专题05 基本不等式链、柯西不等式、权方和不等式的应用四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题05 基本不等式链、柯西不等式、权方和不等式的应用四类重难点题型 目录 典例详解 类型一、基本不等式链的应用 类型二、二维柯西不等式 类型三、三维柯西不等式 类型四、权方和不等式的应用 压轴专练 类型一、基本不等式链的应用 1.基本不等式链 ,当且仅当时,等号成立. 注：其中分别为的平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件) 【技巧方法】可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例1．（多选）已知正数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式链得， 所以 ，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 变式1-1．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC. 变式1-2．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋b＋≥2　 B.＞ C.≥a＋b　 D.（a＋b）（＋）≥4 【答案】ACD 【解析】因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A正确；因为a＋b≥2＞0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，即≥a＋b，故C正确；因为（a＋b）·（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确. 故选：ACD 变式1-3．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析，最小值为 【分析】（1）利用基本不等式可得，不等式相加即可完成证明； （2）先证明不等式，然后根据可证明，再将原式变形为结合证明的结论可计算出最小值； 【解析】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. 类型二、二维柯西不等式 柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 （a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立），推广到一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则（＋＋…＋）（＋＋…＋）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2（当且仅当bi＝0（i＝1，2，…，n）或存在一个实数k，使得ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立）. 2.二维形式的柯西不等式的变式 （1）·≥｜ac＋bd｜（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立）； （2）·≥｜ac｜＋｜bd｜（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立）； （3）（a＋b）（c＋d）≥（＋）2（a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立）. 【技巧方法】有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如:对,并不是不等式的形状,但变成就可以用柯西不等式了. 例2．　（1）已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为　　； （2）已知实数a，b，c满足，若，求证：； 【答案】（1）　（2）证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式可得（x＋3y）2≤（4x2＋y2）（＋9），即求；（2）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证； 【解析】（1）由（x＋3y）2≤（4x2＋y2）（＋9），∴4x2＋y2≥16×＝，当且仅当y＝12x，即x＝，y＝时，等号成立，∴4x2＋y2的最小值为. （2）因为，所以． 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，所以． 变式2-1．设，且，则的最小值为（　　） A． B．9 C．10 D．0 【答案】B 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【解析】（x2）（y2）≥（x）2＝9． 当且仅当xy即xy= 时取等号． 故选B． 变式2-2．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【解析】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 变式2-3．设实数，满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由柯西不等式（1），可以通过构造作为一个因式而得到证明． 【解析】由柯西不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 类型三、三维柯西不等式 柯西不等式 3.三维形式的柯西不等式 ， 当且仅当时，等号成立. 【技巧方法】 有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 例3.（1）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． （2）已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为　　. （3）已知实数a，b，c满足，若a，b，，求证：． 【答案】（1）；（2）3；（3）证明见解析 【分析】利用柯西不等式 即可求解；（2）利用柯西不等式可得（ax＋by＋cz）2≤（a2＋b2＋c2）·（x2＋y2＋z2），即求。（3）根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明. 【解析】（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． （2）（2）（ax＋by＋cz）2≤（a2＋b2＋c2）·（x2＋y2＋z2）＝9，∴ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，∴ax＋by＋cz的最大值为3. （3） 因为，且a，b，， 所以，，，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立． 变式3-1．已知且则的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用柯西不等式即可求解. 【解析】由柯西不等式可得： ， 即 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 变式3-2．已知、、，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用柯西不等式可求得的最小值. 【解析】因为、、，且满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 变式3-3．已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：a＋b＋2c≤3； 【答案】证明见解析 【分析】利用柯西不等式（a2＋b2＋4c2）（12＋12＋12）≥（a＋b＋2c）2求解证明. 【解析】因为a2＋b2＋4c2＝3，所以根据柯西不等式有3×3＝（a2＋b2＋4c2）（12＋12＋12）≥（a＋b＋2c）2，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号. 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. 类型四、权方和不等式的应用 1.权方和不等式 ⑴二维形式的权方和不等式 若，则，当且仅当时，等号成立. 证明： 要证；只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. （2）推广1：当时，等号成立． 推广一般形式的权方和不等式: ①若，则，当时，等号成立. ②若，则，当时，等号成立. 【技巧方法】 1.很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2.权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 例4．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据权方和不等式可得解. 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 故选：B 变式4-1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用权方和不等式可求最小值. 【解析】根据权方和不等式，有 ， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 变式4-2．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号 变式4-3．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，结合权方和不等式求解即可. 【解析】因为，， 所以由权方和不等式可得：， 当且仅当，等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 1.已知且，则下列选项不正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】由基本不等式逐项判断可求。 【解析】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 2.实数x、y满足，则的最小值是（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由得，运用柯西不等式有，进而得解. 【解析】实数x、y满足， ， ， ， 当且仅当时取等号， 的最小值是. 故选：A. 3.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（　　） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 4.由柯西不等式，当时，求的最大值为（　　） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可得，即求. 【解析】由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 5.已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B. 6.（多选）函数 的值可以是（　　） A． B． C．3 D．5 【答案】AB 【分析】利用柯西不等式求解. 【解析】因为 当且仅当，即时，取等号. 故选：AB 7.（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【解析】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 8.（多选） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】由基本不等式逐项判断可求。 【解析】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 9.若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【解析】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 10.已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【解析】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 11.已知，则的取最小值时，为_____________ 【答案】 【分析】利用柯西不等式求出的最小值，从而可求出，进而可求出的值 【解析】由柯西不等式得： 则．则根据等号成立条件知，，， 所以 故答案为： 12.已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1)3；(2)证明见解析 【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值. (2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证. 【解析】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式， ，当且仅当时等号成立. 的最小值为3. （2），由柯西不等式， ∴ 要证 只需证 即证 由，， 令， ∴，得证. ∴，当且仅当时等号成立 13.（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【分析】（1）①由题意得到，，，三式相加即可证明；②由题意得到，再结合，，即可证明结论． （2）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式即可求得最小值. 【解析】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 14.学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 【答案】(1)李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确，理由见解析；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）李雷用了2次基本不等式，需判断2次等号成立的条件是否成立； （2）（ⅰ）利用基本不等式即可证明；（ⅱ）由条件变形为，再将转化为关于的式子，再利用基本不等式，即可求解. 【解析】（1）李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中用了2次基本不等式，一次是，等号成立的条件是，，即 第二次是，等号成立的条件是，，即， 这与矛盾，所以两根等号不能同时取到，所以最小值也不正确； （2）（ⅰ）由基本不等式可知，，，， 所以， 即 等号成立的条件是当且仅当，即时，等号成立， 所以 （ⅱ）由已知，且， 则，即， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 基本不等式链、柯西不等式、权方和不等式的应用四类重难点题型 目录 典例详解 类型一、基本不等式链的应用 类型二、二维柯西不等式 类型三、三维柯西不等式 类型四、权方和不等式的应用 压轴专练 类型一、基本不等式链的应用 1.基本不等式链 ,当且仅当时,等号成立. 注：其中分别为的平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件) 【技巧方法】可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例1．（多选）已知正数满足，则（　　） A． B． C． D． 变式1-1．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋b＋≥2　 B.＞ C.≥a＋b　 D.（a＋b）（＋）≥4 变式1-3．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； 类型二、二维柯西不等式 柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 （a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立），推广到一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则（＋＋…＋）（＋＋…＋）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2（当且仅当bi＝0（i＝1，2，…，n）或存在一个实数k，使得ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立）. 2.二维形式的柯西不等式的变式 （1）·≥｜ac＋bd｜（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立）； （2）·≥｜ac｜＋｜bd｜（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立）； （3）（a＋b）（c＋d）≥（＋）2（a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立）. 【技巧方法】有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如:对,并不是不等式的形状,但变成就可以用柯西不等式了. 例2．　（1）已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为　　； （2）已知实数a，b，c满足，若，求证：； 变式2-1．设，且，则的最小值为（　　） A． B．9 C．10 D．0 变式2-2．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-3．设实数，满足，求证：． 类型三、三维柯西不等式 柯西不等式 3.三维形式的柯西不等式 ， 当且仅当时，等号成立. 【技巧方法】 有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 例3.（1）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． （2）已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为　　. （3）已知实数a，b，c满足，若a，b，，求证：． 变式3-1．已知且则的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 变式3-2．已知、、，且满足，则的最小值为 . 变式3-3．已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：a＋b＋2c≤3； 类型四、权方和不等式的应用 1.权方和不等式 ⑴二维形式的权方和不等式 若，则，当且仅当时，等号成立. 证明： 要证；只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. （2）推广1：当时，等号成立． 推广一般形式的权方和不等式: ①若，则，当时，等号成立. ②若，则，当时，等号成立. 【技巧方法】 1.很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2.权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 例4．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．前三个答案都不对 变式4-2．已知正数，，满足，则的最小值为 变式4-3．已知正实数，满足，则的最小值为 . 1.已知且，则下列选项不正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 2.实数x、y满足，则的最小值是（　　） A． B． C．3 D．4 3.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（　　） A．16 B．25 C．36 D．49 4.由柯西不等式，当时，求的最大值为（　　） A．10 B．4 C．2 D． 5.已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6.（多选）函数 的值可以是（　　） A． B． C．3 D．5 7.（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 8.（多选） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 9.若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 10.已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 11.已知，则的取最小值时，为_____________ 12.已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 13.（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 14.学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $