专题02 相似三角形的判定与性质（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版

专题02 相似三角形的判定与性质（期中真题汇编） 4大高频考点概览 考点01 相似三角形的判定综合 考点02 选择或补充条件使两个三角形相似 考点03利用相似三角形的性质求解 考点04相似三角形的实际应用 地 城 考点01 相似三角形的判定综合 一、单选题 1．(23-24九上·上海杨浦区·期中)下列两个三角形不一定相似的是（　　） A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 2．(24-25九上·上海徐汇区上海西南模范中学·月考)下列说法中，正确的是（　　） A．有一个角相等的两个菱形必相似 B．有一条边相等的两个矩形必相似 C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似 3．(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   4．(24-25九上·上海青浦区·期中)如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·上海普陀区·)下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 6．(24-25九上·上海普陀区·期中)已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)下列命题中，假命题是（   ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个直角三角形相似； B．如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似； C．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个等腰三角形相似； D．如果一个等腰三角形的底边及一条腰与另一个等腰三角形的底边及一条腰对应成比例，那么这两个等腰三角形相似． 8．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)下列命题中，假命题是（    ） A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似 二、解答题 9．(24-25九上·上海市西中学·期中)如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．    (1)求的值． (2)若E为x轴上的点，且，求点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标． 10．(24-25九上·上海嘉定区·期中)如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 地 城 考点02 选择或补充条件使两个三角形相似 一、单选题 1．(24-25九上·上海崇明区·期中)在中，点D、E分别在边、上，以下能推出的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25九上·上海金山区·期中)中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·上海格致初级中学·期中)如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 4．(22-23九上·上海宝山区淞谊中学·月考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25九上·上海娄山中学·期中)如图，在中，点，点分别是上的点．下列选项中，不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 6．(24-25九上·上海松江区·期中)已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 地 城 考点03 利用相似三角形的性质求解 一、填空题 1．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 2．(24-25九上·上海徐汇区部分学校联考·期中)已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是 ． 3．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为 ． 4．(24-25九上·上海虹口区·期中)已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 5．(24-25九上·上海莘光中学·期中)如果两个相似三角形的面积之比，那么它们的对应高之比为 ． 6．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积约为 7．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为 ． 8．(24-25九上·上海闵行区·期中)已知、分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 （只填一个）． 9．(24-25九上·上海上宝中学·期中)已知：如图，矩形中，边上有一动点M，，，，，当时，那么 ． 10．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为 ． 11．(24-25九上·上海兰生复旦·期中)如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 12．(24-25九上·上海市北初级中学·期中)△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝ 13．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，在中，是上一点，，点E是上一动点，连接 ，并作，射线交线段于点F，连接．如果与相似，那么 ． 地 城 考点04 相似三角形的实际应用 一、填空题 1．(24-25九上·上海杨浦区·期中)为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 2．(24-25九上·上海梅园中学·期中)图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 3．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 4．(24-25九上·上海普陀区·期中)如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 二、解答题 5．(24-25九上·上海丰镇中学·)近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 6．(24-25九上·上海徐汇中学·期中)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形的判定与性质（期中真题汇编） 4大高频考点概览 考点01 相似三角形的判定综合 考点02 选择或补充条件使两个三角形相似 考点03利用相似三角形的性质求解 考点04相似三角形的实际应用 地 城 考点01 相似三角形的判定综合 一、单选题 1．(23-24九上·上海杨浦区·期中)下列两个三角形不一定相似的是（　　） A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．有一个内角是的两个等腰三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意； B、有一个内角是的两个等腰三角形都是等边三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； C、有一个内角是的两个等腰三角形是等腰直角三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形，则底角均为，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的最常用的方法判断方法是解题的关键． 2．(24-25九上·上海徐汇区上海西南模范中学·月考)下列说法中，正确的是（　　） A．有一个角相等的两个菱形必相似 B．有一条边相等的两个矩形必相似 C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定、相似多边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．利用相似多边形的判定、相似三角形的判定方法依次判断即可得解． 【详解】解：A．有一个角相等的两个菱形必相似，原说法正确，符合题意； B．有一条边相等的两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意； C．有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原说法错误，不符合题意； D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似不一定相似，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 4．(24-25九上·上海青浦区·期中)如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 5．(24-25九上·上海普陀区·)下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； B. 有一个角是的两个等腰三角形相似，故选项正确，不符合题意； C. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项错误，符合题意； D. 两个等腰直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； 故选：C 6．(24-25九上·上海普陀区·期中)已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明． 画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：如图所示， A．∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴，故A不符合题意； B．∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； C．由不一定能得到和相似，故C符合题意； D．∵ ∴ ∴ ∴点D到的距离等于点E到的距离 ∴ ∴，故D不符合题意． 故选：C． 7．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)下列命题中，假命题是（   ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个直角三角形相似； B．如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似； C．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个等腰三角形相似； D．如果一个等腰三角形的底边及一条腰与另一个等腰三角形的底边及一条腰对应成比例，那么这两个等腰三角形相似． 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题的判断，相似三角形的判定，关键是熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，是真命题； B．如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例（由勾股定理可知，这两个三角形的第三边也成比例），那么这两个直角三角形相似，是真命题； C．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题； D．如果一个等腰三角形的底边及一条腰与另一个等腰三角形的底边及一条腰对应成比例（则三条边对应成比例），那么这两个等腰三角形相似，是真命题； 故选：C． 8．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)下列命题中，假命题是（    ） A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似 【答案】D 【分析】本题主要考查命题与定理、相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理判断即可，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意； B、有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意； C、当斜边上的中线成比例时，斜边也成比例，故有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意； D、如图：，但与不相似， 故有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似，是假命题，符合题意； 故选：D． 二、解答题 9．(24-25九上·上海市西中学·期中)如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．    (1)求的值． (2)若E为x轴上的点，且，求点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或；，理由见解析 (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，再根据正弦定义求解即可； （2）根据求出和长，即可求解； （3）分三种情况：①、为邻边，、为对角线时，即，②、为邻边，、为对角线时，即，、为邻边，、为对角线时，即，然后根据平移的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，或， ∵， ，， ∴， ∴． （2）解：， ， 当点E在x正半轴上时， ， 当点E在x负半轴上时， ， ∴点E的坐标为或； 此时； 理由如下： ，， ， 又， ； （3）解：①、为邻边，、为对角线时，即， 此时点M与点D重合， ∴； ②、为邻边，、为对角线时，即， 则， ∴将点A向左平移6个单位得到点M， ∴， ③、为邻边，、为对角线时，即， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴向右平移3个单位，向下平移4个单位，与重合， ∴； 综上，存在，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、平行四边形的性质、三角形面积的计算、相似三角形的判定、平移和坐标变换；本题难度较大，综合性强，特别注意分类讨论，以免漏解． 10．(24-25九上·上海嘉定区·期中)如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点02 选择或补充条件使两个三角形相似 一、单选题 1．(24-25九上·上海崇明区·期中)在中，点D、E分别在边、上，以下能推出的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：画出图形如下： A、由，不能得出，故不能判定； B、由，不能得出，故不能判定； C、由，不能得出，故不能判定； D、∵ ∴ ∵ ∴，且 ∴， ∴． ∴． 故选：D． 2．(24-25九上·上海金山区·期中)中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 3．(24-25九上·上海格致初级中学·期中)如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 4．(22-23九上·上海宝山区淞谊中学·月考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论． 【详解】解：①∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵， ∴， ∴△ADC∽△BDA， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°， 故①符合题意； ②∵AB•CD=AC•AD， ∴， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠ABD=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠BAC=90°， 故②符合题意； ③∵， ∴， ∵∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠ADC=∠BAC=90°， 故③符合题意； ④由不能证明△ABC与△ABD相似， 故④不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．(24-25九上·上海娄山中学·期中)如图，在中，点，点分别是上的点．下列选项中，不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故A能判定； ∵，， ∴， 故B能判定； ∵，， ∴， 故C能判定； ∵，不是夹角， ∴不能判定与相似， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6．(24-25九上·上海松江区·期中)已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 地 城 考点03 利用相似三角形的性质求解 一、填空题 1．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故答案为：． 2．(24-25九上·上海徐汇区部分学校联考·期中)已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形的面积比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 3．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比为相似比的平方，对应中线之比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为：，即为：， ∴这两个三角形对应中线之比为； 故答案为：． 4．(24-25九上·上海虹口区·期中)已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 5．(24-25九上·上海莘光中学·期中)如果两个相似三角形的面积之比，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边上的高的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比， ∴这两个三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 6．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积约为 【答案】 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺等于图上距离与实际距离之比，进行求解即可． 【详解】解：设实际面积为， 由题意，得： 解得：； 故答案为：． 7．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的中线比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上中线之比为， ∴两个三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为：； ∴设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 则：， 解得：， ∴较大的三角形的周长为； 故答案为：． 8．(24-25九上·上海闵行区·期中)已知、分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 （只填一个）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．添加条件即可求得，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， 故添加条件即可求得． 故答案为：（答案不唯一）． 9．(24-25九上·上海上宝中学·期中)已知：如图，矩形中，边上有一动点M，，，，，当时，那么 ． 【答案】1或3 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴, ∴, 解得或3． 经检验或3是方程的解且符合题意． 故答案为：1或3 10．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为 ． 【答案】 【分析】此题主要了相似三角形的性质和梯形的定义．根据题意可得，则，即可求出答案． 【详解】解：有题意可知，， ∴， ∵两腰之比为， ∴， ∴， 即上底和下底之比为， 故答案为：． 11．(24-25九上·上海兰生复旦·期中)如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接 ∵点是重心， ∴分别为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．(24-25九上·上海市北初级中学·期中)△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝ 【答案】或 【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED． 【详解】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ； 第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= ． 故答案为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解题关键是边的对应关系． 13．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，在中，是上一点，，点E是上一动点，连接 ，并作，射线交线段于点F，连接．如果与相似，那么 ． 【答案】2或 【分析】当，，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到；当，推出点E在与的角平分线上，过点E作于M，于N，于G，连接，得到是的角平分线，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：与相似， 或， 当， ， ， ， ， ； 当， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ∵，， ∴， 点E在与的角平分线上， 过点E作于M，于N，于G，连接， ， 是的角平分线， ， ， ， 即， ， 综上所述，的长为2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点04 相似三角形的实际应用 一、填空题 1．(24-25九上·上海杨浦区·期中)为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 【答案】 【分析】延长交于，先证明，得出，再分别证明和得出，，将数值代入，进行计算，即可作答．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 设为米，则， 解得：， 设米，米， ，， ∴， ∴ 同理得， ∴ 可得，， 整理得：， 解得：， 米． 故答案为：． 2．(24-25九上·上海梅园中学·期中)图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，再代入数据求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 4．(24-25九上·上海普陀区·期中)如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，设河宽为h， 米，P到的距离是米， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：米， ∴河宽为米． 故答案为：． 二、解答题 5．(24-25九上·上海丰镇中学·)近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 6．(24-25九上·上海徐汇中学·期中)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； / 学科网（北京）股份有限公司 $