ②当，即时，不等式为，解得：， 即不等式的解集为； ③当，即时，恒成立，即不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 类型五、分类讨论综合问题 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例5．已知函数，解关于的不等式； 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】先因式分解，分与讨论然后对两根的大小进行讨论，即可求解； 【解析】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 变式5-1．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【解析】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 变式5-2．求解不等式 【答案】答案见解析 【分析】将不等式左边因式分解可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【解析】因为， 所以， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或； 变式5-3．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1);(2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解析】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 类型六、含参不等式中整数解问题 （1）根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出不等式的解集，利用解集中恰有几个整数，从而得到不等式（组），求出参数的取值范围； （2）将不等式进行变形为可因式分解，从而利用不等式解集中的整数个数，建立不等式（组），考查解集端点的范围，解出参数的取值范围． 例6．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【解析】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 变式6-1．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的两个整数是、和中的两个整数是、两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以； 由，即， 解得， 所以， 若集合中的两个整数是、，则，解得； 若集合中的两个整数是、，则，解得； 综上可得实数a的取值范围是或. 故选：A 变式6-2．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【解析】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 变式6-3．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【答案】1 【分析】由题设可得不等式解集为，根据解集中整数解个数求参数. 【解析】不等式， 因为为正整数，所以不等式的解集为， 又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1， 所以，即，所以正整数. 故答案为：1 1.已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【解析】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 2.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D 3.已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【解析】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 4.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 5.已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数求其范围. 【解析】对于或， 而解集与或的交集中有且仅有一个整数， 当时，解集为，此时满足要求； 当时，解集为，此时不可能满足题设； 当时，解集为，此时满足要求； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 6.（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知且和2是方程的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C. 【解析】关于的的不等式的解集为, 且和2是方程的两个根, ， 对，故A正确. 对可化为 ,解的, 不等式的解集为，故B错误. 对，1和2是方程的两个根, 且二次函数开口向上, 当时，，即，故C正确. 对D，不等式可化为, ,即，解得 不等式的的集为，故D正确. 故选：ACD 7.（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对不等式中的参量讨论分析即得。 【解析】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：ABD 8.（多选） 已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理进一步分析选项即得. 【解析】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ， 的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 9.若关于的不等式的解集为，则___________ 【答案】1 【分析】将和5代入方程，求解即可. 【解析】由题意知方程的实数根为和5， 代入得，解得. 故答案为：1 10.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为___________- 【答案】 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【解析】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故答案为： 11.已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 【答案】 【分析】解不等式分析可知不等式组整数解为，解不等式，分析可得，运算求解即可. 【解析】由，可得，等价于，解得， 由，解得， 可知不等式组的解集为，整数解为， 对于不等式组，且，解得， 可知的整数解为，则，解得， 且，则， 所以整数对的集合为. 故答案为：. 12.解下列关于的不等式 (1)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【分析】（1）计算得，分和或讨论即可； （2）因式分解得，分 ，和讨论即可； （3）分，两大类讨论即可. 【解析】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 13.解决下列问题 （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可； （2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可. 【解析】（1）原不等式化为， 当时，可得，解得， 当时，的根为且，解得或， 当时，可得，解得； 当时，的根为且，解得或； 当时，由解得，故不等式解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）由题意得，且，解得， 不等式可化为， 即，解得或， 故不等式解集为. 14.已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)存在，且实数的取值范围是 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $