专题06 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的相交问题 考点03 圆的切线问题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)以为圆心，且过点的圆的方程为 A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知表示圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 三、填空题 7．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为 . 8．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 四、解答题 9．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程． 10．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 11．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知在中，，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 12．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． (1)求圆E的方程． (2)已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 直线与圆相交问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若直线与圆交于两点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)若直线3x+y+a=0过圆的圆心，则的值为（   ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 6． (24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)设k为实数，直线与 圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 7．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知直线与圆相交于两点，若，则实数（   ） A．或8 B．2或 C．或9 D．1或 8．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 10．(24-25高二上·河北张家口·期中)下列结论正确的是（    ） A．已知，为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交 B．直线与圆恒相交 C．若直线平分圆的周长，则 D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 三、填空题 11．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知圆和点，直线过点与圆交于两点．若以为直径的圆的面积最大，则直线的方程为 ． 12．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 13．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若圆关于直线对称，则 ． 14．(24-25高二上·河北邯郸·期中)若圆上存在两点关于直线对称，则的值为 . 四、解答题 15．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 16．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 17．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知直线，圆. (1)求与直线平行且与圆相切的直线方程； (2)设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 18．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆，直线l过点． (1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 19．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知长为的线段的两个端点和分别在直线和轴上滑动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若直线与曲线交于、两点，且，求的值. 20．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知，，在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线，且与圆交于点、，为坐标原点，，求直线的方程． 地 城 考点03 圆的切线问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)直线与圆相切，则 A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 2．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 4．(24-25高二上·河北邯郸·期中)若直线与圆相切，且点到直线的距离为3，则这样的直线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 5．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知P是直线上一动点，Q是圆上一动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为、，则(    ). A．点Q到直线l的距离的取值范围为 B．直线恒过定点 C．四边形的面积的最小值为 D．的最小值为3 三、填空题 6．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知过点的直线与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为 . 7．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知直线与曲线有且只有一个公共点，则k的取值范围为 ． 四、解答题 8．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 9．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知圆. (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 11．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)在直角坐标系中，已知圆与直线相切， （1）求实数的值； （2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的相交问题 考点03 圆的切线问题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)以为圆心，且过点的圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，∴，即圆的半径， 又∵圆心为，∴圆的方程为，故选D. 2．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的标准方程，代入点坐标即可得到结果. 【详解】由题意可设圆的标准方程为：，， 圆的标准方程为：. 故选：D. 3．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知表示圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的方程的条件求解即可. 【详解】因为表示圆，所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故选:D. 4．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为，因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与直线垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点，则联立方程组：，解得， 则圆心为，，所以圆的方程为：. 故选：A 二、多选题 6．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BC 【分析】将方程化为，讨论的取值，逐一判断即可. 【详解】由，得， 当时，方程表示点，故A错误； 当时，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，方程表示的圆的半径为，与轴相交，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 7．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题设可得线段中垂线方程为，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得圆的方程. 【详解】由题设，且中点为，故线段中垂线方程为， 由题意知，圆心也在上，联立，可得圆心为， 所以半径，故圆的方程为. 8．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先由对称性求出圆的圆心，结合半径即得圆的方程. 【详解】由圆心与点关于直线对称，可得圆心的坐标为， 又圆的半径为1，圆的标准方程为． 四、解答题 9．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程． 【答案】或 【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程． 【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得，由圆与轴相切，得，即① 又圆心到直线的距离为.由已知，得， 即②，又圆心在直线上，则③ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程是或. 10．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． 【详解】（1）由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切，∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． （2）由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 11．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知在中，，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【详解】（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为，直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为.直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则，，解得 故圆的标准方程为 （2）圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为，整理得. 12．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． (1)求圆E的方程． (2)已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（x－1）2＋（y－2）2＝100 (2)存在，2 【详解】（1）若选①，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由已知可得解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以圆E的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 若选②，由已知得AB的中点为（4，11），直线AB的斜率为－， 所以AB的垂直平分线的方程为y－11＝3（x－4），即y＝3x－1. 因为圆心在直线x－y＋1＝0上，所以联立方程 解得所以圆心E的坐标为（1，2），半径为AE＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. 若选③，设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，因为圆E过点A（1，12），B（7，10）， 所以因为圆与直线2x－y－10＝0相切， 所以＝r，解得a＝1，b＝2，r＝10，所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. （2）设P（x，y），由已知PC2＋PD2＝（x＋2）2＋y2＋（x－2）2＋（y＋20）2 ＝2x2＋2y2＋40y＋408＝258，所以x2＋y2＋20y＋75＝0，即x2＋（y＋10）2＝25， 所以点P在圆M：x2＋（y＋10）2＝25上，圆M的圆心M的坐标为（0，－10），半径r1＝5. 因为点P在圆E：（x－1）2＋（y－2）2＝100上，圆E的圆心E的坐标为（1，2），半径r＝10， 又ME＝＝，r－r1＝5，r＋r1＝15，所以r－r1<ME<r＋r1， 所以圆M与圆E相交，两圆有两个公共点，所以符合题意的点P的个数是2. 地 城 考点02 直线与圆相交问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为，由题意可得，即， 解得或. 故选：C. 2．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，再由垂直关系及斜率两点式求弦斜率，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心为，则， 故弦所在直线方程，即为. 故选：D 3．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若直线与圆交于两点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据“几何法”求圆的弦长. 【详解】因为：圆：，所以圆心 ，圆的半径. 圆心到直线的距离：，所以.故选：D 4．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)若直线3x+y+a=0过圆的圆心，则的值为（   ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值． 解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）， 代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1， 故选 B． 点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线距离公式可得，再由垂径定理及弦长关系即可求得所截弦长. 【详解】圆，所以圆心，半径，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截得的弦长为， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的弦长求法，垂径定理的应用，属于基础题. 6． (24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)设k为实数，直线与 圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 7．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知直线与圆相交于两点，若，则实数（   ） A．或8 B．2或 C．或9 D．1或 【答案】A 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用点到直线距离公式，结合弦长公式，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由，则，整理可得， 化简可得，解得或. 故选：A. 8．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离， 则弦长为，则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10．(24-25高二上·河北张家口·期中)下列结论正确的是（    ） A．已知，为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交 B．直线与圆恒相交 C．若直线平分圆的周长，则 D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用点到直线距离公式计算判断A；求出直线所过定点判断B；求出圆心坐标计算判断C；利用相交两圆求出范围判断D. 【详解】对于A，由点在圆外，得， 圆心到直线m的距离，m与圆相交，A正确； 对于B，直线恒过定点，而， 即点在圆内，因此直线与圆恒相交，B正确； 对于C，圆的圆心为，依题意，点在直线上， 则，解得，C正确； 对于D，依题意，以为圆心，1为半径的圆与圆相交，而圆的圆心为，半径为， 则，又，，解得，D错误.故选：ABC 三、填空题 11．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知圆和点，直线过点与圆交于两点．若以为直径的圆的面积最大，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知直线过圆心，应用点斜式求直线方程即可. 【详解】由题意，以为直径的圆的面积最大，即直线过圆心，则， 所以直线为 . 12．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知有、，令圆心到弦的距离为，进而得，应用基本不等式求其最大值. 【详解】由题设，圆心，半径为，则，令圆心到弦的距离为，则到弦的距离为，所以，，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 13．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若圆关于直线对称，则 ． 【答案】/0.25 【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出并验证即得. 【详解】圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意，所以. 14．(24-25高二上·河北邯郸·期中)若圆上存在两点关于直线对称，则的值为 . 【答案】2 【分析】由题意可得圆心在直线上，从而列式得解. 【详解】圆的圆心为圆心，半径为2， 圆上存在两点关于直线对称，则圆心在直线上，所以，解得. 故答案为：2. 四、解答题 15．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为. （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4，显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或. 16．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】(1)，圆心坐标，半径为 (2)或 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【详解】（1）由，得， 则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为． （2）由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 17．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知直线，圆. (1)求与直线平行且与圆相切的直线方程； (2)设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得，从而得解； （2）根据题意假设直线的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设所求直线方程为， 因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为， ，解得或， 所求直线方程为或； （2）依题意，设直线的方程为，因为直线与圆相交于A，B两点，， 圆心到直线的距离为，，解得或， 直线的方程为或. 18．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆，直线l过点． (1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； (2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解； （2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为. 当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可得，所以， 则直线l方程为或. （2）设，因为A为BC中点，则， 由B在圆M上得，解得，则，所以直线，即直线． 19．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知长为的线段的两个端点和分别在直线和轴上滑动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若直线与曲线交于、两点，且，求的值. 【答案】(1)，曲线是以点为圆心，为半径的圆. (2)或. 【分析】（1）根据直角三角形的几何性质可得出，然后设点，根据两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程，即可得出曲线的形状； （2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）设直线和轴的交点为，则，. 因为为线段的中点，则. 设，则，化简可得， 则曲线的方程为，曲线是以点为圆心，为半径的圆. （2）由（1）知，曲线是圆，且圆心为点，半径. 因为圆心到直线的距离，所以，. 因为，则，化简得，解得或. 20．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知，，在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线，且与圆交于点、，为坐标原点，，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先设圆的标准方程为，根据条件建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件设直线方程为，联立直线与圆的方程得，由韦达定理得，进而可求得，结合条件，即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为，，在圆上， 所以①，②，③， 由①②③解得， 所以圆的标准方程. （2）因为，又直线，不妨设为， 由，消得， 则，即， 设，则， 所以， 又，则，又，所以， 得到，即，解得或（均满足）， 所以直线的方程为或. 地 城 考点03 圆的切线问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)直线与圆相切，则 A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 【答案】D 【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D. 考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用. 2．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线和圆的位置关系求解，得到相切情况的取值，从而得到取值范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图象可知，又，所以． 故选：C. 3．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 4．(24-25高二上·河北邯郸·期中)若直线与圆相切，且点到直线的距离为3，则这样的直线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，分类讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，利用直线与圆相切的性质与点线距离公式得到关于的方程组，进而分析得其解的个数即可得解. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为1， 因为直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为或， 当直线的方程为时，点到直线的距离为，不满足题意； 当直线的方程为时，点到直线的距离为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则有，即， 即，解得或， 当时，有，解得或； 当时，有，整理得， 此时，即方程有两个解，且不为或； 综上，的取值有四种情况，对应的也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条. 故选：A. 二、多选题 5．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知P是直线上一动点，Q是圆上一动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为、，则(    ). A．点Q到直线l的距离的取值范围为 B．直线恒过定点 C．四边形的面积的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BCD 【分析】A：根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式进行求解判断即可； B：根据圆的方程和相交弦方程的特征进行求解判断即可； C：根据圆的切线性质进行求解判断即可； D：根据圆的切线性质，结合对勾函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的取值范围为：，故A错误； 对于B选项，设，则以线段为直径的圆的方程为：， 即，与圆O的方程作差得：， 即为直线的方程，整理得，由，可知：， 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C选项，因为，，所以四边形的面积：， 当时，，所以四边形的面积，故C正确； 对于D选项，设，则，且，因为， 所以， 因为，所以，对勾函数在上单调递增，当时，有最小值3，即的最小值为3，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知过点的直线与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】先根据直线与圆的相切关系求出过点的直线的斜率，再根据垂直关系求出实数a的值. 【详解】当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，不相切，舍去，当斜率存在时，设直线为，则由，解得：，又与直线垂直，所以，解得： 7．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知直线与曲线有且只有一个公共点，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合题设可知直线l过定点，曲线为原点为圆心，3为半径的上半圆，结合图形及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由，即，所以直线l过定点， 由，即，所以曲线为原点为圆心，3为半径的上半圆，如图所示，设与曲线相切于点，曲线与轴负半轴交于点，    则，由，解得，可得，要使直线与曲线有且只有一个公共点，则或，即k的取值范围为. 四、解答题 8．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】(1)（x﹣1）2+（y+1）2＝2 (2)x＝0或3x+4y﹣4＝0 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【详解】（1）因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d.据题意，d＝|AC|，则，解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. （2）k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 9．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得，代入解之可得， 所以或为所求方程． 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知圆. (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用距离公式即可得到答案. （2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案. 【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，即， 解得的取值范围是. （2）①易知，所以， 等号对成立，故最小值是； ②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，因为，所以圆的半径为，方程为，即， 直线为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线的方程为. 11．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)在直角坐标系中，已知圆与直线相切， （1）求实数的值； （2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将圆的化为标准方程,求出圆心，半径，其中， 根据圆与直线相切，再利用点到直线的距离公式可得，解得； （2）当直线斜率不存在时，其方程为，求得，不合题意；但直线斜率存在，设其方程为， 根据圆心到直线的距离，以及垂径定理即可求得. 【详解】解:（1）圆的方程可化为， 圆心，半径，其中， 因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得； （2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离， 由垂径定理，，不合题意； 故直线斜率存在，设其方程为，即， 圆心到直线的距离， 由垂径定理，，即，解得，故直线的方程为， 代入圆的方程，整理得，解得，， 于是，，这里，)， 所以. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查分类讨论思想,是中档题. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $