专题07 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值问题（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题07 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值问题 3大高频考点概览 考点01 圆与圆的位置关系 考点02 与圆有关的最值或范围问题 考点03 阿波罗尼斯圆问题 地 城 考点01 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 5．(24-25高二上·河北部分校·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 8．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（   ） A．直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C． D．点与点之间的距离的最大值为8 9．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 10．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（   ） A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离 C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 12．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)过直线l： 上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（    ） A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为 B．|PA|的最小值为 C．的最小值为 D．直线l上存在两个点P，使得 13．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆C：，直线l：（），则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆恰有两条公切线 三、填空题 14．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知圆与圆有3条公切线，则的值为 ． 15．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)若直线与圆和圆都相切，则 ． 16．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 17．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)圆：与圆：相交于、两点，则 ． 18．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 19．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 四、解答题 20．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知，圆． (1)若圆与圆外切，求实数k的值； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 21．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知圆C的圆心为，且圆C与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)圆，是否存在实数a，使得圆E与圆O公共弦的长度为4，若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 与圆有关的最值或范围问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是（    ） A．|a|< B．|a|<1 C．|a|≤ D．|a|≤1 2．(24-25高二上·河北张家口·期中)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知圆过点，，设圆心，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．(24-25高二上·河北邯郸永年区第一中学·期中)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（   ） A．2 B．8 C．4 D．9 10．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 12．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知的顶点分别为原点，圆C为的外接圆，M为圆C上一动点，若点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是 . 16．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)直线：被圆：截得的弦长最短，则实数 . 四、解答题 17．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 18．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知实数满足． (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数的范围． 19．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)长为4的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，是线段的中点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程； (3)，，是曲线上的一动点，求的最小值及此时点坐标. 20．(24-25高二上·河北部分校·期中)一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 21．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆为圆上一点. (1)求的取值范围； (2)圆的圆心为，与圆相交于、两点，为圆上相异于、的点，直线分别与轴交于点、，求的最大值. 22．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 地 城 考点03 阿波罗尼斯圆问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北张家口·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定点的距离之比为时，则直线被动点所形成的轨迹截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在平面直角坐标系中，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的方程为 B．直线与圆相切 C．在C上存在K使得 D．当三点不共线时，射线是的平分线 二、填空题 3．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为 ． 三、解答题 4．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求．    5．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且． (1)求点P的轨迹方程； (2)求过点且与点P的轨迹相切的直线方程； (3)若点的轨迹上运动，求的取值范围． 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值问题 3大高频考点概览 考点01 圆与圆的位置关系 考点02 与圆有关的最值或范围问题 考点03 阿波罗尼斯圆问题 地 城 考点01 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 2．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 3．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系与公切线的条数关系求解. 【详解】两圆的圆心分别为,半径分别为 圆心距,所以，所以两圆相交，有2条公切线， 故选：B. 4．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】根据两圆的方程作差求出公共弦所在直线方程，再由题中条件，得到公共弦所在直线过点，由此列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由与两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为，又圆的标准方程为，记圆心为； 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点，因此，所以. 故选：. 5．(24-25高二上·河北部分校·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得圆，再根据点与圆心的距离可判断两圆相离，进而可得的取值范围. 【详解】设，由，则，故， 得圆，圆心为，半径为. 又点与圆心的距离为，由于过点总可以向以点为圆心的圆作两条切线，故两圆相离，所以，故的取值范围为． 故选：B 6．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合和中的元素构成两个圆，由题意可得两圆相交，根据圆心距小于半径之和大于半径之差的绝对值列不等式，解不等式即可求解. 【详解】由可得集合中的元素构成以为圆心，半径为的圆；由可得集合中的元素构成以为圆心，半径为的圆； 若中有且仅有两个元素，则两个圆相交；可得， 即，解得：，所以的取值范围为， 故选：C. 二、多选题 7．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【详解】由，则圆心，半径，由， 则圆心，半径，所以，即， 故两圆相交，所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对.故选：ABD 8．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（   ） A．直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C． D．点与点之间的距离的最大值为8 【答案】ABD 【分析】将两圆的方程作差可得A正确；由圆的一般方程变成标准方程，求出圆心，再由线段的中垂线经过和的圆心可得B正确；由几何法求出弦长可得C错误；由最大距离等于两半径之和加圆心距可得D正确； 【详解】对于A，将两圆的方程作差，可得，即直线的方程为，A正确. 对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确.对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误. 对于D，点与点之间的距离的最大值为，D正确. 故选：ABD. 9．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，：，， 半径为1，圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 10．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 11．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（   ） A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离 C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 【答案】BC 【分析】由点线距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差，由弦长公式可判断C项；通过计算圆心到直线的距离结合条件从而判断出D选项. 【详解】对于选项A: 因为圆：，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误； 对于选项B: 因为圆：，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确； 对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：， 所以圆心到的距离为， 所以公共弦长为，故选项C正确; 对于选项D：因为，且， 所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）, 故选项D错误; 故选：BC. 12．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)过直线l： 上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（    ） A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为 B．|PA|的最小值为 C．的最小值为 D．直线l上存在两个点P，使得 【答案】BCD 【分析】确定两圆圆心和半径，到直线的距离为，，A正确，的最小值为，B错误，计算对称点得到最小距离为，C正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D正确，得到答案. 【详解】圆C1：，圆心，半径；圆C2：，圆心，半径， 对选项A：到直线的距离为，，故只有1个点满足条件，错误； 对选项B：，的最小值为，故的最小值为，正确； 对选项C：设关于直线的对称点为，则，解得，故，，正确； 对选项D：，即，即，设，则，整理得到，轨迹为圆心为，半径为的圆，圆心到直线的距离为，直线和圆相交，有2个交点，正确. 故选：BCD 13．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆C：，直线l：（），则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，A正确； 对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为，两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 14．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知圆与圆有3条公切线，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两圆外切求解可得. 【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2； 圆，圆心为，半径为1． 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，故圆心距 ，解得． 故答案为： 15．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)若直线与圆和圆都相切，则 ． 【答案】 【分析】利用两圆心到直线的距离等于半径联立解方程组可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径；显然两圆相离； 由直线与两圆都相切可得，联立解得，即或（舍）. 16．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可. 【详解】由题可知：所以 两个圆的半径和为所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或，所以切线方程为，或 故答案为：；； 17．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：，两圆相减得公共弦所在直线方程为：，有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，所以. 18．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得，再利用二次函数性质可得最值. 【详解】由，，可得，即，所以，解得，所以点，又，， 则 ，所以当时，取最小值为，经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 19．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]：设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径，则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时， 设直线方程为，其中，，由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 四、解答题 20．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知，圆． (1)若圆与圆外切，求实数k的值； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在，且的方程为或 【分析】（1）根据两圆外切列方程，化简求得的值. （2）求得的坐标并消去参数，从而求得的轨迹方程. （3）求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）圆 ， ，所以圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径为， 由于圆与圆外切，所以，解得或. （2）由（1）得，即，消去得， 所以圆心的轨迹方程为. （3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则，即圆心与直线的距离恒为， 而圆心的轨迹方程为，所以可设直线的方程为，且， 解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 21．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知圆C的圆心为，且圆C与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)圆，是否存在实数a，使得圆E与圆O公共弦的长度为4，若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数 【分析】（1）根据圆上切线的性质，利用点到直线距离，求得半径，可得答案； （2）根据两圆的位置关系，求得参数的取值范围，利用勾股定理，建立方程，可得答案. 【详解】（1）设圆C的半径为r，由题意，圆C与直线相切， 则圆心C到直线的距离是圆C的半径，即， 所以圆C的标准方程为． （2） 圆的圆心为，半径为a，两个圆有公共弦，则， 即，解得， 由得两圆公共弦所在直线方程为， 又两圆的公共弦长为4，则圆心C到公共弦所在直线的距离为 ，且，即，所以， 解得或，又，所以， 故存在实数，使得圆E与圆C公共弦的长度为4． 地 城 考点02 与圆有关的最值或范围问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是（    ） A．|a|< B．|a|<1 C．|a|≤ D．|a|≤1 【答案】D 【解析】由点与圆的位置关系求解． 【详解】由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25，∴a2≤1，∴|a|≤1. 故选：D 2．(24-25高二上·河北张家口·期中)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般式结合点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据题意有，即， 解之得. 故选：C 3．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知圆过点，，设圆心，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意由半径相等，结合两点距离公式得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】根据题意，得，又，，， 所以，化简得，故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2. 故选：B. 4．(24-25高二上·河北邯郸永年区第一中学·期中)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可. 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则，即，解得， 故选：C. 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，,则 点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为则 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上， 所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B. 7．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为是直径，，所以原点在圆上， 过作垂直直线，垂足为点，因为圆与直线相切， 所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径， 点到直线的距离，所以圆的半径的最小值为1. 故选：B 8．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】    如图，取线段的中点，连接，则， 由 ，因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.故的范围为. 故选：D. 9．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（   ） A．2 B．8 C．4 D．9 【答案】D 【分析】由已知得到圆心坐标，代入直线方程得，进而用“乘1法”,利用基本不等式求最小值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线 经过圆的圆心，， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值是9， 故选:D． 10．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内，所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则,所以直线的方程为，即. 故选：D. 11．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【来源】河北省承德市承德县六沟高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用勾股定理可表示出弦长，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解. 【详解】圆心到直线的距离，， ， 又，所以，即. 故选：D. 12．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知的顶点分别为原点，圆C为的外接圆，M为圆C上一动点，若点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆的方程，即是点的运动轨迹，构造相似三角形由几何性质对进行转换，从而找打最小值. 【详解】设圆的方程为，∴，解得， ∴圆：，即，如图： 取点，则，∴，∴，即， 连接与圆的交点即为使得最小的点，此时 故选：D 13．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【详解】因为直线分别与轴，轴交于A，B两点，所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为. 故选：A. 14．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到A，B的距离分别为x，y，所以，令（）， 所以， 令，则，所以， 所以，因为， 所以当时，取得最大值. 故选：C 三、填空题 15．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图：    由图可得直线与圆相切，则，解得，由图可得直线的方程为； 由图可得直线过，可得方程；由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 16．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)直线：被圆：截得的弦长最短，则实数 . 【答案】 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，进而判断点在圆内，由圆的性质可得当时弦长最短，进而求解即可. 【详解】直线的方程可化为，由，得，所以直线过定点. 圆：，圆心，半径为2，因为，所以点在圆内. 设直线与圆交于，两点，则当时，取最小值，由，得，所以. 四、解答题 17．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）：（3）． 【分析】（1）由两直线方程联立求圆心C，根据两点距离公式求半径，写出圆的方程； （2）由点线距离公式可知C到直线的距离，根据弦长、弦心距、半径的关系即可求弦长|MN|； （3）由点线距离公式求圆心到直线的距离d，根据圆上点到直线最大距离与d的关系，即可求距离最大值. 【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)， 圆C的半径，∴圆C的方程为：. （2）由C点到直线的距离，∴|MN|=2． （3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为． 18．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知实数满足． (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据的几何意义求其最大值； （2）应用三角换元有，结合、三角恒等变换及正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）设表示圆上点与所成直线的斜率， 即直线与已知圆相切时存在斜率的最大值， 令圆心到直线的距离，可得，的最大值为； （2）实数满足， 设，则， ，的最小值为， 根据题意得，即． 19．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)长为4的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，是线段的中点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程； (3)，，是曲线上的一动点，求的最小值及此时点坐标. 【答案】(1)； (2)或； (3)最小值为，点. 【分析】（1）求出点满足的关系等即可求出轨迹方程. （2）按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式计算即得. （3）设点，求出目标函数的表达式，再借助三角函数性质求解. 【详解】（1）令坐标原点为，依题意，，因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 所以点的轨迹方程为. （2）点到直线的距离为2，即直线过点，且与曲线相切，因此直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，则，解得， 方程为，即，所以切线的方程为或. （3）由（1）设， 则 ，其中锐角由确定， 而，则当，即时，取得最小值， 此时，点， 所以的最小值为，点.    20．(24-25高二上·河北部分校·期中)一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 【答案】(1)轮船没有触礁风险，理由见解析． (2)； 【分析】（1）由点到直线的距离求得小岛中心为原点与轮船航线的距离，从而判断直线与圆的位置关系，得到轮船航线是否穿过暗礁区域； （2）由题意可求出得到直线方程，由圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系，从而知道最短距离为圆心到直线距离减去半径. 【详解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：． 轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为， 即．原点到轮船航线所在直线的距离为，所以，轮船没有触礁风险． （2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 直线的方程为：，其一般式方程为：． 易知原点到直线的距离为，直线与圆相离， 圆上动点到直线的距离的最小值为：． 21．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知圆为圆上一点. (1)求的取值范围； (2)圆的圆心为，与圆相交于、两点，为圆上相异于、的点，直线分别与轴交于点、，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：将转化为动点与定点确定的直线的斜率，然后根据相切求斜率即可； 方法二：将转化为动点与定点确定的直线的斜率，然后利用勾股定理和倾斜角求斜率即可； （2）设，，，然后写出直线和的方程，即可得到，，然后根据三角形面积公式得到，最后根据的范围求最值即可. 【详解】（1）   方法一：可看做动点与定点确定的直线的斜率，此时， 过点的直线可设为，即， 圆半径为2，当点到直线的距离为2时，直线与圆相切，，解得 则即的取值范围为； 方法二：可看做动点与定点确定的直线的斜率，此时， 过点做切线与圆切于点，则，，根据勾股定理可得， 则，同理，， 则即的取值范围为. （2）    由对称性，可设，，设且，则， 直线方程为：，直线方程为：， 分别令，可得，， ，观察易发现，同在的上侧或下侧，则 ，同时，或，同时， 则 ，于是，， 所以，当时，的取到最大值4. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线求最值或范围问题： （1）几何的思路：通过几何的知识取求最值或范围，例如（1）中将转化为斜率； （2）代数思路：将要求的用代数表示出来，然后通过函数或不等式的思路求最值或范围. 22．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 地 城 考点03 阿波罗尼斯圆问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北张家口·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定点的距离之比为时，则直线被动点所形成的轨迹截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】设，利用两点间距离公式代入化简得到点的轨迹，再联立轨迹与直线得弦长. 【详解】设，，则，整理得， 与直线联立得，所以所求弦长为. 故选：D 2．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在平面直角坐标系中，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的方程为 B．直线与圆相切 C．在C上存在K使得 D．当三点不共线时，射线是的平分线 【答案】D 【分析】设点P的坐标，根据题意把几何关系转化为代数方程可判断A、B，同样求出点K的轨迹方程，与P点的轨迹方程联立判断C，由角平分线的性质可判断D. 【详解】选项A，在平面直角坐标系中，，，点满足， 设，则，化简可得，故A错误； 选项B，因为圆：的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，当时，则直线与圆相交， 当时，此时直线与圆相切，故B错误； 选项C，若存在点，使得， 可设，即有，化简可得， 联立，可得方程组无解，故不存在，故C错误； 选项D，当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确. 故选：D. 二、填空题 3．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程. 【详解】由题意可设点，由，，，得， 化简得，即. 三、解答题 4．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再根据T为线段AP的中点可得，再带入列式化简即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与圆的方程得出韦达定理，再代入化简求解即可. 【详解】（1）设，由可得， 又可得，即，化简可得. （2） 当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，.联立可得， 化简得，则，. 由，解得. 又 ，即    5．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且． (1)求点P的轨迹方程； (2)求过点且与点P的轨迹相切的直线方程； (3)若点的轨迹上运动，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）设，把，用坐标表示化简整理即可； （2）按切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解； （3）由得，代入圆方程后由判别式大于或等于0求解． 【详解】（1）设，∵， 所以，化得得，即为点轨迹方程； （2）由（1）知点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 切线斜率不存在时，方程为，此直线与圆相切，满足题意， 切线斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，切线方程为，即， ∴切线方程为或； （3），则，代入圆方程得，即， ∴，解得． 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1). (2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）设，用坐标表示已知条件化简后可得； （2）不妨设. 设，设，由直线与圆相交求得的坐标（用表示），求出直线方程，观察方程得定点． 【详解】（1）设，根据，得， 即，所以的方程为. （2）根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $