精品解析：湖北省武汉市第六中学2025届高三下学期临门一脚数学试卷

湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一脚 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性以及幂函数的定义域，可得集合的元素，即可得答案. 【详解】由， ， 则. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算、共轭复数、复数的模等知识求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：A 3. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断. 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为（ ） A. 4050 B. 4950 C. 5050 D. 4450 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出，再利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】由，得，而， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此，， 所以数列的前100项和为. 故选：B 6. 已知，是双曲线E：（，）的左，右焦点，点M在E上，且垂直x轴，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后利用建立方程，化简得，求解即可. 【详解】因为垂直轴，则M点横坐标为， 所以，解得，即，即， 所以，得， 所以，解得（负根舍去）. 故选：A. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得，在分析各个选项的系数，即可求解. 【详解】一个砝码有，9一种情况，种情况， 两个砝码有，，，几种情况种 三个砝码有，，，，，，几种情况种 四个砝码有，，，，，种， 五个砝码有，，种， 总计种. 对A，选项系数为，故不符合，所以A错误； 对B，的系数是选个带的，其他的个括号选常数项， 可得系数为，故B错误； 对C， 系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为 有两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为， 系数为与组成，其他为常数，，系数为， 系数为与组成，其他为常数， ，系数为， 系数为与组成，其他为常数， ，系数为， 同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为 同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数， 同理由五项组成其他项为常数，则系数为， 综上系数为，故C正确； 对D， ， 系数直接有一项，其他是常数项，可有种情况，系数为， 有与组成，其他是常数项，可有, 故D错误. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线C2的渐近线为 C. 存在，使得点的横坐标为10 D. 若以为直径的圆与轴相切于点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，判断A的真假；求双曲线的渐近线方程，判断B的真假；假设点的横坐标为10成立，根据点在抛物线上，求出纵坐标，再代入双曲线方程进行验证，判断C的真假；根据条件求出点坐标，代入双曲线方程求，可判断D的真假. 【详解】对A：因为抛物线的标准方程为：，所以其焦点坐标为，故A错误； 对B：由题意，. 所以双曲线的渐近线方程为：，故B正确； 对C：当点的横坐标为10，因为点在抛物线上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，该方程无解. 所以不存在，使得点的横坐标为10，故C错误； 对D：如图： 因为以为直径的圆与轴相切于点，所以点横坐标为4，又点在抛物线:上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，所以.故D正确. 故选：BD 10. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. A与相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据互斥得到，；B选项，根据求出，故，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据求出D正确. 【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确； B选项，， 即，故， 故，A与相互独立，B正确； C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误； D选项， ， 因为，故，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A先求，再将问题转化为的解集为，利用韦达定理即可；先研究的单调性，得出即可判断BC选项；D先求证，再利用倒序相加法即可求得. 【详解】由得，，则的定义域为， 又当且仅当时，导函数成立， 则的解集为， 即的解集为， 则，，，则，故A正确； ， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 则，故B正确；C错误； 因，则， 则， 记， 则， 两式相加得， 则，记，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合向量模的坐标运算及数量积的定义，根据向量的投影公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则在上投影向量为. 故答案为：. 13. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面结合相切的几何性质分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，即可得水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，可知四边形为矩形， 且， 在直角三角形中，， 且为锐角，则， 由可得，所以， 在直角三角形中，，得，所以． 在直角三角形中，． 在直角三角形中，,． 即圆台的上底面半径，下底面半径，高． 可得圆台的体积， 所以水的体积为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1） 由已知得， 所以， 又，或， 因由可得，则得，不合题意， 故得； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换、同角三角函数关系式化简可得，结合角度关系即可得证； （2）根据正弦定理、余弦定理，结合二倍角公式化简求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由正弦定理，，即， 则，化简得， 由余弦定理， ， 故得，即， 因，故，解得，或（舍去）， 故. 16. 如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）如图，在梯形中，因为， 作于，则，所以， 所以，连结，由余弦定理可求得， 因为，所以， 因为平面平面且交于， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证； （2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结，由（1）可知，平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结，由（1）可知，平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为平面，所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为，即， 在中，因为，所以， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 所以， 由图可知，二面角锐二面角， 故二面角的余弦值为. 【点睛】 本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有： （1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键. 17. 已知函数. （1）已知的导函数为，证明：有唯一实数解. （2）若函数，，，，求m的取值范围. 【答案】（1）证明：的定义域为. . 由可知，等价于. 设函数，，因为，在内单调递增， 所以在内单调递增. 因为，， 所以在内存在唯一零点， 所以有唯一实数解. （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，将问题转化为在内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点存在定理即可证明； （2）根据题意，将问题转化为，结合导数分别求得函数与的最值，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以. 因为，所以，，. ，即. ， 令，得，令，得，令，得， 所以. 因为，，，所以， 所以，解得，所以m的取值范围为. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 如图： 由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得， ∵，∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. （3）存在，证明如下： 假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上， 由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上. 因为线段的垂直平分线为， 线段的垂直平分线上的点满足：， 化简即得的垂直平分线方程为. 由，且， 所以过三点的圆的方程为. 如图： 下面证明此圆符合题目条件： 设在圆上，∴， 当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件； 当时，的垂直平分线方程为， 设，由得， ∵ ， ∴的垂直平分线与椭圆相切. ∴满足条件的圆存在，其方程为. 又由韦达定理得切点的横坐标， 的纵坐标，∴， ∴， ∴三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点. （3）先结合（2）的结论，猜测圆的方程.设为圆上动点，写出线段中垂线方程，与椭圆方程联立，利用判断圆存在.再结合韦达定理求点坐标，利用斜率证明、、三点共线. 【小问1详解】 因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量. （1）若，求和； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且. 【答案】（1） ， （2） 2 （3） ， ∴， 设， 当时，；当时，， ∴，设， ， ∴，∴， 当时，， ，等号成立， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）先计算，根据期望公式得，结合，的单调性，计算的到的最小值； （3）由题先计算，根据期望公式得，利用导数确定单调性证明得到结论. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ∴ ， 令，得， 又在上单调递减， 且，，， 且对所有，都有，故的最小值为2. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点时得到，结合导数确定函数的单调性，从而得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一脚 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为（ ） A. 4050 B. 4950 C. 5050 D. 4450 6. 已知，是双曲线E：（，）的左，右焦点，点M在E上，且垂直x轴，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分） 9. 已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线C2的渐近线为 C. 存在，使得点的横坐标为10 D. 若以为直径的圆与轴相切于点，则 10. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. A与相互独立 C. D. 11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为______． 13. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____. 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 16. 如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值. 17. 已知函数. （1）已知的导函数为，证明：有唯一实数解. （2）若函数，，，，求m的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量. （1）若，求和； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $