专题03 相似三角形的判定与性质综合压轴题（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03相似三角形的判定与性质综合压轴题（期中真题汇编） 一、解答题 1.(24-25九上上海宝山实验中学·期中)如图1，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中， ∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD=3,BD=9.直线I经过点P,并绕点 CA P旋转，交射线BM于点A,交射线DN于点C.设CP M 备用图 (1)求x=2时，点A到BN的距离： (2)设△ABC的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域： (3)当△ABC因I的旋转成为等腰三角形时，求x的值， 【答案】(1)点A到BN的距离为6： 13 1+40 (3)△ABC为等腰三角形时，x=5或5或5. 【分析】此题是几何变换的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质和锐角三角函数，由相似三角形的 性质建立方程是解本题的关键 AH-C4=2,即可求解： (I)由PD∥AH得到ACPD∽aCAH,推出PDCP @)由ACPp2AC4得到D PDCP-,再由an∠MBN-3,比例武表示出BC,CD,即可 (3)△ABC为等腰三角形时，分三种情况①AB=AC,②CB=CA,③BC=BA利用tn∠MBN=3,建立 方程即可求解。 1/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：如图1， M A BH D CN 图1 过点A作AH⊥BC, PD⊥BC, ∴.PD∥AH, ..ACPDACAH, AH_CA=2. ·PDCP .AH=2PD=6: (2)解：PD∥AH, △CPDPACAH, HC AH CA ∴.CD PD CP X, ∴.AH=PDxx=3x, tan∠MBN=3, ∴.BH=x, CD+9-X_3=x, :.CD 3 解得CD=9-x x-1 .BC=BD+CD=9+9-x8x x-1x-1 ∴.SABC= 号AHx BC=x3xx8-12x 2 x-1x-11 CD≥0. 9-X20 ·x-1 1<x≤9， 2/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..y= 2x2 x-1 1<x≤9)： (3)解：①当AB=AC时， ,tan∠PCB=tan∠MBC=3, PD=3 :CD CD=1, .BC=BD+CD=10. 8x=10 .x-1 x=5: ②当CB=CA时，如图2， M 7、 D C、.N 图2 过点C作CE L AB, 2 ,tan∠MBN=-3, :cos∠MBN= 10 10, BE 10 .BC10, √10 2 √10 8x= 10, x-1 3/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13 .= 5: ③当BA=BC时， V1Ox=8 x-1? ,x1+4v0 5, 1+4i0 13 ∴.△ABC为等腰三角形时，x=5或5或5. 2.(2425九上·上海民办尚德实验中学·期中)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个 三角形叫做比例三角形. D B B 图1 图2 ()已知△ABC是比例三角形，AB=3,BC=4,请直接写出所有满足条件的AC的长： (2)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证：△ABC是比例 三角形： BD (3)如图2，在(2)的条件下，当∠4DC=90时，求出AC的值. 916 【答案】（①）当△4BC是比例三角形，AC为4或3或23： (②)证明见解析 BD-2 (3)AC 【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定 与性质是解题的关键。 (1)根据比例三角形的定义分AB2=BC·AC、BC2=AB·AC、AC2=AB·BC三种情况分别代入计算可 4/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得： (2)先证△ABC∽△DCA得CAP=BC·AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得结论： （)作AH⊥BD由AB=AD如H=号8D,再证A4HDBC得AB-BC-BH-DB:即 ABBC=BD,结合AB-BC=AC知2BD=4C,据此可得答案 1 【详解】(1)解：：△ABC是比例三角形，且AB=3,BC=4, ①当AB2=BC·AC时， 得：9=4AC, 解得：4C=9 4: ②当BC2=AB:AC时， 得：16=3AC, 解得：4C=16 3: ③当AC2=AB·BC时， 得：AC2=12, AC=2V3 解得： (负值舍去)： 916 “当△ABC是比例三角形，AC为4或3或23： (2)证明：：AD∥BC, ∴∠ACB=∠CAD, ∠BAC=∠ADC, ∴.△ABC∽△DCA, BC CA ·CAAD 即C=BC·AD, 5/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD∥BC, ·.∠ADB=∠CBD :BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴.∠ADB=∠ABD, .'AB=AD, .CA=BC·AB, ∴.△ABC是比例三角形；· (3)解：如图，过点A作AH⊥BD于点H, A D H AB=AD, :船D :AD∥BC,∠ADC=90°， .∠BCD=90°. ∴.∠BHA=∠BCD=90°， :LABH=∠DBC, .△ABH ADBC, AB BH DB BC' 即AB·BC=BH·DB, :.AB.BC=IBD2 2 .AB.BC=AC2, 628D2=AC 6/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D= :.A 3.(2425九：上海梅陇中学期中)在△ABC中，∠ACB=90,CD1AB垂足为D.且AD>BD点E是边AC 上一动点（点E不与点A、点C重合），连接DE,过点C作CF⊥DE交线段AD于点F. D 图① 图② (I)如图①，求证：CD·BC=BF.CE. (2)如图②，若FC=FB,BD=2,CD=3,求△DCE的面积. (3)若BD=l,CD=2,CF交线段ED于点G,连接EF,且△EFG与△CDG相似，请直接写出CE的长. 【答案】(1)见解析 54 (213 o9成2 【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用. (1)证明△DCE∽△FBC,对应边成比例即可解决问题： (2)设DE交CF于K,由△DCE∽aFBC:BF=CF,可得CD=DE=2,设BF=CF=m,则 DF=BF-BD=m-2,可符m-2+2=m ,即可解得BF=CF,DF=m-2,求出DK,CK;由三 角形面积公式即可解决问题； (3)△EFG与△CDG相似，只需LCDG=∠FEG或LCDG=∠EFG,分两种情况讨论：①当 ∠CDG=∠FEG时，②当∠CDG=∠EFG时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题. 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠B=90°-∠BCD=∠DCE, CD⊥AB,CF⊥DE, ∴.∠BFC=90°-∠FDE=∠CDE. ∴DCEAFBC, 7/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE CD .BC BF ∴.CD.BC=BF.CE (2)解：设DE交CF于K,如图： E 由(I)知△DCEAFBC, DE CD .CF BF .BF=CF, .CD=DE=3. 设BF=CF=m,则DF=BF-BD=m-2, 在RtACDF中，DF2+CD2=CF2, (m-2)}+32=m2 解得m3 4 .BF=CF=13 DF=m-2= 4 4 2 S.CDF=CD·DF=CF.DK 3x52DK, 44 .DK=15 13 .5.crDE-C 3654 2 1313 54 .aDCE的面积为13： 8/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：：∠CGD=LEGF, :∴△EFG与△CDG相似，只需LCDG=∠FEG或LCDG=LEFG, ①当∠CDG=∠FEG时，此时如图：EF∥CD, E B A BD=1CD=2CD⊥ABBD=1CD=2 BC=BD2+CD2=+2=5 :∠B=90°-∠BCD=∠ACD,∠BDC=90°=∠DCA, .ABDCOACDA, BD CD BC CD AD AC 1-2=5 ..2 AD AC .AD=4AC=25 ,EF∥CD DF CE ∴.ADAC DF CE 425 DF-25 CE 5 DF=2V5 设CE=x,则 由(I)知：ADCEAFBC, CE CD .BC BF 2 25 1+ 3 解得：x= 4(负值舍去) 9/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 ②当∠CDG=∠EFG时，如图： D A:CF⊥DECD⊥AB ∴.∠CDG=90°-∠GDF=∠DFG, ∴.∠EFG=∠DFG. ∠DGF=90°=∠EGF,GF=GF, :∴.△DGF≌△EGF(ASA) .DG=EG. .CF是DE的垂直平分线， ∴CE=CD=2, 35 综上所述，CE的长为4或2· 4.(2425九上·上海杨浦区·期中)如图，矩形ABCD中，AD>AB,点P是对角线AC上的一个动点（不包 含A、C两点)，过点P作EF⊥AC分别交射线AB、射线AD于点E、F. D B B E 图1 图2 图3 (I)求证：△AEF∽△BCA: AP (②)连接BP,若BP=AB,且F为AD中点，求PC的值： AF (3)若AD=2AB,移动点P,使△ABP与△CPD相似，直接写出AB的值. 【答案】(1)答案见解析 .2 (23 10186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5-5√5+55 (3)4或4或4 【分析】(1)矩形的性质，得到∠ABC=∠FAE=90°，同角的余角相等，得到∠AEF=∠ACB,即可得证： (2)根据等边对等角，等角的余角相等，得到∠E=∠BPE,得到AB=BP=BE,设BC交FE于点G,证 明。AFE&BGE,得到BG=2AF,证明。AFPCGP,列出比例式求解即可： (3)分△ABP∽△CDP,△ABPPACPD两种情况进行讨论求解. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，EF⊥AC, ∴.∠ABC=∠FAE=90°，∠APE=90°， ∴.∠AEF+∠EAC=90°，∠BCA+∠EAC=90°， .∠AEF=∠BCA, △AEFABCA: (2)BP=AB, ∠BAP=∠BPA, ∠BAP+∠E=90°-∠BPA+∠BPE, .∠E=∠BPE, G.4B=BP=BE=AE 设BC交FE于点G, :四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC,AD=BC. AAFE△BGE, BG BE 1 AFAE2· 1 ∴.BG=5AF 2 1 ∴.AF=AD=BC 3 ∴CG=BC-BG=3AD 41 AD∥BC, 11/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△AFP∽aCGP, 1 AP AF PC GC 3 AD 3; F D G 图2 √5-15+15 (3)4或4或4.理由如下： 四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD ①当△ABPACDP时，S-1, AP AB ∴P是AC的中点， AD∥BC, .∠ACB=LFAP, ∴tan∠ACB=tan∠FAP, PF ABAB 1 即AP BC AD2' 设PF=a,则AP=2a, ∴.AF=V5aAC=4a .AC=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB AF 5a 5 12186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E APAB ②当AABP∽aCPD时，CDCP, ∴AP.CP=AB.CD 设AB=CD=x,AP=t, AD=BC=2x,AC=AB2+BC=5x :CP=5x-t .∴t(5x-t)=x2 X= 5± 解得2， :AB=5± 2 -t. PF ABAB 1 由①知AP BC AD2' 1 .PF=AP77 2 AF=⑤ 5 AF 2 = 峪 ABV5±1 √5±1： 2 13186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 或 或· AF 5-5 V5+55 AB 4 4 4 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理.熟练掌握矩形的性 质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键 5.(2425九上·上海格致初级中学期中)如图，梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=6,BC=8. tanD=2,点E是射线CD上一动点（不与点C重合），将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点 F D C G B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时，求CE的长. S△BFC=y (②)如图2，当点E在线段CD上时，设CE=x,S△c,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域. (3)如图3，连接AC,线段BF与射线CA交于点G,当△CBG是等腰三角形时，求CE的长 85 【答案】(1)3 a-g0<rs10 88V10-832 (3)3或3或3 【分析】(I)如图1中，延长EF交BA的延长线于H,证明BF垂直平分线段EH,得BE=BH,得到 ∠FBE=∠FBA,由∠EaC=∠EP·∠ABC=90e,推出∠EBC=ABC=30, 即可得解： 14/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2中，设BE交CF于H,EH=a,HB=b,证明△EHC∽△ECB得EC2=EH·EB,可得 b=64 r=a(a+b)①，证明△CHB∽△ECB得BC2=BH·BE,可得64=b(a+b)②，继而得到ax,再根据 y== F.BH BH b SAEFC CF.EH EHa,即可得出结论： 2 (3)分三种情形：①如图3中，当GC=GB时：②如图4中，当CG=CB时：③如图5中，当BG=BC时， 点F与G重合，分别求解即可. 【详解】(1)解：如图1中，延长EF交BA的延长线于H, ,梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°， ∴∠C=180°-∠ABC=180°-90°=90°， :MN是梯形ABCD的中位线， MN∥AB∥CD,DM=AM,CN=BN, 需-81，即rm ,将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点为点F, ·.∠BFE=∠C=90°，∠EBC=LEBF, ∴BF⊥EH, ∴，BF垂直平分EH, .BE BH, ∴.∠FBE=∠FBH, .∠EBC=∠EBF=∠HBF, ∠E8C-写AC=x90°=30 1 3 ∠C=90°，BC=8, EC=BC.tan /EBC=8xtan30=8 3, 15186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8V5 CE的长为3； D 图1 (2)如图2中，过点A作AM⊥CD于点M,设BE交CF于H,设EH=a,HB=b, ∴.∠AMD=∠AMC=90°，EB=EH+BH=a+b, ,在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=6,BC=8,tanD=2, :.∠BCM=90°=∠ABC=∠AMC, ∴，四边形ABCM是矩形， .MC=AB=6,AM=BC=8, .DN .CD=CM+DM=6+4=10. :点E在线段CD上（不与点C重合），，CE=x, ∴.0<x≤10， ,将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点为点F, ∴.EF=EC,BF=BC ∴BE垂直平分线段CF .∠CHE=∠CHB=90° ,∠EHC=∠ECB=90°，∠CEH=∠BEC. ∴△EHC∽△ECB, EC EH ·EB=EC,即EC2=EH·EB, ,x2=a(a+b)① :∠BHC=∠BCE=9O°，∠CBH=∠EBC 16186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△CHB∽△ECB. BC BH BE=BC,即BC2=BH·BE, 64=b(a+b)② b64 ②÷①，得：a, SABCE F.BH 2 BH b 64 S△ErC ，CF.EHEH a, 2 ∴.y与x之间的函数关系式为y= 40<s10, 图2 (3)①如图3中，当GC=GB时，延长BF交CD于H,设EC=x, :在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=6,BC=8, :4C=VAB+BC=6+8=10 .GC=GB :.∠GBC=∠GCB,即∠HBC=∠ACB, ,∠HCB=∠ABC=90° .△HCB∽△ABC, HC HB CB .AB AC BC =1 .CH=AB=6.BH=AC=10 :将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点为点F, .EF=EC=x,BF=BC=8,∠BFE=∠BCE=90°， 17186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .FH=BH-BF=10-8=2,EH=CH-EC=6-x, 在Rt△EFH中，HE2=HF2+EF2, :(6-}=22+x2 8 x-9 3 3； H 图3 ②如图4中，当CG=CB时， .CG=CB=8,AC=10. AG=AC-CG=10-8=2, :CH∥AB, HC GC HC =8 ABAG,即6=2 .HC=24, :BH=VBC2+CH=V82+24=8W10 .BF =BC=8, ÷r=8而-8，设F=CE=, .HE=CH-EC=24-x, 在Rt△EFH中，HE2=HF2+EF2, (24-x2=(810-8+x2, 810-8 解得：x= 3’ 18186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EC=8/10-8 3； H 图4 ③如图5中，当BG=BC时，点F与G重合， ,BE垂直平分CF, ∴∠CHB=90° .∠HCB+∠CBH=90°，∠BEC+∠CBH=90°， 、∠HCB=∠BEC,即∠ACB=∠BEC, .tan∠ACB=tan∠BEC, AB BC :BC EC' EC-BC2-8232 AB63: 级上所达，当，CBG是等服三角形时，CE长为我80-8或号 或3 D E C GF 图5 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，梯形的中位线，垂直平分线的判定和性 质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思 考问题 19186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2425九上·上海浦东新区华东师范大学第二附属中学·期中)新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的 矩形称为黄金矩形 新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方 形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片 ● 图2 展平 ③折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3中所示 的AD处 图3 ④展平纸片，按照所得到的点D折出DE 图4 B (图5) (I)根据以上折纸法，求证：矩形BCDE为黄金矩形 (2)如图5，已知∠A=36°，△ABC为黄金三角形，BC=1,求：AB的长 (3)在(2)的条件下，截取BD=BC交AC于D,截取CE=CD交线段BD于E,过E作任意直线与边 11 AB,BC交于P,Q两点，试判断：BPBQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 20186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②B-*5 2 3+V5 (3)2 【分析】(1)根据折叠的性质得出∠MBN=∠MNC=90°，MB=MN,结合∠NMB=90°，即可判定四边形 MNCB是正方形，可得BC=MN=CN,∠NCB=90,再求出AC=2CN,则由勾股定理可得 AB-AC+BC5CN CD5-1 2 ,再证明BC2即可： (2)作∠ABC的角平分线交AC于D,先求出∠ABC=∠C=72°，再证明∠BDC=∠C,得到 AD=BD=BC=1,进一步证明△ABC∽△BDC,根据相似三角形的性质列出比例式求解即可： (3)如图所示，过点E分别作AB,BC的垂线，垂足分别为F,G,过点Q作QH1AB于H,根据 5n-5ar+c得到8PQn-pEG+0-F:再明EG-Bp港面得到 1 1,1_si∠QBH BP·QH=(BP+BO)EG,解直角三角形得到QH=BQ:sin∠QBH,则BP+B EG ，再解直角 1+1-sin∠QBH 三角形得到EG=BE,sin∠EBG'则BP+BOBE-sin /EBG:证明∠ECB=36°=∠EBC'得到 EB-EC-CD-5-1 BF-CF=1BC=1 2,则 2 ,可得EF=VBe2-BF-5-25 2；如图所示，连接 AF,由勾股定理得到 F=AB2-BF=15+2V5 2,根据im∠ABF= AB,得到 AF 1,1sin∠QBH =AB BPBO BE·sin∠EBG BE,F,据此代值计算即可. BE 21186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：由折叠可知：∠MBC=∠MNC=90°， 又：∠NMB=90°， ∴四边形MNCB是矩形， 又由折叠可知：MB=MN, ∴四边形MNCB是正方形， .BC=MN=CN,∠NCB=90°， 由题意得AC CN」 3 4B=JAC+BC=5 CN 2 4D-4B-55CN 由折叠 2 CD=AD-AC=5-1CN 2 .CD 5-1CN5-1,, 2 BC CN 2 ∴矩形BCDE是黄金矩形： (2)解：如图所示，作∠ABC的角平分线交AC于D ,∠A=36°，AB=AC, :Ac=∠C-180,4=72, 2 ·.∠CBD=∠ABD=5∠ABC=36°=∠A, AD=BD,∠BDC=180°-36°-72°=72°， ∠BDC=∠C .AD=BD=BC=1. 又，∠C=∠C, .△ABC∽△BDC, 8瓷即 AB 1 22186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB 1 .1=AB-1 AB2-AB-1=0, 解得B女6 AB=1-5 2或 2(舍去)， 经检验，AB=1+ 2是原方程的解。 D (3)解：如图所示，过点E分别作AB,BC的垂线，垂足分别为F,G,过点Q作QH上AB于H, SAWOSrE+S mOE PHGQEF 由(2)可知，当BD平分∠ABC时有BD=BC, .'.EG=EF, BP-OH=(BP+BQ).EG 在RtABOH中，QH=BQ·sin∠QBH, BP.BQ·sin∠QBH=(BP+BQ)EG BP+Bo sin∠QBH .BP.BO EG· 1,1_sin∠QBH ∴BP BO EG, 在Rt△EBG中，EG=BE·sin∠EBG, 11sin∠QBH ·BP+BOBE.sin.∠EBG 23186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CE=CD. 、∠CED=∠CDE=72°， ∴.∠ECD=36°， ∠ECB=36°=∠EBC, EB=EC=CD=1+5-1=5-I 2 2, BF=CF-BC- EF-BE-BFI-15-215 2, :sin∠EBF=E E·∠GBE=∠EBF· ·.sin∠EBG=sin∠EBF-_EF BE' 如图所示，连接AF, 在RtAABF中， AF=JABP-BF3=15+2V5 2 :sin∠ABF= AB 1+1=sin∠QBH ∴.BP BO BE·sin∠EBG AF =-4B BE.EF BE AF AB·EF V5+2V5 2 1+5x5-25 2 2 24186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3+V5 2. A D E H FO 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形与折叠问题，等腰三 角形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键， 7.(2425九上上海交大附中附属嘉定德富中学期中)△ABC中，BC=12,D,E分别在AB,AC上， ∠ACB=∠ADE,连接DC,作∠MEN=∠DCB交DC于M交BC于N,EN交DC于O. B N 图1 图2 (1)如图1，AB=AC,BD=2AD,DC=10 ①求∠DCB的正弦值； ②若DM:MO=7:l8,求DM: ∠MEN=∠ABC=45°，EC=V2DE,连接MN,若四边形 、MN 为梯形，请直接写出DM的 MNCE (2)如图2， 长 34 【答案】1)05：②5 ag巨或号5 【分析】(I)①分别过D,E作BC的垂线，垂足为H,P,首先根据三角形相似的判定得出△ADE∽aACB 再得出DE∥BC,根据平行线的性质得四边形DEHP为矩形，结合题意得出DE=4,HP=4,根据全等 三角形的判定得出RtABHDS≌Rt△CPE,得出CH=8,再由勾股定理得出DH=6,最后由正弦函数的定义 25/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即可求得结果； ②过点O作DE的垂线，垂足为点F,设DM=7k,OM=18k,得出D0=25k,证出aEOM∽aDOE,得 出0E=15√2k 再由锐角三角函数的定义和勾股定理可得 OF=15k DF=20k,EF=4-20k ,最后由勾 股定理列方程求出k,即可得出DM的值； (2)过DH⊥AC于H,证明△DHE为等腰直角三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理证明OE=OC, EV分别作CD的垂线于G.K得出M证CN-,再过O作OT LEM3交EM延长线于去 DM的值. 【详解】(1)解：①分别过D,E作BC的垂线，垂足为H,P, C:.∠DHP=∠DHB=90°，∠EPH=∠EPC=90° :∠A=∠A,∠ACB=∠ADE :∴.△ADEP△ACB .∠AED=∠ABC. AB=AC .∠ABC=∠ACB, .∠ADE=∠AED .AD=AE, DB=AB-AD,EC=AC-AE, ..BD=CE. BD CE ADAE· .DE∥BC ∴.∠HDE=∠DHB=90° 在四边形DEHP中，∠DHP=∠HDE=∠EPH=90° 26186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,四边形DEHP为矩形， ∴.DE=HP,DH=EP DE∥BC, DE AD 'BC AB' BD=2AD. AD 1 ·AB3, DE 1 ·BC3 BC=12, .DE=4, ∴.HP=4, 在RtABHD与Rt△CPE中， BD=CE DH=EP, RtABHID RtaCPE(HL) ..BH=CP, BH+HP+CP=BC. .CP+4+CP=12, ∴.CP=4, ∴CH=CP+PH=4+4=8. 在Rt△DHC中，∠DHC=90°， ..DH2+CH2=CD2 :CH=8,CD=10 ∴DH=6, 在RtADHC中，sin∠DCB=DH=6-3 CD105 27/86 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②过点O作DE的垂线，垂足为点F, E BN C.∠DFO=∠EFO=90° 设DM=7k,OM=18k, ..DO=DM+OM=25k, DE∥BC, ∴.∠DCB=LCDE, :∠MEN=∠DCB, :.∠MEO=∠EDO 又：∠EOM=∠DOE, ∴.AEOM-△DOE, OE OD OM OE 0E_25k 18k OE .0E=15√2k 9 3 ∠ODF=∠DCB,sin∠DCB= , sin∠ODF=3 5 在Rt△ODF中，∠OFD=90°， :sin∠ODF= OF 3 0D5, ∴.OF=OD.sin∠ODF=l5k, ..OF2+DF2=OD2 ..DF =OD2-OF2=20k EF=DE-DF, 28186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.EF=4-20k. 在Rt△OEF中，∠OFE=90°， ∴.OF2+EF2=OE2 15k2+(4-20A}=52x, 4 解得6=356=行， 4 当k= 5时，0D=25k=20>10,舍去， ..k=4 35 ∴.DM=7k=7 44 355: (2)解：如图，过DH⊥AC于H, E B C,∠MEN=∠ABC=45°∠MEN=∠DCB .∠DBC=∠DCB=45° ∴∠BDC=90°， ∴△BDC为等腰直角三角形， ∴.CD=BD= 5BC=65 :∠A=∠A,∠ADE=∠ACB ∴.∠AED=∠ABC=45°， ∴.△DHE为等腰直角三角形， .DH-HE-DE 2: EC=2DE 29186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.EC=2DH =2HE: 设EH=DH=y, 则EC=2y, :.CH=3y: 在Rt△CDH中，有CD2=DH+CH, (62=y2+3y, 解得= 其中少=令5<0，不符合题意，合去。 、、—6，F=25 25,Dm=H.6 ， 当MW∥CE时，有△MON~aCOE, OM ON OC OE: OM=t,OC=kt,ON=S,OE=ks, .CM=OM+OC=(k+1)t NE=s+ks=(k+1)s CMt· :∠MEO=∠NCO=45°，∠MOE=∠NOC. .∴MOEANOC, MEOES CN OC 1' ME EN CNCM· .∠MEN=∠MCN, ∴.AMEN-aWCM, ∴.∠MNE=∠NMC, .:.OM=ON: 30186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN∥CE, ∴∠OEC=∠ONM,∠OCE=∠OMW ∴.∠OEC=∠OCE. :.OE=OC; 过点E,N分别作CD的垂线于G,K, K N C S.CDE =1CD.EG= CE.DH .EG=CE-DH6 CD 5, CG=CE2-EG2182 设0E=OC=h, 0G=CG-0c=182 -h 在Rt△EGO中，有OE2=OG+EG, ∴.h=22 0c-5, ∠EG0=∠NKO=90°，∠EOG=∠NOK, ∴.aEGO~aNKO. NK EG 3 OK OG 4: 31186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设K=3a,0K=4a. 又△CNK为等腰直角三角形， ..CK =NK=3a .0C=0K+CK=7a=22 2W2 ∴.a= ·Wk=2 7, CN=2NK=12 ∴.OM+OC=ON+OE, ..CM=EN, ME EN CN CM =1 ME=CN=12 ; 过O作OT⊥EM交EM延长线于T, A D E 为等腰直角三角形， C..△OTE E7:0T20E=2 2 M7=2-12-2 77 OM=JO+MT1 7, DM=6V2-2v2-10W2_18V2 7 7: 当EM∥CN时， 32186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EM0=∠NC0=45°， 又∠ME0=45° ∴△EOM为等腰直角三角形， 0c=182 则由以上可知， EO=OM=62 5. 5, DM=6N5-621826N2 5-55； 综上可知2成5 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，平行四边形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三 角函数，添加合适的辅助线是解题的关键。 8.(2425九上·上海宝山中学期中)△ABC中，BC=12,D、E分别在ABAC上，∠ACB=∠ADE,连接DC, 作∠MEN=∠DCB交DC于M,交BC于N,EN交DC于O. A D M M B B 图1 图2 (1)如图1，AB=AC,BD=2AD,DC=10 ①求∠DCB的正弦值： ②若DM:MO=7:I8,求DM; (2)如图2， ∠MEN=∠ABC=45BC=V2DE,连接MW,若四边形MCE为梯形，请直接写出DM的长. 3 4 【答案】(1)05：②5 33186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)DM 18/ DM=6 7或 5. BD 2 【分析】(I)①过点D作DH∥AC交BC于H,DG⊥BC于G,先证明AB3,再证明ABDH∽ABAC 得到BH-号8C=8,进-少证明DHB=∠DBH得到DB=DH则由三线合一定理得到 3 BG=GH=号BH=4,则CG=BC-BG=8,由勾股定理得到DG=VCD2-CG=6:则 sin∠DCB=sin∠DcG=DG_3 CD=5:②设DM=7xM0=18x,则OD=25x'先证明∠ADE=∠ABC,得 到DE∥B ,再证明△M06△EOD,得到OE=155x,如图所示，过点O作0r1DE于T,证明 △MDE∽△4BC,∠BD0=∠DCB:得到DE=BC=-4,根据sm∠7D0=07-2。 31 =0D5:得到0T=15x则 4 DT=20x,TE=15x,进而得到DE=DT+TE=35x=4,解得xF35,则DM=7x=4； CD=2BC=62 (2)如图所示，过点D作DH⊥AC于H,证明△BDC是等腰直角三角形，得到2 ，再证 明∠ABD=∠B=45°，得到ADHE是等腰直角三角形，则 DH=HE,DE=2DH EC=2DH :设 DE=Hc=x则5C=2x‘CH=3x由勾股定理得(62=产+Bx,解得x=65 则 DE CE-125 D5 OM ON 5, 5；当MW∥CE时，证明△MON∽△COE,得到OCOE,设 EN=S MEOE=S OM=6OC=k:,ON=SOE=ks,可得CM7:再证明△MOE∽△NOC,得到CNOC=i,则 ME EN CNCM,进一步证明△MEW∽△NCM,得到∠MNE=∠NMC,则OM=ON,进而证明oC=OE:过 34186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E、N分别作CD的垂线，垂足分别为G、K,由等面积话求出EG- CG=VCE2-EG=18V2 5；则 5 设0E=CE=A:则OG=CG-0C= 182-h 5 则0685 NK EG 3 5;证明△EGO∽△NKO,推出OKDG4,设WK=3a,OK=4a,同理可证明△CNK是 2V2 a= 等腰直角三角形，则CK=NK=3a,进而可得OC=OK+CK-7a=2W2,解得“7，则 CN=NK=12 进而可证所ME=Cv-号；过点O作OTLEM交EM延长线于，工则A0G是等腰直 =O0T=50E=-2Mm= 角三角形，则 2 7,由勾股定理可 得OM=VO72+MT=102 7,则 DM=18 7;如图所示，当EM∥CN时，则∠EMO=∠NCO=45°，可证明∠EOM=90°，由上面可知， Eo=OM=2 OC=18v2 ，DM-62 5,则 5. 【详解】(I)解：①如图所示，过点D作DH∥AC交BC于H,DG⊥BC于G, BD=2AD, .'AB=3AD. BD 2 ·AB3 DH∥AC, ∴.△BDHABAC, 35186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BH BD 2 BC BA 3' :朗-号8C-8, ..AB=AC, ∠ABC=∠ACB, DH∥AC, ∴.∠DHB=∠ACB, ∴，∠DHB=∠DBH, .DB=DH, BG=GH -2BH=4. ..CG=BC-BG=8. DG=CD2 -CG2=6 ÷sin∠DCB=sim∠DCG=DG_3 CD 5: M B NG H 图1 ②设DM=7x,M0=18x,则OD=25x, AB=AC, .∠ABC=∠ACB, ,∠ACB=∠ADE ∴.∠ADE=∠ABC, .DE∥BC, .∠ODE=∠DCB. ,∠MEN=∠DCB, 36186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠MEO=∠EDO, 又：∠MOE=∠EOD」 .△MOE∽△EOD, OE OM 0D=0E, .0E2=0D.0M=18x.25x=450x2, :0B=152x或0E=-155rc会去)： 如图所示，过点O作OT⊥DE于T, ,DE∥BC, .△ADE∽△ABC,∠EDO=∠DCB, DE AD 1 ·BCAB3, :DE=8c=4, 3 ,∠EDO=∠DCB, ÷.sin∠EDO=sin∠DCB=3 :sin∠7D0=OT_3 OD 5 .0T=15x, :DT=V0D-07=20x,7E=0E2-07=15x ∴.DE=DT+TE=35x=4. 4 .s 35 .DM=7x= 4 5: 37186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B N 图1 (2)解：如图所示，过点D作DH⊥AC于H, ,∠MEN=∠ABC=45°，∠MEN=∠DCB, ∴.∠DBC=∠DCB=45°， ∴.∠BDC=90° ∴.△BDC是等腰直角三角形， CD-BC-6 ,∠ACB=∠ADE,∠ACB+∠A+∠ABC=∠ADE+∠AED+∠A, ∠AED=∠B=45°， ∴.△DHE是等腰直角三角形， DH=HE,DE=DH EC=DE ∴EC=2DH, 设DE=HE=x,则EC=2x, .CH=3x, 在Rt△CDH中，由勾股定理得CD=DH+CH, (62)=2+3x 6W5 r=-6V5 解得=了或=-亏（合去）； .DE=6v 5,CE=125 DH=65 5, : 38186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图所示，当N∥CE时， .NI∥CE .△MON∽△COE, OM ON .OC-0E· OM=t,OC=kt,ON=s,OE=ks, CM=OM+OC=(k+1)t,NE=OE+ON=(k+1)s EN S ..CM t ,∠MEO=∠NCO,∠MOE-∠NOC, .△MOE∽△NOC, ME OE S CN OC t' MEEN ·CNCM, '.△MEN∽△NCM, ∴.∠MNE=∠NMC, ∴OM=ON, .N∥CE, ∴.∠OEC=∠ONM,∠OCE=∠OMN. ∴.∠OEC=∠OCE, ∴.OC=OE; 如图所示，过点E、N分别作CD的垂线，垂足分别为G、K, Sacme=CD-EG-CE.DH 6W512N5 ∴EG=CEDH_ 5=6 CD 6W2 5 CG=CE2-EG2=1 5: 39186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设OE=CE=h:则 -o-0c-2 在RtAEG0中，由勾股定理得OE2=OG+EG, 解得=2V5 0G-v5 5: ∠EGO=∠NKO=90°，∠EOG=∠NOK, .△EGO∽△NKO, NK OK EG OG' NK EG 3 ·OKDG4 设NK=3a,OK=4a, 同理可证明△CNK是等腰直角三角形， .CK =NK =3a, ÷0C=0K+CK=7a=2V2 2V2 7, .K=V2 7, .CN=2NK=12 ； ..OM+OC=ON+OE, ∴CM=EN, ME EN ÷CN-CM-, 40186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ME=CN=12 : 如图所示，过点O作OT⊥EM交EM延长线于T,则△OTE是等腰直角三角形， E7=0r=2oE=2 2 :Mn=2 7， :0M=0r2+Mr-102 7, :DM=6W5-2w2-10w2=182 7 7: 4 B 如图所示，当EM∥CN时，则∠EMO=∠NC0=45°， 又.∠ME0=45°， ∴∠E0M=90°， ∴.△EOM是等腰直角三角形， EO_OMOC=18V) 由上面可知， 5, :DM=62-621826N2 5 55； 41186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B DM=18V2 M=612 综上所述， 7或 5. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与 判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键 9.(2425九上：上海闵行区航华中学期中)在△ABC中，4C=20,B=40,c0sA= ,点D为边AC上一点， 且AD=5,点EF分别为边AB上的动点（点F在点E的右边），且∠EDF=∠A.设AF=x,AE=y. D 图1 图2 (I)如图1，当DE⊥AB时，求AF的长： (2)如图2，当点EF在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域： (3)连接CF,当△DCF是以边CD为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长. 5 【答案】()4 ②少8 [符s0 6E=36,17 4E=3别 42或7或AE=7 【分析】(1)利用三角形函数求出AF的长即可： (2)过点D作DG⊥AB,三角函数求出AG,DG的长，勾股定理求出DF2,证明△AFD∽△DFE,列出比 例式，得到DF2=FEAF,进的得到关于x,y的等式，求出函数关系式，根据F点位置，结合y之0，求 42186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 出定义域即可： (3)分CD=DF和CD=CF两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(I)解：，DE L AB, .∠ADE+∠A=90°， :∠EDF=∠A, .∠ADE+∠EDF=90°， .∠ADF=90°. 在RtADF中，AD=5,csA=AD_4 AF 5 :4AF=4D=25 4 4: (2)解：过点D作DG⊥AB,则：∠DGA=90°， C AGE B 图2 ..CosA=4G_4 AD 5, :4Gs4 D=4, DG=VAD2-AG=3 AE=y,AF=x, FG=AF-AG=x-4,EF=AF-AE=x-y, 在Rt△DGF中， DF2=DG+FG2=9+(x-4) :∠A=∠EDF,∠DFE=∠DFA, △AFDr△DFE, DF EF AF DE DF2=FE·AF=(x-y)x 43186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF2=DG2+FG2=9+(x-4} :9+(x-4=(0-xx 整理，得y=8-25 x' :点E,F在边AB上， 8-25≥0 0≤x≤40，解得： 25 sx≤40： 3=85ss40 x(8 (3):AC=20,AD=5. .CD=15: 当△DCF是以边CD为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①DF=CD=15时，由2)知：DF2=9+(-4, ÷153=9+6x-4} 解得：X=66+4或x=-66+4 或 (舍去)， 825 8-,25-3w617 6√6+442，即：AE=-3V6,17 十 42: C E B 图2 ②当CD=CF=15时， 过点C作CH⊥AB,则：∠AHC=90°， 44186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F H F2 ..COsA=AH 4 AC 5 AH=44C=16 ∴CH=VAC2-AH=12, ,CF=CD=15. .HF=JCF2-CH=9 :.AF=AH-HF=16-9=7或AF=AH+HF=16+9=25 当F=7,即x=7时，y=8-2空- 77,即：AE=31 7； 当40=25，即x=25时，y=8-5 -25=7,即：AE=7: 综上：AE=-3617 5号或4北-政E7 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求函数解析式，等腰三角形的性 质，解一元二次方程，二次根式的运算等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握 相关知识点，证明三角形相似，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键。 10.(24-25九上·上海青浦区徐泾中学期中)如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6,若 的长是关于x的一元二次方程-7x+12=0 OA OB OA>OB 两个根，且 B 0 (I)求sin∠ABC的值； 45186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16 (②)若E为x轴上的点，且Sa4o=3.请求出点B的坐标，并判断△AOE与△DA0是否相似？ (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？ 若存在，请直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】()5 8 ,0 ,0 (2)E的坐标为 3 或3，△4OE与△DAO相似 (3)存在， E3,8).E(-3,0) 【分析】(I)解方程求得OA、OB的长，再根据三角函数的定义求得三角函数值即可： (②)根据三角形的面积公式可求得OE的长，因为没有指明点E在x轴的左侧还是右侧所以点E的坐标有两 种可能：根据两边对应成比例有夹角相等的三角形相似可判定△AOE∽△DAO (3)根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分 别是对角线的情况分别进行求解计算. 【详解】(1)解：解方程：x-7x+12=0, 解得=3专=4 .OA>OB, ∴.OA=4,OB=3, 由勾股定理得： AB=V32+42=5 在RtOAB中，sn∠ABC=OA_4 AB 5: 16 (2)解：S4oe=3, C70A0E=16 3， 0E=3 8 46186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,0} 8 ∴.点E的坐标为 3成30月 △AOE与△DAO相似， 理由如下： y A D 8 BE O E2 C x.0E3_2 04=4_2 OA 4 3 AD63 OE OA OAAD :∠AOE=∠DA0=90°， △AOE△DAO: (3)解：由题意，OB=OC=3, .AO平分∠BAC, ①AC、AF是邻边，点F在射线BA上时， M应在直线AD上，且FC垂直平分AM, :AD=6,点C到直线AD的距离为A0=4, .CF=8 “点F包8) Ay A D (M) B ②AC、AF是邻边，点F在射线AB上时， AF=AC=5,所以点F与B重合， 47186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即F(30) (F2)B M ③AC是对角线时， 个y M: 中， B C F .ABCD AD=6 :BC=AD=6, OB=3,OA=4. ·A(0,4)B(-3,0) 设直线AB的解析式为y=a+b, 把04).(3,0)代入y=c+b. 「-3k+b=0 得b=4, 解得b=4· 48186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=3+4 4 设F的坐标为x3+4 由四边形AFCM是菱形， 可得AF=CF, 14 整理得，3 x=25 75 解得x= 14 3+4=4 75Y 3^14 +4=-22 1 r() ④AF是对角线时， 过C作AB垂线，垂足为N, M D F G B 根据等积法AB.CN=BC·AO,即5CN=24, Cw=24 勾股定程得出，N=Vac-0=5(. 作点A关于N的对称点即为F, 49186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过F作y轴垂线，垂足为G, Rt△AOB,OB=3,AB=5 中， sin∠BAO=3 ， Cos∠BA0=4 FG=4E-sin∠BA0=4×号-25，AG=AF.Cos∠BA0=14x456 55=25, 0G=4-5644 2525, ..F 4244 2525 综上所达，满起条件的方有四个F（网，30)，（存》 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形， 菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题， 11.(2425九上·上海民办明珠中学期中)已知，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=3,BC=5, CE平分∠BCD交边AB于点E. 0 A D A M B N\B 图1 图2 (I)如图1，联结DE, ①如果DE LCD,求边AB的长. ②如果△ADE与△BCE相似，求边AB的长， (2)如图2，点F是线段CE上一点，过点F作CE的垂线交CD于点M、交BC于点N,如果直线MN与直线 CE将梯形ABCD分割成的四部分面积均相等，求MN的长. 【答案1002i:@B的长为45或25 50186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 g3v2 【分析】(1)①由角平分的性质可证 taCBE≌RtCDE(HL). 得BC=DC=5,过点D作DH L BC,则 四边形ABHD是矩形，再结合勾股定理即可求解： ②分两种情况：当△ADE∽△BCE时，当△ADE∽aBEC时，分别求出CD的长度，再结合勾股定理即可 求解： ②设B=,过点D作DH⊥BC,点E作EK⊥CD:求得稀形ABCD的面积=(4D+BC)B=4h 结合愿意知Sae=5aon=5阳=506=，则Saw号6C-E=20,进而可相E-兰。.4：-专，联结 EM,EN,再证AMCF2aNCF(ASA）,可得5a=5ag,则5au=SG=Sae+Sa,设 CM=CN=a,则AD=CD-CM=A+F-a,BN=BC-Cv-5-a,得8N-E-号4D-AE+DM-K,据 求得h=15 ，则8E-普-3，再证△RCN∽△BCE·求得器5-号令EN=3x'CF=5x,进而利用三 FNBE3 角形的面积求得PN=3x=3 2，即可求解 【详解】(I)解：①，AD∥BC,∠A=90°， .∠B=90°， ,CE平分∠BCD,DE LCD, ∴，ED=EB, .CE=CE, ,RtACBE≌RtACDE(HL) .BC=DC=5. 过点D作DH⊥BC,则四边形ABHD是矩形， ∴.AD=BH=3,AB=DH, 51186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A E B 则CH=BC-BH=2, DH -VCD-C- ∴AB=DH=V21: ②当△ADE∽△BCE时，∠ADE=∠BCE, 延长DA,CE,交于点G,过点D作DH⊥BC,同上可知CH=2,AB=DH, D ----G B AD∥BC, ∴.∠G=∠BCE,则∠G=∠DAE, .DE=GE, :∠DAB=90°，即EA⊥DG, :AG=AD=3,则DG=6, 又：CE平分∠BCD, ∴∠DCE=∠BCE,则∠G=∠DCE, ∴.CD=DG=6, 由勾股定理可得：4B=DH=VCD-CH=4W2 当△ADE∽aBEC时，∠ADE=∠BEC, 则∠ADE+∠AED=90°=∠BEC+∠AED, ∴.∠CED=90°， 52186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DCE+LCDE=90° :AD∥BC, ∴.∠BCD+∠ADC=180°， 则∠DCE+∠BCE+∠CDE+∠ADE=180°， ,∠DCE+∠CDE=90°， ∴.∠BCE+∠ADE=90°，而∠DCE=∠BCE, :.∠ADE=∠CDE,即DE平分∠ADC, 过点D作DH⊥BC,点E作EK⊥CD,同上可知CH=2,AB=DH, D K H B 由角平分线的性质可知，AE=KE,KE=BE .DE =DE, RtAADE≌Rt△KDE(HL) .'KD=AD=3, 同理Rt△BCE≌Rt△KCE,则KC=BC=5, ..CD=KD+KC=8, 由勾股定理可得：B=DH=VCD2-CH=25 综上，B的长为45或2下】 (2)解：设AB=h, 过点D作DH⊥BC,点E作EK⊥CD,同上可知CH=2,AB=DH=h, CD-VCH+D-4+ 1 则梯形ABCD的面积=(4D+BC)AB=4h, 53186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,直线MN与直线CE将梯形ABCD分割成的四部分面积均相等， ·SACMF=S△cN=Sw=SADAE=h,则SAB4E=2BC,BE=2h, .BE=4h 5， 5, 联结EM,EN, K DE M ◇ H B :CE平分LBCD, ∴.∠MCF=∠NCF, EK=BE=4h :MW⊥CE. ∴.∠MFC=∠NFC=90°， 又，CF=CF, :△MCF≌aNCF(ASA) ∴.CM=CN,MF=NF,则CE垂直平分MN, 则点M,点N关于直线CE对称， ∴.S△MEF=SANEF, 则SABNE=SADME=S△MADE+S△EDM, 设CM=CN=a,则MD=cD-CM=4+F-a,N=c-Cv=5-a, DE+DMEK 6o5*g4F-小。 解得：h=15 =4:则8E=“=3, 5 ',∠FCN=∠BCE,∠B=∠CFN=90°， 54186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△FCN∽△BCE, FNCF FN BE3 .BECB,即：CFCB5,令EN=3x,CF=5x, 则m，即：53-号。解得：=， 1 x= fW=3x=32 , ∴.MN-2FN=3W2 【点睛】本题考查角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知 识点，添加辅助线构造直角三角形，求得CD、AB的长度是解决问题的关键 12.(24-25九上上海宝山区期中)如图1，在△ABC中，∠C是锐角，AB=AD交边BC于点D,点F是边 AC上一点，连接BF且满足LFBC=∠C,BF交边AD于点E. B D 图1 图2 备用图 AF BD (1)如图2，当点E是边4D中点时，求证：FC=BC (2)当FE:BE=1:8,且△ABE是直角三角形时，求此时∠ACB的正切值： 3)记△AE 的面积为9，△8F 5,△MBC的面积为3，若是和S的比例中项，求 S. 的面积为， BD:DC的值. 【答案】（①）见解析 ②四∠ACB的正切值为兰或号 5-1 (3)2 AE AF BD FG 【分析】(1)过点D作DG∥EF,由平行线分线段成比例可得DEGF,CDCG,利用比例的性质可 55186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FG BD 得FCBC,结合题意得AE=DE,则AF=GF,进而可证明结论： BF AF AB (2)先证∠ABF=∠EAF,BF=CF,即可证明△ABF∽△EAF,得AF EF AE,则AF2=EF·BF, 由FE:BE=1:8,设FE=a,BE=8a,则BF=CF=9a,求得AF=3a,则AC=AF+CF=12a,AB=3AE 再分两种情况：当∠AEB=90°时，则∠AEF=90°，当∠BAE=90°时，分别解直角三角形求解即可： BF AF AB (3)由(2)可知△ABF∽△EAF,AF=EFAE,BF=CF,可知S AF，设ABCF的面积为S4, SCF BF 点=S-+8=1+BF 则可，F4F,由题意可知，SS,S, +3,令F=t,则？=1+tP-1=1,求得t的值，用 S 表示出， S=5,8=5,5m=成-8=，5m=5m=fS,则5c=8-5am=fS,结合 BD _S△MBD DC S△oc即可求解. 【详解】(I)证明：过点D作DG∥EF, AEAF BD_FG ∴.DEGF,CDCG, FG CG FG+CG FC ·BD CD BD+CDBC FG BD ∴.FCBC, ,点E是AD的中点， .AE=DE, .AF=GF, AF BD FC BC (2)解：AB=AD, 56186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABD=∠ADB,则∠ABF+∠FBC=∠EAF+∠C, :∠FBC=LC, ∴.∠ABF=∠EAF,BF=CF, ,∠AFB=∠EFA, ∴.△ABF∽△EAF, BF AF AB ∴.AF EF AE,则AF2=EF.BF, 由FE:BE=l:8,设FE=a,BE=8a,则BF=CF=9a, .AF =3a,AC=AF+CF=12a, ÷是兰3.即8=3E。 当∠AEB=90°时，则∠AEF=90°， B :△ABF∽△EAF, .∠BAF=∠AEF=90°， 由勾股定理得：AB=√BF2-AF2=V9如-(3a=6a. tan∠ACB=4B-62a_V2 AC-12a2 当∠BAE=90°时，过点B作BH垂直于CA的延长线于H, H E 则∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠EAF=90°， .∠ABH=∠EAF=∠ABF=a&, ..AB=3AE,BE=8a,AE2+AB2=BE2, 57186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 50,AB=12i0 :A=4 s a 4v10 1210 则sina= BE 8a =10，osa=-030 BE 8a- 10, AH=48.sina=1210x 12 D—xg乙g。sx三12Oa×3 105a, 则CH=AC+AH=12a+ 1272 -a=- 5 59 36 an∠ACB=BH-Sa1 cH2-2 2 综上，当。ABE是直角三角形时，∠ACB的正切值为之或)： BF AFAB (3)由(2)可知△4BF△EAF,AF=EF=AE,BF=CF, - SCF BF 设△BCF的面积为S4:则S,AFAF, =S=S+S=1+S 由题意可知，SS,S2 S2 =1+ BF AF AF,令4F=1,则r=1+1,P-1=1 1=5+1 BF AF_AB5+1= 解得： 2(负值舍去)，即：AF EF AE2 S-S ∴.S2SAF =f,是-，则8=8s= :8能e=S,-S=S-S=(-0S=S AB=AD. 58186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD AB :AEAE S=AD=1 =t,则SAARE AE S△MBD=S4BE=1'S 则3c=S-S4m=S-f产S=S-=tS BD-S-S=11=2=5- .DC SAMDC PS5+1 5+1 2 2 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识点， 添加辅助线构造直角三角形，利用线段比转化面积比是解决问题的关键。 13.(24-25九上上海同济大学附属嘉定实验中学·期中)如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D与点 B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,连接BD、CD,BD交直线AC于点E. D 备用图 (1)当∠CAD=90°时，求线段AE的长. (②)过点A作AH⊥CD,垂足为点H,直线AH交BD于点F, SABCE ①当∠CD<120时，设AB=x,yS,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围： 、4-7时，请直接写出线段AB的长. ②当SE 【答案】)8-4W3 2)①P=≤=x一4x+16 4 x2 ,且0Kx<4②3 【分析】(I)过点B作BF L AC于点F,根据等边三角形的性质，对顶角的性质，三角函数的定义，解 方程即可 (2)①当∠CAD<120°时，设AE=x,设∠ABD=B,∠EAF=∠DAF=x,根据等腰三角形的性质，等 59186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 边三角形的性质，三角形内角和定理，证明△4E∽△BCE,结合”=。cC。 BE S。AEF 、AE 解答即可 ②当SAAEF -4x+16=7,解方程求解即可 Sc=7时，得 【详解】(I)解：如图，过点B作BM⊥AC于点M, ,△ABC是边长为4的等边三角形，且AD=AC, ÷AB=BC=AD=AC=4MM=AMc-4C=2,∠ABC=∠ACB=ZaAC=60 ∴.BM=BCsin60°=2V3, :∠CAD=90°，∠AED=∠BEM, ∴.∠ADE=∠MBE, ∴tan∠ADE=tan∠MBE, EM AE :BM AD' 2-AE AE ·234 解得1E=8-4V5 B (2)解：①当∠CAD<120°时，设AE=x,设∠ABD=B,, 根据题意，得∠CBE=60°-∠ABD=60°-B, ,△ABC是边长为4的等边三角形，且AD=AC, :.AB=BC=AD=AC=4,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， .∠ABD=∠ADB=阝， .∠CAD=180°-60°-2p=120°-2p, 60186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,AH⊥CD ·.LEAF=∠DAF, 设∠EAF=∠DAF=x, .2x=120°-2p. .x=60°-B, .∠EAF=∠EBC, ,∠AED=∠BEC, .△AFE∽△BCE, BE2 AE, 根据前面的证明，得BE2=(2W5+(2-刘2=2-4x+16, 8C=r-4x+16 .s SAAEF x2，且0<<4 ScE=7时，得 ②解：当S 2-4x+16=7, x2 整理，得3x2+2x-8=0, 4 解得5=35=-2（合去）， 4 故4E的长为3 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，一元 二次方程的解法，三角函数的应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的 应用是解题的关键. 61186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25九上：上海延安初级中学期中)已知在直角坐标平面内，直线y=6+3分别与'轴交于点A,与 3 x轴正半轴交于点B'cot∠BA0= 4 (I)求直线AB的表达式： AC 2 ②点p在函数y40的图像上，连接p1并延长，交轴于点C,且AP3 ①求点C的坐标： ②点Q在函数y= >0的图像上，OM4C,交线段C于点M,连接OB.如果AOMB与AMBC租 似，求点的坐标 3 【答案】(1)y=-x+3 4 59315 (2①(-1,0)：②2'2或2'2 A(0,3) aB(4,0 【分析】(1)首先确定点 利用三角形函数解得OB=4,易得1 ，利用待定系数法求解直线 AB的表达式即可： .45 P X AC 2 (2)①过点P作PH⊥x轴于点H,设点（”4x),根据题意可得PC5,证明△AOC∽aPHC,由相似 三角形的性质解得，的值，即可确定点p坐标，进而可得O= 2，然后结合平行线分线段成比例定理解得 OB MB OM OC=1,即可获得答案：②过点Q作QH⊥x轴，设M(m,0),由△QMBABAC可得BC=AC=BA,进 62186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 而证明QB=QM,之后确定点H,Q坐标，进一步确定m的值，即可获得答案. 【详解】(1)解：：直线y=+3与y轴交于点A, 令x=0,可得y=3, :4(0,3) ∴0A=3, ,该直线与x轴正半轴交于点B, :cot∠BA0=3 tan∠BA0=OB=4 44 O3,解得OB=01× :B40) 将点 (4,0) 代入直线少=：+3 可得0=4+3，解得k= 4 3 六直线4B的表达式为y=一4x+3 (2)解：①如下图，过点P作PH⊥x轴于点H, D 4 设点P八 45 4x则PH= 4x' AC 2 AP 3' AC 2 63186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠COA=∠CHP=90°， :∠ACO=∠PCH, .△AOCAPHC, OA AC 2 ·HpPC5, Hp=s04_15 22· 4515 即4x2,解得x g :OH=3 2 :∠COA=∠CHP=90°， .OA∥HP, OCAC2 0HAP3,解得0C=1 又，点C在x轴的负半轴上， 点C的坐标为10)， ②如下图，过点2作QH⊥x轴， 设M(m,0) :40,3).B(4,0)C(-1,0) 64186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷BC=4-(-I=5,AB=4-0+(0-3y=5,AC=V1-0)+(0-3=i0,BM=4-m, ∴.AB=CB,即△ABC为等腰三角形，且为锐角三角形， ,△QMBP△BAC, OB MB OM BC AC BA OB_BC=1. ·QMBA ..OB =OM, QH⊥x轴， .BH=MH, m+4 (2,0 m+4 ∴点Q的横坐标为2， 4 ·点Q在函数y= 4>0)的图像上， 45 45 yo= 4×m+42m+8,即 m+445 2 、2’2m+8 2 m+4 4 45)2 2 2m+8, OB MB BC AC' m+4-4 2 45 3 2 、2m+8 4-m 5 10 整理可得(16-m)=225 ∴.16-m2=15或16-m2=-15, 65186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.m2=1或m2=31, m=l或m=-或m=3T (此时为钝角三角形，舍去)或m=T (此时 e<0 或 舍去)， 315 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成 比例定理、等腰三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题， 15.(24-25九上·上海黄浦区·期中)已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB L AC,CB=5, m∠1C8分，E为BC上-克点，作LABG=B,射线EG交线AD于点G 图1 图2 备用图 (1)如图1，当AE⊥BC时，求AG的长： (2②)如图2，当点G在线段AD上时，射线EG交射线CD于点F,设BE=x,DG=y,求y与x之间的函 数关系式，并写出x的取值范围： (3)当△AEG是等腰三角形时，直接写出BE的长. 【答案】(1)4： 5 ②=+7 -2四≤x5 2 (③)BE的长为2或5或2 【分析】（④根据c8=5,am∠4C8=8-。 AC2,求出AB=V5,BC=25,再求出AE=2,根据 tan∠B=AC =2,得出tan∠AEG=4C AB AE 2,即可求出答案： 66186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C2)证明aBB○a4EG得出AE=x6-):作A1BC:由m∠ACB-册-8) CHAC2,得出 HC=4,进而得 H=-对， 据勾股定理得出AE=AH+EH=r-2x+5,从而得出 -2x+5=5-”,即可得出答案，当0G=0时，求出的值，即可得出取值范国： (3)分三种情况讨论：当AE=AG时，当AE=EG时，当AG=EG时，根据等腰三角形的性质即可求出 答案。 【详解】)解：：AB4C:cB5am∠4CB-0 AC 2 .BC2=AB2+AC2,AC=2AB, CB=5, :25=AB+41B AB=5.BC=25 ,AE=B×AC=V5x2W5 2 BC :tan∠B=A AB =2,∠AEG=∠B'AE⊥BC :tan∠AEG= AE =2, ∴.AG=2×2=4; (2)解：，平行四边形ABCD, AD∥BC,AD=BC=5, ∴∠AEB=LEAG, ,∠AEG=∠B, ∴，△ABEAGEA, AE BE AG AE' AE2=BE×AG=x(5-y) 67186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作AH⊥BC, G B HE 由(1)可得：AH=2, m4c8盟是即品 ∴.HC=4, ..EH=1-xl .AE2=AH2+EH2=22+(1-x)2=x2-2x+5 :AE2=x(5-y) .x2-2x+5=5x-y .y=5x+2x-x2-5 六y=-5-x+7 当y=-5x+7=0,时，即G=0时，=7±V29 2 7-V29 ≤x≤5 2 w2e 7-V29 (3)解：如图， G 3 B K E C 备用图 分三种情况： 68186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①当AE=AG时，∠1=∠2， ∠1=∠B, .2=∠B, 平行四边形ABCD, AD∥BC, ∠2=∠3， ∴.∠B=∠3， .ABlI EG ∴，四边形ABEG是平行四边形， ∴.∠BAC=∠GHC=90°，AG=BE, :B=EG=V5AH⊥EG 根据等腰三角形三线合一， 版=6-c 2 cos∠2=cos∠1=cos∠B=4B=V5_HG BC 5 AG 峪 6 2, 5 AG .AG==BE ②当AE=EG时，∠2=∠EAG, ∠BAE=180°-∠B-∠AEB.∠AEB=180°-∠1-∠3， :AD∥BC, ,∠AEB=∠EAG,∠2=∠3， AE =EG. ∴∠EAG=∠2， ∴.∠2=∠AEB, .∠AEB=∠3， ∠BAE=180°-∠1-∠3=∠AEB, 69186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=AB=5 ③当AG=EG时，∠1=∠EAG, ,AD∥BC, .∠BEA=∠EAG, .∠I=∠BEA, ,∠1=∠B, ∴∠B=∠BEA,即AB=AE, 过A作K⊥BC,则BK=KE=)BE, :cos∠ACB=C-AC2V5 AC BC 5, :K-252w54 5 ∴.BK=BC-CK=5-4=1, .BE=2×1=2, 5 综上，BE的长为2或5或2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质， 注意(3)要分情况讨论，熟练掌握相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质是解题的关键 16.(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, ∠BCD=9O°，点E是AB的中点，点F在边BC上，EF与BD交于点G. 图1 图2 备用图 (I)若AD=BF时，求BG:DG的值： (2)当AD=2CF时， D若an ZDBC=3∠ABD=∠EFB:设DC=x,AB=y,求y与r之间的函数关系式 70186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG ②连接AG,若AD=CD,AG=FG,求GF的值. 【答案】(1)2 5 ②EG、V5 (2) GF 5 【分析】本题主要考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键. (I)延长FE交DA的延长线于点H,先证明出△AEH≌aBEF,进而求得AD=AH,然后证明出 △DHGABFG,即可求出BG:DG的值： (2)①如下图，作AM⊥BC,FN⊥AD,垂足分别是M,N,延长FE交DA的延长线于点H,证明 AB=AD=y=CM,Rt△ABM ,在 中可得到与的关系式： ②.FN⊥ D,垂足是W,连接，延长FE交D1的延长线于点”，设机 AD=2a 作1 ,证明 AH=AF=BF=5a 再证明AHDGAFBG 可以求出结论. 【详解】(I)解：延长FE交DA的延长线于点H,如图所示： H G ,点是 的中点， 图1 :AD∥BCAD=BF E AB ∴∠H=∠EFB,∠HAE=∠FBE,AE=BE, ,.△AEH≌△BEF(AAS) .AH=BF, 又AD=BF, .AD=AH, AD∥BF, .△DHG△BFG,且DH=2AD,BF=AD, 71186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BG BF AD 1 DG DH 2AD 2 (2)解：①如下图，作AM⊥BC,FN1AD,垂足分别是M,N,延长FE交DA的延长线于点H, H 0 G M F C 图1 ∴.∠C=∠CDN=∠DNF=∠AMC=90° CDNF,CDAM “四边形 均是矩形， .AM=CD=NF=x,CF =DN ∴.AN=MF,AD=MC AD=2CF, .AD=2DN,即AN=DN, 由(I)知△AEH≌△BEF, AH=BF,∠EFB=∠H, ∴.AH+AN=BF+CF,即NH=BC, 又：∠C=∠HNF=90,CD=NF. ·aBCD≌△HNF, ∴∠H=∠DBC, ·∠ABD=∠EFB,∠EFB=∠H ∠ABD=∠DBC. AD∥BC, .∠ADB=∠DBC, ∠ADB=∠ABD, .AB=AD=y=CM tan∠DBC=3CD=x 72186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BC=3x ∴.BM=3x-y 在Rt△ABM中，AMP+BM2=AB2 (3x-y2+x2=y2 5 y=3 ② FN⊥AD P,垂足是V,连接，延长FE交D1的延长线于点H, N 如下图，作 H N D G 图1 设AD=2a,则由①知AN=DN=a, ∴CD=NF=2a, Af=Va2+(2a}=5a, .AG=FG 由①知LDBC=LBFE=∠H, .BG=FG ..BG=AG AE=BE.EH EF ∴.GE⊥AB,即AE垂直平分FH,EF垂直平分AB, .'AH=AF BF=5a :AD∥BC, .∴AHDG∽AFBG HG HD_HA+AD=1+2 ,.2W5 GF BFBF 5 GF+2EG=1+ 2v5 GF 5 73186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG5 GF 5. 3 17.24-25九上上海松江区期中)已知：如图，在R△MBC中，∠4CB=909,4C=3,cos∠B1C=亏：点M 是射线AC上一点，过点A作AD⊥BM,分别交射线BM、BC于点D、F F B B 图(1) 备用图 ()当点M在AC上（点M与点C不重合）时. 国安商山，果CF-,求M的长： ②CF=x,△ABM的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)过点A作AE‖BC,交直线BD于点E,当△ABE为等腰三角形时，求CF的长. 【答案】01，②y=6- 30<x<9 4 (21或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、解直 角三角形等知识点，正确画图以及分类讨论的思想是解题的关键 (1)①根据三角函数定义先求AB=5,由勾股定理得BC=4,再证明∠DAM=∠CBM,再根据正切定义 列式计算即可；②先根据①中的比例式可得CM的长，表示AM的长，最后由三角形的面积公式计算即可： (2)当△ABE为等腰三角形时，存在两种情况：①如图，当M在线段AC上，先证明△EAB是钝角三角形， 则E=AB=5,证明△ADB≌aFDB(ASA ,即可解答；②如图：当M在AC的延长线上时，再利用面积 法、相似三角形的性质和判定即可解答， 【详解】(1)解：①如图： 74186 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D M B 在R△ABC中，cos∠BAC=4C=3 AB 5, AC=3, .AB=5, BC=AB-AC=4 :AD⊥BM, .∠ADM=90°=∠ACB. ,∠AMD=∠CMB. .LDAM=∠CBM, .tan∠DAM=tan∠CBM, 3 :CF-CM,即2=CW,解得： AC BC 34 CM=2' AM=AC-CM=3-2=1: CF CM xCM ②由①知4C=BC,即34， 4 ...CM=x 3, AM=3- 3, 2AM.BC= 24x3-4） 34/6--x 8 “y>0,即6- x>0 3 9 x< 4 75186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0sx<9 . (2)解：当△ABE为等腰三角形时，存在两种情况： ①如图：M在线段AC上， D M B :AE∥BF,∠ACB=90°， ∴∠CAE=∠ACB=90°， ∴.∠EAB=∠EAC+∠CAB>90°， ∴△EAB是钝角三角形， ∴当aEAB是等腰三角形时，只有AE=AB=5, ∴，∠E=∠ABE, ,AE∥BC, ,∠E=∠FBE, ∴.∠ABE=∠FBE, BD=BD,∠ADB=∠BDF, :△ADBFDB(ASA) .FB=AB=5, ∴CF=5-4=1: ②如图：当M在AC的延长线上时， 76186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M C D F B ,AD⊥BM, .∠ADB=90°， .∠ABD<90°， ,∠ABE+∠ABD=180°， ·∠ABE>90°， ∴.△EAB是钝角三角形， ∴当△EAB是等腰三角形时，只有BE=AB=5, ∴.∠AEB=∠BAE, ,CB∥AE, .LBAE=∠ABC,∠MBC=∠AEB」 .∠MBC=∠ABC」 :BC=BC,∠ACB=∠BCM=90°， :△MBC≌AMBC(ASA) .BM=AB=5,AC=CM=3, .CM=AC,BM=BE .BC是△AEM的中位线， :8C=46=4, ,AE=8, .BC∥AE, .∠CAE=∠BCM=90° 77186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 ,SAEw=5×6×8=×10×AD ∴.AD=4.8, :DM=V6-482=3.6 :∠CAF=∠DAM,∠ACF=∠ADM=90°， ∴.△ACF∽△ADM, DMD,即3648解得：C-? CF AC CF 3 4 9 综上，CF的长为1或4. 18.(24-25九上上海静安区久隆模范中学期中)已知：如图，在梯形中，AD川BC,∠BAD=90°， AD=2,AB=4,BC=5,在边BC上任取一点E,连接AE,作∠FEC=∠AEB,∠FEC的另一边EF交 射线CD于点F A D D A D 图1 备用图 (1)求cosC的值； DF 1 (②)如图1：当点F在线段CD上时，若CF2,求BE的长； (3)连接AF,当△AEF是直角三角形时，直接写出BE的长 3 【答案】) ②5 t22√2-2 3)4或2或2 【分析】(1)如图1，过点D作DG1BC于G,则∠DGC=90°，先根据有一个角是直角的平行的四边形 是矩形可得四边形ABGD是平行四边形，则得BG的长，从而得CG和DG的长，最后利用勾股定理和余弦 的定义可解答： (2)如图2，过点F作FH⊥BC于H,根据∠AEB=∠FEC,则tan∠AEB=tan∠FEC,由正切的定义列 78186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方程可解答： (3)分三种情况：①当∠AEF=90°时，如图3，②当∠AFE=90°时，如图4，延长EF和AD交于点， 过点E作EM L AD于M,过点F作FP⊥AD于P,③当∠EAF=90°时，如图5，过点E作EM⊥AD于 M,过点F作FP⊥AD于P,分别根据等腰直角三角形和三角函数的定义可解答。 【详解】(1)如图1，过点D作DG⊥BC于G,则∠DGC=90°， G 图1 AD‖BC, ∠A+∠B=180°， ∠A=90°， ∠B=90°， .∠B=∠DGC, .ABI‖DG, ∴四边形ABGD是矩形， .BG=AD=2,DG=AB=4. BC=5, ∴.CG=5-2=3, 由勾股定理得： DC=V42+32=5 :cos∠C=CG3 CD5: (2)如图2，过点F作FH⊥BC于H, D 图2 DF 1 ‘CD=5,CF=2 79186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CF=5x2=10 33， 3 CH 由(1)知： cosC= CF 3 :10 5 ∴CH=2, FH=CF2-CH2 10 由勾股定理得： 设BE=a,则EH=5-2-a=3-a, ,∠AEB=∠FEC, .tan∠AEB=tan∠FEC, AB FH ·BEEH' 8 即4=，3 a 3-a 解得：a= 5 .BE=9 5: (3)分三种情况： ①当∠AEF=90°时，如图3， D 图3 .∠AEB+∠FEC=180°-90°=90°， ·∠AEB=∠FEC, ∴.∠AEB=45°， ∠B=90°， 80186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴，△AEB是等腰直角三角形， .BE=AE=4: ②当∠AFE=90°时，如图4，延长EF和AD交于点O,过点E作EM⊥AD于M,过点F作FP⊥AD于 P, DM E 图4 :ADI川BC, ∴∠AEB=∠EAD,∠FEC=∠Q, .∠AEB=∠FEC, ∴.∠Q=∠EAD ..AE=EO. .AM =MO. 同理得四边形ABEM是矩形， 设DM=x,则AM=MQ=2+x, :BE=AM=2+x,CE=5-(2+x)=3-x .DOll CE △DFO~aCFE, DF DO DF 2x+2 CFCE,即5-DF=3-x, DF=10x+10 x+5, .ADIl BC, ∠C=∠QDF .cosC=cos∠QDF, PD_3 DF 5 81186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..PD:PF:DF=3:4:5 PF=4(2x+2) PD=3(2x+2) x+5 x+5 :∠AFE=90°， ∠AFQ=90° .∠Q+∠FAQ=90° ,∠BAE+∠AEB=90°， ∠AEB=∠Q, ∴.∠BAE=∠FAQ 、.tan∠BAE=tan∠FAg, 4(2x+2) x+2 ·BEPF,即4 =x+5 2+3(2x+2), AB AP x+5 x1=x3=0 解得： 经检验：x=0是原方程的解，且符合题意： ∴BE=2: ③当∠EAF=90°时，如图5，过点E作EM⊥AD于M,过点F作FP⊥AD于P, GAD 图5 设AM=m, 同理得：AM=MG=BE=m,DG=2-2m, .AD lI BC. ∴aFGD~△FEC, DG DF2-2m=DF ·CE=CF,即5-m=5+DF, 82186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷DF=10-10m DP=32-2m) 4(2-2m) m+3, m+3 FP=- m+3 同理可得：∠FAP=∠BAE, ∴.tan∠BAE=tan∠FAP, 4(2-2m) ∴BEFP,即4 =m+3 m 2-32-2m, AB AP m+3 解得： m1=-2+2V2m,=-2-2√2 (舍)： m=-2+2√2 经检验， 是原方程的解， :BE=22-2 22V2-2 综上，BE的长为4或2或2 【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数的应用、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，作出适 当的辅助线并分类讨论是解题的关键。 19.(24-25九上·上海宋庆龄学校期中)已知：△ABC中，AB=AC. 图1 图2 (I)如图1，如果点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE=DC,DE与AC交于点F,且 DF=EF」 ①图1中是否存在着与∠BDE的相等的角？如果存在，写出与∠BDE的相等的角，并写出简要的证明过程： 如果不存在，请简述理由： ②求证：BE=CE: (2)如图2，如果点D在线段AB上，点E在线段CB的延长线上，DE=DC,ED的延长线交AC于点F, 当AB=3,BC=2,DF=k·EF时，求BE的长（用含k的代数式表示）， 【答案】(IO∠DCA=∠BDE,证明见解析：②见解析 (2)BE=2K 1-k 83186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判断与性质、相似三角 形的判断与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键 (1)①运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质即可解答：②如图1：过点B作EG∥AC,交AB于点 G,要证BE=CE,只需证BG=AG,由DF=FE可证到DA=AG,只需证到DA=BG即DG=AB,即 DG=AC;再证明△DCA≌△△EDG即可解决问题： (2)如图2：过点E作EG∥AC,交AB的延长线于点G,易证△DCA≌aEDG则DA=EG,CA=DG,即 AD DF DG=CA=AB=3,再证△ADF∽aGDE,则有DGDE·由DF=k,EF可得DE=EF-DF=(1-k)EF. 3k 3k 从而可以求得MD=1k:GE=D=k:易证。ABC∽AGBE,再根据相似三角形的性质列比例式求解 即可 【详解】(I)解：①∠DCA=∠BDE,证明如下： 证明：AB=AC,DE=DC, ∴.∠ABC=∠ACB,∠DEC=∠DCE :.∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA, ②如图1：过点E作EG∥AC,交AB于点G,则有∠DAC=∠DGE D 图1 在△DCA和△EDG中， ∠DCA=∠GDE ∠DAC=∠DGE DC=DE △DCA≌△EDG(AAS) .DA=EG.CA=DG ∴.DG=AB ∴.DA=BG ,EG∥AF,DF=EF, 84186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴DA=AG ..AG=BG :EG∥AC, .BE=EC. (2)解：如图2：过点E作EG∥AC,交AB的延长线于点G, 图2 .AB=AC,DE DC. ∴.∠ABC=∠ACB,∠DEC=∠DCE ∴.∠BDE=LDBC-LDEC=∠ACB-∠DCE=LDCA, ,EG∥AC, ∴.∠DAC=∠DGE. 在△DCA和△EDG中， ∠DCA=∠GDE ∠DAC=∠DGE DC=DE △DCA≌△EDG(AAS) ∴DA=EG,CA=DG, ∴DG=CA=AB=3. :EG∥AF, .△ADFAGDE AD DF DG DE' DF=k·EF, DE=EF-DF=(1-k)EF 85186 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD kFF 3k 、3-)EF,解得： AD= 1-k. 3k GE-AD=1 :EG∥AC, .△ABCAGBE 23 :BCAC,即BE欢，解得：BE=2水 BEGE 1-k 1-k 86186 专题03 相似三角形的判定与性质综合压轴题（期中真题汇编） 一、解答题 1．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 2．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 3．(24-25九·上海梅陇中学·期中)在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 4．(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)求证：； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 5．(24-25九上·上海格致初级中学·期中)如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 6．(24-25九上·上海浦东新区华东师范大学第二附属中学·期中)新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 7．(24-25九上·上海交大附中附属嘉定德富中学·期中)中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 8．(24-25九上·上海宝山中学·期中)中，分别在上，，连接，作交于，交于交于． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 9．(24-25九上·上海闵行区航华中学·期中)在中，，点为边上一点，且，点分别为边上的动点（点在点的右边），且．设，． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)连接，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 10．(24-25九上·上海青浦区徐泾中学·期中)如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)若E为x轴上的点，且．请求出点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)已知，在梯形中，，，，，平分交边于点E．    (1)如图1，联结， ①如果，求边的长． ②如果与相似，求边的长． (2)如图2，点F是线段上一点，过点F作的垂线交于点M、交于点N，如果直线与直线将梯形分割成的四部分面积均相等，求的长． 12．(24-25九上·上海宝山区·期中)如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点． (1)如图2，当点是边中点时，求证：； (2)当，且是直角三角形时，求此时的正切值； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值． 13．(24-25九上·上海同济大学附属嘉定实验中学·期中)如图，是边长为4的等边三角形，点D与点B分别位于直线的两侧，且，连接、，交直线于点E． (1)当时，求线段的长． (2)过点A作，垂足为点H，直线交于点F， ①当时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当时，请直接写出线段的长． 14．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点，与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图像上，连接并延长，交轴于点，且， ①求点的坐标； ②点在函数的图像上，，交线段于点，连接．如果与相似，求点的坐标． 15．(24-25九上·上海黄浦区·期中)已知：如图，在平行四边形中，，，，为上一动点，作，射线交射线于点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，射线交射线于点，设，，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 16．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，与交于点． (1)若时，求的值； (2)当时， 若，，设，，求与之间的函数关系式． 连接，若，，求的值． 17．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在中，．点是射线上一点，过点A作，分别交射线于点D、F． (1)当点M在上（点M与点不重合）时． ①如图（1），如果，求的长； ②的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)过点A作，交直线于点，当为等腰三角形时，求的长． 18．(24-25九上·上海静安区久隆模范中学·期中)已知：如图，在梯形中，，，，，，在边上任取一点，连接，作，的另一边交射线于点． (1)求的值； (2)如图，当点在线段上时，若，求的长； (3)连接，当是直角三角形时，直接写出BE的长． 19．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)已知：中，． (1)如图1，如果点D在线段的延长线上，点E在线段上，，与交于点F，且． ①图1中是否存在着与的相等的角？如果存在，写出与的相等的角，并写出简要的证明过程：如果不存在，请简述理由； ②求证：； (2)如图2，如果点D在线段上，点E在线段的延长线上，，的延长线交于点F，当，，时，求的长（用含k的代数式表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $